物理學(xué)教程上冊(cè)課后答案 五

第五章機(jī)械振動(dòng)A5-1一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為A,在起始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為-一，且向x軸正方向運(yùn)2動(dòng)，代表此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量為()題5.1圖分析與解(B)圖中旋轉(zhuǎn)矢量的矢端在x軸上投影點(diǎn)的位移為一A/2,且投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向指向Ox軸正向，即其速度的x分量大于零，故滿(mǎn)足題意.因而正確答案為(B).5-2一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)如圖(a)所示，則運(yùn)動(dòng)周期是()(A)2.62s(B)2.40s(C)2.20s(D)2.00s(a)z-ls(b)題5.2圖分析與解由振動(dòng)曲線(xiàn)可知，初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為A/2,且向x軸正方向運(yùn)動(dòng).圖(b)是其相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知初相位為■.振動(dòng)曲線(xiàn)上給出質(zhì)點(diǎn)從A/2處運(yùn)動(dòng)TOC\o"1-5"\h\zC4到.v=0處所需時(shí)間為1s,由對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)矢量圖可知相應(yīng)的相位差八,則3265力2幾角頻率A^/Ar=—rads'1,周期T=—=2.40s,故選(B).(A)2.62s(B)2.40s(C)2.20s(D)2.00s(a)z-ls(b)6co5-3兩個(gè)同周期簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)如圖(a)所示，由的相位比趨的相位(\o"CurrentDocument"(A)落后蘭(B)超前=(C)落后兀(D)超前兀22分析與解由振動(dòng)曲線(xiàn)圖作出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖(b)即可得到答案為(B)?

題5-3圖5-4兩個(gè)同振動(dòng)方向、同頻率、振幅均為A的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成后，振幅仍為A,則這兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位差為()(A)60：(B)90°(C)120c(D)180：分析與解由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)1和2的相位差為120°時(shí)，合成后的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)3的振幅仍為A.正確答案為(C).題53圖5-5若簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程為X=0.10cOs(207U+^),式中x的單位為m,，的單位為s.題53圖(1)振幅、頻率、角頻率、周期和初相；(2)r=2s時(shí)的位移、速度和加速度.分析可采用比較法求解.將己知的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的一般形式%=Acos(dX+(p)作比較，即可求得各特征量.運(yùn)用與上題相同的處理方法，寫(xiě)出位移、速度、加速度的表達(dá)式，代入f值后，即可求得結(jié)果.解(1)將x=0.10cos(20”+0.25兀)(m)與x=Acos(<yf+(p)比較后可得：振幅A=0.i0m,角頻率co=20兀radS',初相0=0.25冗，則周期T=2jt/(w=0.1s,頻率z?=l/THz.(2)r=2s時(shí)的位移、速度、加速度分別為x=0.10cos(40兀，+0.25兀)=7.07xl0~2mv=dr/dr=-27Csiii(407C+0.25n)=-4.44m-s1a=d2x/d2Z=-40tc2cos（40兀+0.257：）=-2.79x102m?s'

