保險精算-第3章1-生命函數(shù)課件

第三章生命表基礎(chǔ)

背景通常，我們把壽險公司出售的合同稱為壽險保單。按壽險保單的約定，保險人（即壽險公司）將根據(jù)被保險人在約定時間內(nèi)的生存或死亡決定是否給付保險金。這種只有在特定事件發(fā)生時才給付的保險金稱作條件支付。其最重要特征就是它發(fā)生的不確定性。一個人的未來生存時間是不確定的，只有在特殊情況下才是預(yù)先可知的。對這個不確定性事件的研究是壽險精算中最重要的工作之一。

背景通常，我們把壽險公司出售的合同稱為壽險保單。生存狀況從數(shù)學(xué)的角度，生存狀況是一個簡單的過程。這個過程有如下的特征：

1.存在兩種狀態(tài)：生存和死亡。2.生命個體可從“生存”狀態(tài)到“死亡”狀態(tài)，但不能相反。3.任何個體的未來生存時間都是未知的.我們應(yīng)從生存或死亡概率的探討而著手生存狀況的研究。生存狀況從數(shù)學(xué)的角度，生存狀況是一個簡單的過程。

生存模型就是用數(shù)學(xué)公式進行清晰的描述，從而對死亡率的問題作出一些解釋。下面就是生存模型可回答的例子：一個45歲的人在下一年中死亡的概率是多少?假若有1000個45歲的人，那么他們中有多少人可能在下一年內(nèi)死亡?如果某一45歲的男性公民，投保了一個10年的定期的某種人壽保險，那么應(yīng)該向他收多少保費?一些特定因素(如一天吸50根煙)對于45歲的男性公民的未來生存時間的影響是怎樣的?生存模型生存模型就是用數(shù)學(xué)公式進行清晰的描述，從而對死亡率的問題作生命函數(shù)生命表生命表基礎(chǔ)生命函數(shù)生命表生命表3.1.1分布函數(shù)用隨機變量表示初生嬰兒的未來壽命。分布函數(shù)意義：新生兒在歲之前死亡的概率。密度函數(shù)新生兒的平均壽命例：表示新生兒50歲仍然生存的概率或50歲以后死亡的概率。3.1.1分布函數(shù)用隨機變量表示初生嬰兒的未來壽命3.1.2生存函數(shù)生存函數(shù)

意義：新生兒能活過歲的概率。與分布函數(shù)的關(guān)系：與密度函數(shù)的關(guān)系：例3.1.2生存函數(shù)生存函數(shù)前面我們講分布函數(shù)和生存函數(shù)都是從年齡開始考慮的，但實際購買保險的被保險人往往已經(jīng)活到某個年齡歲的人，這時我們關(guān)心的是歲的人剩余壽命的分布。表示一個歲的人或已經(jīng)活到歲的人.表示未來壽命的隨機變量,即剩余壽命,簡稱余命.關(guān)于T的分布,就是時,X的條件分布.（X:出生嬰兒的未來壽命.）前面我們講分布函數(shù)和生存函數(shù)都是從年齡練習(xí)：設(shè)求：1）2）新生兒在30歲前死亡的概率；3）新生兒活過50歲的概率；4）新生兒在30歲和50歲之間死亡的概率。練習(xí)：設(shè)求：1）2）新生兒在30歲前死亡的概率；解：1）2）3）4）解：1）2）3）4）3.1.3剩余壽命剩余壽命的分布函數(shù)，記作概率密度函數(shù)為表示歲的人在歲之前死亡的概率.關(guān)于t求導(dǎo)3.1.3剩余壽命剩余壽命的分布函數(shù)，記作概剩余壽命的生存函數(shù),記作：表示歲的人在歲時仍活著的概率.剩余壽命的生存函數(shù),記作：基本符號

：x歲的人至少能活到x+1歲的概率：x歲的人將在1年內(nèi)去世的概率：x歲的人活過t年后的u年內(nèi)死亡的概率.即x歲的人將在x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率基本符號：

