立體幾何-點線面關(guān)系

立體幾何第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系本節(jié)主要包括2個知識點：平面的基本性質(zhì)；2.空間兩直線的位置關(guān)系突破點（一）平面的基本性質(zhì)基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1.公理1?3\表示公理、文字語言圖形語言符號語言公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)脂1':二Be利l>ra公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面,A,B,C三點不共線與有/匚籍/且只有一個平面a,使AEa,Bea,Cea公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線廣京/PEa，且PeB習(xí)acB—yyt，且pei公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面;推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”一考點|點、線、面的位置關(guān)系證明點共線問題的常用方法公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上；同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.證明線共點問題的方法先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點.證明點、直線共面問題的常用方法納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)；輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面a，再證明其余元素確定平面B，最后證明平面a，B重合.［典例］已知：空間四邊形ABCD(如圖所示)，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CG=；BC，CH=；DC.求證：.E，F(xiàn)，G，H四點共面；..，-三直線FH，EG，AC共點.［方法技巧］平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用公理1是判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù)，公理2及其推論是判斷或證明點、線|共面的依據(jù)，公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù).

能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”如圖是正方體或四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是（）若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值（）至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是（）不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面;若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面.0B.14.如圖所示，四邊形ABEF和四邊形ABCD都是梯形，BC^；AD，C.2D.3BE^；FA，4.如圖所示，四邊形ABEF和四邊形ABCD都是梯形，BC^；AD，（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形;（2）C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？

突破點(二)空間兩直線的位置關(guān)系基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系共面直線平行共面直線平行相交異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)(2)公理4和等角定理公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a，〃a，b'〃b，把a，與b‘所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(n范圍：［0,刁.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”考點一空間兩直線位置關(guān)系的判定［例1］(1)下列結(jié)論正確的是()在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；平行于同一條直線的兩條直線平行；一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；空間四條直線a，b，c，d，如果a〃b，c〃d，且a〃d，那么b〃c.①②③B.②④C.③④D.②③(2)在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有?(填上所有正確答案的序號)①②伺I④

①②伺I④［方法技巧］判斷空間兩直線的位置關(guān)系一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)ITOC\o"1-5"\h\z確判斷.j異面直線的判定方法i反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面.|考點二異面直線所成的角定理法:平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線」考點二異面直線所成的角［例2］空間四邊形ABCD中，AB=CD且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大小.人、［方法技巧］用平移法求異面直線所成的角的步驟|(1)一作：即根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；!(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；!(3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角;1如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”:考點一］下列說法正確的是()若aua，buB，則a與b是異面直線若a與b異面，b與c異面，則a與c異面若a，b不同在平面a內(nèi)，則a與b異面若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面

A.1±1,1±1習(xí)1〃1

122313A.1±1,1±1習(xí)1〃1

122313C.1〃1〃1習(xí)1,1,1共面12312311±12，12〃13習(xí)11±13D.1,1,1共點與1,1,1共面

123123:考點二］如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為.:考點一、二］如圖所示，三棱錐PABC中，PA±平面ABC，ZBAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中點.（1）求證AE與PB是異面直線；（2）求異面直線AE與PB所成角的余弦值.「全國卷5年真題集中演練一一明規(guī)律］（2016-全國乙卷）平面a過正方體ABCDA^Cp的頂點A，a〃平面CBR，ac平面ABCD=m，ac平面ABB^^n，則m，n所成角的正弦值為（）乎B.乎C.乎D.3（2013?新課標(biāo)全國卷II）已知m，n為異面直線，m±平面a，n±平面B.直線1滿足1±m(xù)，1±n，10a，1我，則（）a〃B且1〃aa±B且1±Ba與B相交，且交線垂直于1a與B相交，且交線平行于1（2016?全國甲卷）a，B是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果m±n，m±a，n〃B，那么a±B.如果m±a，n〃a，那么m±n.如果a〃B，mua，那么m〃B.如果m〃n，a〃B，那么m與a所成的角和n與B所成的角相等.其中正確的命題有.（填寫所有正確命題的編號）