5-6一遠(yuǎn)洋貨輪，質(zhì)量為m,浮在水面時(shí)其水平截面積為S.設(shè)在水面附近貨輪的水平截面積近似相等，水的密度為p,且不計(jì)水的粘滯阻力，證明貨輪在水中作振幅較小的豎直自由運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求振動(dòng)周期.分析要證明貨輪作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，需要分析貨輪在平衡位置附近上卜?運(yùn)動(dòng)時(shí)，它所受的合外力F與位移工間的關(guān)系，如果滿(mǎn)足F=—kx,則貨輪作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).通過(guò)F=-kx即可求得振動(dòng)周期『=2idat=k.證貨輪處于平衡狀態(tài)時(shí)［圖（a）］，浮力大小為F=mg.當(dāng)船上下作微小振動(dòng)時(shí)，取貨輪處于力平衡時(shí)的質(zhì)心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)0,豎直向下為;I軸正向，如圖（b）所示.則當(dāng)貨輪向下偏移x位移時(shí)，受合外力為YF=P+Ff其中F'為此時(shí)貨輪所受浮力，其方向向上，大小為F'=F+p^Sx=mg+pgSx題5-6圖則貨輪所受合外力為￡F=P—F'=-pgSx=-kx式中A=QgS是一常數(shù).這表明貨輪在其平衡位置上下所作的微小振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).由￡F=md2x/d2r4得貨輪運(yùn)動(dòng)的微分方程為d2x/d2f+pgSx/m=0令$=pgS/m，可得其振動(dòng)周期為T(mén)=2E3=2?！籶gS5-7如圖（a）所示，兩個(gè)輕彈簧的勁度系數(shù)分別為k"、.當(dāng)物體在光滑斜面上振動(dòng)時(shí).（1）證明其運(yùn)動(dòng)仍是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；（2）求系統(tǒng)的振動(dòng)頻率.（a）題5?7圖分析從上兩題的求解知道，要證明一個(gè)系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，首先要分析受力情況，然后看是否滿(mǎn)足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的受力特征（或簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)微分方程）.為此，建立如圖（b）所示的坐標(biāo).設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)物體所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O,Ox軸正向沿斜面向下，由受力分析可■知，沿軸,物體受彈性力及重力分力的作用，其中彈性力是變力.利用串聯(lián)時(shí)各彈簧受力相等，分析物體在任一位置時(shí)受力與位移的關(guān)系，即可證得物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并可求出頻率證設(shè)物體平衡時(shí)兩彈簧伸長(zhǎng)分別為：V】、冶，則由物體受力平衡，有mgsin。=kji=k2x2（1）按圖（b）所取坐標(biāo)，物體沿A-軸移動(dòng)位移X時(shí)，兩彈簧又分別被拉伸工和X；,即x=X+x；.則物體受力為尸=〃麝1119一虹庇+乂）=〃?gsinQ-#i3+X）（2）將式（1）代入式（2）得由式（3）得x[=-F/k^xf2=-F/k2,而x=x；+Z,則得到F=-腐//（虹+k2）Jr=-kx式中k=k&M+k9為常數(shù)，則物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)頻率討論（1）由本題的求證可知，斜面傾角。對(duì)彈簧是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)以及振動(dòng)的頻率均不產(chǎn)生影響.事實(shí)上，無(wú)論彈簧水平放置、斜置還是豎直懸掛，物體均作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).而旦可以證明它們的頻率相同，均由彈簧振子的固有性質(zhì)決定，這就是稱(chēng)為固有頻率的原因.（2）如果振動(dòng)系統(tǒng)如圖（c）（彈簧并聯(lián)）或如圖（d）所示，也可通過(guò)物體在某一位置的受力分析得出其作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，旦振動(dòng)頻率均為v=-Lj（K+&）/〃?,讀者可以一試.通過(guò)這些例

