彈塑性有限元法基本理論與模擬方法

課程教學(xué)內(nèi)容：

第一章緒論第二章塑性成形分析的理論基礎(chǔ)第三章有限元法基本概念第四章彈塑性有限元法基本理論與模擬方法第五章剛塑性有限元法基本理論與模擬方法第六章幾種通用有限元分析軟件介紹（ANSYS、MARC、ABAQUS）第七章幾種典型材料成形過(guò)程計(jì)算機(jī)模擬分析實(shí)例4.1非線性問(wèn)題及分類在分析線性彈性問(wèn)題時(shí)，假定：應(yīng)力應(yīng)變線性關(guān)系結(jié)構(gòu)位移很?。ㄗ冃芜h(yuǎn)小于物體的幾何尺寸）加載時(shí)邊界條件的性質(zhì)不變

如果不滿足上述條件之一，就稱為非線性問(wèn)題非線性結(jié)構(gòu)的基本特征：變化的結(jié)構(gòu)剛度非線性問(wèn)題可以分為三類：材料非線性：體系的非線性由材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的非線性引起。如金屬變形彈塑性行為、橡膠的超彈性行為等幾何非線性：結(jié)構(gòu)的位移使體系的受力狀態(tài)發(fā)生了顯著的變化。如板殼的大撓度問(wèn)題——平衡方程必須建立于變形后的狀態(tài)接觸非線性：接觸狀態(tài)的變化所引起。如金屬成形、跌落試驗(yàn)、多零件裝配體等碰到障礙物的懸臂梁（端部碰到障礙物時(shí)，梁端部的邊界條件發(fā)生了突然變化，阻止了進(jìn)一步的豎向撓度。）板料的沖壓成形接觸非線性例子隨著有限元算法理論、計(jì)算機(jī)硬件和軟件技術(shù)的進(jìn)步及實(shí)際工業(yè)的需求，CAE技術(shù)的應(yīng)用逐步由線性模擬為主向非線性模擬為主快速發(fā)展。1969年，第一個(gè)商業(yè)非線性有限元程序——Marc誕生。目前幾乎所有的商業(yè)有限元軟件都具備較強(qiáng)的非線性問(wèn)題的分析求解能力。非線性求解技術(shù)的先進(jìn)性與穩(wěn)健性已經(jīng)成為衡量一個(gè)結(jié)構(gòu)分析程序優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。非線性問(wèn)題的有限元求解方法非線性方程(組)的求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代法修正的Newton-Raphson迭代法非線性問(wèn)題通常采用增量法求解（追蹤加載過(guò)程中應(yīng)力和變形的演變歷史。）每個(gè)增量步采用Newton-Raphson迭代法非線性問(wèn)題有限元控制方程：非線性方程的迭代求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代修正的N-R迭代非線性方程組的迭代求解方法直接迭代法N-R迭代修正的N-R迭代非線性問(wèn)題的增量法求解過(guò)程(1)將總的外力載荷分為一系列載荷段(2)在每一載荷段中進(jìn)行迭代，直至收斂(3)所有載荷段循環(huán)，并將結(jié)果進(jìn)行累加(1)將總的的外力力載荷荷分為為一系系列載載荷段段(2)在每一一載荷荷段中中進(jìn)行行迭代代，直直至收收斂N-R迭代:(3)所有載載荷段段循環(huán)環(huán)，并并將結(jié)結(jié)果進(jìn)進(jìn)行累累加4.2材料非非線性性問(wèn)題題及分分類概念：：由于于材料料的應(yīng)應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變非非線性性關(guān)系系引起起的非非線性性。分類：：不依賴賴時(shí)間間的彈彈、塑塑性問(wèn)問(wèn)題非線性性彈性性——橡膠彈塑性性——沖壓成成形依賴于于時(shí)間間的粘粘（彈彈、塑塑）性性問(wèn)題題蠕變——載荷不不變，，變形形隨時(shí)時(shí)間繼繼續(xù)變變化松弛——變形不不變，，應(yīng)力力隨時(shí)時(shí)間衰衰減非線性性彈性性材料料行為為橡膠應(yīng)應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變關(guān)關(guān)系曲曲線彈塑性性材料料進(jìn)入入塑性性的特特征：：載荷荷卸去去后存存在不不可恢恢復(fù)的的永久久變形形。