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拿破侖定理推廣拿破侖是十九世紀(jì)初(1804—1814)的法國(guó)皇帝既是政治家和軍事家同時(shí)他還是一位頗有造詣的數(shù)學(xué)愛(ài)好者下面的定理就是他首先發(fā)現(xiàn)并論證的．拿破侖理若以任意角形的邊為一邊向外作等三角形，則它們的心構(gòu)成一個(gè)邊三角．這一定理可以等價(jià)描述為以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為30°的等腰三角形，則它們的頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形．本文介紹拿破侖定理的兩種推廣：定理如圖1，以△ABC的三邊為底邊各向形外作等腰三角形，CAE和ABF三個(gè)等腰三角形的底角各為α和γ+β+γ＝90°，則∠FDE＝°-α，∠DEF＝90°-β，∠EFD＝90°-γ．證明為方便計(jì)，把△ABC的三內(nèi)角簡(jiǎn)記為A、、C．因DC＝DB，則可將△DCE繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)∠BDC至△DBG位置，連FG．∵∠FBG＝360°-∠DBF-∠DBG＝360°-(α+β+γ)-(α+C+β)＝180°°-2(α+β+γ)+β+γ＝A+β+γ＝∠FAE．又BG＝＝AE，F(xiàn)B＝FA，

∴△FBG≌△FAE，F(xiàn)G＝FE．從而△DGF≌△DEF，∠FDG＝∠FDE，同理∠DEF＝90°-β，∠EFD＝90°-γ．定理2．如2，在ABC的外側(cè)作三角形△BCP、CAQ和△ABR，使∠PBC＝∠QAC＝α，∠PCB＝∠QCA＝β，∠RAB＝∠RBA＝γ，且α+β+γ＝90°，則RQ＝RP，且∠QRP＝2α．證明RB繞R逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α至RG，連BG、AG、QG．∵∠GBA＝∠GBR-γ＝90°-α-γ＝β又RA＝＝RG，即R為△的外心，∴△ABG∽△ACQ∽△BCP，又∠BAC＝∠GAQ，

又∠RGQAGQ+∠AGR＝∠ABC+α+γ＝∠RBP，∴∠RGQ≌△RBP．∴RQ＝RP．又因∠GRQ＝∠BRP，∴∠QRP＝∠GRB＝2α．值得注意的是，兩個(gè)定理的證明中綜合了不少的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，學(xué)習(xí)這些定理的證明，對(duì)提高證題能力是很有益的．在第十七IMO競(jìng)賽中，有一道賽題如下：在△ABC的外側(cè)作三角形△BCD、△CAQ和△ABR，使∠PBC＝∠QAC＝45°，∠PCB＝∠QCA＝30°，∠RAB＝∠RB

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