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PAGEPAGE4/4§9.3二重積分的應(yīng)用定積分應(yīng)用的元素法也可推廣到二重積分,使用該方法需滿足以下條件:1所要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性<即:當(dāng)閉區(qū)域D分成許多閉區(qū)域d時(shí),所求量U相應(yīng)地分成許多部分量U,且U U>.2DdU可近似地表示為
f(x,y)d,其中(x,y)d ,稱f(x,y)d為所求量U的元素,并記作dU.<注:f(x,y)d的選擇標(biāo)準(zhǔn)為:Uf(x,y)d 是d直徑趨于零時(shí)較d更高階的無(wú)窮小量>3、所求量U可表示成積分形式
U f(x,y)dDD一、曲面的面積DS
f(x,y)
給出,
xyS
xoy
面上的投影區(qū)域,函數(shù)面的面積
f(x,y)在A.
Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)
f(x,y)x
fy(x,y)
,現(xiàn)計(jì)算曲Ddd>,在dP(xy)SM(xyf(xy))SMTdz軸的柱面,STd的直徑很小,那一小片平面面積近似地等于那一小片曲面面積.S
M 指向朝上的那個(gè)>為它與z軸正向所成夾角d
的方向余弦為dA而
cos11f2(x,y)f2(x,y)xy所以
d這就是曲面S的面積元素,故z
2 z2A 故 Dxy
1x
dxdy yx2[例1]求球面面積.
y2
z2
a2 x2含在柱面
y2
axa0解:所求曲面在
xoy
面的投影區(qū)域
D {(x,y)|x2y2ax}xya2a2x2y2曲面方程應(yīng)取為 ,則x ya2x2a2x2y2a2x2y2x y,xoy D曲面在 面上的投影區(qū)域?yàn)閾?jù)曲面的對(duì)稱性,有若曲面的方程為
xg(y,z)或
yh(z,x)
,可分別將曲面投影到
yozzox
Dyz D面或 面,設(shè)所得到的投影區(qū)域分別為 或或二、平面薄片的重心1、平面上的質(zhì)點(diǎn)系的重心
zx,類似地有其質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)為xMy
nmxi ii1
yMx
nmyi ii1m nmii1 ,
m nmii12、平面薄片的重心xoyD,在點(diǎn)x,y處的面密度為xy)xyD上連續(xù),如何確定該薄片的重心坐標(biāo)(xy).這就是力矩元素,于是
m(x,y)d又平面薄片的總質(zhì)量 D從而,薄片的重心坐標(biāo)為特別地,如果薄片是均勻的,即面密度為常量,則十分顯然,這時(shí)薄片的重心完全由閉區(qū)域的形狀所決定,因此,習(xí)慣上將均勻薄片的重心稱之為該平面薄片所占平面圖形的形心.2]
D為介于兩個(gè)圓racos ,rbcos<0
b>之間的閉區(qū)域,且面密度均勻,求此均勻薄片的重心<形心>.D的對(duì)稱性可知:y0rM xd2dbosry
cosdr而D acos而2Mx M
b2baa2故 A a)三、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、平面質(zhì)點(diǎn)系對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量n
(x,y
),(x,y
), ,(x,y)設(shè)平面上有
個(gè)質(zhì)點(diǎn),它們分別位于點(diǎn)1 1 2 2 n n處,質(zhì)量分別為
m,m1
,,mn.xy軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量依次為2、平面薄片對(duì)于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)有一薄片,占有
xoyD,在點(diǎn)(xy(xy),D (x,y) y D 假定 在 上連續(xù).現(xiàn)要求該薄片對(duì)于軸、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量x,y.與平面薄片對(duì)坐標(biāo)軸的力矩相類似,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素為3]
yx2 y1 與直線 所圍成的均勻薄片<面密度為常數(shù)>對(duì)于直線
y1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素為四、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力xoyD,在點(diǎn)(xy
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