「課時達(dá)標(biāo)檢測］重點保分課時一一一練小題夯雙基，二練題點過高考［練基礎(chǔ)小題一一強化運算能力］四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面有（）A.4個B.3個C.2個D.1個已知A，B,C,D是空間四點，命題甲：A,B,C,D四點不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的（）A.充分不必要條件必要不充分條件充要條件若直線a±b,且直線A.充分不必要條件必要不充分條件充要條件若直線a±b,且直線a〃平面abuab〃abua或b〃ab與a相交或bua或b〃a既不充分也不必要條件則直線b與平面a的位置關(guān)系是（）4.如圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1中既與AB共面又與Cq共面的棱有條.「練?？碱}點一一檢驗高考能力］一、選擇題若直線上有兩個點在平面外，則（）A.直線上至少有一個點在平面內(nèi)B.直線上有無窮多個點在平面內(nèi)直線上所有點都在平面外D.直線上至多有一個點在平面內(nèi)空間四邊形兩對角線的長分別為6和8,所成的角為45°，連接各邊中點所得四邊形的面積是（）A.6\&B.12C.1^.'2D.24*捐若空間中四條兩兩不同的直線l,l,l,l,滿足l^l,l±l,l±l，則下列1234122334結(jié)論一定正確的是（）A.l1±l4B.L〃l4C.七與l4既不垂直也不平行D.七與七的位置關(guān)系不確定已知直線a和平面a,B,acB=l，aqa,aGB,且a在a,B內(nèi)的射影分別為直線b和c,則直線b和c的位置關(guān)系是（）A.相交或平行C.平行或異面相交或異面D.相交、平行或異面

5.如圖，ABCDA1B1C1D1下列結(jié)論正確的是（）A.A,M,O三點共線C.A,M,A.相交或平行C.平行或異面5.如圖，ABCDA1B1C1D1下列結(jié)論正確的是（）A.A,M,O三點共線C.A,M,C,O不共面B.A,M,O,A1不共面B,B1,O,M共面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A作直線l,使l與棱AB,AD,AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作（）A.1條B.2條C.3條D.4條二、填空題如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E,H分別是邊AB,AD的中點，點F,G分別是邊BC,CD上的點，＜CF=CG=|，則下列說法正CBCD3確的是.（填寫所有正確說法的序號）①EF與GH平行②EF與GH異面EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上EF與GH的交點M一定在直線AC上如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面直線的有對.已知a,b,c為三條不同的直線，且au平面a,bu平面B,acB=c.若a與b是異面直線，則c至少與a,b中的一條相交；若a不垂直于c,則a與b一定不垂直；若a〃b,則必有a〃c；若a±b,a±c,則必有a±B.其中正確的命題有.（填寫所有正確命題的序號）如圖，在三棱錐ABCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點M,N分別為AD,BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是A三、解答題如圖所示，A是ABCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點.(1)求證：直線EF與BD是異面直線；⑵若AC±BD，AC=BD，求EF與BD所成的角.n―如圖，在三棱錐PABC中，PAX底面ABC,D是PC的中點.已知匕BAC=5，AB=2,乙AC=2\j'3,PA=2.求：三棱錐PABC的體積；異面直線BC與AD所成角的余弦值.立體幾何第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系本節(jié)主要包括2個知識點：平面的基本性質(zhì)；2.空間兩直線的位置關(guān)系突破點（一）平面的基本性質(zhì)基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1.公理1?3\表示公理、文字語言圖形語言符號語言公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)脂1':二Be利l>ra公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面,A,B,C三點不共線與有/匚籍/且只有一個平面a,使AEa,Bea,Cea公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線廣京/PEa，且PeB習(xí)acB—yyt，且pei公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面;推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”一考點I點、線、面的位置關(guān)系證明點共線問題的常用方法公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上；同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.證明線共點問題的方法先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點.證明點、直線共面問題的常用方法納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)；輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面a，再證明其余元素確定平面B，最后證明平面a，B重合.［典例］已知：空間四邊形ABCD(如圖所示)，E，F(xiàn)分別是AB，ADTOC\o"1-5"\h\z的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CG=；BC，CH=；DC.求證：.E，F(xiàn)，G，H四點共面；..，-三直線FH，EG，AC共點.［證明］(1)連接EF，GH，?.?E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，”?.?EF〃BD.'11.又VCG=-BC，CH飛DC，.-,33■■■...GH〃BD，..?EF〃GH，?.?E，F(xiàn)，G，H四點共面.(2)易知FH與直線AC不平行，但共面，...設(shè)FHnAC=M，Me平面EFHG，Me平面ABC.又..?平面EFHGn平面ABC=EG，MeEG，F(xiàn)H，EG，AC共點.［方法技巧］--—-一-一—-一-一---一-一--平面的基本商的應(yīng)用一一-一一-一-—-一-一-—-］公理1是判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù)，公理2及其推論是判斷或證明點、線!共面的依據(jù)，公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù).i能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”如圖是正方體或四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是（）解析：選DA、B、C圖中四點一定共面，D中四點不共面.若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值（）B.至多等于4A.B.至多等于4等于5D.大于5解析：選Bn=2時，可以；n=3時，為正三角形，可以；n=4時，為正四面體，可以；n=5時，為四棱錐，側(cè)面為正三角形，底面為菱形且對角線長與邊長相等，這種情況不可能出現(xiàn)，所以正整數(shù)n的取值至多等于4.以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是（）不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面.A.0B.1C.2D.3a解析：選B①顯然是正確的，可用反證法證明；②中若A，B，C三點共線，則A，B，C，D，E五點不一定共面；③構(gòu)造長方體或正方體，如圖顯然b，c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面.故只有①正確.a如圖所示，四邊形ABEF和四邊形ABCD都是梯形，BC^；AD，BE^^FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點.（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（2）C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？解：（1）證明：由已知FG=GA，F(xiàn)H=HD，可得GH^^AD.又?.?BC^^AD’.LGH^BC，」.22四邊形BCHG為平行四邊形.（2）C，D，F(xiàn)，E四點共面，證明如下:

由BE坤F,G為FA的中點知BE—FG,.??四邊形BEFG為平行四邊形，.?.EF〃BG.由(1)乙知BG〃CH,?.?EF〃CH...?EF與CH共面.又DeFH,.?.C,D,F,E四點共面.突破點(二)空間兩直線的位置關(guān)系基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系共面直線平行共面直線平行相交異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)(2)公理4和等角定理公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.異面直線所成的角定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a，〃a,b'〃b，把a，與b‘所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(n范圍：［0,刁.考點貫通抓高考命題通“形”與“神”考點一空間兩直線位置關(guān)系的判定［例1］(1)下列結(jié)論正確的是()在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；平行于同一條直線的兩條直線平行；一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；空間四條直線a,b,c,d,如果a〃b,c〃d，且a〃d,那么b〃c.①②③B.②④C.③④D.②③(2)在圖中，G,N，M,H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有.(填上所有正確答案的序號)

［解析］(1)①錯，兩條直線不相交，則它們可能平行，也可能異面；②由公理4可知正確；③錯，若一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則它和另一條直線可能相交，也可能異面；④由平行直線的傳遞性可知正確.故選B.(2)圖①中，直線GH〃MN；圖②中，G，H，N三點共面，但帽平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM〃HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但田平面GMN，因此GH與MN異面.所以在圖②④中，GH與MN異面.［答案］(1)B(2)②④［方法技巧］判斷空間兩直線位置關(guān)系的思路方法判斷空間兩直線的位置關(guān)系一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)jTOC\o"1-5"\h\z確判斷.I異面直線的判定方法|反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面.|定理法:平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線..I考點二異面直線所成的角考點二異面直線所成的角［例2］空間四邊形ABCD中，AB=CD且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，TOC\o"1-5"\h\zAD的中點，求EF與AB所成角的大小.卜.、、［解］取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EG憑AB，F(xiàn)G^CD，三滬由AB=CD知EG=FG，'AZGEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，匕EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角.?.?AB與CD所成的角為30°，.?WEGF=30。或150°.''由EG=FG知^EFG為等腰三角形，J罕#上當(dāng)ZEGF=30。時，匕GEF=75°；'￡X當(dāng)ZEGF=150°時，ZGEF=15°.故EF與AB所成的角為15?；?5°.'［方法技巧］……一一—一一-一用平移法求算面直線所成的角的就(1)一作：即根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；（2）二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；i（3）三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角」如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.!能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.［考點一］下列說法正確的是（）若aua，buB,則a與b是異面直線若a與b異面，b與c異面，則a與c異面若a，b不同在平面a內(nèi)，則a與b異面若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面解析：選D由異面直線的定義可知D正確.2.:考點一］1「l2,13是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A.1±1，1±1習(xí)1〃1