子可以知道，證明物體是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的思路是相同的.5-8一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅A=2.0xl0-2m,周期7=0.50s.當(dāng)f=0時(shí)，（1）物體在正方向端點(diǎn)：（2）物體在平衡位置、向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；（3）物體在x=-1.0xl0-2m處，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)：（4）物體在x=-1.0xl0-2m處，向正方向運(yùn)動(dòng).求以上各種情況的運(yùn)動(dòng)方程.分析在振幅A和周期『己知的條件下，確定初相？是求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的關(guān)鍵.初相的確定通常有兩種方法.（1）解析法：由振動(dòng)方程出發(fā)，根據(jù)初始條件，即，=0時(shí)，X=Xo和。=VQ來(lái)確定'值.62）旋轉(zhuǎn)矢量法：如圖（a）所示，將質(zhì)點(diǎn)P在Qt軸上振動(dòng)的初始位置州和速度vo的方向?qū)懶D(zhuǎn)矢量圖相對(duì)應(yīng)來(lái)確定S旋轉(zhuǎn)矢量法比較直觀、方便，在分析中常采用.題5-8圖解由題給條件知A=2.0xio--m,口=2/r=47lsT,而初相多可采用分析中的兩種不同方法來(lái)求.解析法：根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程x=Acos（dX+0）,當(dāng)，=0時(shí)有甚=Acos（仞+（P）,TOC\o"1-5"\h\zvo=—.當(dāng)（1）x0=A時(shí)，cos%=1,則0=0；\o"CurrentDocument"兀兀（2）x0=0時(shí)，cos/=0,（p2=±—,因v0<0,?。╬2=—\（3）x0=1.0xIO-2m時(shí)，cos%=0.5,=±y,由v0<0,取Q=\o"CurrentDocument"（4）=-l.OxlO-'m時(shí)，cos代=一0.5,9^=71土;,由v0>0,取=?旋轉(zhuǎn)矢量法：分別畫(huà)出四個(gè)不同初始狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖（b）所示，它們所對(duì)應(yīng)的初相分別為饑=0,%=三,%=?，代=??J。振幅A、角頻率初相？均確定后，則各相應(yīng)狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)方程為x=2.0xlO-2cos4兀t(m)x=2.0xIO-2cos(4/rt+n/2)(m)x=2.0xKT?cos(4jrt+7t/3)(m)x=2.0x10~2cos(47rt+4k/3)(m)5-9有一彈簧，當(dāng)其下端掛一質(zhì)量為，〃的物體時(shí)，伸長(zhǎng)量為9.8x10-%.若使物體上、下振動(dòng)，且規(guī)定向下為正方向.(1)當(dāng)f=0時(shí)，物體在平衡位置上方8.0x10--m處，由靜止開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)方程.(2)當(dāng)f=0時(shí)，物體在平衡位置并以0.6m?s。的速度向上運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)方程.分析求運(yùn)動(dòng)方程，也就是要確定振動(dòng)的三個(gè)特征物理量A、/和饑其中振動(dòng)的角頻率是由彈簧振子系統(tǒng)的固有性質(zhì)(振子質(zhì)量〃？及彈簧勁度系數(shù)Q決定的，即口=兩,k可根據(jù)物體受力平衡時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)來(lái)計(jì)算；振幅A和初相Q需要根據(jù)初始條件確定-(a)(b)題5-9圖解物體受力平衡時(shí)，彈性力F與重力P的大小相等，即F=mg.而此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量△/=9.8x10-111.則彈簧的勁度系數(shù)A=F/Al=mg/Al.系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率為CD—ylk/m=Jg/△/=10s-1(!)設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)，物體所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正向.由初始條件，=0時(shí),XlO=8.0x10-2iikv10=0可■得振幅A=+(*0/時(shí)=8.0xl0-2ill；應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可確定初相饑=兀[圖(a)].則運(yùn)動(dòng)方程為&=8.0x10~2cos(10t+71)(m)(2)t=0時(shí)，am=0、v2o=0.6m-s4,同理可得A=+(%/時(shí)=6.0x10-2m；代=兀/2[圖(b)].則運(yùn)動(dòng)方程為x2=6.0xl0~2cos(10t+0.5兀)(m)5-10某振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的x-f曲線(xiàn)如圖（a）所示，試求：（1）運(yùn)動(dòng)方程；（2）點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的相位；（3）到達(dá)點(diǎn)P相應(yīng)位置所需的時(shí)間.