應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變之之間不不是單單值對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)關(guān)系，，與加加載歷歷史有有關(guān)。。單軸應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)下下彈塑塑性材材料行行為單軸（（一維維）應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)下下材料料的應(yīng)應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變行行為可可以從從拉伸伸試驗(yàn)驗(yàn)中獲獲得。。單調(diào)加加載硬化塑塑性理想彈彈塑性性各向同同性硬硬化:運(yùn)動(dòng)硬硬化:混合硬硬化:反向加加載運(yùn)動(dòng)硬硬化各向同同性硬硬化混合硬硬化在簡(jiǎn)單單拉伸伸的情情況下下，當(dāng)材材料發(fā)發(fā)生塑塑性變變形后后卸載載，此此后再再重新新加載載，則則應(yīng)力力和應(yīng)應(yīng)變的的變化化仍服服從彈彈性關(guān)關(guān)系，，直至至應(yīng)力力到達(dá)達(dá)卸載載前曾曾經(jīng)達(dá)達(dá)到的的最高高應(yīng)力力點(diǎn)時(shí)時(shí)，材材料才才再次屈屈服（后繼屈屈服）。這個(gè)最最高應(yīng)應(yīng)力點(diǎn)點(diǎn)的應(yīng)應(yīng)力就就是材材料在在經(jīng)歷歷了塑塑性變變形后后的新新的屈屈服應(yīng)應(yīng)力。。由于于材料料的強(qiáng)強(qiáng)化特特性，，它比比初始始屈服服應(yīng)力力大。。為了與與初始始屈服服應(yīng)力力相區(qū)區(qū)別，，我們們稱之之為后繼屈屈服應(yīng)應(yīng)力。與初始始屈服服應(yīng)力力不同同，它不是是一個(gè)個(gè)材料料常數(shù)數(shù)，而而是依依賴于塑性性變形形的大大小和和歷史史。后繼屈屈服應(yīng)應(yīng)力是是在簡(jiǎn)簡(jiǎn)單拉拉伸下下，材材料在經(jīng)歷歷一定定塑性性變形形后再次次加載載時(shí)，，變形形是按按彈性性還是是塑性性規(guī)律律變化化的界界限。和簡(jiǎn)單單應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)相似似，材材料在復(fù)雜雜應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)下同樣存在初初始屈屈服和和后繼繼屈服服的問(wèn)問(wèn)題。材料在在復(fù)雜雜應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)下，，在經(jīng)經(jīng)歷初初始屈屈服和和發(fā)生生塑性性變形形后，，此時(shí)時(shí)卸載載，將將再次次進(jìn)入入彈性性狀態(tài)態(tài)（稱稱為后繼彈彈性狀狀態(tài)）。把復(fù)雜雜應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)下，，確定定材料料后繼繼彈性性狀態(tài)態(tài)的界界限的的準(zhǔn)則則就稱稱為后繼屈屈服條條件，又稱稱為加載條條件。問(wèn)題:當(dāng)材料料處于于后繼繼彈性性狀態(tài)態(tài)而繼繼續(xù)加加載時(shí)時(shí)，應(yīng)應(yīng)力（（或變變形））發(fā)展展到什什么程程度材材料再再一次次開(kāi)始始屈服服呢？？一般應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)下下彈塑塑性材材料行行為屈服準(zhǔn)準(zhǔn)則（（初始始屈服服條件件）硬化法法則（后繼繼屈服服函數(shù)數(shù)、加加載函函數(shù)、、加載載曲面面）流動(dòng)法法則加載、、卸載載準(zhǔn)則則屈服準(zhǔn)準(zhǔn)則（（初始始屈服服條件件）在單向向受力力情況況下，，當(dāng)應(yīng)應(yīng)力達(dá)達(dá)到材材料的的屈服服強(qiáng)度度時(shí)材材料開(kāi)開(kāi)始產(chǎn)產(chǎn)生塑塑性變變形。。