基本符號

基本符號3.1.4取整余命定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記例:對某個50歲的人開始觀察,在55歲零6個月時死亡,則其余命T(50)=5.5,K(50)=5概率函數(shù)3.1.4取整余命定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記練習(xí)：用精算符號表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前死亡]2）Pr[(22)活至23歲]3）Pr[(22)活至24歲]4）Pr[(35)在55歲之前死亡或在70歲以后死亡]5）Pr[(20)活至80歲]6）Pr[(50)在55歲和70歲之間死亡]7）Pr[(50)在52歲之前死亡]練習(xí)：用精算符號表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前答案：用精算符號表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前死亡]2）Pr[(22)活至23歲]3）Pr[(22)活至24歲]4）Pr[(35)在55歲之前死亡或在70歲以后死亡]5）Pr[(20)活至80歲]6）Pr[(50)在55歲和70歲之間死亡]7）Pr[(50)在52歲之前死亡]答案：用精算符號表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前練習(xí)：已知解：1）2）3）求：練習(xí)：已知解：1）2）3）求：3.1.5死亡效力定義：的瞬時死亡率，簡記用生存函數(shù)的相對變化率來表示.用死力表示生存函數(shù)聯(lián)想利息力3.1.5死亡效力定義：的瞬時死亡率，簡記聯(lián)想用死力表示其他函數(shù)用死力表示余命的密度函數(shù)用死力表示其他函數(shù)3.1.6生存函數(shù)的解析表達式有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型

DeMoivre模型(1729)提出隨機變量X服從均勻分布(DeMoivre假設(shè))假設(shè)人的極限年齡為100歲,3.1.6生存函數(shù)的解析表達式有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型

DeMoivre模型顯然,假設(shè)和實際有很多不符的情況.

DeMoivre模型顯然,假設(shè)和實際有很多不符的情況.有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型DeMoivre模型(1729)Gompertz模型(1825)有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型DeMoivre模型(1729)有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型

Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型Makeham模型(1860)參數(shù)模型的問題至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型的擬合效果未令人滿意。使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產(chǎn)生很大的誤差.還好，精算師可以依賴另一種描述壽命分布的工具,即生命表.參數(shù)模型的問題至今為止找不到非常合適的壽命分用隨機變量表示初生嬰兒的未來壽命。分布函數(shù)生存函數(shù)剩余壽命分布函數(shù),記作生存函數(shù),記作取整余命總結(jié)：用隨機變量表示初生嬰兒的未來壽命?？偨Y(jié)：其概率函數(shù)死亡效力其概率函數(shù)練習(xí)：已知求：解：練習(xí)：已知求：解：練習(xí)：已知，死亡服從Markeham死亡律：解：得：練習(xí)：已知，死亡服從Markeham死亡律：解：得：。。。。作業(yè)：作業(yè)：

Thankyou!

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第三章生命表基礎(chǔ)

背景通常，我們把壽險公司出售的合同稱為壽險保單。按壽險保單的約定，保險人（即壽險公司）將根據(jù)被保險人在約定時間內(nèi)的生存或死亡決定是否給付保險金。這種只有在特定事件發(fā)生時才給付的保險金稱作條件支付。其最重要特征就是它發(fā)生的不確定性。一個人的未來生存時間是不確定的，只有在特殊情況下才是預(yù)先可知的。對這個不確定性事件的研究是壽險精算中最重要的工作之一。

背景通常，我們把壽險公司出售的合同稱為壽險保單。生存狀況從數(shù)學(xué)的角度，生存狀況是一個簡單的過程。這個過程有如下的特征：

1.存在兩種狀態(tài)：生存和死亡。2.生命個體可從“生存”狀態(tài)到“死亡”狀態(tài)，但不能相反。3.任何個體的未來生存時間都是未知的.我們應(yīng)從生存或死亡概率的探討而著手生存狀況的研究。生存狀況從數(shù)學(xué)的角度，生存狀況是一個簡單的過程。

