2013年高考江蘇數(shù)學試題(解析版)

(完好版)2013年高考江蘇數(shù)學試題及答案(word分析版)(完好版)2013年高考江蘇數(shù)學試題及答案(word分析版)(完好版)2013年高考江蘇數(shù)學試題及答案(word分析版)2014年一般高等學校招生全國一致考試（江蘇卷）數(shù)學Ⅰ注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共4頁，包括填空題（第1題—第14題）、解答題（第15題第20題）．本卷滿分160分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．2．答題前，請您務(wù)必然自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定地址．3．請在答題卡上依照序次在對應(yīng)的答題地域內(nèi)作答，在其他地址作答一律無效．作答必定用0.5毫米黑色墨水的簽字筆．請注意字體工整，筆跡清楚．4．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．5．請保持答題卡卡面干凈，不要折疊、破壞．一律嚴禁使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)地址上．．．．．．．．．（1）【2014年江蘇，1，5分】函數(shù)y3sin(2x)的最小正周期為_______．【答案】4【剖析】函數(shù)y3sin2xπ的最小正周期T2ππ．42（2）【2014年江蘇，2，5分】設(shè)z(2i)2(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的模為_______．【答案】5【剖析】z2244ii234i32425．i22（3）【2014年江蘇，3，5分】雙曲線xy1的兩條漸近線的方程為_______．169【答案】y3x4【剖析】由題意可知所求雙曲線的漸近線方程為3x．y4（4）【2014年江蘇，4，5分】會集1,0,1共有_______個子集．【答案】8【剖析】由于會集1,0,1有3個元素，故其子集個數(shù)為38．2（5）【2014年江蘇，5，5分】右圖是一個算法的流程圖，則輸出的n的值是_______．【答案】3【剖析】第一次循環(huán)后：a8，n2；第二次循環(huán)后：a26，n3；由于2620，跳出循環(huán)，輸出n3．（6）【2014年江蘇，6，5分】抽樣統(tǒng)計甲，乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環(huán))，結(jié)果以下：運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為牢固(方差較小)的那位運動員成績的方差為．【答案】2【剖析】由題中數(shù)據(jù)可得x甲=90，x乙=90．s甲2122902892932，5879091909090904212909029128829290222，可知乙運動員成績穩(wěn)s乙5899090902，由s甲>s乙定．故應(yīng)填2．1（7）【2014年江蘇，7，5分】現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m,n(m7,n9)可以任意采用，則m,n都取到奇數(shù)的概率為________．【答案】2063【剖析】由題意知m的可能取值為1，2，3，，7；n的可能取值為1，2，3，，9．由于是任取m，n：若m1時，n可取1，2，3，，9，共9種狀況；同理m取2，3，，7時，n也各有9種狀況，故m，n的取值狀況共有7963種．若m，n都取奇數(shù)，則m的取值為1，3，5，7，n的取值為1，3，5，7，9，因此滿足條件的狀況有4×5=20種．故所求概率為20．（8）【2014年江蘇，8，5分】如圖，在三棱柱63A1B1C1ABC中，D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點，設(shè)三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1:V2_______．【答案】1:24【剖析】由題意可知點F到面ABC的距離與點AABC的距離之比為1:2，SVADE:SVABC1:4．1到面1SAEDAF因此V1:V231:24．2AFSABC（9）【2014年江蘇，9，5分】拋物線yx2在x1處的切線與兩坐標軸圍成三角形地域為D(包括三角形內(nèi)部和界線)．若點P(x,y)是地域D內(nèi)的任意一點，則x2y的取值范圍是________．【答案】12,2【剖析】由題意可知拋物線yx2在x1處的切線方程為y2x1．該切線與兩坐標軸圍成的地域如圖中陰影部分所示：當直線x2y0平移到過點A1,0時，x2y獲取最大值1．22當直線x2y0平移到過點B(0，1)時，x2y獲取最小值2．因此所求的x2y的取值范圍為2,1．2（10）【2014年江蘇，10，5分】設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點，AD1AB，BE2BC，若uuuruuur231,DE1AB2AC(2為實數(shù))，則12的值為________．【答案】12uuuruuuruuur1uuur2uuur1uuuruuuruuur【剖析】由題意作圖如圖．∵在2ABC中，DEDBBEABBCAB3(ACAB)uuuruuuruuuruuur2321，22．故21．1AB2AC1AB2AC，∴1163632x2（11）【2014年江蘇，11，5分】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當x0時，f(x)4x，則不等式f(x)x的解集用區(qū)間表示為________．【答案】(－5,0)U(5,＋)x24xx0【剖析】∵函數(shù)fx為奇函數(shù)，且x0時，fxx24x，則fx0x0∴原不等式等價于x24xx0x0或x04x，由此可解得x5或5x0．