高中立體幾何證明方法及例題

-.z.〔一〕平行與垂直關(guān)系的論證由判定定理和性質(zhì)定理構(gòu)成一套完整的定理體系，在應(yīng)用中：低一級(jí)位置關(guān)系判定高一級(jí)位置關(guān)系；高一級(jí)位置關(guān)系推出低一級(jí)位置關(guān)系，前者是判定定理，后者是性質(zhì)定理。1.線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：2.線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：3.平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：4.應(yīng)用以上"轉(zhuǎn)化〞的根本思路——"由求證想判定，由想性質(zhì)。〞5.唯一性結(jié)論：1.三類角的定義：〔1〕異面直線所成的角θ：0°＜θ≤90°〔2〕直線與平面所成的角：0°≤θ≤90°〔3〕二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°2.三類角的求法：轉(zhuǎn)化為平面角"一找、二作、三算〞即：〔1〕找出或作出有關(guān)的角；〔2〕證明其符合定義；〔3〕指出所求作的角；〔4〕計(jì)算大小。【典型例題】〔一〕與角有關(guān)的問題例1.〔1〕如圖，E、F分別為三棱錐P—ABC的棱AP、BC的中點(diǎn)，PC＝10，AB＝6，EF＝7，則異面直線AB與PC所成的角為〔〕 A.60° B.45° C.30° D.120°解：取AC中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，則∴∠EGF為AB與PC所成的角在△EGF中，由余弦定理，∴AB與PC所成的角為180°－120°＝60°∴選A〔2〕正四棱錐以棱長(zhǎng)為1的正方體的*個(gè)面為底面，且與該正方體有一樣的全面積，則這一正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的余弦值為〔〕解：∴選A①點(diǎn)P到平面QEF的距離為定值；②直線PQ與平面PEF所成的角為定值；③二面角P—EF—Q的大小為定值；④三棱錐P—QEF的體積為定值其中正確命題的序號(hào)是___________。解：∴①對(duì)，②錯(cuò)值，∴③對(duì)綜上，①③④正確。例2.圖①是一個(gè)正方體的外表展開圖，MN和PQ是兩條面對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)趫D〔2〕的正方體中將MN，PQ畫出來(lái)，并就這個(gè)正方體解答以下各題：〔1〕求MN和PQ所成角的大??；〔2〕求四面體M—NPQ的體積與正方體的體積之比；〔3〕求二面角M—NQ—P的大小。解：〔1〕如圖②，作出MN、PQ∵PQ∥NC，又△MNC為正三角形∴∠MNC＝60°∴PQ與MN成角為60°即四面體M—NPQ的體積與正方體的體積之比為1：6〔3〕連結(jié)MA交PQ于O點(diǎn)，則MO⊥PQ又NP⊥面PAQM，∴NP⊥MO，則MO⊥面PNQ過O作OE⊥NQ，連結(jié)ME，則ME⊥NQ∴∠MEO為二面角M—NQ—P的平面角在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a∴∠MEO＝60°即二面角M—NQ—P的大小為60°。例3.如圖，四棱錐P—ABCD，PB⊥AD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°?！?〕求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；〔2〕求面APB與面CPB所成二面角的大小。解：〔1〕作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連結(jié)OB、OA、OD，OB與AD交于點(diǎn)E，連結(jié)PE∵AD⊥PB，∴AD⊥OB〔根據(jù)___________〕∵PA＝PD，∴OA＝OD于是OB平分AD，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)∴PE⊥AD∴∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°即為P點(diǎn)到面ABCD的距離?！?〕由ABCD為菱形，及△PAD為邊長(zhǎng)為2的正三角形∴PA＝AB＝2，又易證PB⊥BC故取PB中點(diǎn)G，PC中點(diǎn)F則AG⊥PB，GF∥BC又BC⊥PB，∴GF⊥PB∴∠AGF為面APB與面CPB所成的平面角∵GF∥BC∥AD，∴∠AGF＝π－∠GAE連結(jié)GE，易證AE⊥平面POB〔2〕解法2：如圖建立直角坐標(biāo)系，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，*軸平行于DA〔二〕與距離有關(guān)的問題例4.〔1〕在△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一點(diǎn)P到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是14，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是〔〕 A.13 B.11 C.9 D.7解：設(shè)點(diǎn)P在△ABC所在平面上的射影為O∵PA＝PB＝PC，∴O為△ABC的外心△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°長(zhǎng)度為___________。解：〔采用展開圖的方法〕點(diǎn)評(píng)：此類試題，求沿外表運(yùn)動(dòng)最短路徑，應(yīng)展開外表為同一平面內(nèi)，則線段最短。