對(duì)于一一般復(fù)復(fù)雜的的應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)，應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)由由六個(gè)個(gè)應(yīng)力力分量量決定定時(shí)，，顯然然不能能根據(jù)據(jù)某個(gè)個(gè)單獨(dú)獨(dú)應(yīng)力力分量量的數(shù)數(shù)值作作為判判斷材材料是是否進(jìn)進(jìn)入塑塑性變變形的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)。為為此，，引入入以應(yīng)應(yīng)力分分量為為坐標(biāo)標(biāo)的應(yīng)應(yīng)力空空間，，根據(jù)據(jù)代表表不同同應(yīng)力力路徑徑的實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)結(jié)果，，可以以定出出從彈彈性階階段進(jìn)進(jìn)入塑塑性階階段的的各個(gè)個(gè)界限限，即即屈服服應(yīng)力力點(diǎn)。。在應(yīng)應(yīng)力空空間中中，這這些屈屈服應(yīng)應(yīng)力點(diǎn)點(diǎn)形成成一個(gè)個(gè)區(qū)分彈彈性和和塑性性的分分界面面——屈服面面。描述這這個(gè)屈屈服面面的數(shù)數(shù)學(xué)表表達(dá)式式就是是我們們所要要尋求求的一一般應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)下下的屈屈服準(zhǔn)準(zhǔn)則。。常用的的各向向同性性Von-Mises屈服準(zhǔn)準(zhǔn)則：：各向同同性屈屈服準(zhǔn)準(zhǔn)則：：各個(gè)方方向屈屈服應(yīng)應(yīng)力相相同各向異異性屈屈服準(zhǔn)準(zhǔn)則：：不同方方向屈屈服應(yīng)應(yīng)力有有差異異三維主主應(yīng)力力空間間π平面上上的屈屈服軌軌跡σ3=0平面上上的屈屈服軌軌跡硬化法法則塑性硬硬化法法則規(guī)規(guī)定了了材料料進(jìn)入入塑性性變形形后的的后繼繼屈服服函數(shù)數(shù)（又又稱加加載函函數(shù)或或加載載曲面面）各向同同性硬硬化運(yùn)動(dòng)硬硬化混合硬硬化運(yùn)動(dòng)硬硬化：：該模型型假設(shè)設(shè)材料料隨塑塑性變變形發(fā)發(fā)展時(shí)時(shí)，屈屈服面面的大大小和和形狀狀不變變，僅僅是整整體在在應(yīng)力力空間間作平平動(dòng)。。各向同同性硬硬化：：材料進(jìn)進(jìn)入塑塑性變變形以以后，，屈服服面在在各方方向均均勻地地向外外擴(kuò)張張，其其形狀狀、中中心及及其在在應(yīng)力力空間間的方方位均均保持持不變變。材料的的強(qiáng)化化只與與總的的塑性性變形形功有有關(guān)而而與加加載路路徑無(wú)無(wú)關(guān)。。應(yīng)力有有反復(fù)復(fù)變化化時(shí)，，等向向強(qiáng)化化模型型與實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)結(jié)果不不相符符合。?；旌嫌灿不海浩鋵?shí)質(zhì)質(zhì)就是是將隨隨動(dòng)強(qiáng)強(qiáng)化模模型和和等向向強(qiáng)化化模型型結(jié)合合起來(lái)來(lái)，即即認(rèn)為為后繼繼屈服服面的的形狀狀、大大小和和位置置一起起隨塑塑性變變形的的發(fā)展展而變變化。該模型型能夠夠更好好的反反映材材料的的Bauschinger效應(yīng)應(yīng)。。