彈塑性本構(gòu)關(guān)系2

第三章彈塑性本構(gòu)關(guān)系3.1塑性位勢理論3.2硬化規(guī)律3.3彈塑性本構(gòu)關(guān)系教師：徐平下載：1:2007TEL:137331890573.1塑性位勢理論流動(dòng)法則

模型三要素屈服條件流動(dòng)法則硬化規(guī)律判斷何時(shí)達(dá)到屈服屈服后塑性應(yīng)變增量的方向，也即各分量的比值決定給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變增量大小本節(jié)內(nèi)容屈服后塑性應(yīng)變增量的方向，也即各分量的比值3.1.1加載與卸載準(zhǔn)則1加載曲面(后繼屈服面)由單向拉伸試驗(yàn)知道，對理想塑性材料，一旦屈服以后，其應(yīng)力保持常值(屈服應(yīng)力)，卸載后再重新加載時(shí)其屈服應(yīng)力的大小也不改變(沒有強(qiáng)化現(xiàn)象)。對于強(qiáng)化材料則不同，在開始屈服之后，隨著塑性變形的發(fā)展其應(yīng)力值繼續(xù)增加。卸載后再重新加載至開始屈服的應(yīng)力時(shí)材料并不屈服，要加到原來卸載開始時(shí)的應(yīng)力，材料才再次屈服，因此重新加載時(shí)的屈服應(yīng)力要高于原始加載時(shí)的屈服應(yīng)力，這就是強(qiáng)化現(xiàn)象。與簡單應(yīng)力狀態(tài)相同，當(dāng)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下進(jìn)入塑性后卸載，然后再次加載時(shí)，屈服函數(shù)也會隨著發(fā)生過的塑性變形歷史而有所改變。當(dāng)應(yīng)力分量滿足某種關(guān)系時(shí)，材料將重新進(jìn)入塑性狀態(tài)而產(chǎn)生新的塑性變形。這種現(xiàn)象稱為強(qiáng)化。材料在初始屈服后再次進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)，應(yīng)力分量間所必須滿足的函數(shù)關(guān)系稱為后繼屈服條件或加載條件。該條件在應(yīng)力空間中的圖形稱為后繼屈服曲面或加載曲面。OΣΣ'σij0dσij后繼屈服曲面(加載曲面)初始屈服曲面2簡單加載和復(fù)雜加載其中分別為某一定值，t為由零開始的單調(diào)增函數(shù)。此時(shí)顯然Lode應(yīng)力參數(shù)保持不變，從而使應(yīng)力張量（應(yīng)力偏張量）的主方向保持不變，這種加載方式稱為簡單加載或比例加載。在簡單加載過程中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在應(yīng)力空間中將沿矢徑移動(dòng)，如圖所示。在復(fù)雜加載時(shí)，一點(diǎn)的應(yīng)力張量各分量不按比例增加，在改變，應(yīng)力張量和應(yīng)力偏張量的主方向也隨之改變。一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)在應(yīng)力空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡就不再是從原點(diǎn)開始的射線，如圖所示。(1)理想彈塑性材料的加載和卸載準(zhǔn)則理想彈塑性材料在應(yīng)力空間中的屈服面位置和形狀是不變的，當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)保持在屈服面上時(shí)稱之為加載，這時(shí)塑性變形可任意增長(后面將證明，各塑性應(yīng)變分量之間的比例不是任意的，需要滿足一定的關(guān)系)；當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)從屈服面上改變屈服面之內(nèi)時(shí)稱之為卸載。