橢圓知識點(diǎn)與性質(zhì)大全

橢圓知識點(diǎn)與性質(zhì)大全橢圓知識點(diǎn)與性質(zhì)大全橢圓知識點(diǎn)與性質(zhì)大全橢圓與方程【知識梳理】1、橢圓的定義平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為定長2aF1F22a,a0的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓，其中兩定點(diǎn)F1、F2稱為橢圓的焦點(diǎn)，定長2a稱為橢圓的長軸長，線段F1F2的長稱為橢圓的焦距.此定義為橢圓的第必然義.2、橢圓的簡單性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21ab0y2x21ab0a2b2a2b2極點(diǎn)坐標(biāo)Aa,0、B0,bAb,0、B0,a焦點(diǎn)坐標(biāo)左焦點(diǎn)F1c,0，右焦點(diǎn)F2c,0上焦點(diǎn)F10,c，下焦點(diǎn)F20,c長軸與短軸長軸長2a、短軸長2b長軸長2a、短軸長2b有界性axa，bybaya，bxb，對稱性關(guān)于x軸對稱，關(guān)于y軸對稱，同時也關(guān)于原點(diǎn)對稱.a、b、ca2b2c2之間關(guān)系3、焦半徑橢圓上任意一點(diǎn)P到橢圓焦點(diǎn)F的距離稱為焦半徑，且PFac,ac，特別地，若P(x0,y0)為橢圓x2y21ab0上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓的左右焦點(diǎn)，則|PF1|aex0，|PF2|aex0，其a2b2c中e.a4、通徑過橢圓x2y21ab0焦點(diǎn)F作垂直于長軸的直線，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，稱線段AB為橢圓的通徑，且a2b2AB2b2.a5、焦點(diǎn)三角形P為橢圓x2y21ab0上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓的左右焦點(diǎn)，稱PF1F2為橢圓的焦點(diǎn)三角a2b2形，其周長為：CFPF22a2c，若FPF，則焦點(diǎn)三角形的面積為：SFPFb2tan.2216、過焦點(diǎn)三角形直線l過橢圓x2y21ab0的左焦點(diǎn)F1，與橢圓交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，稱ABF2為橢圓的過焦點(diǎn)三a2b2角形，其周長為：CABF24a，面積為SABF2cy1y2.高中數(shù)學(xué)7、點(diǎn)與橢圓的地址關(guān)系x2y22222Px0,y0為平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，橢圓方程為1(ab001，則P在橢圓上；若001，a2b20)：若x2y2x2y2abab則P在橢圓外；若x02y021，則P在橢圓內(nèi).a2b28、直線與橢圓的地址關(guān)系直線l:AxByC0，橢圓：x2y21(ab0)，則a2b2l與訂交a2A2b2B2C2；l與相切a2A2b2B2C2；l與相離a2A2b2B2C2.9、焦點(diǎn)三角形外角均分線的性質(zhì)（*）22點(diǎn)P(x,y)是橢圓x2y21(ab0)上的動點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是橢圓的焦點(diǎn)，M是F1PF2的外角均分線上一點(diǎn)，且abF2MMP0，則OMa，即動點(diǎn)M的點(diǎn)的軌跡為x2y2a2xa.10、橢圓上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)Ax1,y1,Bx2,y2為橢圓x2y21ab0上的任意兩點(diǎn)，且x1x2，則y12y22b22b222a2.ax1x2【實(shí)行1】直線l過橢圓x2y21ab0的中心，與橢圓交于Ax1,y1,Bx2,y2兩點(diǎn)，P為橢圓上的任意一點(diǎn)，a2b2則kAPkBPb22（kAP,kBP均存在）.a【實(shí)行2】設(shè)直線l1：yk1xmm0交橢圓x2y21ab0于C、D兩點(diǎn)，交直線l2：yk2x于點(diǎn)E．若E為a22bCD的中點(diǎn)，則k1k2b2a2.11、中點(diǎn)弦的斜率Mx0,y0y00為橢圓x2y21ab0內(nèi)的一點(diǎn)，直線l過M與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，且AMBM，則直22ab線l的斜率kABb2x0.a2y012、互相垂直的半徑倒數(shù)的平方和為定值若A、B為橢圓C：x2y21ab0上的兩個動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OAOB．則11定值a2b2|OA|2|OB|2112b2．a(chǎn)高中數(shù)學(xué)【典型例題】例1、直線ykx1與橢圓x2y21恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是__________．5m【變式1】已知方程x2y21表示橢圓，則k的取值范圍__________．k53ky2x21的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為__________．【變式2】橢圓2m2m例2、已知圓A:x32y2100，圓A內(nèi)必然點(diǎn)B3,0，圓P過點(diǎn)B且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程.