分析由巳知運(yùn)動(dòng)方程畫(huà)振動(dòng)曲線(xiàn)和由振動(dòng)曲線(xiàn)求運(yùn)動(dòng)方程是振動(dòng)中常見(jiàn)的兩類(lèi)問(wèn)題.本題就是要通過(guò)x~t圖線(xiàn)確定振動(dòng)的三個(gè)特征量A、/和從而寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程.曲線(xiàn)最大幅值即為振幅A；而/、代通常可■通過(guò)旋轉(zhuǎn)矢量法或解析法解出，一般采用旋轉(zhuǎn)矢量法比較方便.解（1）質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)振幅A=0.10m,而由振動(dòng)曲線(xiàn)可畫(huà)出fo=0和h=4s時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量，如圖（b）所示.由圖可見(jiàn)初相伊0=—兀/3（或伊0=5兀/3）,而由）=才/2+才/3得口=5兀/24S-',則運(yùn)動(dòng)方程為題5-10圖（2）圖（a）中點(diǎn)P的位置是質(zhì)點(diǎn)從A/2處運(yùn)動(dòng)到正向的端點(diǎn)處.對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖（c）所示.當(dāng)初相取中0=—兀/3時(shí)，點(diǎn)P的相位為外=啊+口如-0）=0（如果初相取成伊o=5兀/3,則點(diǎn)P相應(yīng)的相位應(yīng)表示為0=伊0+刃（。,一°）=2兀.（3）由旋轉(zhuǎn)矢量圖可得刃如-0）=兀/3,則fp=l.6s.5-11質(zhì)量為10g的物體沿x的軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅A=10cm,周期D4.0S,，=0時(shí)物體的位移為x°=-5.0cm,且物體朝x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求（1）1.0s時(shí)物體的位移；（2）1.0s時(shí)物體受的力；（3）/=0之后何時(shí)物體第一次到達(dá).r=5.0cm處；（4）第二次和第一次經(jīng)過(guò).v=5.0cm處的時(shí)間間隔.分析根據(jù)題給條件可以先寫(xiě)出物體簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程X=AC0S（S+9）.其中振幅A,角頻率/=￡均己知，而初相9可由題給初始條件利用旋轉(zhuǎn)矢量法方便求出.有了運(yùn)動(dòng)方程，/時(shí)刻位移X和I時(shí)刻物體受力F=ma=-mccrx也就可以求出.對(duì)于（3）、（4）兩問(wèn)均

可通過(guò)作旋轉(zhuǎn)矢量圖并根據(jù)公式△?=仙很方便求解.解由題給條件畫(huà)出，=0時(shí)該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖（a）所示，可知初相中=；.而A=0.10m,(0=—=—S"1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程為T(mén)22727、x=0.10cos(—r+—)111（i）r=i.Os時(shí)物體的位移x=0.10cos(l.0x；+?)m=-8.66x10-2m（2）r=1.0s時(shí)物體受力F=-moxx=-10xKT'x（：）'x（-8.66xIO-2）N=2.14xlOTN（3）設(shè)/=0時(shí)刻后，物體第一次到達(dá)a-=5.0cm處的時(shí)刻為L(zhǎng)，畫(huà)出仁0和1=0時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖（b）所示，由圖可知，4】與4的相位差為兀，由左（p=0At得△0兀C

L=s=2sco兀/2（4）設(shè)F0時(shí)刻后，物體第二次到達(dá)a-5.0cm處的時(shí)刻為L(zhǎng),畫(huà)出仁七和，=L時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖（c）所示，由圖可知，4■與4］的相位差為苴，故有TOC\o"1-5"\h\z?3A2兀/34△，n==s=-sco兀/23(a)

