考研數學二公式高數線代(費了好大的勁)技巧歸納

高等數學公式一、常用的等價無窮小當→0時~sin~tan~arcsin~arctan~ln（1+）~ex-1ax-1~lna(1+)α-1~α(α為任意實數，不一定是整數)1-cos~2增加-sin~3對應arcsin–~3tan–~3對應-arctan~3二、利用泰勒公式ex=1++o（）cos=1–o（）ln（1+）=–o（）導數公式：基本積分表：三角函數的有理式積分：一些初等函數：兩個重要極限：三角函數公式：·誘導公式：函數角Asincostgctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式：·和差化積公式：·倍角公式：·半角公式：·正弦定理：·余弦定理：·反三角函數性質：高階導數公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：中值定理與導數應用：曲率：定積分的近似計算：定積分應用相關公式：多元函數微分法及應用微分法在幾何上的應用：方向導數與梯度：多元函數的極值及其求法：重積分及其應用：微分方程的相關概念：一階線性微分方程：全微分方程：二階微分方程：二階常系數齊次線性微分方程及其解法：(*)式的通解兩個不相等實根兩個相等實根一對共軛復根二階常系數非齊次線性微分方程1、行列式行列式共有個元素，展開后有項，可分解為行列式；代數余子式的性質：①、和的大小無關；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數余子式為0；③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數余子式為；代數余子式和余子式的關系：設行列式：將上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為，則；將順時針或逆時針旋轉，所得行列式為，則；將主對角線翻轉后（轉置），所得行列式為，則；將主副角線翻轉后，所得行列式為，則；行列式的重要公式：①、主對角行列式：主對角元素的乘積；②、副對角行列式：副對角元素的乘積；③、上、下三角行列式（）：主對角元素的乘積；④、和：副對角元素的乘積；⑤、拉普拉斯展開式：、⑥、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；⑦、特征值；對于階行列式，恒有：，其中為階主子式；證明的方法：①、；②、反證法；③、構造齊次方程組，證明其有非零解；④、利用秩，證明；⑤、證明0是其特征值；2、矩陣是階可逆矩陣：（是非奇異矩陣）；（是滿秩矩陣）的行（列）向量組線性無關；齊次方程組有非零解；，總有唯一解；與等價；可表示成若干個初等矩陣的乘積；的特征值全不為0；是正定矩陣；的行（列）向量組是的一組基；是中某兩組基的過渡矩陣；對于階矩陣：無條件恒成立；矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數值，可求代數和；關于分塊矩陣的重要結論，其中均、可逆：若，則：Ⅰ、；Ⅱ、；②、；（主對角分塊）③、；（副對角分塊）④、；（拉普拉斯）⑤、；（拉普拉斯）3、矩陣的初等變換與線性方程組一個矩陣，總可經過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：；等價類：所有與等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣、，若；行最簡形矩陣：①、只能通過初等行變換獲得；②、每行首個非0元素必須為1；③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；初等行變換的應用：（初等列變換類似，或轉置后采用初等行變換）若，則可逆，且；②、對矩陣做初等行變化，當變?yōu)闀r，就變成，即：；③、求解線形方程組：對于個未知數個方程，如果，則可逆，且；初等矩陣和對角矩陣的概念：①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；②、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；③、對調兩行或兩列，符號，且，例如：；④、倍乘某行或某列，符號，且，例如：；⑤、倍加某行或某列，符號,且，如：；矩陣秩的基本性質：①、；②、；③、若，則；④、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）⑤、；（※）⑥、；（※）⑦、；（※）⑧、如果是矩陣，是矩陣，且，則：（※）Ⅰ、的列向量全部是齊次方程組解（轉置運算后的結論）；Ⅱ、⑨、若、均為階方陣，則；三種特殊矩陣的方冪：①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結合律；②、型如的矩陣：利用二項展開式；二項展開式：；注：Ⅰ、展開后有項；Ⅱ、Ⅲ、組合的性質：；③、利用特征值和相似對角化：伴隨矩陣：①、伴隨矩陣的秩：；②、伴隨矩陣的特征值：；③、、關于矩陣秩的描述：①、，中有階子式不為0，階子式全部為0；（兩句話）②、，中有階子式全部為0；③、，中有階子式不為0；線性方程組：，其中為矩陣，則：①、與方程的個數相同，即方程組有個方程；②、與方程組得未知數個數相同，方程組為元方程；線性方程組的求解：①、對增廣矩陣進行初等行變換（只能使用初等行變換）；②、齊次解為對應齊次方程組的解；③、特解：自由變量賦初值后求得；由個未知數個方程的方程組構成元線性方程：①、；②、（向量方程，為矩陣，個方程，個未知數）③、（全部按列分塊，其中）；④、（線性表出）⑤、有解的充要條件：（為未知數的個數或維數）4、向量組的線性相關性個維列向量所組成的向量組：構成矩陣；個維行向量所組成的向量組：構成矩陣；含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應；①、向量組的線性相關、無關有、無非零解；（齊次線性方程組）②、向量的線性表出是否有解；（線性方程組）③、向量組的相互線性表示是否有解；（矩陣方程）矩陣與行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(例14)；(例15)維向量線性相關的幾何意義：①、線性相關；②、線性相關坐標成比例或共線（平行）；③、線性相關共面；線性相關與無關的兩套定理：若線性相關，則必線性相關；若線性無關，則必線性無關；（向量的個數加加減減，二者為對偶）若維向量組的每個向量上添上個分量，構成維向量組：若線性無關，則也線性無關；反之若線性相關，則也線性相關；（向量組的維數加加減減）簡言之：無關組延長后仍無關，反之，不確定；向量組（個數為）能由向量組（個數為）線性表示，且線性無關，則(二版定理7)；向量組能由向量組線性表示，則；（定理3）向量組能由向量組線性表示有解；（定理2）向量組能由向量組等價（定理2推論）方陣可逆存在有限個初等矩陣，使；①、矩陣行等價：（左乘，可逆）與同解②、矩陣列等價：（右乘，可逆）；③、矩陣等價：（、可逆）；對于矩陣與：①、若與行等價，則與的行秩相等；②、若與行等價，則與同解，且與的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性；③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；④、矩陣的行秩等于列秩；若，則：①、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數矩陣；②、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數矩陣；（轉置）齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；①、只有零解只有零解；②、有非零解一定存在非零解；設向量組可由向量組線性表示為：（題19結論）（）其中為，且線性無關，則組線性無關；（與的列向量組具有相同線性相關性）（必要性：；充分性：反證法）注：當時，為方陣，可當作定理使用；①、對矩陣，存在，、的列向量線性無關；（）②、對矩陣，存在，、的行向量線性無關；線性相關存在一組不全為0的數，使得成立；（定義）有非零解，即有非零解；，系數矩陣的秩小于未知數的個數；設的矩陣的秩為，則元齊次線性方程組的解集的秩為：；若為的一個解，為的一個基礎解系，則線性無關；（題33結論）5、相似矩陣和二次型正交矩陣或（定義），性質：①、的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即；②、若為正交矩陣，則也為正交陣，且；③、若、正交陣，則也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；施密特正交化：；;對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關；對于實對稱陣，不同特征值對應