習(xí)題2：相似三角形的性質(zhì)

1．3相似三角形的判定及性質(zhì)第二課時相似三角形的性質(zhì)一、選擇題1．如圖1－3－28，D、E、F是△ABC的三邊中點，設(shè)△DEF的面積為eq\f(1,4)，△ABC的周長為9，則△DEF的周長與△ABC的面積分別是()圖1－3－28\f(9,2)，1 B．9,4\f(9,2)，8 \f(9,4)，16【解析】∵D、E、F分別為△ABC三邊的中點，∴EF綊eq\f(1,2)BC，DE綊eq\f(1,2)AC，DF綊eq\f(1,2)AB.∴△DFE∽△ABC，且eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).∴eq\f(l△DEF,l△ABC)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).又∵l△ABC＝9，∴l(xiāng)△DEF＝eq\f(9,2).又∵eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\f(EF2,BC2)＝eq\f(1,4)，S△DEF＝eq\f(1,4)，∴S△ABC＝1，故選A.【答案】A圖1－3－292．如圖1－3－29，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中點，在AB上取一點F，使△CBF∽△CDE，則BF的長是()A．5 B．C． D．【解析】由△CBF∽△CDE，得eq\f(BF,DE)＝eq\f(CB,CD)，又點E是AD的中點，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，∴DE＝3，即eq\f(BF,3)＝eq\f(6,10)，∴BF＝.【答案】D3．某同學(xué)自制了一個簡易的幻燈機，其工作情況如圖1－3－30所示，幻燈片與屏幕平行，光源到幻燈片的距離是30cm，幻燈片到屏幕的距離是1.5m，幻燈片上小樹的高度是10cm，則屏幕上小樹的高度是()圖1－3－30A．50cm B．500cmC．60cm D．600cm【解析】設(shè)屏幕上小樹的高度為xcm，則eq\f(10,x)＝eq\f(30,30＋150)，解得x＝60(cm)．【答案】C圖1－3－314．如圖1－3－31，△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于D，E，S△ADE＝2S△DCE，則eq\f(S△ADE,S△ABC)＝()\f(1,4) \f(1,2)\f(2,3) \f(4,9)【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，由S△ADE＝2S△DCE得，eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(4,9).【答案】D二、填空題5．如圖1－3－32，在△ABC中，D為AC邊上的中點，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延長線于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，則AE的長為________．圖1－3－32【解析】∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE，∴eq\f(BF,AE)＝eq\f(BG,GA)＝eq\f(3,1)，∵D為AC中點，∴eq\f(AE,CF)＝eq\f(AD,DC)＝1，∴AE＝CF，∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.【答案】56．一條河的兩岸是平行的，在河的這一岸每隔5m有一棵樹，在河的對岸每隔50m有一根電線桿，在這岸離開岸邊25m處看對岸，看到對岸相鄰的兩根電線桿恰好被這岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有兩棵樹，則河的寬度為__________m.【解析】如圖所示，A，B是相鄰兩電線桿的底部，F(xiàn)，G中間還有兩棵樹，則AB＝50m，F(xiàn)G＝3×5＝15m，EC＝25m，CD⊥AB，AB∥FG，則eq\f(EC,CD)＝eq\f(FG,AB)，設(shè)河的寬度為xm，則eq\f(25,25＋x)＝eq\f(15,50)，解得x＝eq\f(175,3).【答案】eq\f(175,3)三、解答題圖1－3－337．如圖1－3－33所示，在△ABC中，BC>AC，點D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分線CF交AD于F，點E是AB的中點，連接EF.(1)求證：EF∥BC；(2)若四邊形BDFE的面積為6，求△ABD的面積．【解】(1)證明：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，∴CF是△ACD的邊AD上的中線．∴點F是AD的中點，又∵點E是AB的中點，∴EF∥BD，即EF∥BC.(2)∵EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.∴eq\f(S△AEF,S△ABD)＝(eq\f(AE,AB))2.又∵AE＝eq\f(1,2)AB，S△AEF＝S△ABD－S四邊形BDFE＝S△ABD－6，∴eq\f(S△ABD－6,S△ABD)＝(eq\f(1,2))2，∴S△ABD＝8.圖1－3－348．如圖1－3－34，已知在△ABC中，D是BC邊的中點，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F.(1)求證：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的長．【解】(1)證明：∵DE⊥BC，D是BC的中點，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1，又∵AD＝AC，∴∠2＝∠ACB.∴△ABC∽△FCD.(2)過點A作AM⊥BC，垂足為點M.∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴eq\f(S△ABC,S△FCD)＝(eq\f(BC,CD))2＝4.又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.∵S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AM，BC＝10，∴20＝eq\f(1,2)×10×AM，∴AM＝4.又∵DE∥AM，∴eq\f(DE,AM)＝eq\f(BD,BM).∵DM＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(1,4)BC＝eq\f(5,2)，BM＝BD＋DM，BD＝eq\f(1,2)BC＝5，∴eq\f(DE,4)＝eq\f(5,5＋\f(5,2)).∴DE＝eq\f(8,3).9．某生活小區(qū)的居民籌集資金1600元，計劃在一塊上、下兩底分別為10cm、20cm的梯形空地上種植花木．(1)他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/m2，當(dāng)△AMD地帶種滿花后(圖1－3－35陰影部分)共花了160元，請計算種滿△BMC地帶所需的費用；圖1－3－35(2)若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價分別為12元/m2和10元/m2，應(yīng)選擇種哪種花木可以剛好用完所籌集的資金？【解】(1)∵四邊形ABCD是梯形，∴AD∥BC.∴△AMD∽△CMB.∴eq\f(S△AMD,S△CMB)＝(eq\f(AD,BC))2＝eq\f(1,4).∵種植△AMD地帶花費160元，∴eq\f(160,8)＝20(m2)．∴S△CMB＝80(m2)．∴△BMC地帶的花費為80×8＝640(元)．(2)設(shè)△AMD、△BMC的高分別為h1、h2，梯形ABCD的高為h，∵S△AMD＝eq\f(1,2)×10h1＝20，∴h1＝4(m)．又∵eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,2)，∴h2＝8(m)．∴h＝h1＋h2＝12(m)．∴S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(AD＋BC)h＝eq\f(1,2)×30×12＝180(m2)，∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80(m2)．∴160＋640＋80×12＝1760(元)，160＋640＋80×10＝1600(元)．∴應(yīng)種植茉莉花剛好用完所籌資金．10．在△ABC中，如圖所示，BC＝m，DE∥BC，DE分別交AB，AC于E，D兩點，且S△ADE＝S四邊形BCDE，則DE＝________.【解析】∵DE∥BC