學(xué)科數(shù)學(xué)-基礎(chǔ)課數(shù)分9第1517章精講學(xué)姐

考研人幫考研人 今天你的明天考研人幫考研人 今天你的明天 只有修改好備注，小老師才能夠核實你是欣途學(xué)，才能在YY里面課程考研人幫考研人 今天你的明天 級多元函數(shù)微分課程總 互動答考研人幫考研人 今天你的明天 考研人幫考研人 今天你的明天 以為周期 級 以2l為周期 級奇、偶函數(shù) 級考研人幫考研人 今天你的明天 ?以為周期 2

(ancosnxbnsinnx)是由三角函數(shù)考研人幫考研人 今天你的明天 （2）以為周期 若在整個數(shù)軸上f(x)

a0

(acosnxbsinnn nn a0f(x)dx

f(x)cosnxdx,nb f(x)sinnxdx,n 記作f(x)~2

cosnxbnsin考研人幫考研人 今天你的明天

若以為周期的函數(shù)在[-上按段光滑，則在每一 f(x0)f(x

cosnx

sin

考研人幫考研人 今天你的明天 x,0x 設(shè)函數(shù)f(x)0,x0,求f 考研人幫考研人 今天你的明天 考研人幫考研人 今天你的明天 ?以2l為周期 cos

f(x)~a2

nn

llll

f(x)f(x) nxdx,n0,1,2lf(x) nxdx,n1,2 l

f(x0)f(x0)

a

nx

n

考研人幫考研人 今天你的明天 ?奇函數(shù)、偶函數(shù) 余弦級數(shù)與正弦級

1 f(x)cos

a1 f(x)cosnxdx0,n l

l lf(x)cosnxdx,n

b1 f(x)sinl

l b1 f(x)sinnxdx0,n

l

l

f 級數(shù)只含有正弦函數(shù)的即f(x)~2

an

即f(x~bn

考研人幫考研人 今天你的明天 偶式延拓與奇式延考研人幫考研人 今天你的明天 p84習(xí)題2考研人幫考研人 今天你的明天 例 .2解

x)dx2(x1x2)

2

(2x)cosnxdx

(cosnxxcos cosnxdx xcosnxdx1sin 21cosnxxsinnx0 0

0

n2 21(cosncos0) 2

2

1

nn

1

cosnx

cos當(dāng)x時，f(x)收斂于f(0)f(0),當(dāng)x0時，f(x)收斂于f(00)f(00) 考研人幫考研人 今天你的明天 考研人幫考研人 今天你的明天

考研人幫考研人 今天你的明天 ?可微與偏導(dǎo)數(shù)定義 設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點P0(x0,y0)的某鄰域U(P0)上有定義，對于U(P0中的點P(x,y)x0xy0y)，若函數(shù)f在點P0處的全增量zzf(x0x,y0y)f(x0,y0)AxBy (x,y (x,y若A,B僅是與點P0有關(guān)的常數(shù)， 0全微分：AxBy為函數(shù)f在點P0的全微分，記作dz df(x0,y0)Ax0考研人幫考研人 今天你的明天 設(shè)函數(shù)zf(x,y),(x,y)D.若(x0,y0)D,f(x0,y0)在x0的某鄰域內(nèi)有定義則當(dāng)極限limxf(x0,y0) f(x0x,y0)f(x0,y0)存在時，稱這個極限為函數(shù) 在點(x,y)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，記作 (x,y)或z(x,y),

,

x(x0,y0)

(x0,y0同樣定義f在點(x,y)關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù) (x,y)或f

y(x0,y0考研人幫考研人 今天你的明天 可微性條件定理71可微的必要條件）二元函數(shù)f在其定義域內(nèi)一點(x0y0f在該點關(guān)于每個自Afxx0y0，Bfyx0y0因此，函數(shù)f在點(x0y0的全微分可唯一地表示 df(xyfxx0y0xfyx0y0y，又可寫為df(xyfxx0y0dxfyx0 若函數(shù)f在區(qū)域D上每一點(x,y)都可微，則稱函數(shù)f在區(qū)域D上可微，且f在D上全微分為df(x,y)fxx,y)dxfyx,y)dy定理72可微的充分條件）函數(shù)zf(xy)的偏導(dǎo)數(shù)在點(x0y0的某鄰域上存在，且fx與fy在點(x0y0連續(xù)，則函數(shù)f在點(x0y0可微.考研人幫考研人 今天你的明天 ?求導(dǎo)法則（鏈式法則 若函數(shù)x(s,t)，y(s,t)在點(s,t)D可微，z f(x,y)在點(x,y)((s,t)，(s,t))可微，則復(fù)合函數(shù)z f((s,t),(s,t))在點(s,t)可微，且它關(guān)于s與t的偏導(dǎo)數(shù)分別為 s(s, t(s,