題5-11圖(a)5-12圖（a）為一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系曲線(xiàn)，旦振幅為2cm,求（1）振動(dòng)周期；（2）加速度的最大值；（3）運(yùn)動(dòng)方程.分析根據(jù)v-t圖可知速度的最大值,由站x=Aco可求出角頻率s,進(jìn)而可求出周期T和加速度的最大值如ax=ACO-.在要求的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；i=Acos（cot+9）中，因?yàn)锳和/己得出，故只要求初相位？即可.由。一，曲線(xiàn)圖可以知道，當(dāng)f=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度S=瞄/'2=Aco/2,之后速度越來(lái)越大，因此可以判斷出質(zhì)點(diǎn)沿x軸正向向著平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng).利用如=—J（ysin（p就可求出（p.解（1）由*?^=人切得切=l.5sT,貝ijT=2兀/co=4.2s=Aco2=4.5xW2m-s-2(3)從分析中己知vQ=-Aojsm=Aco/2,即sin^?=-l/2伊=一兀/6,—5兀/6因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)沿x軸正向向平衡位置運(yùn)動(dòng)，則取=一5兀/6,其旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖（b）所示.則運(yùn)動(dòng)方程為x=2cos1.5，一——I6(cm)v/(cms-0t/s%=7m'6?5-12圖運(yùn)動(dòng)方程為x=2cos1.5，一——I6(cm)v/(cms-0t/s%=7m'65-13有一單擺，長(zhǎng)為1.0m，最大擺角為5。，如圖所示.（1）求擺的角頻率和周期；（2）設(shè)開(kāi)始時(shí)擺角最大，試寫(xiě)出此單擺的運(yùn)動(dòng)方程：（3）擺角為3。時(shí)的角速度和擺球的線(xiàn)速度各為多少？題5-13圖分析單擺在擺角較小時(shí)SV5。）的擺動(dòng)，其角量。與時(shí)間的關(guān)系可表示為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程6=/“cos（破+0）,其中角頻率/仍由該系統(tǒng)的性質(zhì)（重力加速度g和繩長(zhǎng)/）決定，即刃=應(yīng)7.初相伊與擺角仞質(zhì)點(diǎn)的角速度與旋轉(zhuǎn)矢量的角速度（角頻率）均是不同的物理概念，必須注意區(qū)分.解（1）單擺角頻率及周期分別為co=yjg/l=3.13s-1;T=2兀/69=2.01s（2）由，=0時(shí)Q=8gx=5°可得振動(dòng)初相°=0,則以角量表示的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程為^=—CO&3.13/

36（3）擺角為3。時(shí)，有cos（^+^）=6>/6^ax=0.6,則這時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角速度為dH'd/=仞+低）=一久—cos'（<yr+°）=一0.806^0=—0.218s-1線(xiàn)速度的大小為v=/|d^dr|=-0.218ms-1討論質(zhì)點(diǎn)的線(xiàn)速度和角速度也可?通過(guò)機(jī)械能守恒定律求解，但結(jié)果會(huì)有極微小的差別.這是因?yàn)樵趯?dǎo)出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程時(shí)曾取sinQ^O,所以，單擺的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程僅在。較小時(shí)成立.*5-14一飛輪質(zhì)量為12kg,內(nèi)緣半徑，=0.6m,如圖所示.為了測(cè)定其對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，現(xiàn)讓其繞內(nèi)緣刃II擺動(dòng)，在擺角較小時(shí)，測(cè)得周期為2.0s,試求其繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.題5-14圖分析飛輪的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于一個(gè)以刃II為轉(zhuǎn)軸的復(fù)擺運(yùn)動(dòng)，復(fù)擺振動(dòng)周期為T(mén)=2^J/mglc,因此，只要知道復(fù)擺振動(dòng)的周期和轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離匕，其以刃II為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即可求得.再根據(jù)平行軸定理，可求出其繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解由復(fù)擺振動(dòng)周期T=2ti[j/mgL，可得J=mgrT2（這里/c.