如果以F(σij)=0表示屈服面，則可以把上述加載和卸載準(zhǔn)則用數(shù)學(xué)形式表示如下：(2)加工硬化材料的加載和卸載準(zhǔn)則加工硬化材料的屈服面隨著塑性變形的發(fā)展而不斷地變化，加工硬化材料的加載和卸載準(zhǔn)則與理想彈塑性材料不同，對加工硬化材料，當(dāng)dσ指向屈服面之外時(shí)才算加載，而當(dāng)dσ正好沿著屈服面變化時(shí)，屈服面不會發(fā)生變化，這種變化過程叫做中性變載。它對應(yīng)于應(yīng)力狀態(tài)從一個(gè)塑性狀態(tài)過渡到另一個(gè)塑性狀態(tài)，但不會引起新的塑性變形。對單向應(yīng)力狀態(tài)或理想彈塑性材料沒有這個(gè)過程，當(dāng)dσ向著屈服面內(nèi)部變化時(shí)，稱之為卸載過程，如果用φ

(σij,Hα)=0表示后繼屈服條件，則：應(yīng)力空間(3)加工軟化材料的加載和卸載準(zhǔn)則軟化材料，應(yīng)力變化矢量指向屈服面內(nèi)部，須在應(yīng)變空間中判斷加卸載應(yīng)變空間3.1.2德魯克塑性公設(shè)穩(wěn)定材料與非穩(wěn)定材料德魯克塑性公設(shè)的表述德魯克公設(shè)的重要推論德魯克塑性公設(shè)的評述依留申塑性公設(shè)的表述附加應(yīng)力對附加應(yīng)變負(fù)做功，即附加應(yīng)力對附加應(yīng)變做功為非負(fù)，即有(1)穩(wěn)定材料與非穩(wěn)定材料穩(wěn)定材料非穩(wěn)定材料（應(yīng)變硬化和理想塑性材料）（應(yīng)變軟化材料）德魯克公設(shè)和依留申公設(shè)是傳統(tǒng)塑性力學(xué)的基礎(chǔ)，它把塑性勢函數(shù)與屈服函數(shù)緊密聯(lián)系在一起。德魯克公設(shè)只適用于穩(wěn)定材料，而依留申既適用于穩(wěn)定材料，又適用于不穩(wěn)定材料。(2)

德魯克塑性公設(shè)的表述

德魯克公設(shè)可陳述為：對于處在某一狀態(tài)下的穩(wěn)定材料的質(zhì)點(diǎn)(試件)，借助于一個(gè)外部作用在其原有應(yīng)力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加壓力，在附加應(yīng)力的施加和卸除循環(huán)內(nèi)，外部作用所作之功是非負(fù)的。設(shè)材料單元體經(jīng)歷任意應(yīng)力歷史后，在應(yīng)力σij0下處于平衡，即開始應(yīng)力σij0在加載面內(nèi)，然后在單元體上緩慢地施加一個(gè)附加力，使σij0達(dá)到σij，剛好在屈服面上，再繼續(xù)加載到σij+dσij，在這一階段，將產(chǎn)生塑性應(yīng)變dεijp，最后應(yīng)力又卸回到σij0。若整個(gè)應(yīng)力循環(huán)過程中，附加應(yīng)力dσij所作的塑性功不小于零，即附加應(yīng)力的塑性功不出現(xiàn)負(fù)值，則這種材料就是穩(wěn)定的，這就是德魯克公設(shè)。在應(yīng)力力循環(huán)環(huán)中，，外載載所作作的功功為：：不論材材料是是不是是穩(wěn)定定，上上述總總功不不可能能是負(fù)負(fù)的，，不然然，我我們可可通過過應(yīng)力力循環(huán)環(huán)不斷斷從材材料中中吸取取能量量，這這是不不可能能的。。