122313C.1〃1〃1習(xí)1，1，1共面123123B.11±12，12〃13習(xí)11±13D.1，1，1共點與1，1，1共面

123123解析：選B若1±1，1±1，則1，1有三種位置關(guān)系，可能平行、相交或異面，A122313不正確；當(dāng)丫/七〃1'或】1，1，1共點時，1，1，1可能共面，也可能不共面，C，D不正23123確；當(dāng)1±1，1〃1時，則有1±1，故選B.1223133.［考點二］如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為.解析：如圖，將原圖補成正方體ABCDQGHP，連接GPAG，則GP〃BD，所以/APG為異Q面直線AP與BD所成的角，在△AGP中AG=GP=AP，n答案：耳4.［考點一、二］如圖所示，三棱錐PABC中，BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中點.⑴求證AE與PB是異面直線;⑵求異面直線AE與PB所成角的余弦值.解：（1）證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為a，Ega，?.?平面a即為平面ABE，.??Pe平面ABE，這與P平面ABE矛盾，所以AE與PB是異面直線.⑵取BC的中點F，連接EF，AF，則EF〃PB，所以/AEF（或其補角）就PA±平面ABC，/VAga，BGa，一n所以ZAPG=-.3是異面直線AE與PB所成的角.*.*ZBAC=60°,PA=AB=AC=2,PA±平面ABC,「.AF=\；'3,AE=\/2,EF=-?2,cosTOC\o"1-5"\h\zAE2+EF2—AF22+2—311^AEF=2?AE?EF=2X戒X?@=7故異面直線AE與PB所成角的余弦值為4?「全國卷5年真題集中演練一一明規(guī)律］（2016-全國乙卷）平面a過正方體ABCDABCD的頂點A,a〃平面CBD,ac平面111111ABCD=m,ac平面ABBA=n,則m,n所成角的正弦值為（）A.乎B.*C?D.3解析：選A如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1的上方接一個同等大小的正方體ABCDABCD，則過A與平面CBD平行的是平面ABD，即平22221122面a就是平面ABD，平面ABDC平面ABBA=AB，即直線n就是直線2222112AB2，由面面平行的性質(zhì)定理知直線m平行于直線B2D2，故m，n所成的角就等于AB與BD所成的角，在等邊三角形ABD中，/ABD=60°,2222222故其正弦值時.故選A.乙nL平面B.直線l滿（2013?新課標(biāo)全國卷II）已知m，n為異面直線，m^平面a，足l±m(xù),l±n,lqa,nL平面B.直線l滿a〃B且l〃aa^B且l^Ba與B相交，且交線垂直于la與B相交，且交線平行于l解析：選D由于m，n為異面直線，m上平面a,n上平面B,則平面a與平面B必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足lLm，l±n,則交線平行于l,故選D.（2016?全國甲卷）a,B是兩個平面，m,n是兩條直線，有下列四個命題：如果m±n,m±a,n〃B，那么a±B.如果m±a,n〃a，那么m±n.如果a〃B,mua,那么m〃B.如果m〃n,a〃B，那么m與a所成的角和n與B所成的角相等.其中正確的命題有.（填寫所有正確命題的編號）解析：對于①，a,B可能平行，也可能相交但不垂直，故錯誤.對于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線lua,n〃l，又mLa，所以m±l,所以m±n,故正確.對于③，因為a〃B，所以a,B沒有公共點.又mua,所以m,B沒有公共點，由線面平行的定義可知m〃B，故正確.對于④，因為m〃n，所以m與a所成的角和n與a所成的角相等.因為a〃B，所以n與a所成的角和n與B所成的角相等，所以m與a所成的角和n與B所成的角相等，故正確.答案：②③④