則由平行軸定理得J0=J-mr2mgrT2,—_-—一m廣4/=2.83kg-m25-15如圖（a）所示，質(zhì)量為L(zhǎng)Oxio^kg的子彈，以500ms】的速度射入木塊，并嵌在木塊中，同時(shí)使彈簧壓縮從而作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，設(shè)木塊的質(zhì)量為4.99kg,彈簧的勁度系數(shù)為8.0x103N-1H-1,若以彈簧原長(zhǎng)時(shí)物體所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，向左為x軸正向，求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程.V"今k區(qū)"?A-///▲題5-15圖分析可分為兩個(gè)過(guò)程討論.首先是子彈射入木塊的過(guò)程，在此過(guò)程中，子彈和木塊組成的系統(tǒng)滿(mǎn)足動(dòng)量守恒，因而可以確定它們共同運(yùn)動(dòng)的初速度。o,即振動(dòng)的初速度.隨后的過(guò)程是以子彈和木塊為彈簧振子作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).它的角頻率由振子質(zhì)量/Hi+〃乙和彈簧的勁度系數(shù)k確定，振幅和初相可根據(jù)初始條件（初速度。o和初位移心）求得.初相位仍可用旋轉(zhuǎn)矢量法求.解振動(dòng)系統(tǒng)的角頻率為co=Jk/+〃弓）—40s-1由動(dòng)量守恒定律得振動(dòng)的初始速度即子彈和木塊的共同運(yùn)動(dòng)初速度V0為1A-1v0=——=l.Om-sm.+nuA_又因初始位移心=0,則振動(dòng)系統(tǒng)的振幅為A=+（%/co）2=\vQ/co\=2.5xlO-2in圖（b）給出了彈簧振子的旋轉(zhuǎn)矢量圖，從圖中可知初相位％=兀/2,則簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程為x=2.5x10~2cos(40r+0.57r)(in)5-16如圖（a）所示，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，其下掛有一質(zhì)量為mi的空盤(pán).現(xiàn)有一質(zhì)量為mi的物體從盤(pán)上方高為h處自由落入盤(pán)中，并和盤(pán)粘在一起振動(dòng).問(wèn)：（1）此時(shí)的振動(dòng)周期與空盤(pán)作振動(dòng)的周期有何不同？（2）此時(shí)的振幅為多大？題5-16圖分析原有空盤(pán)振動(dòng)系統(tǒng)由于下落物體的加入，振子質(zhì)量由皿變?yōu)椋齧+血,因此新系統(tǒng)的角頻率（或周期）要改變.由于A=J焉+（%/建）',因此，確定初始速度所和初始位移.島是求解振幅A的關(guān)鍵.物體落到盤(pán)中，與盤(pán)作完全非彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律可確定盤(pán)與物體的共同初速度如，這也是該振動(dòng)系統(tǒng)的初始速度.在確定初始時(shí)刻的位移n時(shí),應(yīng)注意新振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置應(yīng)是盤(pán)和物體懸掛在彈簧上的平衡位置.因此，本題中初始位移.島，也就是空盤(pán)時(shí)的平衡位置相對(duì)新系統(tǒng)的平衡位置的位移.解（1）空盤(pán)時(shí)和物體落入盤(pán)中后的振動(dòng)周期分別為T(mén)=2兀/co=2?！幌?kT'=2n/oj=2兀J。"+〃?J/)可見(jiàn)r>T,即振動(dòng)周期變大了.（2）如圖（b）所示，取新系統(tǒng)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O.則根據(jù)分析中所述，初始位移為空盤(pán)時(shí)的平衡位置相對(duì)粘上物體后新系統(tǒng)平衡位置的位移，即%-1-

式中?=W為空盤(pán)靜止時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，上=——g為物體粘在盤(pán)上后，靜止時(shí)彈kk簧的伸長(zhǎng)量.由動(dòng)量守恒定律可得振動(dòng)系統(tǒng)的初始速度，即盤(pán)與物體相碰后的速度網(wǎng)〃匕+m2rn{+m2式中V=yl^h是物體由力高下落至盤(pán)時(shí)的速度.故系統(tǒng)振動(dòng)的振幅為人=Jxj+(o。/人=Jxj+(o。/撈=令K2khQq+mjg本題也可用機(jī)械能守恒定律求振幅A.5-17質(zhì)量為0.10kg的物體，以振幅1.0x10-111作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為4.0m?s」求：（1）振動(dòng)的周期：（2）物體通過(guò)平衡位置時(shí)的總能量與動(dòng)能：（3）物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？（4）當(dāng)物體的位移大小為振幅的一半時(shí)，動(dòng)能、勢(shì)能各占總能量的多少？