中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題24《特殊平行四邊形的存在性》

中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題24《特殊平行四邊形的存在性》中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題24《特殊平行四邊形的存在性》中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題24《特殊平行四邊形的存在性》中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題24《特殊平行四邊形的存在性》編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:專題24《特殊平行四邊形的存在性》破解策略在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加一些條件，即可得到特殊的平行四邊形因而可以結(jié)合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四邊形的存在性”來解決這類問題．例題講解例1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：y＝ax＋a與拋物線的另一交點(diǎn)為C，設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，那么以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)是四邊形能否成為矩形?若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能，請說明理由．解：以點(diǎn)A，C，P，Q為都頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形．令ax2－2a－3a＝ax＋a．解得x1＝－1，x2＝4，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，0），C的坐標(biāo)為（4，5a）．因?yàn)閥＝ax2－2ax－3a，所以拋物線的對稱軸為x＝1．則xP＝1．①若AC是矩形的一條邊，如圖，則xA＋xP＝xC＋xQ，可得xQ＝－4，從而點(diǎn)Q坐標(biāo)為（－4，21a）．同樣yA＋yP＝y(tǒng)C＋yQ，可得yP＝26a，從而點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，26a）．因?yàn)锳C＝PQ，所以有22＋（26a）2＝82＋（16a）2，解得，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）②若AC是矩形的一條對角線，如圖．則xA＋xC＝xP＋xQ，可得xQ＝2，從而點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，－3a）．同樣yA＋yC＝y(tǒng)P＋yQ，可得yP＝8a，從而點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，8a）．因?yàn)锳C＝PQ，所以有52＋（5a）2＝12＋（11a）2，算得，所以此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，－4）綜上可得，以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）或（1，－4）．例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABCD的中心與原點(diǎn)重合，C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，3）．現(xiàn)有兩動點(diǎn)P，Q分別從A，C同時出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AD向終點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)Q沿折線CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）菱形ABCD的邊長是_____，面積是_____，高BE的長是_____;（2）若點(diǎn)P的速度為每秒1個單位．點(diǎn)Q的速度為每秒k個單位．在運(yùn)動過程中，任何時刻都有對應(yīng)的k值，使得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形．請?zhí)骄慨?dāng)t＝4秒時的情形，并求出k的值．解：（1）5，24，4．8．（2）要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，翻折前后兩個圖形是全等的，所以要滿足四邊形是菱形只需△APQ為等腰三角形即可．當(dāng)t＝4時，AP＝4．①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時，PQ≥BE＞AP，同理，AQ＞AP，所以只存在QA＝QP的等腰三角形．過點(diǎn)Q作QH⊥AP于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)F，則AH＝PH＝AP＝2易證：△AFH∽△CFQ∽△ADO，所以可得從而k＝②當(dāng)Q在BA上時，有兩種情況的等腰三角形存在：（i）如圖1，當(dāng)AP＝AQ時，此時點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對稱，BQ＝PD＝1所以，k＝（ⅱ）如圖3，當(dāng)PA＝PQ時，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H．易證△AHP∽△AEB，所以，其中AE＝所以AH＝，AQ＝2AH＝，所以k＝．（ⅲ）由①可得，AP的垂直平分線與BC相交，所以點(diǎn)Q在線段AB上時，不存在AQ＝PQ這種情況．綜上所得，滿足條件的k值為，，．例3如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是M′．問：是否存在拋物線使得四邊形AMBM′為正方形？若存在，請求出拋物線的表達(dá)式；若不存在，請說明理由．

解：存在易得AMBM’是菱彤，所以當(dāng)AB＝MM′時，四邊彤AMBM′是正方形設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，0），B的坐標(biāo)為（x2，0）．令所以x1＋x2＝2，x1·x2＝2c所以AB＝＝點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為若四邊形AMBM’為正方形，則有．解得又因?yàn)橐阎獟佄锞€與x軸有兩個交點(diǎn)，所以解得c＜，所以c的值為．所以存在拋物線，使得四邊彤AMBM'為正方形．進(jìn)階訓(xùn)練1．已知拋物線C1：y＝－2x2＋8x－6與拋物線C關(guān)于原點(diǎn)對稱，拋物線C2與x軸分別交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為M，拋物線C2與x軸分別交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）頂點(diǎn)為N．（1）求拋物線C2的表達(dá)式；（2）若拋物線C1與拋物線C2同時以每秒1個單位的速度沿x軸方向分別向左、向右運(yùn)動，此時記A，B，C，D，M，N在某一時刻的新位置分別為A'，B'，C'，D'，M'，N'，當(dāng)點(diǎn)A'與點(diǎn)D'重合時運(yùn)動停止，在運(yùn)動過程中，四邊形B'，M'，C'，N'能否形成矩形

若能，求出此時運(yùn)動時間t（秒）的值；若不能，請說明理由．解：（1）拋物線C2的表達(dá)式為（2）能．1＝

[提示]

（2）如圖，由軸對稱的性質(zhì)可得四邊形C'N'B'M'為平行四邊形．所以當(dāng)∠B'M'C'＝90

或B'C'＝M'N'時．四邊形為矩形，由此可列方程，從面求得t．2．如圖，拋物線與x軸的右交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，設(shè)E（x，y）是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第四象限，若四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形．（1）該四邊形的面積為24時，判斷平行四邊形OEAF是否為菱形；（2）是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形

若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，－4）時，平行四邊形OAEF是菱形;

（2）不存在，理由：若平行四邊形OEAF是正方形，則OA⊥EF且OA＝EF．此時的點(diǎn)E不在拋物線上．

3．如圖，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O與x軸上一點(diǎn)A（4，0），拋物線的頂點(diǎn)為E，它的對稱軸x軸交于點(diǎn)D，直線y＝－2x－1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B（－2，m），與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)F．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度均速運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動時間為t秒，是否能使以Q，A，E，M四點(diǎn)頂點(diǎn)的四邊形是菱形

若能，請直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動時間；若不能，請說明理由．解：（1）拋物線的表達(dá)式為；（2）能，t的值為，6，或．[提示]（2）如圖，點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，以Q，A，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形有以下四種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求得對應(yīng)的t的值．4．如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A（－1，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸DE交x軸于點(diǎn)E，連結(jié)BD．（1）P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE＝PC時，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，G為拋物線上一動點(diǎn)，M為x軸上一動點(diǎn)，N為直線PF上一動點(diǎn)，當(dāng)以F，M，N，G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．解：（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），

（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為[提示]（1）易求得拋物線的l表達(dá)式為．

所以C（0，3），D（1，4），E（1