高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義新高考版第7講離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布

教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。(雙擊此處可刪除)第7第7講離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布一、知識(shí)梳理.離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…x.…xnPp1p2…pi…Pn⑴均值稱E(X)=%1p1+%2p2H bxpjH bx’pn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)方差n稱D(X)=缶—E(X))2p2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,并稱其算術(shù)平方根、DX為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差..均值與方差的性質(zhì)E(aX+b)=aE(X+b.(2)D(aX+b)=a2D(X).(a,b為常數(shù)).兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p,D(X)=p(1—p).(2)若X?B(n,p)，則E(X)=np,D(X)=np(1—p)..正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方,與x軸不相交.(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線口對(duì)稱.(3)曲線在x=〃處達(dá)到峰值一M.12n(4)曲線與x軸之間的面積為1.(5)當(dāng)。一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移.(6)當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由。確定.。越小,曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中;。越大,曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.常用結(jié)論均值與方差的七個(gè)常用性質(zhì)若y=aX+b,其中a,b是常數(shù),X是隨機(jī)變量，則

教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。(雙擊此處可刪除)(1)E(k)=k,D(k)=0，其中k為常數(shù).E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X).E(X〃X2)=E(Xp+E(X2).D(X)=E(X2)—(E(X))2.(5)若X1,X2相互獨(dú)立，則E(X1-X2)=E(X/E(X2).(6)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p,D(X)=p(1—p).(7)若X服從二項(xiàng)分布，即X?B(n,p)，貝UE(X)=np,D(X)=np(1—p).二、教材衍化.已知X的分布列為設(shè)Y設(shè)Y=2X+3,則E(Y)=X—101P111236*2-37-3解析:e(X)=—2+6=—2-37-3E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=.7答案：3.甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y,其分布列分別為X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是 .解析:E(X)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1.E(Y)=0X0.3+1X0.5+2X0.2=0.9,因?yàn)镋(Y)<E(X).所以乙技術(shù)好.答案:乙.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X?N(3,1),且P(X>2c—1)=P(X<c+3),則c=.解析:因?yàn)閄?N(3,1),所以正態(tài)曲線關(guān)于1=3對(duì)稱，且P(X>2c—1)=P(X<c+3),4所以2c—1+c+3=3X2,所以c=3.答案：3教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。(雙擊此處可刪除)走出誤區(qū)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定.()(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小.()(3)正態(tài)分布中的參數(shù)〃和。完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)〃是正態(tài)分布的均值"是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.()(4)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.()(5)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣,與概率無(wú)關(guān).()答案:(1)J(2)V(3)V(4)V(5)X二、易錯(cuò)糾偏常見(jiàn)誤區(qū)?