新高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題05 分段函數(shù)研究（教師版）

專(zhuān)題05分段函數(shù)研究一、題型選講題型一、分段函數(shù)的求值問(wèn)題由于分段函數(shù)的解析式與對(duì)應(yīng)的定義域有關(guān)，因此求值時(shí)要代入對(duì)應(yīng)的解析式。含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理里首先要明確目標(biāo)，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對(duì)函數(shù)圖象的影響）例1、（2020屆浙江省之江教育評(píng)價(jià)聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）設(shè)函數(shù)，則（）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】∵函數(shù)，∴，.故選：C.例2、(2019南京三模）若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(2x，x≤0,f(x－2)，x＞0))，則f(log23)＝▲．【答案】．EQ\F(3,4)【解析】因?yàn)?＜＜2，所以f(log23)＝f(log23－2)＝.例3、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）對(duì)于給定正數(shù)k，定義，設(shè)，對(duì)任意和任意恒有，則（）A．k的最大值為2 B．k的最小值為2 C．k的最大值為1 D．k的最小值為1【答案】B【解析】因?yàn)閷?duì)任意和任意恒有，根據(jù)已知條件可得：對(duì)任意恒成立，即，，，當(dāng)時(shí)有，即故選：B題型二、與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式含分段函數(shù)的不等式在處理上通常是兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過(guò)對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解。另一種是通過(guò)作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖像的特點(diǎn)解不等式例4、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是___________．【答案】(1,4)；【解析】由題意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，由在上只能有一個(gè)零點(diǎn)得.綜上，的取值范圍為.例5、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(log2（3－x），,x≤0，,2x－1，,x>0，)))若f(a－1)＝eq\f(1,2)，則實(shí)數(shù)a＝________．【答案】log23【解析】當(dāng)a－1≤0，即a≤1時(shí)，f(a－1)＝log2(4－a)＝eq\f(1,2)，解得a＝4－eq\r(2)(舍)；當(dāng)a－1>0，即a>1時(shí)，f(a－1)＝2a－1－1＝eq\f(1,2)，解得a＝log23.eq\a\vs4\al(解后反思)本題以分段函數(shù)為背景，考查指數(shù)及對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．例6、(2019蘇北四市、蘇中三市三調(diào)）已知函數(shù)則不等式的解集為▲．【答案】【解析】：若，則，由得：，故.若，則，由得：，故.綜上，不等式的解集為.題型三、分段函數(shù)的單調(diào)性分段函數(shù)單調(diào)性的判斷：先判斷每段的單調(diào)性，如果單調(diào)性相同，則需判斷函數(shù)是連續(xù)的還是斷開(kāi)的，如果函數(shù)連續(xù)，則單調(diào)區(qū)間可以合在一起，如果函數(shù)不連續(xù)，則要根據(jù)函數(shù)在兩段分界點(diǎn)出的函數(shù)值（和臨界值）的大小確定能否將單調(diào)區(qū)間并在一起。例7、已知函數(shù)，若在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________【答案】【解析】思路：若在單調(diào)增，則在上任取，均有，在任取中就包含均在同一段取值的情況，所以可得要想在上單調(diào)增，起碼每一段的解析式也應(yīng)當(dāng)是單調(diào)遞增的，由此可得：，但僅僅滿(mǎn)足這個(gè)條件是不夠的。還有一種取值可能為不在同一段取值，若也滿(mǎn)足，均有，通過(guò)作圖可發(fā)現(xiàn)需要左邊函數(shù)的最大值不大于右邊函數(shù)的最小值。代入，有左段右端，即綜上所述可得：例8、（2020屆浙江省高中發(fā)展共同體高三上期末）函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則____________________，_________________.【答案】【解析】根據(jù)題意，為定義在上的奇函數(shù)，則有，解可得：，則，則；故答案為：；.題型四分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題分段函數(shù)的零點(diǎn)，有時(shí)需要對(duì)新函數(shù)如何構(gòu)建是關(guān)鍵，通常的原則是：一是兩個(gè)新函數(shù)圖像是常見(jiàn)初等函數(shù)圖像，二是一個(gè)函數(shù)圖像是定的，另一個(gè)函數(shù)圖像是動(dòng)的，三是參數(shù)放在直線(xiàn)型中，即定曲線(xiàn)動(dòng)直線(xiàn)，這樣便于解決問(wèn)題，基于這三點(diǎn)例8、【2019年高考浙江】已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則A．a(chǎn)<–1，b<0 B．a(chǎn)<–1，b>0 C．a(chǎn)>–1，b<0 D．a(chǎn)>–1，b>0【答案】C【解析】當(dāng)x＜0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x≥0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3?12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3?12，當(dāng)a+1≤0，即a≤﹣1時(shí)，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a+1＞0，即a>﹣1時(shí)，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，在[0，+∞）上有2個(gè)零點(diǎn)，如圖：∴b1?a＜0且解得b＜0，1﹣a＞0，b＞?16（a則a>–1，b<0.