2016屆高考數(shù)學大一輪總復習(理科)第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)I學案9

學必求其心得，業(yè)必貴于專精教學設(shè)計9冪函數(shù)導學目標:1。認識冪函數(shù)的看法.2.結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝錯誤!,y＝x錯誤!的圖象，認識它們的變化情況．自主梳理1．冪函數(shù)的看法形如______的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中____是自變量，____是常數(shù)．2．冪函數(shù)的性質(zhì)(1）五種常有冪函數(shù)的性質(zhì)，列表以下：定義域值域奇偶單調(diào)性過定性點y＝xRR奇↗[0，＋∞）y＝x2R［0，＋偶↗∞）（－∞,0]↙y＝x3RR奇↗（1,11[0，＋∞)［0，＋非奇［0，＋）y＝x2∞）非偶∞)↗（－（－∞，（－y＝x－1∞,0）0)奇∞,0）↙∪(0，＋∪（0，(0，＋∞)∞)＋∞)↙2)所有冪函數(shù)在________上都有定義，并且圖象都過點(1,1)，且在第____象限無圖象．3)α〉0時，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點________________，并且在區(qū)間（0，＋∞)上是________，α〈0時,冪函數(shù)在(0，＋∞）上是減函學必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)，圖象________原點．自我檢測1．(2011·石家莊月考）如圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取±2，±錯誤!四個值，則相應(yīng)于曲線C1,C2，C3，C4的n值依次為( )A．－2，－錯誤!，錯誤!,2B．2，錯誤!，－錯誤!，－2C．－錯誤!，－2，2，錯誤!D．2，錯誤!,－2，－錯誤!12．已知函數(shù):①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝x2。則以下函數(shù)圖象(在第一象限部分)從左到右依次與函數(shù)序號的正確對應(yīng)序次是( )A．②①③④B．②③①④C．④①③②D．④③①②3．（2011·滄州模擬）設(shè)α∈{－1，1，錯誤!,3｝，則使函數(shù)y＝xα的定義域為R且為奇函數(shù)的所有α值為)A．1，3B．－1,1C．－1，3D．－1,1,34．與函數(shù)y＝錯誤!的圖象形狀相同的是( )學必求其心得，業(yè)必貴于專精A．y＝2xB．y＝log2xC．y＝錯誤!D．y＝x＋15．已知點(錯誤!,3錯誤!)在冪函數(shù)f(x）的圖象上，則f(x）的表達式是(）A．f(x)＝x3B．f(x）＝x－311C．f（x)＝x2D．f(x）＝x2研究點一冪函數(shù)的定義與圖象例1已知冪函數(shù)f(x）的圖象過點（錯誤!，2），冪函數(shù)g（x)的圖象過點（2,錯誤!)．(1）求f(x)，g（x）的剖析式；2)求當x為何值時：①f（x）〉g(x）；②f（x）＝g(x）；③f（x)g(x)．變式遷移1若點（錯誤!，2)在冪函數(shù)f（x）的圖象上，點(－2，錯誤!)在冪函數(shù)g（x)的圖象上，定義h(x)＝錯誤!試求函數(shù)h（x)的最大值以及單調(diào)區(qū)間．研究點二冪函數(shù)的單調(diào)性例2比較以下各題中值的大?。?1）30.8，30.7；（2）0.213，0.233;112233）22,1.83；(4)4.15，3.83和(1.9)5.變式遷移2(1）比較以下各組值的大小:11)31①83(;________9x(m2學必求其心得，業(yè)必貴于專精0.20。5________0。40.3.（2)已知(0。71.3)m〈(1。30.7）m，則m的取值范圍是__________________________．研究點三冪函數(shù)的綜合應(yīng)用2例3（2011·葫蘆島模擬）已知函數(shù)f（x)＝xm2m3（m∈N*）的mm圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0，＋∞)上是減函數(shù),求滿足(a1)3<(32a)3的a的范圍．變式遷移3已知冪函數(shù)f(x）＝m)1（m∈N＊）(1）試確定該函數(shù)的定義域,并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；(2）若該函數(shù)還經(jīng)過點（2,2），試確定m的值，并求滿足條件f（2－a）〉f（a－1）的實數(shù)a的取值范圍．α1．冪函數(shù)y＝x（α∈R)，其中α為常數(shù)，其實質(zhì)特色是以冪的底x為自變量,指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依照和唯一標準．2．在（0,1）上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越湊近x軸（簡記為“指大圖低”)，在（1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸．冪函數(shù)的圖象必然會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，必然不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于可否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；若是冪函數(shù)的圖象與坐標軸訂交,則交點必然是原點．（滿分：75分)學必求其心得，業(yè)必貴于專精一、選擇題(每題5分，共25分）m1．右圖是函數(shù)y＝xn(m，n∈N＊,m、n互質(zhì))的圖象，則)mA．m,n是奇數(shù)，且n〈1mB．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且n>1C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且錯誤!<1D．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，且錯誤!〉12．（2010·陜西)以下四類函數(shù)中，擁有性質(zhì)“對任意的x>0，y〉0,函數(shù)f（x）滿足f（x＋y）＝f(x）f(y）”的是)A．冪函數(shù)B．對數(shù)函數(shù)C．指數(shù)函數(shù)D．余弦函數(shù)3．以下函數(shù)圖象中，正確的選項是)學必求其心得，業(yè)必貴于專精(3)52(2)53(2)524．(2010·安徽)設(shè)a＝5，b＝5,c＝5

