正交試驗結果的統(tǒng)計分析方法

第二章

正交試驗結果的統(tǒng)計分析方法第1頁，共66頁。§2－1試驗數(shù)據(jù)構造模型一、單因素試驗方差分析的數(shù)學模型（一）數(shù)學模型試驗誤差對每一次試驗來說式一個不確定的量（數(shù)學上稱為隨機變量）。但在多次試驗中它式有一定規(guī)律的。第2頁，共66頁。第3頁，共66頁。第4頁，共66頁。第5頁，共66頁。（二）參數(shù)估計第6頁，共66頁。第7頁，共66頁。例2－1考察溫度對一化工產品的得率的影響，選了五種不同的溫度，同一溫度做了三次試驗，結果如下：AA1A2A3A4A5溫度(℃)6065707580得率(%)平均得率979684849396838688929388829094958584表2－1測定結果第8頁，共66頁。第9頁，共66頁。

對其它數(shù)據(jù)也進行類似分解，通過對數(shù)據(jù)的分解，可以看到分組因素（溫度）影響的大小和試驗誤差的大小。第10頁，共66頁。第11頁，共66頁。（三）統(tǒng)計檢驗第12頁，共66頁。第13頁，共66頁。第14頁，共66頁。第15頁，共66頁。二、正交試驗方差分析的數(shù)學模型(一)數(shù)學模型根據(jù)一般線性模型的假定,若9次試驗結果(如例111中的轉化率)以x1、x2,…,x９表示,我們首先假定:(1)三個因素間沒有交互作用。(2)為9個數(shù)據(jù)可分解為:x1=μ+a1+b1+c1+ε1x2=μ+a1+b2+c2+ε2x3=μ+a1+b3+c3+ε3x4=μ+a2+b1+c2+ε4x5=μ+a2+b２+c3+ε5第16頁，共66頁。x6=μ+a2+b3+c1+ε6x7=μ+a3+b1+c3+ε7x8=μ+a3+b2+c1+ε8x9=μ+a３+b３+c２+ε9其中:μ——一般平均;估計=∑xi=x1+x2+……+x9叫全部數(shù)據(jù)的總體平均值。a1、a2、a3表示A在不同水平時的效應。b1、b2、b3表示B在不同水平時的效應。c1、c2、c3表示C在不同水平時的效應。(3)各因素的效應為零,或者,各因素的效應的加和為零∑ai=0∑bi=0∑ci=0第17頁，共66頁。

(4){εi}是試驗誤差,它們相互獨立,且遵從標準正態(tài)分布N(0,1),所以多個試驗誤差的平均值近似等于零。(二)參數(shù)估計有了數(shù)學模型,還應通過子樣的實測值,對以上的各個參數(shù)作出估計。由數(shù)理統(tǒng)計知識E（）＝μE（）——表示的數(shù)學期望。即，是μ的一個無偏估計量?？杀硎緸椋?/p>

第18頁，共66頁?！?－2正交試驗的方差分析法一、方差分析的必要性

極差分析不能估計試驗中以及試驗結果測定中必然存在的誤差大小。為了彌補這個缺點，可采用方差分析的方法。 方差分析法是將因素水平（或交互作用）的變化所引起的試驗結果間的差異與誤差波動所引起的試驗結果間的差異區(qū)分開來的一種數(shù)學方法 所謂方差分析，就是給出離散度的各種因素將總變差平方和進行分解，而你還進行統(tǒng)計檢驗的一直數(shù)學方法。第19頁，共66頁。二、單因素方差分析法（以例2－1為例）方差分析法的基本思路：（1）由數(shù)據(jù)中的總變差平方和中分出組內變差平方和、組間變差平方和，并賦予它們的數(shù)量表示；（2）用組間變差平方和與組內變差平方和在一定意義下進行比較，如兩者相差不大，說明因素水平的變化對指標影響不大；如兩者相差較大，組間變差平方和比組內變差平方和大得多，說明因素水平的變化影響很大，不可忽視；（3）選擇較好的工藝條件或進一步的試驗方向。第20頁，共66頁。第21頁，共66頁。第22頁，共66頁。第23頁，共66頁。第24頁，共66頁。第25頁，共66頁。第26頁，共66頁。第27頁，共66頁。方差來源變差平方和自由度平方差平方和F臨FA顯著性ASA=303.6475.93.515.18**eSe=50.0105.06.0總和第28頁，共66頁。第29頁，共66頁。三、正交試驗的方差分析（一）無交互作用情況（以例1－1為例）

