習(xí)題：空間向量與空間角

空間向量與空間角時(shí)間：45分鐘分值：100分一、選擇題(每小題6分，共36分)1．設(shè)直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若〈a，n〉＝eq\f(2π,3)，則l與α所成的角為()\f(2π,3)\f(π,3)\f(π,6)\f(5π,6)圖1解析：如圖1所示，直線l與平面α所成的角θ＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,2)＝eq\f(π,6).答案：C2．三棱錐A－BCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2，若〈n1，n2〉＝eq\f(π,3)，則二面角A－BD－C的大小為()\f(π,3)\f(2π,3)\f(π,3)或eq\f(2π,3)\f(π,6)或eq\f(π,3)圖2解析：如圖2所示，當(dāng)二面角A－BD－C為銳角時(shí)，它就等于〈n1，n2〉＝eq\f(π,3)；當(dāng)二面角A－BD－C為鈍角時(shí)，它應(yīng)等于π－〈n1，n2〉＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).答案：C3．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()\f(\r(10),10)\f(1,5)\f(3\r(10),10)\f(3,5)圖3解析：以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3，設(shè)AB＝a，則AD＝a，AA1＝2a.B(a，a,0)，C(0，a,0)，D1(0,0,2a)，E(a,0，a)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0，－a，a)，eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(0，－a,2a)，∴cos〈eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(CD1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BE,\s\up6(→))·\o(CD1,\s\up6(→)),|\o(BE,\s\up6(→))||\o(CD1,\s\up6(→))|)＝eq\f(a2＋2a2,\r(2)a·\r(5)a)＝eq\f(3\r(10),10).答案：C4．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()\f(\r(3),4)\f(\r(5),4)\f(\r(7),4)\f(3,4)圖4解析：設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連接AO，A1O，則由題意知A1O⊥平面ABC，AO⊥BC，以AO，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)側(cè)棱長為2a，則OA1＝eq\r(AA\o\al(2,1)－AO2)＝eq\r(4a2－3a2)＝a，則A(－eq\r(3)a,0,0)，B(0，－a,0)，A1(0,0，a)．所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))〉＝cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AA1,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AA1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3)a，－a，0·\r(3)a，0，a,\r(\r(3)a2＋－a2)·\r(\r(3)a2＋a2))＝eq\f(3a2,2a·2a)＝eq\f(3,4).答案：D5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AB、C1D1的中點(diǎn)，則A1B1與平面A1EF夾角的正弦值為()\f(\r(6),2)\f(\r(6),3)\f(\r(6),4)\r(2)圖5解析：建系如圖5，設(shè)正方體棱長為1，則A1(1,0,1)，E(1，eq\f(1,2)，0)，F(xiàn)(0，eq\f(1,2)，1)，B1(1,1,1)．eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝(0，eq\f(1,2)，－1)，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(－1，eq\f(1,2)，0)．設(shè)平面A1EF的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1E,\s\up6(→))＝0,n·\o(A1F,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y－z＝0,－x＋\f(y,2)＝0)).令y＝2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,z＝1)).∴n＝(1,2,1)，cos〈n，eq\o(A1B1,\s\up6(→))〉＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).設(shè)A1B1與平面A1EF的夾角為θ，則sinθ＝cos〈n，eq\o(A1B1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(6),3)，即所求線面角的正弦值為eq\f(\r(6),3).答案：B圖66．如圖6所示，已知點(diǎn)P為菱形ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，點(diǎn)F為PC中點(diǎn)，則二面角C－BF－D的正切值為()\f(\r(3),6)\f(\r(3),4)\f(\r(3),3)\f(2\r(3),3)圖7解析：如圖7，連結(jié)AC，AC∩BD＝O，連結(jié)OF，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OF所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，設(shè)PA＝AD＝AC＝1，則BD＝eq\r(3)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0，0))，結(jié)合圖形可知，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))且eq\o(OC,\s\up6(→))為面BOF的一個(gè)法向量，由eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，－\f(1,2)))，可求得面BCF的一個(gè)法向量n＝(1，eq\r(3)，eq\r(3))．∴cos〈n，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(21),7)，sin〈n，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝eq\f(2\r(7),7)，∴tan〈n，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝eq\f(2\r(3),3).答案：D二、填空題(每小題8分，共24分)7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線EF與A1C1所成角的大小是________．