各向向同同性性硬硬化化運(yùn)動(dòng)動(dòng)硬硬化化流動(dòng)動(dòng)法法則則塑性性應(yīng)應(yīng)變變?cè)鲈隽苛亢秃蛻?yīng)應(yīng)力力分分量量的的關(guān)關(guān)系系：：塑性性應(yīng)應(yīng)變變沿沿后后繼繼屈屈服服面面F=0的法線方方向——是一正的的待定系系數(shù)，其其具體數(shù)數(shù)值和材料硬化化準(zhǔn)則有有關(guān)加載、卸卸載準(zhǔn)則則對(duì)于硬化化材料（（當(dāng)材料料處于某某一塑性性狀態(tài)））：4.3幾何非線線性問(wèn)題題及分類類概念：由于大位位移、大大轉(zhuǎn)動(dòng)而而引起的的非線性性。分類：大位移、、大轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)、小應(yīng)變問(wèn)題——板殼的大大撓度和和后屈曲曲大位移、、大轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)、大應(yīng)變問(wèn)題——薄板成形形、彈性性材料的的受力比較：線線彈性—幾何非線線性線彈性：：小變形假假設(shè)——假定物體體發(fā)生的的位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物物體本身身的幾何何尺寸，，應(yīng)變遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1。建立平平衡方程程時(shí)不考考慮物體體位置和和形狀的的變化。。幾何非線線性：物體發(fā)生生有限變變形——大位移、、大轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)的情況況。建立立平衡方方程時(shí)必必須考慮慮物體位位置和形形狀的變變化。第四章彈彈塑性性有限元元法基本本理論與與模擬方方法4.4彈塑性矩矩陣應(yīng)力與應(yīng)應(yīng)變的關(guān)關(guān)系有各各種不同同的近似似表達(dá)式式和簡(jiǎn)化化式。根根據(jù)普蘭蘭特爾—羅伊斯（（Prandtl-Reuss）假設(shè)和和密賽斯斯屈服準(zhǔn)準(zhǔn)則，當(dāng)當(dāng)外作用用力較小小時(shí)，變變形體內(nèi)內(nèi)的等效效應(yīng)力小小于屈服服極限時(shí)時(shí)為彈性狀態(tài)態(tài)。當(dāng)外力力增大到到某一值值，等效效應(yīng)力達(dá)達(dá)到屈服服應(yīng)力，，材料進(jìn)進(jìn)入塑性狀態(tài)態(tài)，這時(shí)變變形包括括彈性變變形和塑塑性變形形兩部分分，即：：式中下腳腳e、p分別表示示彈、塑塑性狀態(tài)態(tài)。(4-10)在彈性階階段，應(yīng)應(yīng)力與應(yīng)應(yīng)變關(guān)系系符合虎虎克定律律。進(jìn)入塑性性狀態(tài)后后，符合合Prandtl-Reuss假設(shè)。4.4.1彈性階段段在彈性階階段，應(yīng)應(yīng)力和應(yīng)應(yīng)變的關(guān)關(guān)系是線線性的，，應(yīng)變僅僅取決于于最后的的應(yīng)力狀狀態(tài)，并并且一一一對(duì)應(yīng)，，而與變變形過(guò)程程無(wú)關(guān)，，有下列列全量形式：式中為為彈性矩陣陣。(4-11)對(duì)于各向向同性材材料，由由廣義虎虎克定律律可得：：或：(4-12)式中：是材料的的彈性模量量，是泊松比。對(duì)于各向向同性材材料，廣廣義虎克克定律：：是材料的的剪切彈性性模量式中：是材料的的彈性模量量，是泊松比。公式（4-12）的具體體推導(dǎo)：：（2）+（3）有：將其帶入入（1）得：將其帶入入（1）得：同理可推推得得得表達(dá)達(dá)式，寫(xiě)成矩矩陣的形形式，就就是：4.4.2彈塑性階階段當(dāng)材料所所受外力力達(dá)到一一定值時(shí)時(shí)，等效效應(yīng)力達(dá)達(dá)到屈服服極限，，應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變關(guān)系系曲線由由彈塑性矩矩陣決定，現(xiàn)現(xiàn)推導(dǎo)彈彈塑性矩矩陣。