A溫度（℃）1

B時間（Min）

2

C用堿量（x%）3

4轉化率（x%）1 1(80℃)1(90Min)1(5%) 1312 1(80℃)2(120Min) 2(6%)25431(80℃) 3(150Min) 3(7%) 3384 2(85℃) 1(90Min) 2(6%) 3535 2(85℃) 2(120Min)3(7%) 14962(85℃)3(150Min) 1(5%) 2427 3(90℃)1(90Min) 3(7%) 25783(90℃)2(120Min) 1(5%) 36293(90℃)3(150Min) 2(6%) 164列號試驗號第30頁，共66頁。第31頁，共66頁。

A溫度（℃）1

B時間（Min）

2

C用堿量（x%）3

4轉化率（x%）1 1(80℃) 1(90Min)1(5%) 1312 1(80℃) 2(120Min) 2(6%)2543 1(80℃) 3(150Min) 3(7%) 3384 2(85℃) 1(90Min) 2(6%) 3535 2(85℃)2(120Min)3(7%) 1496 2(85℃)3(150Min) 1(5%) 2427 3(90℃)1(90Min) 3(7%) 2578 3(90℃)2(120Min) 1(5%) 3629 3(90℃)3(150Min) 2(6%) 164K1123141135144K2144165171153K3183144144153Qi23118226142273422518Si61811423418列號試驗號1.總平方和等于各列的平方和第32頁，共66頁。方差來源變差平方和自由度平方差平方和F臨FA顯著性ASA=618230934.3319*eSe=18294總和9848BSB=1142576.3399△CSC=234211713.009⊙方差分析表4列平方和剛好等于總平方和：S總=SA+SB+SC+Se第33頁，共66頁。第34頁，共66頁。（二）有交互作用的正交試驗的方差分析 當任意兩因素之間(如A與B）存在交互作用而且顯著時，則不論因素A、B本身的影響是否顯著，A和B的最佳因素都應從A與B的搭配中去選擇 例2－2某分析試驗，起測定值受A、B、C三種因素的影響，每因素去兩個水平，由于因素間存在交互作用，在設計試驗方案時，可選用L8(27)表，試驗安排結果如表（試驗指標要求越小越好）第35頁，共66頁。因素試驗號12345678K1K2QiSiA1B1A×B3C4B×C6誤差7試驗指標（經簡化后）A×C511112222-506.253.12511221122+10-1581.2578.125112222110-56.253.12512121212-4035706.25703.1252121212120-25256.25253.1512211221-506.253.125122121125-1031.2528.12505-100-520-1510正交試驗結果計算表第36頁，共66頁。第37頁，共66頁。方差來源平方和自由度均方F

FA顯著性方差分析表BCA×CAA×BB×C誤差總和78.125703.125253.1253.1253.1253.12528.1251071.8751111111778.125703.125253.1258.37525F0.05(1,4)=7.1

F0.01(1,4)=21.2*****第38頁，共66頁。

結果表明B、C、A×C對試驗結果影響最大，B可取B2，而A和C見存在顯著的交互作用，可通過二元表和二元圖來確定其最優(yōu)水平ACA1A2C1 -10 -20C2 5 30由圖可知，A2C1最好,故最佳試驗條件為A2B2C1，這正好是第7號試驗。事實上，從試驗結果看，它的效果也最好。20100-10-20-30-40A1 A2指標AC1C2第39頁，共66頁。說明：對二水平因素，平方和的計算有一個簡單的公式設計算方法對任何二水平的因素都是適用的，設共做了n次試驗，某一列是二水平，相應的K值是K1和K2則該列的平方和S為:

第40頁，共66頁。例2－3某一種抗菌素的發(fā)酵培養(yǎng)基由黃豆餅粉、蛋白胨、葡萄糖、碳源1號、、無機鹽1號等組成?，F(xiàn)打算對其中五個成分的最適配比，以及最適裝量，按三種水平進行試驗，并將其兩個成分（黃豆餅與蛋白胨）合并為一個因素，這樣構成一個五因素三水平試驗。需考慮的交互作用有A×B、A×C、A×E。因素—水平表如表2－9所示。因素水平黃豆粉＋蛋白胨葡萄糖KH2PO4碳源1號裝量E(ml/250ml三角瓶)A（％）B（％）B(%)D10.5+0.54.500.53021＋16.50.011.56031.5+1.58.50.032.590第41頁，共66頁。列號12345678910111213表頭設計ABA×BCA×CEA×ED試驗方案及結果分析見表2－10第42頁，共66頁?！?－3有重復試驗的方差分析

正交試驗中有重復試驗的方差分析同單因素有重復試驗的方差分析方法基本相同。在無重復的試驗中，我們把空列的平方和作為誤差的平方和，其中既包括有試驗誤差，也包含有模型誤差。稱為第一類誤差平方和，記為Se1，在重復試驗中，還有第二類誤差平方和，記為Se2，定義如下：第43頁，共66頁。第44頁，共66頁。例2－4某廠進行硅橡膠工藝參數(shù)試驗，指標為老化前的抗拉強度，因素水平如表2－12所示。因素

水平A第一階段硫化溫度B第一階段硫化時間C硫化壓力D第二階段保溫溫度1130℃20（分）按壓強計算表壓150℃保溫1小時生至250℃保溫4小時2143℃15（分）以模具閉合為準150℃保溫1小時升至250℃保溫6小時第45頁，共66頁。表頭設計(因素)ABA×BCA×DD列號1234567需考慮的交互作用有A×B，A×D，每次試驗重復四次，表頭設計如下：第46頁，共66頁。表2－14方差分析表第47頁，共66頁。

結論：方差分析的結果表明，C、D對指標影響不顯著，且C不涉及交互作用，依節(jié)方便的原則取C1.而A、B、D的最優(yōu)水平，通過作二元表及二元圖選出。二元表及二元圖如下:ABA1A2B1-33.613.9B216.89.05ADA1A2D1-20.3543.5D23.55-20.1第48頁，共66頁。從二元表及二元圖知，對A×B，好的搭配為A2B2對A×D，好的搭配為A2D1綜合考慮A、B、D三因素應取水平搭配為A2D1B1C1.故，選出的最優(yōu)條件為A2D1B1C1第49頁，共66頁。

因為重復試驗能大大提高試驗的精度，所以在條件許可時，應盡可能安排重復試驗。例2－5研究某三因素二水平體系，其取值如表2－15所示。試安排試驗并從試驗結果分析因素A、B、C及其交互作用對試驗指標的影響。若有重復試驗時，其結果又如何呢？選取L8(27)表安排試驗，試驗方案及結果計算如表2－16所示。因素水平ABC11.5Ⅰ型2.521.0Ⅱ型2.0第50頁，共66頁。因素(列號）實驗號A1B2A×B3C4A×C5B×C67實驗指標12345678-0.500-0.501.00.50K1K2RS-1.00.5000.5-1.00.51.500.50.501.502.50.50.50.50.52.50.50.78120.03120.03120.03120.03120.78120.0312

表2-16實驗方案及結果計算表第51頁，共66頁。所以，整個試驗的最佳水平組合為A2B1C1二元表及二元圖如下0.500.250-0.25B1B2BC2C1指標第52頁，共66頁。表2－17方差分析表第53頁，共66頁。

如果對同一號的試驗均重復一次或幾次，顯然可以提高試驗的精確度。本例對所作的8次試驗各重復一次，其試驗