,則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)〉c〉bB．a(chǎn)>b〉cC．c〉a>bD．b>c>a5．以下命題中正確的選項是( )①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)和點(0，0)；②冪函數(shù)的圖象不可以能在第四象限；③當n＝0時，函數(shù)y＝xn的圖象是一條直線；④冪函數(shù)y＝xn當n>0時是增函數(shù)；⑤冪函數(shù)y＝xn當n〈0時在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小．A．①和④B．④和⑤C．②和③D．②和⑤題號12345答案二、填空題（每題4分,共12分)6．(2011·邯鄲模擬）若冪函數(shù)y＝(m23m3)xm2m2的圖象不經(jīng)過原點，則實數(shù)m的值為________．a(chǎn)1α2a，x∈(0,1），α∈（0，1），則a，b，c的7．已知a＝x,b＝x,c＝x大小序次是________．α8．已知函數(shù)f（x)＝x(0〈α<1）,關(guān)于以下命題：①若x〉1,則f（x）〉1；②若0<x〈1,則0〈f（x）〈1;③當x〉0時，若f（x1）>f(x2)，則x1>x2;④若0<x1〈x2，則錯誤!<錯誤!.其中正確的命題序號是________．三、解答題(共38分)9．（12分）設(shè)（fx)是定義在R上以2為最小正周期的周期函數(shù)．當－1≤x〈1時，y＝f(x)的表達式是冪函數(shù),且經(jīng)過點（錯誤!，錯誤!）．求學必求其心得，業(yè)必貴于專精函數(shù)在[2k－1,2k＋1）(k∈Z）上的表達式．10．（12分）已知f(x）＝