等效應(yīng)力力為：對(duì)應(yīng)力求求導(dǎo)得：：式中為為應(yīng)應(yīng)力偏量量，(4-13)(4-14)公式（4-14）對(duì)應(yīng)力力求導(dǎo)的的具體推推導(dǎo)：由普蘭特特爾—羅伊斯關(guān)關(guān)系有：：將式4-14代入式4-15得：寫(xiě)成矩陣陣形式為為：(4-15)(4-16)(4-17)公式（4-16）的具體體推導(dǎo)：：式中:又因有：：寫(xiě)成矩陣陣乘積的的形式為為：(4-18)(4-19)設(shè)為硬化曲曲線上上任一一點(diǎn)的斜斜率，即即將式4-20代入式4-19中得：將式4-11寫(xiě)成增量量形式為為：(4-20)(4-21)(4-22)再利用式式4-10就可得到到：兩邊同乘乘以后可得:利用式4-17和式4-21，可將上上式寫(xiě)成成：(4-23)(4-24)(4-25)由此得：：將式4-26代入式4-17得：(4-27)(4-26)將式4-27代入式4-23得：(4-28)由式4-14有：則:(4-29)(4-30)將式4-12代入式4-30，并注意意到：得得：因有：(4-31)(4-32)(4-33)因?yàn)椋核裕汗剑?-31）的具體體推導(dǎo)：：故：注意：因?yàn)椋核裕汗剑?-33）的具體體推導(dǎo)：：即：那么：或者：故令：式4-28可寫(xiě)成：：(4-34)(4-35)利用上述述關(guān)系式式可將式式4-34表示成顯顯式，即即：(4-36)(4-31)公式（4-36）的具體體推導(dǎo)：：對(duì)于平面面應(yīng)力狀狀態(tài)，，，則有有：(4-38)(4-37)公式（4-37）的具體體推導(dǎo)：：對(duì)于平面面應(yīng)力狀狀態(tài)，，，則有有：(1)(2)得：同理可推推得的的表表達(dá)式:寫(xiě)成矩陣陣的形式式，就是是：按照上述述同樣方方法可得得：式中：在塑性區(qū)區(qū)：(4-39)公式（4-39）的具體體推導(dǎo)：：所以：由普蘭特特爾—羅伊斯關(guān)關(guān)系有：：寫(xiě)成矩陣陣形式為為：仿照前面面，不難難推得：：而：其中：對(duì)于平面面應(yīng)變問(wèn)問(wèn)題，有有只需從式式4-12和式4-36中消去上上述為零零的分量量，就可可得到下下列各式式。(4-40)(4-42)(4-41)4.5變剛度法法變剛度法法又稱切線剛度度法，它所采采用的應(yīng)應(yīng)力與應(yīng)應(yīng)變關(guān)系系見(jiàn)圖3-1。在等效效應(yīng)力達(dá)達(dá)到屈服服極限后后，應(yīng)力力與應(yīng)變變不再是是線性關(guān)關(guān)系，而而是由下下列關(guān)系系式所確確定。(4-43)彈塑性矩矩陣[D]ep中含有應(yīng)應(yīng)力，它它是加載過(guò)過(guò)程的函函數(shù)。直接求解解是困難難的，通通常采用增量量形式來(lái)近似代代替微分分形式，這樣使使求解成成為可能能。計(jì)算中由由于[D]ep在?{σ}范圍內(nèi)變變化不大大，因此此可假設(shè)在每一一加載步步中是一一個(gè)常數(shù)數(shù)，并以該該加載步步前的應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)近似似計(jì)算出出[D]ep，即：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染鼐仃嘯k]在一個(gè)加載載步中也同同樣取作常常數(shù)，即：(4-44)(4-45)在一個(gè)變形形體中，不不僅各點(diǎn)的的應(yīng)力狀態(tài)態(tài)是不相同同的，而且且隨著加載載而變化著著，通常變形體受外外力作用時(shí)時(shí)，從一個(gè)個(gè)區(qū)域到另另一個(gè)區(qū)域域，等效應(yīng)應(yīng)力是逐漸漸地達(dá)到屈屈服極限，，即進(jìn)入塑塑性（彈塑塑性）狀態(tài)態(tài)。為了簡(jiǎn)化化，本章所所指進(jìn)入塑塑性即為彈彈塑性狀態(tài)態(tài)，這就是是說(shuō)在變形形體中，各各單元的應(yīng)應(yīng)力和應(yīng)變變狀態(tài)是不不一樣的，，隨著加載載又是變化化的，且各各有各的變變化規(guī)律。。