(1)期望、方差的性質(zhì)不熟導(dǎo)致錯(cuò)誤；(2)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式用法不當(dāng)；(3)求錯(cuò)分布列，導(dǎo)致E?出錯(cuò)..已知兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y滿足X+2Y=4,且X?N(1,22)，則E(Y),D(Y)依次是X.. 1解析:由X?N(1,22)得E(X)=1,D(X)=4.又X+2Y=4,所以Y=2一不,所以E(Y)=2-2E(X)=2,D(Y)=4D(X)=L3答案：2,1.在一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成2所抽取的3道題.乙能正確完成每道題的概率為2,且每道題完成與否互不影響.記乙能答對(duì)的題數(shù)為Y，則Y的數(shù)學(xué)期望為.(32解析:由題意知Y的可能取值為0,1,2,3,且Y?B2，則E(Y)=3X==2.53答案:23?一個(gè)人將編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球,球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同時(shí)就放對(duì)了，否則就放錯(cuò)了.設(shè)放對(duì)個(gè)數(shù)記為乙，則乙的期望值為.解析:將四個(gè)不同小球放入四個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，共有A4種不同放法，放對(duì)93的個(gè)數(shù)乙可取的值有0,1,2,4，其中P(乙=0)=-=0,A4 8

教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。（雙擊此處可刪除）P(不=1)=^a^=3，P(不=2)=￡=4/(《=4)=力=1E(。=0X|+1X3+2X4+4X24答案：1考點(diǎn)一均值與方差的計(jì)算（基礎(chǔ)型）復(fù)習(xí)指導(dǎo)1理解取有限值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算1.已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列如表，則隨機(jī)變量X的方差答案：1考點(diǎn)一均值與方差的計(jì)算（基礎(chǔ)型）復(fù)習(xí)指導(dǎo)1理解取有限值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算1.已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列如表，則隨機(jī)變量X的方差D（X）等于（）X01Pm2m2B.9A.C.D.解析:選B.法一:由m+2m=1得m=；,一 122所以e(X)=0*3+1*3=3,,r 2>2 1 2>222D(X)=10—3JX3+U—3JX3=9.法二:由m+2m=1得m=3,2 2r 2J2根據(jù)兩點(diǎn)分布的期望和方差公式可得e（X）=3,d（X）=3X（1—3J=9.J J 、 J/ 12.有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5,從中任意抽出3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X，則X的數(shù)學(xué)期望是（）A.7.8 B.8C.16D.15.6解析:選A.X的取值為6,9,12，相應(yīng)的概率.C8」 CC1_ZP(X=6)=或=15P(X=9)=竟=15,P(X=12)=罟C10115.7, 7, 1E(X)=6X—+9X—+12X—=7.8.3.某班舉行了一次“心有靈犀”的活動(dòng),教師把一張寫有成語(yǔ)的紙條出示給A組的某個(gè)同學(xué)，這個(gè)同學(xué)再用身體語(yǔ)言把成語(yǔ)的意思傳遞給本組其他同學(xué).若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)成語(yǔ)

教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。(雙擊此處可刪除)的概率是0.4，同學(xué)乙猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.5,且規(guī)定猜對(duì)得1分，猜不對(duì)得0分，這兩個(gè)同學(xué)各猜1次，則他們的得分之和X的數(shù)學(xué)期望為()A.0.9 B.0.8C.1.2DC.1.2解析:選A.由題意,X=0,1,2，則P(X=0)=0.6X0.5=0.3,P(X=1)=0.4X0.5+0.6X0.5=0.5,P(X=2)=0.4X0.5=0.2,所以E(X)=0X0.3+1X0.5+2X0,2=0.9.徽點(diǎn)摞求均值與方差的方法技巧技巧方法適用題型巧用特殊分布列利用相應(yīng)公式直接求解兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布巧借性質(zhì)利用E(aX+b)=aE(X)+bD(aX+b)=a2D(X)兩隨機(jī)變量有明確的線性關(guān)系利用公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2計(jì)算復(fù)雜的方差考點(diǎn)二二項(xiàng)分布的均值與方差(應(yīng)用型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)1能計(jì)算二項(xiàng)分布的均值與方差.