x24xxx2xx22（12）【2014年江蘇，12，5分】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的標準方程為y1(a0,b0)，右焦a2b2點為F，右準線為l，短軸的一個端點為B，設(shè)原點到直線BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2．若d26d1，則橢圓的離心率為________．2【答案】33【剖析】設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意可設(shè)直線BF的方程為xy=1，即bxcybc0．a(chǎn)2a2c2b2cb6d1，∴b2于是可知d1bc2bc，d2c．∵d26bc，即ab6c2．2accccabc∴a2a2c26c4．∴6e4221．∴e3e10．∴e．331（13）【2014年江蘇，13，5分】平面直角坐標系xOy中，設(shè)定點A(a,a)，P是函數(shù)y0)圖像上一動點，(xx若點P,A之間最短距離為22，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為________．【答案】1，101212111【剖析】設(shè)P點的坐標為x,，則(xa)2a=x22ax=2a2．令，PAtx2xxx2xx則PA2t22at2a22ta2a22t2．結(jié)合題意可知(1)當a2，t2時，PA2獲取最小值．此時22a228，解得a1，a3(舍去)．(2)當a2，ta時，PA2獲取最小值．a(chǎn)228，解得a10，a10(舍去)．故滿足條件的實數(shù)a的所有值為10，1．此時a（14）【2014年江蘇，14，5分】在正項等比數(shù)列an中，a51，a6a73．則滿足a1a2a3...ana1a2a3...an的最大正整數(shù)n的值為_______．2【答案】12【剖析】設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q，則由a6a7a5qq23可得q2，于是an2n6，1(12n)11則a1a2an322n5a52，∴a61，a1a11a2a1021．12．∵，qa6322∴a1a2a111．當n取12時，a1a2a1271a1a2a11a12a126建立；當n取13時，23221a1a2a1328a1a2a11a12a13a12a1326·27213．當n13時，隨著n增大a1a2an將32恒小于a1a2an．因此所求n的最大值為12．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定地域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明．．．．．．．．過程或演算步驟．rrcos，sincos，sin，0．（15）【2014年江蘇，15，14分】已知a，brrrr（1）若ab2，求證：ab；r0,1rrr（2）設(shè)c，若abc，求，的值．解：（1）解法一：rrrrrrr2rrr2r2r2ruur21，由|ab|r2，得：|ab|2(ab)22，即a2abb2．又ab|a|2|b|rrrrr因此22ab2，ab0，故ab．解法二：rrrrrrrr(coscos,sinsin22，ab)，由|ab|，得：|ab|2(ab)2即：(coscos)2(sinsin)22，化簡，得：2(coscossinsin)0，rrcoscossinsin0rrab，因此ab．rr(coscos,sincoscos0LL(1)（2）absin)，可得：sin1(2)sinLL解法一：3由（1）得：coscos()，又0，(0,)，故．代入（2），得：sinsin1，又0，因此5,．266解法二：(1)2(2)2，得：22(coscossinsin)1,cos()1，又0，(0,)．2，222故有：代入（1）式：cos()cos0，333化簡，得：130,tan3．進而5．cossin,22366解法三：2cos2cos20LL(3)，可得：cos0，兩式和差化積，得：2sincos1(4)222LL又0，(0,)，因此2．代入（4）式，可得：cos1，又2(0,)，22222．以上聯(lián)立，解得：5,．2366（16）【2014年江蘇，16，14分】如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB．過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是側(cè)棱SA，SC的中點．求證：1）平面EFG//平面ABC；2）BCSA．解：（1）由于ASAB，AFSB于F，因此F是SB的中點．又E是的中點，因此EF//AB．SA由于EF平面ABC，AB平面ABC，因此EF//平面ABC．同理可證EG//平面ABC．又EFIEGE，因此平面EFG//平面ABC．（2）由于平面SAB平面SBC于SB，又AF平面SAB，AFSB，因此AF平面SBC．由于BC平面SBC，因此AFBC．又由于ABBC，AFIABA，AF、AB平面SAB，因此BC平面SAB．又由于SA平面SAB，因此BCSA．（17）【2014年江蘇，17，14分】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A0,3，直線l：y2x4．設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上．（1）若圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；（2）若圓C上存在點M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．解：（1）由題設(shè)，圓心C是直線y2x4和yx1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在．設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意，|3k1|1，解得k0或3，214y3或3x4y120．