變形體內(nèi)的的單元按狀狀態(tài)可分為為三類:彈性單元塑性單元過(guò)渡單元各類單元有有不同的本本構(gòu)關(guān)系和和單元?jiǎng)偠榷染仃嚒Ｔ诩虞d過(guò)程程中，各單單元的狀態(tài)態(tài)是變化的的，為此[K]也是變化的的。在計(jì)算算中，每增增加一個(gè)載載荷增量，，就得重新新計(jì)算一次次整體剛度度矩陣[K]，這也就是是變剛度法法名稱的由由來(lái)。式中[K]整體剛度矩矩陣；n1、n2、n3分別為彈性性單元、塑塑性單元和和過(guò)渡單元元的數(shù)量；；[k]e、[k]ep、[k]g分別為彈性性單元、塑塑性單元和和過(guò)渡單元元的單元?jiǎng)偠榷染仃?。?duì)于整體來(lái)來(lái)說(shuō)，可用用下列關(guān)系系式表示：：(4-46)整體剛度矩矩陣求得之之后，就可可根據(jù)下列列載荷和位位移的線性性方程組求解解出未知的的節(jié)點(diǎn)位移增增量。有了節(jié)點(diǎn)位位移增量就就能求得各各單元的應(yīng)變及應(yīng)力力增量。(4-47)(4-49)(4-48)4.5.1定加載法定加載法又又稱等量加載法法。它每次的加加載量是預(yù)先給定的。這種加載法法的加載量一般般較大。由于每次加加載量較大大，每次加載中中由彈性單單元轉(zhuǎn)變?yōu)闉閺椝苄詥卧倪^(guò)過(guò)渡單元較較多。過(guò)渡單元元在加載步步中達(dá)到屈屈服，式中m為加權(quán)系數(shù)數(shù)，0≤m≤≤1，采用不同的加載載方法，過(guò)過(guò)渡單元的的處理也有有所不同。下面介紹幾幾種加載方方法。(4-50)m的取值需要要進(jìn)行迭代代來(lái)逼近，，收斂性一一般都很好好，只需進(jìn)進(jìn)行2～3次迭代就能能達(dá)到滿意意的精確度度。定加載法計(jì)算程序框框圖4.5.2變加載法這種方法又又被稱作r因子法。用這種方法法計(jì)算，每次加載量量是變化的的，其大小是是由計(jì)算結(jié)結(jié)果來(lái)確定。。計(jì)算開(kāi)始時(shí)時(shí)預(yù)先施加一一個(gè)單位載載荷增量，然后求出出各單元在在施加單位載載荷增量后后的等效應(yīng)應(yīng)力增加量量。根據(jù)這這個(gè)增加量量求出各彈性單單元當(dāng)達(dá)到到屈服時(shí)所所需要施加加的增量值值，最后取取這些增量值中中最小的一一個(gè)增量值值作為本次次加載的加加載量。各彈性單元元的加載因因子按下式式進(jìn)行計(jì)算算：式中,i單元前次加加載后的等等效應(yīng)力；；,i單元本次施施加單位載載荷增量后后的等效應(yīng)應(yīng)力；,i單元達(dá)到屈屈服所需施施加單位加加載量的倍倍數(shù)。(4-51)為了加快計(jì)計(jì)算步伐，，常假設(shè)單單元的等效效應(yīng)力接近近屈服極限時(shí)就由彈彈性單元轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)閺椝芩苄詥卧?。。一般可取取單元等效?yīng)力，，在下下一次施加加載荷增量量的計(jì)算中，這單元元就按彈塑塑性單元處處理。采用這種處處理方法，，能保證每次加加載后彈性性單元中等等效應(yīng)力的最最大者正好好達(dá)到屈服服。在下一次加加載中該單單元按彈塑性性單元處理理。這種方法能能避免在每每個(gè)加載步步中單元由彈彈性轉(zhuǎn)變?yōu)闉閺椝苄运枰?jì)算m因子的過(guò)程，還能能保證足夠夠好的計(jì)算算精度。變加載法的的計(jì)算程序序框圖4.5.3位移法對(duì)于有些問(wèn)問(wèn)題如圓柱柱體鐓粗，，每次施加的增量量不是控制制加載力，而而是控制壓壓下量。假設(shè)工具具為剛性體體，在工具具與坯料的接觸觸面上，各各節(jié)點(diǎn)的位位移相同。。而接觸面面上的壓力力分布是未知知的。這樣樣在計(jì)算中中需對(duì)與接接觸表面上上節(jié)點(diǎn)有關(guān)關(guān)的方程進(jìn)行行處理。計(jì)算這類問(wèn)問(wèn)題時(shí)，一一般先假設(shè)接觸觸表面上有有一個(gè)已知知的軸向位移增增量，根據(jù)據(jù)這個(gè)已知知位移增量量求出各單單元的應(yīng)力和應(yīng)變?cè)鲈隽?。這種施加位位移增量的的方法又分分為定位移增量量法和變位移增量法。