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)建模例1霧霾天氣對(duì)人體健康有傷害，應(yīng)對(duì)霧霾污染、改善空氣質(zhì)量的首要任務(wù)是控制PM2.5,要從壓減燃煤、嚴(yán)格控車、調(diào)整產(chǎn)業(yè)、強(qiáng)化管理、聯(lián)防聯(lián)控、依法治理等方面采取重大舉措,聚焦重點(diǎn)領(lǐng)域，嚴(yán)格考核指標(biāo).某省環(huán)保部門為加強(qiáng)環(huán)境執(zhí)法監(jiān)管，派遣四個(gè)不同的專家組對(duì)A、B、C三個(gè)城市進(jìn)行治霾落實(shí)情況抽查.(1)若每個(gè)專家組隨機(jī)選取一個(gè)城市，四個(gè)專家組選取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一個(gè)城市沒(méi)有專家組選取的概率；(2)每一個(gè)城市都要由四個(gè)專家組分別對(duì)抽查情況進(jìn)行評(píng)價(jià)，并對(duì)所選取的城市進(jìn)行評(píng)價(jià),每個(gè)專家組給檢查到的城市評(píng)價(jià)為優(yōu)的概率為2,若四個(gè)專家組均評(píng)價(jià)為優(yōu)則檢查通過(guò)不用復(fù)檢，否則需進(jìn)行復(fù)檢?設(shè)需進(jìn)行復(fù)檢的城市的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和期望.【解】(1)隨機(jī)選取,共有34=81種不同方法，恰有一個(gè)城市沒(méi)有專家組選取的有C1(C1A2+C2)=42種不同方法，4214故恰有一個(gè)城市沒(méi)有專家組選取的概率為式=房.8127(2)設(shè)事件A:“一個(gè)城市需復(fù)檢”，則P(A)=1一即=點(diǎn),X的所有可能取值為0,1,2,3,p(p(x=0)=C0?用3=4-096Px=1)=C3(.-1>[q=金px=2)=C2.1xyg)21167,1167=4096PlX=2)=C21遍-1167教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。(雙擊此處可刪除)_675=4096_675=4096,P(X=3)=C33754096,所以X的分布列為X?X?B丘，E(X)=卷噎k167X0123P14567540963375409640964096⑴求離散型隨機(jī)變量乙的均值與方差的步驟①理解乙的意義，寫出乙可能的全部取值;②求乙取每個(gè)值的概率；③寫出乙的分布列;④由均值的定義求E(今⑤由方差的定義求D?.(2)二項(xiàng)分布的期望與方差如果:?B(n,p)，則用公式E?=np;D?=np(1一p)求解,可大大減少計(jì)算量.［提醒］均值E(X)由X的分布列唯一確定，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而E(X)是不變的,它描述X取值的平均水平.電子商務(wù)在我國(guó)發(fā)展迅猛,網(wǎng)上購(gòu)物成為很多人的選擇.某購(gòu)物網(wǎng)站組織了一次促銷活動(dòng)，在網(wǎng)頁(yè)的界面上打出廣告:高級(jí)口香糖,10元錢三瓶，有8種口味供您選擇(其中有1種為草莓口味).小王點(diǎn)擊進(jìn)入網(wǎng)頁(yè)一看，只見(jiàn)有很多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起，看不見(jiàn)具體口味，由購(gòu)買者隨機(jī)點(diǎn)擊進(jìn)行選擇(各種口味的高級(jí)口香糖均超過(guò)三瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同,每點(diǎn)擊選擇一瓶后,網(wǎng)頁(yè)自動(dòng)補(bǔ)充相應(yīng)的口香糖).(1)小王花10元錢買三瓶,請(qǐng)問(wèn)小王收到貨的組合方式共有多少種？(2)小王花10元錢買三瓶,由小王隨機(jī)點(diǎn)擊三瓶，請(qǐng)列出有小王喜歡的草莓味口香糖的瓶數(shù)乙的分布列,并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望和方差.解:(1)若三瓶口味均不一樣，有C8=56(種)；若其中兩瓶口味一樣，有C8c7=56(種)；若三瓶口味一■樣，有8種.故小王收到貨的組合方式共有56+56+8=120(種).(2片所有可能的取值為0,1,2,3.因?yàn)楦鞣N口味的高級(jí)口香糖均超過(guò)3瓶,且各種口味的瓶數(shù)相同，有8種不同口味，所以小王隨機(jī)點(diǎn)擊一次是草莓味口香糖的概率為1,8教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。（雙擊此處可刪除）即隨機(jī)變量（服從二項(xiàng)分布，即:?B1-