要判判斷材材料穩(wěn)穩(wěn)定必必須依依據(jù)德德魯克克公設(shè)設(shè)，即即附加加應(yīng)力力所作作的塑塑性功功不小小零得得出由于彈彈性應(yīng)應(yīng)變εije在應(yīng)力力循環(huán)環(huán)中是是可逆逆的，，因而而于是有有：(3)德魯克克塑性性公設(shè)設(shè)的重重要推推論屈服面面的外外凸性性塑性應(yīng)應(yīng)變增增量方方向與與加載載曲面面正交交1屈服曲曲面的的外凸凸性此式限制了了屈服服面的的形狀狀：對于任任意應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)，，應(yīng)力力增量量方向向與塑塑性應(yīng)應(yīng)變向向量之之間所所成的的夾角角不應(yīng)應(yīng)該大大于90°°穩(wěn)定材材料的的屈服服面必必須是是凸的的.(a)滿足穩(wěn)穩(wěn)定材材料的的屈服服面(b)不滿足足穩(wěn)定定材料料的屈屈服面面2塑性應(yīng)應(yīng)變增增量向向量與與屈服服面法法向平平行加載面面切平面面必與加載面的外法線重合，否則總可以找到A0使A0A·dεp≥0不成立(如右圖)。標(biāo)量dλ，稱為塑塑性因因子表明，塑性應(yīng)變分量σij之間的比例可由在加載面上Φ的位置確定。加載準(zhǔn)則意義：：只有有當(dāng)應(yīng)應(yīng)力增增量指指向加加載面面的外外部時(shí)時(shí)才能能產(chǎn)生生塑性性變形形。3德魯克克塑性性公設(shè)設(shè)的評評述德魯克克公設(shè)設(shè)的適適用條條件：：（1）應(yīng)力循循環(huán)中中外載載所作作的真真實(shí)功功與ij0起點(diǎn)無無關(guān)；；應(yīng)力循循環(huán)中中外載載所作作真實(shí)實(shí)功與與附加加應(yīng)力力功(2)附加應(yīng)應(yīng)力功功不符符合功功的定定義，，并非非真實(shí)實(shí)功（4）德魯克克公設(shè)設(shè)的適適用條條件：：①ij0在塑性性勢面面與屈屈服面面之內(nèi)內(nèi)時(shí)，，德魯魯克公公設(shè)成成立；；②ij0在塑性性勢面面與屈屈服面面之間間時(shí)，，德魯魯克公公設(shè)不不成立立；附加應(yīng)力功功為非負(fù)的的條件（3）非真實(shí)物理理功不能引引用熱力學(xué)學(xué)定律；勢面線屈服面（5）金屬材料的的塑性勢面面與屈服面面基本一致致。3.1.3依留申塑性性公設(shè)的表表述依留申塑性性公設(shè)：在彈塑性材材料的一個(gè)個(gè)應(yīng)變循環(huán)環(huán)內(nèi)，外部部作用做功功是非負(fù)的的，如果做做功是正的的，表示有有塑性變形形，如果做做功為零，，只有彈性性變形發(fā)生生。設(shè)材料單元元體經(jīng)歷任任意應(yīng)力歷歷史后，在在應(yīng)力σij0下處于平衡衡，即初始始的應(yīng)變εij0在加載面內(nèi)內(nèi)，然后在在單元體上上緩慢地施施加荷載，，使εij達(dá)到屈服面面，再繼續(xù)續(xù)加載達(dá)到到應(yīng)變點(diǎn)εij+dεij，此時(shí)產(chǎn)生生塑性應(yīng)變變dεijp。然后卸載載使應(yīng)變又又回到原先先的應(yīng)變狀狀態(tài)εij0，并產(chǎn)生了了與塑性變變量所對應(yīng)應(yīng)的殘余應(yīng)應(yīng)力增量dσijp。殘余應(yīng)力增增量與塑性性應(yīng)變增量量存在關(guān)系系：式中，D為彈性矩陣陣。根據(jù)依留申申公設(shè)，在在完成上述述應(yīng)變循環(huán)環(huán)中，外部部功不為負(fù)負(fù)，即只有在彈性性應(yīng)變時(shí)，，上述WI=0。