【變式1】已知圓O1:x12y21，圓O2:x12y29,動圓M分別與圓O1相外切，與圓O2相內(nèi)切.求動圓圓心M所在的曲線的方程.【變式2】已知ABC的兩個極點(diǎn)坐標(biāo)為A(4,0),B(4,0)，ABC的周長為18，則極點(diǎn)C的軌跡方程為__________．【變式3】已知動圓P過定點(diǎn)A3，0，且在定圓B：x32y264的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓的圓心P的軌跡方程．高中數(shù)學(xué)例3、若P是橢圓x2y21上的點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是焦點(diǎn)，則43（1）PF2PF1的取值范圍為__________．（2）PF1PF2的取值范圍為__________．22（3）PF1PF2的取值范圍為__________．【變式1】點(diǎn)P(x,y)是橢圓x2y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是橢圓的焦點(diǎn)，M是PF1的中點(diǎn)，且PF12，O為94坐標(biāo)原點(diǎn)，則OM_______.x2y21(ab0)上的動點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是橢圓的焦點(diǎn)，M是F1PF2的外角均分線【變式2】點(diǎn)P(x,y)是橢圓22ab上一點(diǎn)，且F2MMP0，則動點(diǎn)M的軌跡方程為________．x2y2P是橢圓上動點(diǎn)，求PAPF的最大值與最例4、已知橢圓1內(nèi)有一點(diǎn)A2,1，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，2516小值__________．x2y2的左、右兩個焦點(diǎn)分別為【變式】若橢圓1121l與橢圓訂交于AB2B167的周長為__________．例5、F1,F2是橢圓x2y21的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為其上動點(diǎn)，且F1PF260，則F1PF2的面積是__________．4【變式】焦點(diǎn)在軸x上的橢圓方程為x2y21(a0)，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)B，使得a2F1BF2，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.2高中數(shù)學(xué)例6、已知橢圓x2y21，211且被P均分的弦所在的直線的方程；（1）求過點(diǎn)P，22）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過A(21)，引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.（4）橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，O為原點(diǎn)，且有直線OP、OQ斜率滿足kOPkOQ1，2求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．x2y2l：y4xm，橢圓C上有不同樣的兩點(diǎn)關(guān)例7、已知橢圓C：1，試確定m的取值范圍，使得關(guān)于直線43于該直線對稱．高中數(shù)學(xué)例8、已知橢圓4x2y21及直線yxm．（1）當(dāng)m為何值時，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長為210，求直線的方程．5例9、已知定點(diǎn)A2,0，動點(diǎn)B是圓F:(x2)2y264（F為圓心）上一點(diǎn)，線段AB的垂直均分線交BF于P.（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；（2）直線y3x1交P點(diǎn)的軌跡于M,N兩點(diǎn)，若P點(diǎn)的軌跡上存在點(diǎn)C，使OMONmOC,求實(shí)數(shù)m的值；高中數(shù)學(xué)例10、已知橢圓x2y21（ab0），過點(diǎn)Aa,0，B0,b的直線傾斜角為，原點(diǎn)到該直線的距離為3．a(chǎn)2b262（1）求橢圓的方程；（2）斜率大于零的直線過D1,0與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若ED2DF，求直線EF的方程；（3）可否存在實(shí)數(shù)k，直線ykx2交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓過點(diǎn)D(1,0)？若存在，求出k的值；若不存在，請說明原由．高中數(shù)學(xué)例11、若AB是經(jīng)過橢圓x2y2F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，求12516值.【變式1】已知直線l與橢圓x2y21交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為3，求AOB的面積的最32大值.【變式2】斜率為1的直線l與橢圓x2y21交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB面積取最大值時直線l的42方程.【變式3】已知定點(diǎn)A(a,0)和橢圓x22y28上的動點(diǎn)P(x,y)（1）若a2且|PA|32，計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo)；2（2）若0a3且|PA|的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的值.