熱傳導(dǎo)問(wèn)題的一些研究

熱傳導(dǎo)問(wèn)題的一些研究吳越PB06001060摘 要：對(duì)于導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度變化的非線性熱傳導(dǎo)問(wèn)題，采用基爾霍夫變換方法進(jìn)行線性化處理求解。關(guān)鍵詞：非線性，基爾霍夫變換，熱傳導(dǎo)。 0引言在研究分析熱傳導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，通常對(duì)物性參數(shù)作線性化的假定，因?yàn)榫€性化的假定，可卓有成效地利用數(shù)學(xué)線性理論中的迭加原理。但是，在工程應(yīng)用中所遇到的大量實(shí)際問(wèn)題，從根本上來(lái)講都是非線性的。例如，當(dāng)溫度變化很大，或輸運(yùn)性質(zhì)隨溫度的變化劇烈時(shí)，要正確描述熱傳導(dǎo)問(wèn)題，必須考慮輸運(yùn)系數(shù)隨溫度的變化，則熱傳導(dǎo)微分方程就為非線性的；又如高溫下的傳熱過(guò)程，在邊界上必然要有服從四次方規(guī)則的熱輻射因素參與，從而邊界條件為非線性的。此時(shí)采用基爾霍夫變換方法，來(lái)處理熱傳導(dǎo)中的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度變化的非線性問(wèn)題。1基本概念和方程當(dāng)物體的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度變化時(shí)，借助于基爾霍夫變換，改變因變量，可使導(dǎo)熱系數(shù)k(T)移到微分運(yùn)算的外面。考察如下形式的熱傳導(dǎo)微分方程式：式中，假定Cp,ρ，k隨溫度而變化，而熱源項(xiàng)g(r,t)不隨溫度變化。按照基爾霍夫變換定義一個(gè)新的因變量U如下：式中T0是參考溫度，k0是溫度為T(mén)0時(shí)的k(T)值。方程式可重新寫(xiě)成：(1.4代入得式中α=α(T)是溫度的函數(shù)。由于α是溫度的函數(shù)，式子仍是非線性的。但是，在分析求解時(shí)，從形式上來(lái)看，它比原式要容易求解得多。如果α（T)隨溫度變化甚小，則可假定α為常數(shù)，方程可近似看成為線性方程。對(duì)于穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，由于式(1.5)的左邊不存在了，借助于基爾霍夫變換，非線性熱傳導(dǎo)微分方程可轉(zhuǎn)化為線性方程。下面我們介紹對(duì)三類邊界條件如何進(jìn)行基爾霍夫變換。第一類邊界條件：令邊界上的溫度是給定的，并為根據(jù)基爾霍夫變換式(1.2)，這個(gè)邊界條件經(jīng)過(guò)變換后仍是第一類邊界條件。為便于說(shuō)明，視k(T)與溫度的關(guān)系為：

9)則且邊界條件變換后為第二類邊界條件：第二類邊界條件為如下形式：根據(jù)基爾霍夫變換式，這個(gè)邊界條件經(jīng)過(guò)變換后為第二類線性邊界條件，因?yàn)椋?/p>

將此式代入得 2算例分析 式中，導(dǎo)熱系數(shù)k (T)與溫度的關(guān)系假定為如下形式：變換可得 顯然，如果我們假定α為常數(shù)，變換后的問(wèn)題，就為線性問(wèn)題，則不難求得U（x，t）。若取參考溫度T0為零度，則變換式簡(jiǎn)化為經(jīng)從U到T的逆變換得 3結(jié)束語(yǔ)本文介紹了熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，使用基爾霍夫變換求解非線性問(wèn)題的基本辦法。通過(guò)具體算例，顯示了其優(yōu)越性。參考文獻(xiàn)[1] M．N．奧齊西克 著，俞昌銘 譯．熱傳導(dǎo)