4.5.3.1定位移增量量法定位移增量量法每次施加的的位移增量量相同。計(jì)算過(guò)程先先算出各單單元的應(yīng)力和應(yīng)變變?cè)隽浚辛藨?yīng)力力增量，累加后后可得全應(yīng)力和計(jì)算得到到等效應(yīng)力。根據(jù)等效效應(yīng)力的大小將單元分成成彈性單元元、塑性單單元和過(guò)渡渡單元。對(duì)于過(guò)渡單單元的處理理與定加載載法相同，，為此這種種方法在求取m因子時(shí)也需需要進(jìn)行迭迭代。4.5.3.2變位移增量量法這種方法與與變加載法法相似，每次施加的的位移增量量由計(jì)算結(jié)結(jié)果來(lái)決定。每步計(jì)算也也是先施加一個(gè)個(gè)單位位移移增量，然后根據(jù)據(jù)這位移增增量計(jì)算應(yīng)力增增量，從而找出彈性單單元中等效效應(yīng)力增長(zhǎng)長(zhǎng)最快而又最先達(dá)達(dá)到屈服極極限的單元元，以這個(gè)單元元達(dá)到屈服服所需要的位移增增量為本次次施加的位位移增量。達(dá)到屈服極極限的彈性性單元在下下次計(jì)算中中按彈塑性性單元處理理。4.6初載荷法初載荷法是是將塑性變變形問(wèn)題試試圖轉(zhuǎn)化為為彈性問(wèn)題題來(lái)求解，，它把塑性性變形部分分視作初應(yīng)應(yīng)力或初應(yīng)應(yīng)變來(lái)處理理。在彈性有限限元中，當(dāng)當(dāng)彈性體的的單元中存存在初應(yīng)變變{ε}，如因溫度度而引起的的應(yīng)變，或或有初應(yīng)力力，如殘余余應(yīng)力，則則應(yīng)力和應(yīng)應(yīng)變關(guān)系分分別為：(4-52)(4-53)這樣可得有初應(yīng)變時(shí)時(shí)的變形形能為：即：(4-54)(4-55)因：得：上式中最后后一項(xiàng)為與與節(jié)點(diǎn)位移移無(wú)關(guān)的變變形能，由由此可得到到與節(jié)點(diǎn)位移移有關(guān)的變變形能為：式中∑是是對(duì)所有單單元求和。(4-56)(4-57)通過(guò)變分可可得到初載載荷時(shí)的有有限元公式式為：同樣可導(dǎo)出出有初應(yīng)力時(shí)的變形能能為：這樣，基本方程就就比無(wú)初應(yīng)應(yīng)變或無(wú)初初應(yīng)力時(shí)多多一項(xiàng){R}，{R}是作為載荷荷存在于基基本方程中中，稱為載荷向量。它是由于于有初應(yīng)變變或初應(yīng)力力而引起的的，下面分分別導(dǎo)出{R}的表達(dá)式。。(4-58)(4-59)4.6.1初應(yīng)力法在小位移的的彈塑性問(wèn)問(wèn)題中，應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)關(guān)系為：為使問(wèn)題線性化，對(duì)于區(qū)域域中已達(dá)到到屈服的單單元，采用用逐次加載載法。如每次加載的的載荷較小小，可將上式式的微分形式近近似地寫(xiě)作作增量形式式，即：(4-60)(4-61)得：因有：將式:代入上式，，并將右邊邊表示成矩矩陣乘積形形式，變分分后得到：：令：由前面可知知：(4-64)(4-63)(4-65)(4-62)上式要表示示成（*））的形式，，必有：寫(xiě)成增量形形式為：式中：(4-66)(4-68)(4-67)由上式可以以看出，初初載荷{R}不僅與加載載前的應(yīng)力力有關(guān)，而而且與該次次加載引起起的應(yīng)變?cè)鲈隽坑嘘P(guān)，即式：的兩邊都含未未知數(shù)。因此每此此加載時(shí)，，必須利用用迭代法來(lái)求求解。具體迭代過(guò)過(guò)程：可先取，則得，求得初載矢矢量，，在在載荷下下，解方程程式：此時(shí)方程可可寫(xiě)成：(4-69)解方程：得到后后，，再照上述述方法依次次迭代計(jì)算算下去。寫(xiě)作一般迭迭代式為：：當(dāng)相鄰兩次次迭代所得得初應(yīng)力相相差甚小時(shí)時(shí)，可認(rèn)為為迭代結(jié)束束。求得后后，，再由求求和和初載荷荷矢量，，然后進(jìn)行第第二次迭代代計(jì)算。