k87.一 「13。乙1、343P(1fX^X(L8J=在PkDyf8)TP(『尸?如"工器P1『fxOi1-8所以乙的分布列為(0123P343512147512215121512 13數(shù)學(xué)期望E?=np=3X-=-,8 8… 1721萬(wàn)差D?=np（1-p）=3*8*8=舒考點(diǎn)三均值與方差的實(shí)際應(yīng)用（應(yīng)用型）復(fù)習(xí)指導(dǎo)1能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)建模例2某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,并按照質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級(jí)如下：質(zhì)量指標(biāo)值mm<8585Wm<105m三105等級(jí)三等品二等品 ^竺匕等口口現(xiàn)在從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了200件作為樣本，檢驗(yàn)其質(zhì)量指標(biāo)值，得到了現(xiàn)給出三個(gè)條件：①y=0.02.②質(zhì)量指標(biāo)值不超過(guò)95的有65件.教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。(雙擊此處可刪除)③質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)是*.從①②③中選一個(gè)填入下面的橫線上,并回答問(wèn)題.若.(1)在樣品中，按照產(chǎn)品等級(jí)用分層抽樣的方法抽取8件,再?gòu)倪@8件產(chǎn)品中任取4件，求4件產(chǎn)品中三等品、二等品、一等品都有的概率；(2)若將頻率視為概率,已知該企業(yè)每銷售一件此產(chǎn)品中的一等品的利潤(rùn)為10元,銷售一件二等品和三等品的利潤(rùn)都是6元,那么銷售600件此種產(chǎn)品，所獲利潤(rùn)的期望值是多少元？【解】 若選①y=0.02.則有(0.0025+0.009+0.01+0.02+0.026+0.0025+%)X10=1,解得％=0.03.(1)由頻率分布直方圖可知，樣品中三等品、二等品、一等品的頻率分別為(0.0025+0.01)X10=0.125,(0.02+0.03)X10=0.5,(0.026+0.009+0.0025)X10=0.375,所以樣品中三等品、二等品、一等品的件數(shù)分別為25,100,75.若按照產(chǎn)品等級(jí)用分層抽樣的方法抽取8件產(chǎn)品,那么應(yīng)抽取的三等品、二等品、一等品的件數(shù)分別為1,4,3.從這8件產(chǎn)品中任取4件,共有C8種等可能的取法，其中三等品、二等品、一等品都有的取法有C](C4c2+C2Cp種.故4件產(chǎn)品中三等品、二等品、一等品都有的概率p=C191cc+c2c3)=7.8(2)由(1)知，從該企業(yè)此產(chǎn)品中任取一件，其中是一等品的概率為0.375,是二等品或三等品的概率為0.625.設(shè)從此產(chǎn)品中任取一件并銷售所得的利潤(rùn)為n，則n的分布列為n106p0.3750.625因此E(n)=10x0.375+6X0.625=7.5(元).故銷售600件此種產(chǎn)品,所獲利潤(rùn)的期望值為600E(n)=600X7.5=4500(元).若選②,質(zhì)量指標(biāo)值不超過(guò)95的有65件.則有(0.0025+0.01+y)X10X200=65.解得y=0.02.下與選①相同.若選③，質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)是哈，則(105—665)X%+(0.026+0.009+0.0025)X10=0.5.解得％=0.03.下與選①相同.均值與方差的實(shí)際應(yīng)用(1)D(X)表示隨機(jī)變量X對(duì)E(X)的平均偏離程度,D(X)越大表明平均偏離程度越大,說(shuō)明X的取值越分散;反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近，統(tǒng)計(jì)中常用\；DX)來(lái)描述X的分散程度.教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。(雙擊此處可刪除)(2)隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定.(2020.湖北武漢模擬)某保險(xiǎn)公司對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為A,B,C三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000,6000,2000,由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如表(并以此估計(jì)賠付概率):工種類別ABC賠付頻率110521051104已知A,B,C三類工種的職工每人每年保費(fèi)分別為25元、25元、40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元、100萬(wàn)元、50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年10萬(wàn)元.(1)求保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的期望值；(2)現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：方案1:企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn),出意外企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業(yè)開(kāi)展這項(xiàng)工作的固定支出為每年12萬(wàn)元；方案2:企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的70%,職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的30%,出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無(wú)額外專項(xiàng)開(kāi)支.請(qǐng)根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.