分析在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體的最大加速度由此可確定振動(dòng)的周期「另外，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能是守恒的，其中動(dòng)能和勢(shì)能互相交替轉(zhuǎn)化，其總能量E=M-/2.當(dāng)動(dòng)能與勢(shì)能相等時(shí)，Ek=EP=kA=4.因而可求解本題.解（1）由分析可得振動(dòng)周期T=2兀/口=2兀jA/cy”=0.314s（2）當(dāng)物體處于平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為零，由機(jī)械能守恒可得系統(tǒng)的動(dòng)能等于總能量，即Ek=丘=9洶初泌。*=2.0x10-3J（3）設(shè)振子在位移A。處動(dòng)能與勢(shì)能相等，則有您/2=林/4得氣=±y/2A/2=±7.07x10-3m（4）物體位移的大小為振幅的一半（即x=A/2）時(shí)的勢(shì)能為=-kx1=—k(—)=E/422⑵則動(dòng)能為Er=E_E『=3E/4則動(dòng)能為5-18一勁度系數(shù)R=312N?ll「的輕彈簧，一端固定，另一端連接一質(zhì)量〃?°=0.3kg的物體，放在光滑的水平面上，上而放一質(zhì)量為〃?=0.2kg的物體，兩物體間的最大靜摩擦系數(shù)//=0.5.求兩物體間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)的最大能量.分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)能量為E=Ek+Ep因此只要求出兩物體間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)條件下，該系統(tǒng)的最大振幅即可求出系統(tǒng)振動(dòng)的最大能量.因?yàn)閮晌矬w間無(wú)相對(duì)滑動(dòng),故可將它們視為一個(gè)整體，則根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)頻率公式可得其振動(dòng)角頻率為co=I—.'+m然后以物體，〃為研究對(duì)象，它和，〃。一起作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)所需的回復(fù)力是由兩物體間靜摩擦力來(lái)提供的.而其運(yùn)動(dòng)中所需最大靜摩擦力應(yīng)對(duì)應(yīng)其運(yùn)動(dòng)中具有最大加速度時(shí)，即印1gm廿la由此可求出Amax.解根據(jù)分析，振動(dòng)的角頻率Ik(D=VmQ+m網(wǎng)（，〃0+m）pgark則最大能量E二?=頊（〃"叫性

maxcmax1-7」22k="〃。+〃‘）如言=9.62x10-3J

2k5-19已知兩同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程分別為X]=0.05cos(10f+0.75兀)(m)；x?=0.06cos(10l+0.25兀)(m).求：(1)合振動(dòng)的振幅及初相；(2)若有另一同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)w=0.07cos(10f+%)(m),則％為多少時(shí)，X1+心的振幅最大？又代為多少時(shí)，X?+巧的振幅最小?題5-19圖分析可采用解析法或旋轉(zhuǎn)矢量法求解.由旋轉(zhuǎn)矢量合成可知，兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成仍為一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其角頻率不變；合振動(dòng)的振幅A二+淺+2A4CO血_0），其大小與兩個(gè)分振動(dòng)的初相差代-億相關(guān).而合振動(dòng)的初相位（p=aictan^siii^+Asin/）/（Acos0+Acos^,）］解（1）作兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的旋轉(zhuǎn)矢量圖（如圖）.因?yàn)榍?饑=一兀/2,故合振動(dòng)振幅為A=+A；+2?cos（代-但）=7.8xlO-2m合振動(dòng)初相位0=atctai（0sin0+心地代）/（Acos0+&os牲）］=aictaiil1=1.48rad（2）要使由+為振幅最大，即兩振動(dòng)同相，則由△（p=2kii得伊3=（p、+2kn=2k兀+0.75兀，R=0,±1,±2,...要使.山+為的振幅最小，即兩振動(dòng)反相，則由△伊=（2#+1北得9-=%+（2&+1加=2如+1.2571,k=0,±1,±2,...5-20兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)1和2的振動(dòng)曲線(xiàn)如圖（a）所示