(4-70)(4-71)為了考慮過(guò)過(guò)渡單元，，運(yùn)用前面面引入的加加權(quán)系數(shù)m，這樣初載荷荷矢量為：：當(dāng)單元為彈性狀態(tài)時(shí)，取m=1單元為塑性狀態(tài)時(shí)，取m=0若為過(guò)渡單元，則取計(jì)算算出的m值。(4-72)計(jì)算步驟如如下：⑴施加全部載載荷{P}于結(jié)構(gòu)，按按線彈性計(jì)計(jì)算；⑵算出各單元元的等效應(yīng)應(yīng)力，并取取出最大值值σmax。若σmax≤σs，則材料尚尚未達(dá)到或剛巧巧達(dá)到屈服服，所計(jì)算算結(jié)果就是是最終結(jié)果果。否則，，令β=σs/σmax，則β{P}是恰好使等等效應(yīng)力為為σmax的單元達(dá)到到屈服的載載荷，同時(shí)時(shí)存貯由β{P}產(chǎn)生的應(yīng)力力、應(yīng)變和和節(jié)點(diǎn)位移移。余下的的載荷{P}?β{P}如分n次加載完，，每次施加的載荷荷增量為：：⑶再施加載荷荷增量?{P}于結(jié)構(gòu)；⑷計(jì)算屈服單單元和過(guò)渡渡單元的[D]p，應(yīng)力取加加載前的值值，過(guò)渡單單元取達(dá)到到屈服時(shí)的應(yīng)力值；；⑸對(duì)載荷增量量?{P}進(jìn)行純彈性性計(jì)算，求求得各單元元的全應(yīng)變變?cè)隽?{ε}；⑹用迭代所得得的全應(yīng)變變?cè)隽浚刂匦掠?jì)算初初應(yīng)力；⑺求出相應(yīng)的的初載荷，，與?{P}一起作用，，按彈性問(wèn)問(wèn)題求解得得節(jié)點(diǎn)位移移增量和應(yīng)應(yīng)變?cè)隽?；⑻重?fù)步驟⑹⑹、⑺直到到相鄰兩次次計(jì)算所得得的初應(yīng)力力非常接近近時(shí)為止；；⑼求出應(yīng)力增增量，把位位移增量、、應(yīng)變?cè)隽苛?、?yīng)力增增量迭加到到加載前的的數(shù)值上；；⑽輸出本次加加載后的計(jì)計(jì)算結(jié)果；；⑾載荷若全部部加完，則則停機(jī)。否否則，回到到步驟⑶繼繼續(xù)計(jì)算。。4.6.2初應(yīng)變法有初應(yīng)變時(shí)時(shí)，與節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位移有關(guān)關(guān)的變形能能為：將上式代入入式4-64后，進(jìn)行變變分運(yùn)算可可得：(4-73)(4-64)由此可得：：在小位移彈彈塑性問(wèn)題題中，應(yīng)力力應(yīng)變關(guān)系系可寫(xiě)成：：把視視為初應(yīng)變變，則與彈彈性問(wèn)題中中存在初應(yīng)應(yīng)變的情況況相似，只只要在基本本方程的右右邊加上由由引起的初載載荷矢量。。由于使用用的只是彈彈性矩陣，所以其相相應(yīng)的剛度度矩陣計(jì)算算與彈性時(shí)時(shí)相同。(4-74)(4-75)把塑性應(yīng)變變?cè)隽恳暈闉槌鯌?yīng)變，，則:由式4-17與式4-21可得：寫(xiě)作增量形形式為：(4-76)(4-78)(4-77)應(yīng)用式4-76和式4-78的關(guān)系，式式4-72可寫(xiě)成：(4-79)這樣，初載載荷矢量不不僅與加載載前的應(yīng)力力有關(guān)，而而且與這次次加載的應(yīng)應(yīng)力增量有有關(guān)。因此此在基本方方程式4-67的等式兩邊邊都有未知知數(shù)，必須須用迭代的的方法求解解。迭代公公式與初應(yīng)應(yīng)力相似，，即：(4-80)當(dāng)i=0時(shí)，?{σ0}=0，{R0}=0，按純彈性性計(jì)算，當(dāng)當(dāng)?shù)邢嘞噜彾斡?jì)計(jì)算所得的的?{ε}p相差很小時(shí)時(shí)，則迭代代完成。每每次加載時(shí)時(shí)，的的計(jì)算可可利用本次次加載前的的應(yīng)力進(jìn)行行計(jì)算。以上表明:對(duì)于變剛度法，每次加載載都必須重新計(jì)算剛剛度矩陣。對(duì)于初應(yīng)力或初初應(yīng)變法，每一步加載載只需求解解一個(gè)具有有相同剛度度矩陣的問(wèn)問(wèn)題。所以，變剛度法的