(x,y)(x,y)

(s, (s,

(x,y)(x,y)

,(s,.(s,考研人幫考研人 今天你的明天 u 1u

u

ur

r2

x

考研人幫考研人 今天你的明天 ?定義 設(shè)三元函數(shù)f在點（x,y,z）的某鄰域U(P)R3有定義 l為從點P0出發(fā)的射線，P(x,y,z)為l上且含于U(P0)內(nèi)的任一點表示P與P兩點間的距離，若極限

f(P)f(P0

lf存， ，則稱此極限為函數(shù)f在點P0沿方向f的方向?qū)?/p>

記作

,

)或

,

,z0定理 若函數(shù)f在點P0(x0,y0,z0)可微，則點沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在，fl(P0)fx(P0cosfy(P0cosfz(P0cos,其中為方向l的方向余弦考研人幫考研人 今天你的明天 ?定義 若函數(shù)f(x,y,z)在點P0(x0,y0,z0)存在對所有自變量的偏導(dǎo)數(shù)，則向量(fx(P0),fy(P0),fz(P0))為函數(shù)f在P0的梯度，記作 (fx(P0),fy(P0),fz(P0向量gradf的長度（或模）為|gradf| f(P)2f(P)2f(P)2 若記l方向上的單位向量為l0=(cos,coscos),則方向?qū)?shù)公式又可寫成flP0gradfP0l0|gradfP0|cos是梯度向量gradfP0與l0的夾角考研人幫考研人 今天你的明天 ?

設(shè)zf(x,y且fx(x,y)與fy(x,y)以及他們關(guān)于x與y的偏導(dǎo)數(shù)存在，y(

y2

x(

fxy(x, )2 2 )2 2x( )2fxx(x, (x,y( ))2考研人幫考研人 今天你的明天 f(x, 例 設(shè)zf(x,

2 2 . 考研人幫考研人 今天你的明天 極值問①多元函數(shù)的極值（極大值、極小值）、(0

fxy(0)

f

fxy (P②黑賽(Hesse)矩陣：Hf( (P

0③求極值0

(0

f

fyy定理17.1極值充分條件）設(shè)二元函數(shù)f在點P0(x0y0的某鄰域U(0上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且P0是f的穩(wěn)定點，則當(dāng)Hf(0是正定矩陣時，f在點P0取得極小值；則當(dāng)Hf(0)是負定矩陣時，f在點P0取得極大值，當(dāng)Hf(0是不定矩陣時，f在點P0不取極值考研人幫考研人 今天你的明天 若函數(shù)f如定理17.11所設(shè).P0是f的穩(wěn)定點，則有2當(dāng)fxx(P0)0,(fxxfyy- )(P)0時，f在點P取得極小值2 當(dāng)fxxP00,f

f

f2P)0f在點P 當(dāng)

f

f2P0fP ( -f2P)0fP當(dāng)f

考研人幫考研人 今天你的明天 考研人幫考研人 今天你的明天

考研人幫考研人 今天你的明天 ?

2{(x,y)|(x-2

{(x,y)|x-

|二元函數(shù)的極限定義重極限與累次極重極限：極 f(x,y)中，兩個自變量x,y同時以任何方式趨于x0,y0.累次極限：Llimlimf(xy)或Klimlimf(xyy0 xx0y重極限與累次極限的關(guān)系考研人幫考研人 今天你的明天 ①若f(x,y)在點(x0y0

f(x,y)與累次極限limlimf(x,y)，則它們必相等(x,y)(x0,y0②若累次極限limlimf(x,y),limlimf(x,y)xx0y yy0 (x,y)(x0,y0

xx0y f(x,y)都存在,則三者相等(x,y)(x0,y0f(