解：(1)設(shè)工種A,B,C職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益為隨機(jī)變量X,Y,,Z,則X,Y,,Z的分布列分別為X2525—100X104P1—1051105Y2525—100X104P1—1052105Z4040—50X104P1—1041104所以E(X)=25*(1—10)+(25—100*104)**=15,教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。(雙擊此處可刪除)E(Y)=25x(1一■+(25—100X104)X^=5,E(Z)=40x(1—104)+(40—50*104)*七=一10,保險(xiǎn)公司所獲利潤(rùn)的期望值為12000X15+6000X5—2000X10—100000=90000,所以保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的期望值為9萬(wàn)元.(2)方案1:企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，則企業(yè)每年安全支出與固定開(kāi)支共為121, 2, 1,000X100X104X+6000X100X104X+2000X50X104X， +12X104=46X104；105 105 104 '方案2:企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，則企業(yè)支出保險(xiǎn)金額為(12000X25+6000X25+2000X40)X0.7=37.1X104.因?yàn)?6X104>37.1X104,所以建議企業(yè)選擇方案2.考點(diǎn)四正態(tài)分布(基礎(chǔ)型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)1認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Na/2),若P(X>4)=P(X<0),則〃=()TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.23 D.44+0解析:選B.正態(tài)曲線關(guān)于直線x=〃對(duì)稱，若P(X>4)=P(X(0),則〃=2—=2.2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(X三4)=0.1587,則P(2<X<4)=( )A.0.6826 B.0.3413C.0.460C.0.4603解析:選A.因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(x三4)=0.1587,所以P(X<2)=0.1587,所以P(2<X<4)=1—P(XW2)—P(X三4)=0.6826,故選A.3.某校在一次月考中有900人參加考試，數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布X?N(90,a2)(a>0,試卷滿分150分)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的35,則此次月考中數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的學(xué)生約有人.解析:因?yàn)槌煽?jī)服從正態(tài)分布X?N(90,a2),所以其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x=90對(duì)稱,3又因?yàn)槌煽?jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的5,由對(duì)稱性知成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的9(1—5)=1,所以此次數(shù)學(xué)考試成

教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。(雙擊此處可刪除)績(jī)不低于110分的學(xué)生約有1*900=180(人).答案：180服從n服從n5,⑸的隨機(jī)變量x在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率的求法(1)利用P(u—o<XW〃+o),Pa-2o<XW〃+2o),Pa—3o<XW〃+3o)的值直接求;(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與％(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與％軸之間的面積為1這些特殊性質(zhì)求解.［基礎(chǔ)題組練］1.已知隨機(jī)變量(服從正態(tài)分布N(2,o2),且P((<4)=0.8，則P(0<(<4)=( )A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.2解析:選A.由P((<4)=0.8，得P((三4)=0.2.又正態(tài)曲線關(guān)于％=2對(duì)稱，則P((<0)=P((三4)=0.2,所以P(0<(<4)=1—P((W0)—P((三4)=0.6.2.口袋中有編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè)，2.口袋中有編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè)，則取出的球的最大編號(hào)X的期望為()1A.C.2D.8解析:選D.因?yàn)榭诖杏芯幪?hào)分別為1,2,3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè)，所以取出的球的最大編號(hào)X的可能取值為2,3所以P(X=2)=ct=z,P(X=3)=「好=2，所22, 1, 28以E(X)=2*§+3*3=3.3.修選3.修選)甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布N(u1,卬,N(u2,%)，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示,則下列說(shuō)法正確的是()A.甲類水果的平均質(zhì)量u1=0.4kgB.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小