但必須注意的是，應(yīng)比擬其各種不同展開形式中的不同的路徑，取其最小的一個(gè)。〔3〕在北緯45°圈上有甲、乙兩地，它們的經(jīng)度分別是東經(jīng)140°與西經(jīng)130°，設(shè)地球半徑為R，則甲、乙兩地的球面距離是〔〕解：〔O1為小圓圓心〕∴△AOB為正三角形〔O為球心〕∴選D例5.如圖，四棱錐P—ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD中點(diǎn)。〔1〕求證：AF∥平面PEC；距離。解：G為PC中點(diǎn)，連結(jié)FG、EG又∵F為PD中點(diǎn)∴四邊形AEGF為平行四邊形∴AF∥平面PEC〔2〕∵CD⊥AD，又PA⊥面ABCD∴AD為PD在面ABCD上射影∴CD⊥PD∴∠PDA為二面角P—CD—B的平面角，且∠PDA＝45°則△PAD為等腰直角三角形∴AF⊥PD，又CD⊥平面PAD∴CD⊥AF∴AF⊥面PCD作FH⊥PC于H，則AF⊥FH又EG∥AF，∴EG⊥FH∴FH⊥面PEC，∴FH為F到面PEC的距離在Rt△PEG中，F(xiàn)H·PG＝PF·FG方法2：〔體積法〕∵AF∥面PEC，故只要求點(diǎn)A到面PEC的距離d易證AF⊥面PCD，∴EG⊥面PCD∴EG⊥PC〔三〕對(duì)命題條件的探索例6.〔1〕如圖矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，假設(shè)PA⊥平面ABCD，在BC邊上取點(diǎn)E，使PE⊥DE，則滿足條件E點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)，a的取值范圍是〔〕解：∵PA⊥面ABCD，PE⊥DE由三垂線定理的逆定理知PE的射影AE⊥BE所以滿足條件的點(diǎn)E是以AD為直徑的圓與BC的交點(diǎn)，要有兩個(gè)交點(diǎn)，則 AD＞2AB＝6∴選A〔2〕如圖，在三棱柱ABC－A'B'C'中，點(diǎn)E、F、H、K分別為AC'、CB'、A'B、B'C'的中點(diǎn)，G為△ABC的重心，從K、H、G、B'中取一點(diǎn)作為P，使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為〔〕 A.K B.H C.G D.B分析：從題目中的"中點(diǎn)〞條件，聯(lián)想到"中位線〞。而平面PEF中，EF為定直線，連BC'則F為BC'中點(diǎn)考慮到假設(shè)P為K點(diǎn)，則還有AA'、BB'、CC'都平行于FK即它們也都平行于平面PEF，不合題意。同理P也不能為H點(diǎn)，假設(shè)P為B'點(diǎn)時(shí)，EF與B'A'共面也不符合題意〔這時(shí)只有一條棱平行于平面PEF〕，可見只能取G點(diǎn)。應(yīng)選C例7.置；假設(shè)不存在，說明理由。置；解：〔1〕〔用反證法〕∴不存在點(diǎn)P滿足題目條件〔2〕過B作BH⊥AP于H，連CH即∠BHC是二面角C—AP—B的平面角∴∠BAH＝30°下面求Q點(diǎn)的位置?！菜摹硨?duì)命題結(jié)論的探索例8.并且總保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是〔〕分析：從條件AP⊥BD1出發(fā)，可知AP必在過A點(diǎn)且與BD1垂直的平面B1AC∴點(diǎn)P必在B1C∴選A〔2〕如圖，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H A.直線AB上 B.直線BC上 C.直線CA上 D.△ABC內(nèi)部解：連結(jié)AC1∵AC⊥AB，又AC⊥BC1∴AC⊥面ABC1則C在面ABC上的射影必在交線AB上∴選A例9.在四面體ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1?！?〕求證：平面CBD⊥平面ABD；〔2〕是否存在這樣的四面體，使二面角C—AD—B的平面角為30°？如果存在，求出CD的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)找出一個(gè)角θ，使得存在這樣的四面體，使二面角C—AD—B的平面角為θ。解：〔1〕∵AB⊥BC，AB⊥BD∴面ABD⊥面CBD〔2〕設(shè)CD＝*，在面CBD內(nèi)作CE⊥BD于E由〔1〕知平面ABD⊥面BCD，且BD為交線∴CE⊥平面ABD作EF⊥AD于F，連結(jié)CF，則CF⊥AD∴∠CFE為"二面角〞C—AD—B的平面角，且∠CFE＝30°又在Rt△BCD中，CE·BD＝CB·CD又∵CD⊥BC，又BC為AC在面BCD上射影∴CD⊥AC則在Rt△ACD中，CF·AD＝AC·CD故不存在這樣的四面體，使二面角C—AD—B的平面角為30°故θ可以取45°～90°之間的任意角。點(diǎn)評(píng)：此題是一道存在性的探索問題。常常假定結(jié)論成立，再判斷它與條件是否符合?！灸M試題】一.選擇題。1.PA、PB、PC是從P引出的三條射線，兩兩成60°，則PC與平面PAB所成角的余弦值是〔〕 A. B. C. D.2.在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將菱形沿對(duì)角線AC折起，使折起后BD＝1，則二面角B—AC—D的余弦值為〔〕 A. B. C. D.3.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，底面上一點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面的距離分別是2，3，6，則這個(gè)點(diǎn)到三棱錐頂點(diǎn)的距離是〔〕 A. B. C.7 D.4.A、B、C是球面上的三點(diǎn)，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，球心O到平面ABC的距離為，則球的外表積為〔〕 A. B. C. D.5.