k故所求切線方程為（2）由于圓心在直線y2x4上，因此圓C的方程為x2y221．設(shè)點M(x，y)，aa2由于MA2MO，因此x2y32=2x2y2，化簡得x2y22y30，即x22y14，因此點M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上．由題意，點M(x，y)在圓C上，因此圓C與圓D有公共點，則21CD21，即1a22a323．由5a212a80，得aR；20，得0a12．因此點C的橫坐標a的取值范圍為12．由5a12a0,55（18）【2014年江蘇，18，16分】如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點處下山至C處有兩種路徑．一種是從沿A直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，爾后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min．在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線4運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，cosA12，cosC3．1351）求索道AB的長；2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在C處互相等待的時間不高出3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？．解：（1）在ABC中，由于cosA12，cosC3，因此sinA5，sinC4．135135進而sinBsinACsinACsinAcosCcosAsinC5312463．ABACAC1260413513565由正弦定理，得ABsinC1040．因此索道AB的長為1040m．635sinCsinBsinB65（2）假設(shè)乙出發(fā)tmin后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了10050tm，乙距離A處130tm，因此由余弦定理得d210022130t10050t1220037t270t50，50t130t213因0t1040，即0t8，故當t35(min)時，甲、乙兩游客距離最短．13037（3）由正弦定理BCAC，得BCACsinA12605500m．sinAsinBsinB631365乙從B出發(fā)時，甲已走了50281550(m)，還需走710m才能到達C．設(shè)乙步行的速度為vm/min，由題意得35007103，解得1250v625，因此為使兩位游客在Cv504314處互相等待的時間不高出3min，乙步行的速度應(yīng)控制在1250625(單位：m/min)范圍內(nèi)．43,14（19【）2014年江蘇，19，16分】設(shè)an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列d0，是其前n項和．記nSn，bn2SncnN*，其中c為實數(shù)．（1）若c0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snkn2Skk,nN*；（2）若bn是等差數(shù)列，證明：c0．解：由題設(shè)，Snnan(n1)d．22Snn1d3（1）由c0，得bnad．又由于b1，b2，b4成等比數(shù)列，因此b22b1b4，即a=aa2d，n22化簡得d22ad0．由于d0，因此d2a．因此，對于所有的mN*，有Smm2a．進而對于所有的k，nN*，有Snk2an2k2an2Sk．nk（2）設(shè)數(shù)列bn的公差是d1，則bnb1n1d1，即nSnb1n1d1，nN*2，代入Sn的表達式，整理nc得，對于所有的nN*，有d11dn3b1d1a1dn2cd1ncd1b1．22令A(yù)d11d，Bb1d1a1d，Dcd1b1，則對于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD．(*)22在(*)式中分別取n12,,3,4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，7A3Bcd1①0進而有19A5Bcd10②，由②，③得A0，cd15B，代入方程①，得B0，進而cd10．21A5Bcd10③即d110，b1d1a1d0=0，cd11d0，得d0，與題設(shè)矛盾，d20．若d1=0，則由d1225因此d10．又由于cd10，因此c0．（20）【2014年江蘇，20，16分】設(shè)函數(shù)fxlnxax，gxexax，其中a為實數(shù)．（1）若fx在1,上是單調(diào)減函數(shù)，且gx在1,上有最小值，求a的范圍；（2）若gx在1,上是單調(diào)增函數(shù)，試求fx的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．解：（1）令f′(x)=fx1a1ax0，考慮到fx的定義域為(0，)，故a0，進而解得xa1，即fx1xx1在)上是單調(diào)減函數(shù)．同理，fx在，上是單調(diào)增函數(shù)．由于fx在(1，)上是單調(diào)減(a，(0a)函數(shù)，故(1，)gx0；當x綜上，有a(e，