1n22n3xx

(n＝2k,k∈Z)的圖象在[0,＋∞)上單調(diào)遞加，解不等式f(x2－x）>f(x＋3）．211．（14分）(2011·荊州模擬）已知函數(shù)f(x)＝xkk2(k∈Z）滿足f（2)〈f(3）．(1）求k的值并求出相應(yīng)的f（x）的剖析式；(2)關(guān)于(1）中獲取的函數(shù)f（x）,試判斷可否存在q>0，使函數(shù)g(x）1－qf（x）＋（2q－1)x在區(qū)間［－1，2］上的值域為［－4,錯誤!］？若存在，求出q；若不存在，請說明原由．答案自主梳理1．y＝xαxα2。(2）（0，＋∞）四(3）（0,0)，(1,1）增函數(shù)但是自我檢測1．B[方法一由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì),n<0時但是原點，故C3，C4對應(yīng)的n值均為負,C1，C2對應(yīng)的n值均為正；由增（減）快慢知n(C1）〉n(C2)>n(C3)>n(C4)．故C1，C2，C3，C4的n值依次為2，錯誤!，－錯誤!,－2.方法二作直線x＝2分別交C1，C2,C3，C4于點A1，A2，A3，A4，1122，22則其對應(yīng)點的縱坐注顯然為，22,2－2，故n值分別為2，錯誤!，－錯誤!，－2。]2．D[第一個圖象過點（0,0），與④對應(yīng)；第二個圖象為反比率學必求其心得，業(yè)必貴于專精k函數(shù)圖象，表達式為y＝x，③y＝x－1恰好吻合,∴第二個圖象對應(yīng)③；第三個圖象為指數(shù)函數(shù)圖象,表達式為y＝ax,且a〉1，①y＝2x恰好吻合，∴第三個圖象對應(yīng)①；第四個圖象為對數(shù)函數(shù)圖象，表達式為y＝logax，且a>1,②y＝log2x恰好吻合，∴第四個圖象對應(yīng)②?！嗨膫€函數(shù)圖象與函數(shù)序號的對應(yīng)序次為④③①②.]3．A4。C5。B課堂活動區(qū)α例1解(1)設(shè)f（x)＝x,α∵圖象過點（錯誤!,2），故2＝（錯誤!)，解得α＝2,∴f（x）＝x2.β設(shè)g(x）＝x，∵圖象過點（2,錯誤!），ββ∴＝2，解得錯誤!g(x）＝x－2。(2）在同一坐標系下作出f（x）＝x2與g（x)＝x－2的圖象，以下列圖．由圖象可知，f（x），g（x)的圖象均過點（－1，1)和（1，1）．∴①當x〉1，或x〈－1時,f（x)〉g（x）；②當x＝1，或x＝－1時，f（x）＝g(x);③當－1〈x〈1且x≠0時，f(x）<g（x）．變式遷移1解求f（x)，g（x)剖析式及作出f(x),g（x)的圖象同例1,學必求其心得，業(yè)必貴于專精如例1圖所示,則有:h(x）＝錯誤!依照圖象可知函數(shù)h(x）的最大值為1，單調(diào)增區(qū)間為（－∞，－1)和(0，1);單調(diào)減區(qū)間為(－1，0)和（1，＋∞）．例2解題導引比較兩個冪的大小要點是搞清楚是底數(shù)相同，還是指數(shù)相同,若底數(shù)相同，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；若指數(shù)相同,利用冪函數(shù)的性質(zhì)；若底數(shù)、指數(shù)皆不一樣樣，考慮用中間值法，常用0和1“搭橋"進行分組．解（1)函數(shù)y＝3x是增函數(shù)，∴30。8>30。7.(2)函數(shù)y＝x3是增函數(shù),∴0.213〈0.233.111（3)∵221.821.83,11∴221.83。2222(4)4.1515＝1；0<3.8313＝1；3322(1.9)5〈0,∴(1.9)53.834.15。變式遷移2（1)①<②<(2）m>0剖析依照冪函數(shù)y＝x1。3的圖象，當0〈x<1時，0<y<1，∴0〈0。71。3<1。又依照冪函數(shù)y＝x0.7的圖象，當x〉1時，y〉1,∴1.30。7>1。于是有0.71。3<1.30。7。關(guān)于冪函數(shù)y＝xm，由(0.71.3）m〈（1。30。7）m知，當x〉0時，隨著x的增大,函數(shù)值也增大，∴m>0.例3解∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上遞減，∴m2－2m－3<0，解得－1<m〈3.又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,學必求其心得，業(yè)必貴于專精∴m2－2m－3是偶數(shù)，而22－2×2－3＝－3為奇數(shù)，12－2×1－3＝－4為偶數(shù),∴m＝1.1而y＝x3在(－∞，0），（0，＋∞)上均為減函數(shù)，11(a1)3〈(32a)3等價于a＋1〉3－2a>0,或0〉a＋1〉3－2a,或a＋1〈0<3－2a，解得a<－1或錯誤!<a〈錯誤!.故a的范圍為{a|a〈－1或錯誤!<a〈錯誤!}．變式遷移3解(1）m2＋m＝m（m＋1)，m∈N＊，而m與m＋1中必有一個為偶數(shù),∴m(m＋1)為偶數(shù)．21∴函數(shù)f（x）＝x(mm)(m∈N*)的定義域為[0，＋∞)，并且在定義域上為增函數(shù)．(2）∵函數(shù)f（x)經(jīng)過點(2,錯誤!)，12(m2m)1∴錯誤!＝2(m2m)1，即22.∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2。又∵m∈N＊，∴m＝1.由f(2－a）〉f(a－1）得錯誤!解得1≤a<錯誤!.a的取值范圍為[1，錯誤!）．課后練習區(qū)1．C[由圖象知，函數(shù)為偶函數(shù)，∴m為偶數(shù)，n為奇數(shù)．又函數(shù)圖象在第一限內(nèi)上凸，∴錯誤!〈1.]yαxαyα2．C[∵（＋)≠·，學必求其心得，業(yè)必貴于專精∴冪函數(shù)f（x)＝xα不擁有此性質(zhì)．loga（x＋y)≠logax·logay，∴對數(shù)函數(shù)f(x）＝logax不擁有此性質(zhì)．a(chǎn)x＋y＝ax·ay,∴指數(shù)函數(shù)f(x）＝ax擁有此性質(zhì)．cos(x＋y）≠cosx·cosy，∴余弦函數(shù)y＝cosx不擁有此性質(zhì)．]3．C[對A、B，由y＝x＋a知a〉1，可知A、B圖象不正確；中由y＝x＋a知0〈a〈1，∴y＝logax應(yīng)為減函數(shù)，D錯．］24．A[∵y＝x5在x∈(0，＋∞）遞加，∴

(3)52(2)5255,即a>c,∵y＝（錯誤!)x在x∈(－∞，＋∞)遞減，∴

23(2)5(2)555,即c〉b，a>c〉b。］5．D6．1或2剖析由錯誤!解得m＝1或2.經(jīng)檢驗m＝1或2都適合．7．c<a〈b剖析∵∈（0，1），∴錯誤!>>.αα錯誤!1αa，即c<a<b。a2又∵x∈（0,1),∴x〈x<x8．①②③剖析α作出y＝x(0〈α〈1）在第一象限內(nèi)的圖象,以下列圖,可判斷①②③正確,學必求其心得，業(yè)必貴于專精錯誤!0<x1<x2錯誤!>錯誤!91,1)fx)xn,錯誤!錯誤!34)

nx[2k1,2k1)f(x

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