根據(jù)Druker塑性公設(shè)可將Druker塑性公設(shè)改改寫成：由圖(a)可知，對于于彈性性質(zhì)質(zhì)不隨加載載面改變的的非耦合情情況，外部部作用在應(yīng)應(yīng)變循環(huán)內(nèi)內(nèi)做功WI和應(yīng)力循環(huán)環(huán)所作的外外部功之間間僅差一個(gè)個(gè)正的附加加項(xiàng)：因此可將應(yīng)應(yīng)變循環(huán)所所作的外部部功，寫成成上式表明，，如果德魯魯克塑性公公設(shè)成立，，WD≥0，則依留申申塑性公設(shè)設(shè)也一定成成立，反之之，依留申塑性性公設(shè)成立立，并不要要求WD≥0，也就是說說，德魯克克塑性公設(shè)設(shè)是依留申申塑性公設(shè)設(shè)的充分條條件，而不不是必要條條件。ABCD當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)由由A到B時(shí)，dσ<0,但dσp>0,塑性變形dεp>0，總變形dε>0應(yīng)變空間加加載面外凸凸①加載準(zhǔn)則(取大于號表表示有新的的塑性變形形發(fā)生)②塑性勢面與屈服面相同③根據(jù)關(guān)關(guān)于的的正交交法則，可可得：由應(yīng)力空間間中的屈服服與應(yīng)變空空間中屈服服面的轉(zhuǎn)換換關(guān)系，可可得：結(jié)合可得：3.1.4塑性位勢理理論與流動(dòng)法則與彈性位勢勢理論相類類似，Mises于1928年提出塑性性位勢理論論。他假設(shè)設(shè)經(jīng)過應(yīng)力力空間的任任何一點(diǎn)M，必有一塑塑性位勢等等勢面存在在，其數(shù)學(xué)學(xué)表達(dá)式稱稱為塑性位位勢函數(shù)，，記為：或式中，為硬化參數(shù)數(shù)。塑性應(yīng)變增增量可以用用塑性位勢勢函數(shù)對應(yīng)應(yīng)力微分的的表達(dá)式來來表示，即即：上式就稱為為塑性位勢理理論。它表明一一點(diǎn)的塑性性應(yīng)變增量量與通過該該點(diǎn)的塑性性勢面存在在著正交關(guān)關(guān)系，這就就確定了應(yīng)應(yīng)變增量的的方向，也也就確定了了塑性應(yīng)變變增量各分分量的比值值。流動(dòng)規(guī)則也也稱為正交交定律，是是確定塑性性應(yīng)變增量量各分量的的比值，也也即塑性增增量方向的的一條規(guī)定定。上式是是流動(dòng)規(guī)則則的一種表表示形式，，另外還有有另一種表表示形式：：它表明塑性性應(yīng)變增量量與通過該該點(diǎn)的屈服服曲面成正正交關(guān)系。。與德魯克公設(shè)設(shè)表達(dá)式比較，可以以看出，服服從于德魯魯克公設(shè)的的材料，塑塑性勢函數(shù)數(shù)g就是屈服函函數(shù)Φ。即g=Φ，由此得到的的塑性應(yīng)力力應(yīng)變關(guān)系系通常稱為為與加載條條件相關(guān)聯(lián)的流流動(dòng)法則。如果g≠Φ，即屈服面與與塑性應(yīng)變變增量不正正交，則其其相應(yīng)的塑塑性應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變關(guān)系稱稱為非關(guān)聯(lián)流動(dòng)動(dòng)法則。在應(yīng)變空間間，流動(dòng)規(guī)規(guī)則可用下下式表示：：和都為非負(fù)的的比例系數(shù)數(shù)。