(a1，)，進而a1x0，得xlna．當xlna時，1，即a1．令gxealna時，gx0．又gx在(1，)上有最小值，因此lna1，即ae．)．（2）當a0時，gx必為單調(diào)增函數(shù)；當a0時，令gxxa0，解得ax，即xlna．ee由于gx在(1，)上是單調(diào)增函數(shù)，近似（1）有l(wèi)na1，即0ae1．結(jié)合上述兩種狀況，有ae1．①當a0時，由f10以及fx10，得fx存在唯一的零點；xaaaa，②當a0時，由于faa10，f1a0，且函數(shù)fxeaee在[e1]上的圖象不中止，因此fx在a，x0時，fx1a0，故fx在(0，)上是單調(diào)增(e1)上存在零點．別的，當x函數(shù)，因此f(x)只有一個零點．③當0ae1時，令f1a0，解得xa1．當0xa1時，fx0，當xa1時，fx0，xx因此，xa1是fx的最大值點，且最大值為fa1lna1．當lna10，即ae1時，fx有一個零點xe．當lna10，即0ae1時，fx有兩個零點．實質(zhì)上，對于0ae1，由于fe11ae10，fa10，且函數(shù)fx在[e1，a1]上的圖象不中止，因此fx在(e1，a1)上存在零點．別的，當x(0，a1)時，fx1a0，故fx，1)上是單調(diào)增x在(0a11函數(shù)，因此fx在，)上只有一個零點．下邊考慮fx在(0a(a，)上的狀況．先證fea1aa2ea10．為此，我們要證明：當xe時，exx2．設(shè)hxexx2，則hxex2x，再設(shè)lxhxex2x，則lxex2．當x1時，lxex2e20，因此lxhx在(1，)上是單調(diào)增函數(shù)．故當x2時，hxx2xh2240，進而hx在(2，)上是ee單調(diào)增函數(shù)，進而當xe時，hxexx2heeee2即a1a1aea1aa2ea10，又fe時，fea1象不中止，因此fx在(a1，ea1)上存在零點．又當xa

0．即當xx21e時，ex．當0ae，a10，且函數(shù)fx在[a1，ea1]上的圖1時，fxa0，故fx在(a-1，+∞)上是單調(diào)減函數(shù)，因此f(x)在(a-1，+∞)上只有一個零點．綜合①，②，③，當a0或ae1時，fx的零點個數(shù)為1，當0ae1時，fx的零點個數(shù)為2．數(shù)學Ⅱ注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共2頁，均為非選擇題（第21題～第23題）。本卷滿分為40分?？荚嚂r間為30分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。2．答題前，請您務(wù)必然自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定地址。3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與您自己可否切合。64．作答試題必定用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定地址作答，在其他地址作答一律無效。5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗?！具x做】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題地域內(nèi)作答，若多做，則按作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（21-A）【2014年江蘇，21-A，10分】（選修4-1：幾何證明選講）如圖，AB和BC分別與圓O相切于點D、C，AC經(jīng)過圓心O，且BC2OC．求證：AC2AD．解：連結(jié)OD．由于AB和BC分別與圓O相切于點D，C，因此ADOACB90．又由于AA，因此RtADO∽RtACB．因此BCAC．又BC2OC2OD，故AC2AD．ODAD（21-B）【2014年江蘇，21-B，10分】（選修4-2：矩陣與變換）已知矩陣A10,B12，求矩陣A1B．0206解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為ab10ab=10ab=10，故a1，b0，c0，d1，cd，則02cd01，即012c2d2進而A的逆矩陣為A110，因此A1B101212101=0．022063（21-C）【2014年江蘇，21-C，10分】（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在平面直角坐標系xoy中，直線l的參數(shù)方程為xt1為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為x2tan2（為參數(shù)）．試求直線l和曲線C的一般方程，y2t（ty2tan并求出它們的公共點的坐標．解：由于直線l的參數(shù)方程為xt1為參數(shù))，由xt1得tx1，代入y2t，獲取直線ly2t(t的一般方程為y22xy2x11．2xy20．同理獲取曲線C的一般方程為．聯(lián)立y22x,解得公共點的坐標為(2，2)，,12（21-D）【2014年江蘇，21-D，10分】（選修4-4：不等式選講）已知ab3322．0，求證：2ab2abab3b32ab222aa22ba22a22babab2ab．解：2aabbbb2a由于ab0，因此ab0，ab0，2ab0，進而abab2ab0，即2a3b32ab2a2b．【必做】第22、23題，每題10分，計20分．請把答案寫在答題卡的指定地域內(nèi)．．．．．．．．．．．．（22）【2014年江蘇，22，10分】如圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，AA14，點D是BC的中點．1）求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；2）求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．解：（1）以A為坐標原點，建立以下列圖的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)D(11，，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)uuur，，，uuuur，，．，因此4)C1D4)1(11uuuruuuuruuuruuuur18310310A1BC1D，因此異面直線．由于cosA1B,C1Duuuruuuur201810A1B與C1D所成角的余弦值為A1BC1Duuuuruuruuur10（2）設(shè)平面ruuur1，，z)，由于AD(1，10，)，AC1，，，因此n1AD0，uur