△ABC邊上的高線為AD，，且，將△ABC沿AD折成大小為θ的二面角B—AD—C，假設(shè)，則三棱錐A—BCD的側(cè)面△ABC是〔〕 A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.形狀與a，b的值有關(guān)的三角形6.有一塔形幾何體由假設(shè)干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如下圖，上層正方體的下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，且該塔形的外表積〔含最底層正方體的底面積〕超過39，則該塔中正方體的個(gè)數(shù)至少是〔〕 A.4 B.5 C.6 D.7二.填空題。7.如圖，在三棱錐P—ABC中，，且，則PA與底面ABC所成角的大小為___________。8.如圖，矩形ABCD中，，沿AC把△DAC折起，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，直線AD與平面ABG所成角的正弦值是___________。9.如圖，正方體棱長(zhǎng)為1，M、N分別為中點(diǎn)，則點(diǎn)C到截面MNDB的距離是___________。三.解答題。10.如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，過其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于，將沿折起到的位置，使點(diǎn)在平面上的射影恰是線段BC的中點(diǎn)M，求：〔1〕二面角的大小；〔2〕異面直線與所成角的大小?！灿梅慈呛瘮?shù)表示〕11.如圖，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)?！?〕求證：AM∥平面BDE；〔2〕求二面角A—DF—B的大?。弧?〕試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與BC所成的角是60°。11.解：〔1〕記AC與BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OE∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形∴四邊形AOEM是平行四邊形∴AM∥OE，平面BDE，平面BED∴AM∥平面BDE〔2〕∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，作AS⊥DF于S，連BS由三垂線定理，得BS⊥DF∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角在Rt△ASB中，∴二面角A—DF—B的大小為60°〔3〕設(shè)，作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥面ABF∴PQ⊥QF在Rt△PQF中，∠FPQ＝60°，PF＝2PQ∵△PAQ為等腰直角三角形又△PAF為直角三角形或〔舍〕即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)【試題答案】一.選擇題。1.C 2.A 3.C 4.C 5.C6.C提示：假設(shè)有n個(gè)正方體構(gòu)成，其外表積由二局部組成：〔1〕俯視圖、外表只有一個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)為2?！?〕側(cè)面則由4n個(gè)正方形構(gòu)成，且各層〔從下往上看〕正方形面積構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為4，公比為的等比數(shù)列?！嗤獗矸e∴n的最小值為6二.填空題。7.提示：由題意，P點(diǎn)在面ABC上的射影H是△ABC外心，，∴H為BC中點(diǎn)〕8.9.提示：，即三.解答題。10.〔1〕連結(jié)AM，∵△ABC為正三角形，M為BC邊中點(diǎn)∴A、G、M三點(diǎn)共線，AM⊥BC即是二面角的平面角∵點(diǎn)在平面上的射影為M在中，由得即二面角的大小是60°〔2〕過作交BC于P，則為異面直線與所成的角由是平行四邊形得：于M在中，在中，在中，由余弦定理∴異面直線與所成的角為11.解：〔1〕記AC與BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OE∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形∴四邊形AOEM是平行四邊形∴AM∥OE，平面BDE，平面BED∴AM∥平面BDE〔2〕∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，作AS⊥DF于S，連BS由三垂線定理，得BS⊥DF∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角在Rt△ASB中，∴二面角A—DF—B的大小為60°〔3〕設(shè)，作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥面ABF∴PQ⊥QF在Rt△PQF中，∠FPQ＝60°，PF＝2PQ∵△PAQ為等腰直角三角形又△PAF為直角三角形或〔舍〕即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)【勵(lì)志故事】時(shí)機(jī)的意義一個(gè)人在海上遇難，漂流到了一個(gè)小島上，他建了個(gè)小木房，還儲(chǔ)存了一些食物在里面。每天他想盡方法尋找生機(jī)，一大早就要登上高處張望。可一個(gè)星期過去了，一只木船的影子也沒看見。這天，他正在岸邊張望，突然狂風(fēng)大作，雷電轟鳴。一回頭，他看見自己的木棚