教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。(雙擊此處可刪除)D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)e=1.99解析:選ABC.由圖象可知甲圖象關(guān)于直線l=0.4對(duì)稱，乙圖象關(guān)于直線l=0.8對(duì)稱，所以〃1=0.4,〃2=0.8,〃1V〃2,故A正確,C正確;因?yàn)榧讏D象比乙圖象更“高瘦”，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確;因?yàn)橐覉D象的最大值為1.99,即2m2=1.99,所以m產(chǎn)1.99，故D錯(cuò)誤.4.已知隨機(jī)變量X+n=8,若X?B(10,0.6)，則E(n),D(n)分別是()A.6,2.4 B.2,2.4C.2,5.6 D.6,5.6解析:選b.由已知隨機(jī)變量x+n=8,所以n=8-x.因此，求得E(n)=8-E(X)=8-10X0.6=2,D(n)=(-1)2D(X)=10X0.6X0.4=2.4..某籃球隊(duì)對(duì)隊(duì)員進(jìn)行考核，規(guī)則是①每人進(jìn)行3個(gè)輪次的投籃;②每個(gè)輪次每人投籃22次，若至少投中1次，則本輪通過(guò)，否則不通過(guò).已知隊(duì)員甲投籃1次投中的概率為2.如果甲各次投籃投中與否互不影響,那么甲3個(gè)輪次通過(guò)的次數(shù)X的期望是()8A.3 B.3D.C.D.81解析:選B.在一輪投籃中，甲通過(guò)的概率為P=§,未通過(guò)的概率為§.由題意可知,甲3個(gè)輪次通過(guò)的次數(shù)X的可能取值為0,1,2,3,則P則P(X=0)=(1)3=729,P(X=1)=QX8Ka>=旦=_8_9)XP(X=1)=QX/ - - (8A2(1/19264p(X=2)=C2XgJX?=729=243,/ °、但￥512p(X=3)=?=729.所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123p1729824364243512729劃坐宜日詡J7/va—ny----1-1y8乂 乂」1、——父父學(xué)/期^望E(X)0X729+1X243+2X243+3X7293..若隨機(jī)變量(的分布列如下表所示,E?=1.6，則a—b=

教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。(雙擊此處可刪除)W0123P0.1ab0.1解析:易知a,b￡［0,1］,由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8，又由E?=0X0.1+1Xa+2Xb+3X0.1=1.6，得a+2b=1.3，解得a=0.3,b=0.5，則a—b=—0.2.答案:一0.2.已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位:克)服從正態(tài)分布N(100,4),現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在［98,104］內(nèi)的產(chǎn)品估計(jì)有件.(附:若X服從N(pm),則P(u—o<X<〃+o)=0.6827,Pa—2o<X<〃+2o=0.9545)0.9545—0.68272 =解析:由題意可得，該正態(tài)分布的對(duì)稱軸為％=100，且o=2,則質(zhì)量在［96,104］內(nèi)的產(chǎn)品的概率為Pa—2o<X<p+2o)=0.9545,而質(zhì)量在［98,102］內(nèi)的產(chǎn)品的概率為P&-o<X0.9545—0.68272 ==0.6827,結(jié)合對(duì)稱性可知，質(zhì)量在［98,104］內(nèi)的產(chǎn)品的概率為0.6827+0.8186,據(jù)此估計(jì)質(zhì)量在［98,104］內(nèi)的產(chǎn)品的數(shù)量為10000X0.8186=8186(件).答案:8186.(2020?浙江浙北四校模擬)已知袋子中有大小相同的紅球1個(gè)，黑球2個(gè)，從中任取2個(gè).設(shè)乙表示取到紅球的個(gè)數(shù)，則E?=D?=解析:從袋中3個(gè)球中任取2個(gè)球,共有0種取法，則其中<的可能取值為0,1,且(服從超 C2 1 C1C12.. 1 22 (-2)2幾何分布，所以P(<=0)=C|=3,P(<=1)=芯=,所以E?=0X3+1X3=30?=(0—3)1/2)222X3+l1—行X3=92答案:3.若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下:若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分;若能被5整除，但不能被10整除，得一1分;若能被10整除，得1分.