圖8解析：以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(如圖8所示)，設(shè)B(2,0,0)，則E(1,0,0)，F(xiàn)(2,2,1)，C1(2,2,2)，A1(0,0,2)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1,2,1)，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(2,2,0)，∴cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(A1C1,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))|·|\o(A1C1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1，2，1·2，2，0,\r(6)·2\r(2))＝eq\f(\r(3),2)，∴〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))〉＝30°.答案：30°圖98．如圖9所示，P是二面角α－AB－β棱上一點(diǎn)，分別在α，β內(nèi)引射線PM，PN，若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，則二面角α－AB－β大小為________．圖10解析：如圖10，過M在α內(nèi)作MF⊥AB，過F在β內(nèi)作FN⊥AB交PN于點(diǎn)N，連結(jié)MN.∵∠MPB＝∠NPB＝45°，∴△PMF≌△PNF.設(shè)PM＝1，則：MF＝NF＝eq\f(\r(2),2)，PM＝PN＝1，又∵∠MPN＝60°，∴MN＝PM＝PN＝1，∴MN2＝MF2＋NF2，∴∠MFN＝90°.答案：90°9．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，給出下列四個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD；②AB、CD所成角為60°；③△ADC為等邊三角形；④AB與平面BCD所成角為60°.其中真命題是________．(請將你認(rèn)為是真命題的序號都填上)解析：如圖11將正方形①取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO、CO，易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC；②如圖11建立空間坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為a，則A(eq\f(\r(2),2)a,0,0)，B(0，－eq\f(\r(2),2)a,0)，故eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)a，－eq\f(\r(2),2)a,0)，C(0,0，eq\f(\r(2),2)a)，D(0，eq\f(\r(2),2)a,0)，故eq\o(CD,\s\up6(→))＝(0，eq\f(\r(2),2)a，－eq\f(\r(2),2)a)，由兩向量夾角公式得：cos〈eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝－eq\f(1,2)，故兩異面直線所成的角為eq\f(π,3)；圖11③在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝eq\f(\r(2),2)a解得：AC＝eq\r(2)AO＝a，故三角形ADC為等邊三角形．④易知∠ABO即為直線AB與平面BCD所成的角，可求得：∠ABO＝45°，故④錯(cuò)．答案：①②③三、解答題(共40分)圖1210．(10分)如圖12在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)．(1)若異面直線AD1與EC所成角為60°，試確定此時(shí)動(dòng)點(diǎn)E的位置；(2)求三棱錐C－DED1的體積．解：(1)以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)E(1，t,0)(0≤t≤2)，則A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，eq\o(D1A,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1，t－2,0)，根據(jù)數(shù)量積的定義及已知得：∴1＋0×(t－2)＋0＝eq\r(2)×eq\r(1＋t－22)·cos60°，∴t＝1，∴E的位置是AB中點(diǎn)．(2)VC－DED1＝VD1－DEC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3).圖1311．(15分)(2022·課標(biāo)全國高考)如圖13，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)證明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．解：(1)證明：因?yàn)椤螪AB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝eq\r(3)AD.從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)如圖14，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.則A(1,0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，C(－1，eq\r(3)，0)，P(0,0,1)．圖14eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1,0,0)．設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PB,\s\up6(→))＝0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋\r(3)y＝0，,\r(3)y－z＝0.))因此可取n＝(eq\r(3)，1，eq\r(3))．設(shè)平面PBC的法向量為m，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(PB,\s\up6(→))＝0，,m·\o(BC,\s\up6(→))＝0.))可取m＝(0，－1，－eq\r(3))．cos〈m，n〉＝eq\f(－4,2\r(7))＝－eq\f(2\r(7),7).故二面角A－PB－C的余弦值為－eq\f(2\r(7),7).圖1512．(15分)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形，且PD⊥底面ABCD，其中PD＝AD＝a.(1)求二面角A－PB－D的大?。?2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使PC⊥平面ADE.若存在，試確定E點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．解：(1)方法一：連接AC，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，圖16∵AC⊥BD，AC⊥PD，BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，過O點(diǎn)在平面PBD內(nèi)作OF⊥PB于點(diǎn)F，∵AO⊥PB且OF∩AO＝O，∴PB⊥平面AOF，AF?平面AOF，∴AF⊥PB.則∠OFA是二面角A－PB－D的平面角．由已知得AB⊥PA，PA＝eq\r(2)a，AB＝a，PB＝eq\r(3)a，∴AF＝eq\f(PA·AB,PB)＝eq\f(\r(6),3)a，∴sin∠OFA＝eq\f(AO,AF)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠OFA＝60°，∴二面角A－PB－D的大小為60°.方法二：建立如圖17所示的空間直角坐標(biāo)系，∵PD＝AD＝a且ABCD為正方形，圖17∴D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，a)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,0，－a)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(