高中數(shù)學(xué)【變式4】如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，A2,0,B0,1是它的兩個極點(diǎn)，直線ykx(k0)交線段AB于點(diǎn)D，交橢圓于E,F兩點(diǎn).yBF（）若ED6DF，求直線的斜率k；DAx1（2）求四邊形AFBE的面積S的最大值.E【變式5】橢圓x2y21b0的一個焦點(diǎn)是F1,04b2（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，定點(diǎn)M為x軸正半軸上的一點(diǎn)，若PM的最小值為8，求定點(diǎn)M的坐標(biāo)；5（3）若過原點(diǎn)O作互相垂直兩條直線，交橢圓分別于A,C與B,D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的取值范圍.高中數(shù)學(xué)【變式6】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)P到定點(diǎn)3,0,3,0的距離之和為4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，直線l過點(diǎn)E(1,0)，且與曲線C交于A,B兩點(diǎn).（1）求曲線C的方程；（2）以AB為直徑的圓可否經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若能經(jīng)過，求此時直線l的方程，若不能夠，說明原由.（3）AOB的面積可否存在最大值？若存在，求出頭積的最大值，以及此時的直線方程，若不存在，請說明原由.例12、已知橢圓x22y2a2(a0)的一個極點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4．（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線yk(x1)與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，試問，可否存在x軸上的點(diǎn)Mm,0，使得對任意的kR，高中數(shù)學(xué)MAMB為定值，若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明原由.【變式1】過橢圓x2y21長軸上某一點(diǎn)Ss,0（不含端點(diǎn)）作直線l（不與x軸重合）交橢圓于M,N兩點(diǎn)，若82點(diǎn)Tt,0滿足：OSOT8，求證：MTSNTS.【變式2】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為4，且點(diǎn)1,3在橢圓C上．2（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)P是橢圓C長軸上的一個動點(diǎn)，過P作方向向量d2,122的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求證：PAPB為定值．高中數(shù)學(xué)3】如圖，A為橢圓x2+y2【變式221ab0上的一個動點(diǎn)，弦AB,AC分別過橢圓的的左右交點(diǎn)F1,F2.當(dāng)abyACx軸時，恰好AF13AF2A（1）求c的值BF1F2xCa（2）若AF11F1B，AF22F2C，試判斷12可否為定值？若是，求出定值；若不是，說明原由.【變式4】線段A,B分別在x軸，y軸上滑動，且AB3，M為線段AB上的一點(diǎn)，且AM1，M隨A,B的滑動而運(yùn)動（1）求動點(diǎn)M的軌跡方程E；高中數(shù)學(xué)（2）過N(3,0)的直線交曲線E于C,D兩點(diǎn)，交y軸于P，PC1CN，PD2DN，試判斷12可否為定值？若是，求出定值；若不是，說明原由.22【變式5】如圖，已知橢圓C：x2y21，其左右焦點(diǎn)為F11,0及F21,0，過點(diǎn)F1的直線交橢圓C于A,Bab兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn)，且AF1、F1F2、AF2構(gòu)成等差數(shù)列.yA（1）求橢圓C的方程；（2）記△GF1D的面積為S1，△OED（O為原點(diǎn)）的面積為S2．GDOxF1EF2試問：可否存在直線AB，使得S1S2？說明原由．B【變式6】已知橢圓C的方程為x2y21(a0)，其焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)Q(2,7)為橢圓上一點(diǎn)．a(chǎn)2222（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；高中數(shù)學(xué)（2）設(shè)動點(diǎn)P00)滿足OPOM2ON，其中M、N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON(x,y的斜率之積為1，求證：x022y02為定值；2（3）在（2）的條件下研究：可否存在兩個定點(diǎn)A,B，使得PAPB為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明原由．例13、橢圓的一個極點(diǎn)A(0,1)，焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到直線xy220的距離為3.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓與直線ykxm(k0)訂交于不同樣兩點(diǎn)M,N，當(dāng)AMAN時，求實(shí)數(shù)m的取值