(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；(2)若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解:(1)個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345.(2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為C9=84，隨機(jī)變量X可能的取值為0,—1,1，因, Q2 C2 1此P(x=0)=W=3，p(x=—1)=c4=14,1211P(X=D=1-R-3=行所以X的分布列為教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案1進(jìn)店下載。(雙擊此處可刪除)X0—11P211131442一 2. 1, 114則e(X)=0X3+(-i)x—+1X42=21-.已知6只小白鼠中有1只感染了病毒,需要對(duì)6只小白鼠進(jìn)行病毒DNA化驗(yàn)來(lái)確定哪一只受到了感染.下面是兩種化驗(yàn)方案:方案甲:逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染病毒的小白鼠為止.方案乙:將6只小白鼠分為兩組，每組三只，將其中一組的三只小白鼠的待化驗(yàn)物質(zhì)混合在一起化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果顯示含有病毒DNA,則表明感染病毒的小白鼠在這三只當(dāng)中，然后逐個(gè)化驗(yàn),直到確定感染病毒的小白鼠為止;若化驗(yàn)結(jié)果顯示不含病毒DNA,則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn).(1)求執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率；(2)若首次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為10元，第二次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為8元，第三次及以后每次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)都是6元，求方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)的分布列和期望.解:(1)執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的情況分兩種:第一種,先化驗(yàn)一組,結(jié)果顯示不含病毒DNA,再?gòu)牧硪唤M中任取一只進(jìn)行化驗(yàn),其恰含有病毒DNA,此種情況的概率為C5xC;=C3C31；第二種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯示含病毒DNA,再?gòu)闹兄饌€(gè)化驗(yàn),恰好第一只含有病毒，此種情況的概率為導(dǎo)導(dǎo)1所以執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率為1+1=!663(2)設(shè)用方案甲化驗(yàn)需要的化驗(yàn)費(fèi)為n(單位:元)，則n的可能取值為10,18,24,30,36.p(n=10)=6511P(n=18)=6X5=6, …5411p(n=24)=6x5x4=6,, cc 5 4 3 1 1P(n=30)=6X5X4X3=6, “ 5 4 3 2 1P(n=36)=6X5X4X3=3,

教案、講義、課件、試卷、PPT模板、實(shí)用文案，請(qǐng)關(guān)注【春暖文案】進(jìn)店下載。(雙擊此處可刪除)［綜合題組練］1.(2020?湖北部分重點(diǎn)中學(xué)測(cè)試)為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象能力(指標(biāo)％)、推理能力(指標(biāo)y)、建模能力(指標(biāo)z)的相關(guān)性，將它們各自量化為1,2,3三個(gè)等級(jí),再用綜合指標(biāo)⑴=%+y+z的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”若⑴三7,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí);若5W⑴忘6,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí);若3W①W4,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí).為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),調(diào)查人員隨機(jī)訪問(wèn)了某校10名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：學(xué)生編號(hào)A1A2A3A4A5(%,y,z)(2,2,3)(3,2,3)(3,3,3)(1,2,2)(2,3,2)學(xué)生編號(hào)A6A8A9A10(%,y,z)(2,3,3)(2,2,2)(2,3,3)(2,1,1)(2,2,2)⑴從這10名學(xué)生中任取2人，求這2人的建模能力指標(biāo)相同條件下綜合指標(biāo)值也相同的概率；(2)從這10名學(xué)生中任取3人，其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)是一級(jí)的學(xué)生人數(shù)記為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解:⑴A1A2A3A4A5A6A7A8A9A1