［練?？碱}點一一檢驗高考能力］、選擇題若直線上有兩個點在平面外，則（）A.直線上至少有一個點在平面內(nèi)B.直線上有無窮多個點在平面內(nèi)C.直線上所有點都在平面外D.直線上至多有一個點在平面內(nèi)解析：選D根據(jù)題意，兩點確定一條直線，那么由于直線上有兩個點在平面外，則直線在平面外，只能是直線與平面相交，或者直線與平面平行，那么可知直線上至多有一個點在平面內(nèi).空間四邊形兩對角線的長分別為6和8,所成的角為45°，連接各邊中點所得四邊形的面積是（）A.尊B(yǎng).12C.12'&D.24\/2解析：選A如圖，已知空間四邊形ABCD,對角線AC=6,BD=8，ATOC\o"1-5"\h\z易證四邊形EFGH為平行四邊形WEFG或匕FGH為AC與BD所成的角，"-大小為45°，故S四邊形EF=3X4Xsin45。=6、花，故選A.一…二一一若空間中四條兩兩不同的直線1，1，1，1，滿足l^l，l；"1234122±13,13±14，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.11±14B.1/LC.七與14既不垂直也不平行D.七與七的位置關(guān)系不確定解析：選D構(gòu)造如圖所示的正方體ABCDABCD，取1為AD,1:-111112為AA，1為AB，當(dāng)取1為BC時，1〃1，當(dāng)取1為BB時，1^1，九/徭以1311411144114故排除A、B、C，選D.&已知直線a和平面a，B，acB=1，aqa，aGB，且a在a，*B內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是（）A.相交或平行B.相交或異面C.平行或異面D.相交、平行或異面解析：選D依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面.如圖，ABCDA1B1C1D1是長方體，O是BR的中點，直線即交平面ABR于點M，則下列結(jié)論正確的是（）

A.A,M,O三點共線B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面解析：選A連接AC,AC,則AC〃AC,所以A,C,C,A四點111111共面，所以A1C平面ACC1A1，因為MEAg,所以Me平面ACC^，又ME平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面ABR的交線上，同理O在平面ACC1A盧平面AB1D1的交線上，所以A，M,O三點共線.過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A作直線1,使l與棱AB,AD,A%所成的角都相等，這樣的直線1可以作（）TOC\o"1-5"\h\zA.1條B.2條C.3條D.4條解析：選D如圖，連接體對角線AC1，顯然AR與棱AB，AD,A%4-一所成的角都相等，所成角的正切值都為-把.聯(lián)想正方體的其他體對角線，*一如連接BD,則BD與棱BC,BA,BB所成的角都相等，?「BB〃AA,BC.?「―一*；11111.1〃AD，.??體對角線BD1與棱AB,AD,人^所成的角都相等，同理，體對角°線AC,DB也與棱AB,AD,AA所成的角都相等，過A點分別作BD,AC,DB的平行線都滿1，J，，J，1，1，]I7足題意，故這樣的直線1可以作4條.、填空題如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB,AD的中點，點F，G分別是邊BC,CD上的點，且拾=祟=2,則下列說法正CBCD3確的是.（填寫所有正確說法的序號）EF與GH平行②EF與GH異面EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上EF與GH的交點M一定在直線AC上解析：連接EH,FG（圖略），依題意，可得EH〃BD，F(xiàn)G〃BD，故EH〃FG，所以E，F(xiàn),G,1__一2—一一一一…一…._..H共面.因為EH=bBD，F(xiàn)G=BD,故EH^FG，所以EFGH是梯形，EF與GH必相交，23設(shè)交點為M.因為點M在EF上，故點M在平面ACB上.同理，點M在平面ACD上,.?.點M是平面ACB與平面ACD的交點，又AC是這兩個平面的交線，所以點M一定在直線AC上.答案：④如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面直線的有對.€解析：平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化，則AB,CD,EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行.故互為異面直線的有3對.答案：3已知a，b，c為三條不同的直線，且au平面a，bu平面B，acB=c.若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交；若a不垂直于c，則a與b一定不垂直；若a〃b，則必有a〃c；若a±b，a±c，則必有a±B.其中正確的命題有.（填寫所有正確命題的序號）解析：①中若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交，故①正確；②中平面a上平面B時，若b宜，貝Jb±平面a，此時不論a，c是否垂直，均有a±b，故②錯誤；③中當(dāng)a〃b時，則a〃平面B，由線面平行的性質(zhì)定理可得a〃c，故③正確；④中若b〃c，則a±b，a±c時，a與平面B不一定垂直，此時平面a與平面B也不一定垂直，故④錯誤.答案：①③ATOC\o"1-5"\h\z如圖，在三棱錐ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，.點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值r?；」：一：.?川C是.」解析：如圖所示，連接DN，取線段DN的中點K，連接MK，CK.VM為AD的中點，.??MK〃AN，「WKMa或其補角）為異面直線AN，CM所成的，…孚角.?.?AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N為BC的中點，由勾股定理易*求得AN=DN=CM=^'2,AMK=；2.在RtACKN中，CK=寸?切2+12="