3.2硬化規(guī)律塑性模型三三要素屈服條件流動(dòng)法則硬化規(guī)律判斷何時(shí)達(dá)達(dá)到屈服屈服后塑性性應(yīng)變增量量的方向，，也即各分分量的比值值決定給定的的應(yīng)力增量量引起的塑塑性應(yīng)變增增量大小本節(jié)內(nèi)容硬化規(guī)律：：加載面在在應(yīng)力空間間中的位置置、大小和和形狀的變變化規(guī)律。。（確定加加載面依據(jù)據(jù)哪些具體體的硬化參參量而產(chǎn)生生硬化的規(guī)規(guī)律稱為硬硬化定律））硬化模型：：實(shí)際土體體硬化規(guī)律律+簡化假設(shè)（（如采用等等值面硬化化理論，主主應(yīng)力方向向不旋轉(zhuǎn)，，加載面形形狀不變等等）金屬材料：：采用等向向強(qiáng)化和隨隨動(dòng)強(qiáng)化；；巖土材料：：靜力問題題采用等向向強(qiáng)化；循循環(huán)荷載和動(dòng)力問題題采用隨動(dòng)動(dòng)強(qiáng)化或混混合強(qiáng)化常用模型3.2.1等向強(qiáng)化模模型這種模型無無論在哪個(gè)個(gè)方向加載載拉伸和壓壓縮強(qiáng)化總總是相等地地產(chǎn)生和開開展；在復(fù)復(fù)雜加載條條件下，即即表示應(yīng)力力空間中作作形狀相似似的擴(kuò)大，，如圖中OABDD'E'代表等向強(qiáng)強(qiáng)化，圖中中B與D'點(diǎn)所對應(yīng)的的應(yīng)力值均均為σ's(指絕對值)，在這種情情況下，壓壓縮屈服應(yīng)應(yīng)力和彈性性區(qū)間都隨隨著材料強(qiáng)強(qiáng)化而增大大。在應(yīng)力空間間中，這種種后繼屈服服面的大小小只與最最大的應(yīng)力力狀態(tài)有關(guān)關(guān)，而與中中間的加載載路徑無關(guān)關(guān)。在右圖圖中，路徑徑1與路徑2的最終應(yīng)力力狀態(tài)都都剛好對應(yīng)應(yīng)于加載過過程中最大大應(yīng)力狀態(tài)態(tài)，因此兩兩者的最終終后繼屈服服是一樣的的；而路徑徑3的最終后繼繼屈服面由由加載路徑徑中最大應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)來來定。3.2.2隨動(dòng)強(qiáng)化模模型圖中OABCDE代表隨動(dòng)強(qiáng)強(qiáng)化模型，，彈性卸載載區(qū)間是襯襯始屈服應(yīng)應(yīng)力σs的兩倍。根根據(jù)這種模模型，材料料的彈性區(qū)區(qū)間保持不不變，但是是由于拉伸伸時(shí)的強(qiáng)化化而使壓縮縮屈服應(yīng)力力幅值減小小。與等向強(qiáng)化化模型不同同，隨動(dòng)強(qiáng)強(qiáng)化模型是是考慮包辛辛格效應(yīng)的的。在單向向拉壓情況況下，隨動(dòng)動(dòng)強(qiáng)化模型型可以用下下式表示：：包辛格逆效效應(yīng)（Bauschinger）分直接包包辛格效應(yīng)應(yīng)及包辛格格逆效應(yīng)。。直接包辛辛格效應(yīng)指指拉伸后鋼鋼材縱向壓壓縮屈服強(qiáng)強(qiáng)度小于縱縱向拉伸屈屈服強(qiáng)度，，如圖1所示；包辛辛格逆效應(yīng)應(yīng)在相反的的方向產(chǎn)生生相反的結(jié)結(jié)果，如圖圖2所示。普拉格將隨隨動(dòng)強(qiáng)化模模型推廣到到復(fù)雜應(yīng)力力狀態(tài)中，，他假定在在塑性變形形過程中，，屈服面形形狀和大小小都不改變變，只是在在應(yīng)力空間間內(nèi)作剛體體平移。