故選C．例9、(2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)－1，,x＜1，,\f(lnx,x2)，,x≥1，)))則函數(shù)y＝|f(x)|－eq\f(1,8)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．【答案】.4【解析】設(shè)g(x)＝eq\f(lnx,x2)，則由g′(x)＝eq\f(x－lnx·2x,x4)＝eq\f(1－2lnx,x3)＝0，可得x＝eq\r(e)，所以g(x)在(1，eq\r(e))上單調(diào)遞增，在(eq\r(e)，＋∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→0，故g(x)在(1，＋∞)上的最大值為g(eq\r(e))＝eq\f(1,2e)＞eq\f(1,8).在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y＝|f(x)|與y＝eq\f(1,8)的圖像可得，交點(diǎn)有4個(gè)，即原函數(shù)零點(diǎn)有4個(gè)．例10、【2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞）C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【解析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，在y軸右側(cè)的圖象去掉，再畫(huà)出直線(xiàn)，之后上下移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（0,1）時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，（公眾號(hào)：高中數(shù)學(xué)最新試題）并且向下可以無(wú)限移動(dòng)，都可以保證直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解，也就是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿(mǎn)足，即.故選C．二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）若,則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?yīng)填答案.2、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）已知，若，則_______，______；【答案】【解析】，，，，，故答案為：；2、（2020屆浙江省紹興市高三4月一模）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)_____；若存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____.【答案】【解析】，，，.易知時(shí)，；又時(shí)，遞增，故，要使函數(shù)存在最小值，只需，解得：.故答案為：，.3、（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（文））函數(shù)，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令,畫(huà)出與的圖象,平移直線(xiàn),當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí),向右平移,不再符合條件,故故選：A4、（2020·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期末）設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，f（x）的最小值是_____；（2）若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍是_____．【答案】[0，]【解析】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝（x）2≥（）2，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x22，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，則函數(shù)的最小值為，（2）由（1）知，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）≥2，此時(shí)的最小值為2，若a＜0，則當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）＝0，此時(shí)f（0）不是最小值，不滿(mǎn)足條件．若a≥0，則當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）＝（x﹣a）2為減函數(shù)，則當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（0）＝a2，要使f（0）是f（x）的最小值，則f（0）＝a2≤2，即0≤a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，]5、（2020屆浙江省嘉興市高三5月模擬）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__．【答案】【解析】，令，即或，解得或，，或，或或或，解得或，故答案為：.6、（2020屆山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期中）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先作圖象，由圖象可得因此為，從而，選A.7、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（）A．B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．若方程恰有3個(gè)實(shí)根，則D．若函數(shù)在上有6個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】BCD【解析】函數(shù)的圖象如圖所示：對(duì)A，，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由圖象可知在區(qū)間上是增函數(shù)，故B正確；對(duì)C，由圖象可知，直線(xiàn)與函數(shù)圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)D，由圖象可得，當(dāng)函數(shù)在上有6個(gè)零點(diǎn)，則，