胡建華-矩陣論-第7章(廣義逆矩陣)簡(jiǎn)化講稿

第七章廣義逆矩陣簡(jiǎn)化講稿問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}1：由線性代數(shù)知，如果是可逆矩陣，則線性方程組有唯一解。是用由唯一確定的矩陣來(lái)寫(xiě)的解的表達(dá)式。對(duì)于一般的相容方程（即有解的方程），其解可能唯一，也可能有無(wú)窮多解。如果和是具體給出的，我們會(huì)求其通解。如果和不具體給出，能不能用由唯一確定的矩陣來(lái)寫(xiě)出解的表達(dá)式？問(wèn)題2：如果是矛盾方程組（即無(wú)解的方程組），當(dāng)然談其精確解是沒(méi)有意義的，但可以求其“最佳近似解”?！白罴呀啤钡臉?biāo)準(zhǔn)通常取為我們稱上面極小化問(wèn)題為線性方程的最小二乘問(wèn)題，最小二乘問(wèn)題的解稱為最小二乘解。這就產(chǎn)生如下問(wèn)題：最小二乘解是否存在，是否唯一，當(dāng)和不具體給出時(shí)，如何寫(xiě)出其解的表達(dá)式。本章我們將用廣義逆矩陣來(lái)寫(xiě)出最小二乘解的通式。值得注意的是，當(dāng)有解時(shí)，最小二乘問(wèn)題也是有意義的，此時(shí)。顯然的解與其最小二乘解是一樣的。所以只需討論最小二乘解。定義1設(shè)如果存在同時(shí)滿足下列四個(gè)Penrose方程MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h則稱為的Moore–Penrose廣義逆矩陣（以后簡(jiǎn)稱的廣義逆），記為。 顯然，當(dāng)可逆時(shí)，滿足上面四個(gè)方程，因此，廣義逆是逆矩陣的推廣。定理1設(shè)，則的廣義逆存在且唯一。證設(shè)，若即是階零矩陣，可以驗(yàn)證階零矩陣滿足四個(gè)Penrose方程。若由滿秩分解定理知，存在，使得令可以直接驗(yàn)證滿足四個(gè)Penrose方程，故的廣義逆存在。再證明唯一性。設(shè)和都滿足四個(gè)Penrose方程，則從而，的廣義逆是唯一的。推論若矩陣是列滿秩的，則有滿秩分解，因此若矩陣是行滿秩的，則有滿秩分解，因此若矩陣有滿秩分解GOTOBUTTONZEqnNum209791REFZEqnNum209791\!(1.1)，則由GOTOBUTTONZEqnNum400152REFZEqnNum400152\!(1.3)和GOTOBUTTONZEqnNum947819REFZEqnNum947819\!(1.4)又得式GOTOBUTTONZEqnNum231063REFZEqnNum231063\!(1.2)、GOTOBUTTONZEqnNum400152REFZEqnNum400152\!(1.3)、GOTOBUTTONZEqnNum947819REFZEqnNum947819\!(1.4)提供了計(jì)算一種方法例1設(shè)為階對(duì)角矩陣，即，則其中。證易直接驗(yàn)證滿足四個(gè)Penrose方程。例2已知，求。解，矩陣是行滿秩的，故有例3已知，求解首先利用初等行變換求出的最簡(jiǎn)階梯矩陣為因此的滿秩分解為，其中，于是矩陣的奇異值分解又給出了的另一表達(dá)式。見(jiàn)下面定理。定理2設(shè)的奇異值分解為其中，為正奇異值。都是正交矩陣。則證容易直接驗(yàn)證式GOTOBUTTONZEqnNum587541REFZEqnNum587541\!(1.7)定義的滿足Penrose四個(gè)方程。例4已知，求解先求的奇異值分解。其中因此本節(jié)最后敘述一些性質(zhì)。定理3設(shè)則（1）；（2）；（3）；（4）若，其中為階非奇異矩陣，則（5）設(shè)都是正交矩陣，則（6）（7）證（1）～（5）由定義易證。（6）和（7）由廣義逆的表達(dá)式GOTOBUTTONZEqnNum587541REFZEqnNum587541\!(1.7)易證。盡管廣義逆矩陣與普通的逆矩陣的性質(zhì)非常接近，但逆矩陣的有些性質(zhì)對(duì)并不成立。例5舉例說(shuō)明；；。解（1）設(shè)，，由可得，；又為滿秩矩陣，則，從而，而，則；（2）設(shè)，由可得因?yàn)?，所以；而，則。又，，因此有。 下面將用廣義逆來(lái)表示線性方程組最小二乘解（包括的解）。定理4方程組的最小二乘解的通式為其中是任一向量。證（I）當(dāng)有解時(shí)，下面證明的通解是GOTOBUTTONZEqnNum128310REFZEqnNum128310\!(1.8)。顯然是的一個(gè)特解，這是因?yàn)?，設(shè)的一個(gè)解為，由廣義逆的定義下面只需再證的通解是。由廣義逆的定義說(shuō)明對(duì)任意，都是的解。反之，設(shè)是的任一解，即，從而，說(shuō)明具有的形式。因此，的通解是。（II）當(dāng)無(wú)解時(shí)，下面證明其最小二乘解，即法方程組的通解是式GOTOBUTTONZEqnNum128310REFZEqnNum128310\!(1.8)。因?yàn)榉ǚ匠探MGOTOBUTTONZEqnNum878880REFZEqnNum878880\!(1.9)總是有解的，由（I）的結(jié)論，法方程組GOTOBUTTONZEqnNum878880REFZEqnNum878880\!(1.9)的通解是由奇異值分解GOTOBUTTONZEqnNum889953REFZEqnNum889953\!(1.6)得由定理3得因此于是將式GOTOBUTTONZEqnNum894747REFZEqnNum894747\!(1.11)和GOTOBUTTONZEqnNum102121REFZEqnNum102121\!(1.12)代入式GOTOBUTTONZEqnNum519229REFZEqnNum519229\!(1.10)，即最小二乘通解是式GOTOBUTTONZEqnNum128310REFZEqnNum128310\!(1.8)。當(dāng)?shù)淖钚《私獠晃ㄒ粫r(shí)，通常我們關(guān)心的是2－范數(shù)最小的最小二乘解。簡(jiǎn)稱最小范數(shù)解，記為。定理5方程組的最小范數(shù)解存在且唯一，表達(dá)式為證由最小二乘通解表達(dá)式GOTOBUTTONZEqnNum128310REFZEqnNum128310\!(1.8)，顯然是一個(gè)最小二乘解。下面證明與正交。而所以設(shè)，從而（勾股定理