3.2.3混合強(qiáng)化模模型運(yùn)動(dòng)硬化和和等向硬化化的組合，，可以構(gòu)成成更一般的的硬化模型型，稱為混混合強(qiáng)化模模型這時(shí)，后繼繼屈服面既既有位置的的改變，也也產(chǎn)生均勻勻的膨脹。。等向強(qiáng)化混合強(qiáng)化隨動(dòng)強(qiáng)化(運(yùn)動(dòng)強(qiáng)化)初始屈服面面3.2.4加工硬化規(guī)規(guī)律加工硬化規(guī)規(guī)律是決定定一個(gè)給定定的應(yīng)力增增量引起的的塑性應(yīng)變變增量的一一條規(guī)則，，在流動(dòng)規(guī)規(guī)律中，dλ這個(gè)因素可可以假定為為：式中，A為硬化參數(shù)數(shù)Hα的函數(shù)。不同的學(xué)者者曾建議不不同的硬化化規(guī)律來計(jì)計(jì)算A的數(shù)值，常常用的硬化化規(guī)律有下下列幾種：：塑性功Wp硬化定律：：矩陣形式：：由得：塑性應(yīng)變εijp硬化定律：：進(jìn)一步有：：由得：塑性體應(yīng)變變εvp硬化定律設(shè)廣義塑性力力學(xué)中，如如果取于是：矩陣形式：：由則有：3.3彈塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系屈服條件流動(dòng)法則硬化規(guī)律判斷何時(shí)達(dá)達(dá)到屈服屈服后塑性性應(yīng)變增量量的方向，，也即各分分量的比值值決定給定的的應(yīng)力增量量引起的塑塑性應(yīng)變增增量大小本節(jié)內(nèi)容塑性本構(gòu)關(guān)關(guān)系彈性本構(gòu)關(guān)關(guān)系彈塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系塑性增量理理論又稱為為塑性流動(dòng)動(dòng)理論，它它把塑性變變形看成非非線性流動(dòng)動(dòng)。塑性增增量理論把把應(yīng)變增量量分為彈性性應(yīng)變增量量和塑性應(yīng)應(yīng)變增量兩兩部分，即即

式中中，彈性應(yīng)應(yīng)變增量應(yīng)應(yīng)用廣義虎虎克定律計(jì)計(jì)算，塑塑性應(yīng)變增增量根據(jù)塑塑性增量理理論計(jì)算。。塑性增量量理論主包包括三個(gè)部部分：關(guān)于于屈服面理理論，關(guān)于于流動(dòng)規(guī)則則理論，關(guān)關(guān)于加工硬硬化(或軟化)理論。應(yīng)用用彈塑性增增量理論計(jì)計(jì)算塑性應(yīng)應(yīng)變：首先先，要確定定材料的屈屈服條件，，對加工硬硬化材料，，需要確定定材料是否否服從相相關(guān)聯(lián)流動(dòng)動(dòng)規(guī)則。若若材料服從從不相聯(lián)流流動(dòng)規(guī)則，，沿需確定定材料的塑塑性勢函數(shù)數(shù)。然后，，還需要確確定材料的的硬化或軟軟化規(guī)律。。最后可運(yùn)運(yùn)用流動(dòng)規(guī)規(guī)則理論確確定塑性應(yīng)應(yīng)變增量的的方向，根根據(jù)硬化規(guī)規(guī)律計(jì)算塑塑性應(yīng)變增增量的大小小。3.3.1塑性增量理理論3.3.2一個(gè)普遍的的彈塑性模模量張量表表達(dá)式加工硬化規(guī)規(guī)律是決定定一個(gè)給定定的應(yīng)力增增量引起的的塑性應(yīng)變變增量的一一條規(guī)則，，在流動(dòng)規(guī)規(guī)律中，dλ這個(gè)因素可可以假定為為：廣義虎克定定律用增量量形式表示示：根據(jù)塑性性勢函數(shù)數(shù)：以及進(jìn)一步有有：(b)(a)將(b)代入(a)得：再代入(b)得：彈塑性模模量張量量彈性狀