生存模型就是用數(shù)學(xué)公式進行清晰的描述，從而對死亡率的問題作出一些解釋。下面就是生存模型可回答的例子：一個45歲的人在下一年中死亡的概率是多少?假若有1000個45歲的人，那么他們中有多少人可能在下一年內(nèi)死亡?如果某一45歲的男性公民，投保了一個10年的定期的某種人壽保險，那么應(yīng)該向他收多少保費?一些特定因素(如一天吸50根煙)對于45歲的男性公民的未來生存時間的影響是怎樣的?生存模型生存模型就是用數(shù)學(xué)公式進行清晰的描述，從而對死亡率的問題作生命函數(shù)生命表生命表基礎(chǔ)生命函數(shù)生命表生命表3.1.1分布函數(shù)用隨機變量表示初生嬰兒的未來壽命。分布函數(shù)意義：新生兒在歲之前死亡的概率。密度函數(shù)新生兒的平均壽命例：表示新生兒50歲仍然生存的概率或50歲以后死亡的概率。3.1.1分布函數(shù)用隨機變量表示初生嬰兒的未來壽命3.1.2生存函數(shù)生存函數(shù)

意義：新生兒能活過歲的概率。與分布函數(shù)的關(guān)系：與密度函數(shù)的關(guān)系：例3.1.2生存函數(shù)生存函數(shù)前面我們講分布函數(shù)和生存函數(shù)都是從年齡開始考慮的，但實際購買保險的被保險人往往已經(jīng)活到某個年齡歲的人，這時我們關(guān)心的是歲的人剩余壽命的分布。表示一個歲的人或已經(jīng)活到歲的人.表示未來壽命的隨機變量,即剩余壽命,簡稱余命.關(guān)于T的分布,就是時,X的條件分布.（X:出生嬰兒的未來壽命.）前面我們講分布函數(shù)和生存函數(shù)都是從年齡練習(xí)：設(shè)求：1）2）新生兒在30歲前死亡的概率；3）新生兒活過50歲的概率；4）新生兒在30歲和50歲之間死亡的概率。練習(xí)：設(shè)求：1）2）新生兒在30歲前死亡的概率；解：1）2）3）4）解：1）2）3）4）3.1.3剩余壽命剩余壽命的分布函數(shù)，記作概率密度函數(shù)為表示歲的人在歲之前死亡的概率.關(guān)于t求導(dǎo)3.1.3剩余壽命剩余壽命的分布函數(shù)，記作概剩余壽命的生存函數(shù),記作：表示歲的人在歲時仍活著的概率.剩余壽命的生存函數(shù),記作：基本符號

：x歲的人至少能活到x+1歲的概率：x歲的人將在1年內(nèi)去世的概率：x歲的人活過t年后的u年內(nèi)死亡的概率.即x歲的人將在x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率基本符號：

基本符號

基本符號3.1.4取整余命定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記例:對某個50歲的人開始觀察,在55歲零6個月時死亡,則其余命T(50)=5.5,K(50)=5概率函數(shù)3.1.4取整余命定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記練習(xí)：用精算符號表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前死亡]2）Pr[(22)活至23歲]3）Pr[(22)活至24歲]4）Pr[(35)在55歲之前死亡或在70歲以后死亡]5）Pr[(20)活至80歲]6）Pr[(50)在55歲和70歲之間死亡]7）Pr[(50)在52歲之前死亡]練習(xí)：用精算符號表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前答案：用精算符號表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前死亡]2）Pr[(22)活至23歲]3）Pr[(22)活至24歲]4）Pr[(35)在55歲之前死亡或在70歲以后死亡]5）Pr[(20)活至80歲]6）Pr[(50)在55歲和70歲之間死亡]7）Pr[(50)在52歲之前死亡]答案：用精算符號表示下列概率1）Pr[(50)在51歲之前練習(xí)：已知解：1）2）3）求：練習(xí)：已知解：1）2）3）求：3.1.5死亡效力定義：的瞬時死亡率，簡記用生存函數(shù)的相對變化率來表示.用死力表示生存函數(shù)聯(lián)想利息力3.1.5死亡效力定義：的瞬時死亡率，簡記聯(lián)想用死力表示其他函數(shù)用死力表示余命的密度函數(shù)用死力表示其他函數(shù)3.1.6生存函數(shù)的解析表達式有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型

DeMoivre模型(1729)提出隨機變量X服從均勻分布(DeMoivre假設(shè))假設(shè)人的極限年齡為1