彈性力學期末考試卷及答案

名詞解釋（共10

分，每小題5

分）1.

彈性力學：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、應變和位移。2.

圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么近處的應力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。一．

填空（共20

分，每空1

分）1.

邊界條件表示在邊界上

位移

與

約束

，或

應力

與面力之間的關系式，它可以分為

位移

邊界條件、

應力

邊界條件和

混合

邊界條件。2.

體力是作用于物體體積內(nèi)的力，以單位體積力來度量，體力分量的量綱為作用于物體表面上力，以單位表面面積上的力度量，面力的量綱為

L-1MT-2L-2MT-2；面力是；體力和面力符號的規(guī)定為以

沿坐標軸正向

為正，屬外

力；應力是作用于截面單位面積的力，屬

內(nèi)

力，應力的量綱為L-1MT-2

，應力符號的規(guī)定為：

正面正向、負面負向為正，反之為負。3.

小孔口應力集中現(xiàn)象中有兩個特點：一是孔附近的應力高度集中應力集中的局部性，即孔附近的應力遠大于，由于孔口存在而引起遠處的應力，或遠大于無孔時的應力。二是的應力擾動范圍主要集中在距孔邊1.5

倍孔口尺寸的范圍內(nèi)。4.

彈性力學中，正面是指

外法向方向沿坐標軸正向

的面，負面是指

外法向方向沿坐標軸負向的面。5.

利用有限單元法求解彈性力學問題時，簡單來說包含

結構離散化

、整體分析

三個主要步驟。單元分析

、二．

繪圖題（共10

分，每小題5

分）分別繪出圖3-1

六面體上下左右四個面的正的應力分量和圖3-2

極坐標下扇面正的應力分量。圖3-1共6頁第頁1圖3-2三．

簡答題（24

分）1.

（8

分）彈性力學中引用了哪五個基本假定？五個基本假定在建立彈性力學基本方程時有什么用途？答：彈性力學中主要引用的五個基本假定及各假定用途為：（答出標注的內(nèi)容即可給滿分）1）連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應力、應變和位移等物理量就可看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學的基本方程時就可以用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2）完全彈性假定：這一假定包含應力與應變成正比的含義，亦即二者呈線性關系，復合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3）均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此，反應這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E

和泊松比μ等）就不隨位置坐標而變化。4）各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質(zhì)在各個方向上都是相同的，也就是說，物體的彈性常數(shù)也不隨方向變化。5）小變形假定：研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的改變，而仍然按照原來的尺寸和形狀進行計算。同時，在研究物體的變形和位移時，可以將它們的二次冪或乘積略去不計，使得彈性力學的微分方程都簡化為線性微分方程。2.

（8

分）彈性力學平面問題包括哪兩類問題？分別對應哪類彈性體？兩類平面問題各有哪些特征？答：彈性力學平面問題包括平面應力問題和平面應變問題兩類，兩類問題分別對應的彈性體和特征分別為：平面應力問題：所對應的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy

平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應力分量

,

,

存在，且僅為x,y

的函數(shù)。xyxy平面應變問題：所對應的彈性體主要為長截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于xy

平面，外力沿z

軸無變化，只有平面應變分量

,

,

存在，且僅為x,y

的函數(shù)。xyxy3.

（8

分）常體力情況下，按應力求解平面問題可進一步簡化為按應力函數(shù)

求解，應力函數(shù)

必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程：

04l

mffxyxxyxy在s

s

上（2）應力邊界條件（假定全部為應力邊界條件，s

s

）：s

m

lys共6頁第頁2（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。四．

問答題(36)1.

（12

分）試列出圖5-1

的全部邊界條件，在其端部邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。（板厚

1）圖5-1解：在主要邊界y

h

2上，應精確滿足下列邊界條件：

y

qx

l

，

yx

0

；

y

0，

yx

y

q1h

2yh

2yh

2yh

2x

上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件，當板厚

1時，0在次要邊界h

2h

2h

2

dy

FSxy

ydy

M

，

h

2

h

2dy

FN

，xx0xx0x0h

2在次要邊界

x

l

上，有位移邊界條件：個積分的應力邊界條件代替：uxl

0

，

vxl

0

。這兩個位移邊界條件可以改用三ql2qlhqlh

2

dy

FNq

l1，h

2ydy

M

FSl

h

2

，

dy

FS

xy

h

2xx0xx0x0h

2h

26222.

（10

分）試考察應力函數(shù)

cxy3

，

，能滿足相容方程，并求出應力分量（不計體力），畫出c

0圖5-2

所示矩形體邊界上的面力分布，并在次要邊界上表示出面力的主矢和主矩。圖5-24x4

4解：（1）相容條件：將

cxy3

代入相容方程

2

0

，顯然滿足。x42y2y4

2（2）應力分量表達式：

x

6cxy

，

y

0，

3cyxy2y2h3（3）邊界條件：在主要邊界y

上，即上下邊，面力為

y

3chx

，

ch2h

2xy

y

h

242y共6頁第頁3在次要邊界

x0,

x

l上，面力的主失和主矩為h

2h

2

h

26clydy

0

dyx0dy

0xx

lxh

2h

2h

2h

2h

2h

2clh2c3

ydy

06cly2dy

ydyxx0xxlh

2h

2h

2ch

2

h

2dy

h

2xy

h

23cy3cy2dy

h3

x0dy2dyh3xyx04h

2h

24h

2h

2彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界

x0,

x

l上面力的主失量和主矩如解圖所示。3.

（14

分）設有矩形截面的長豎柱，密度為

，在一邊側面上受均布剪力

q,

如圖

5-3

所示，試求應力分量。（提示：采用半逆解法，因為在材料力學彎曲的基本公式中，假設材料符合簡單的胡克定律，故可認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設應力分量

x

0

）圖

5-3解：采用半逆解法，因為在材料力學彎曲的基本公式中，假設材料符合簡單的胡克定律，故可認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設應力分量

x

0

，(1)

假設應力分量的函數(shù)形式。

x

0

2(2)

推求應力函數(shù)的形式。此時，體力分量為

f

0,

f

g

。將

0

代入應力公式

xyxxy22y有

x

0對

x

積分，得

f

x，（a）（b）y2

yf

x

f1x。其中

f

x，

f1x都是

x

的待定函數(shù)。40，得(3)由相容方程求解應力函數(shù)。將式（b）代入相容方程

4

4d4f

xd4f

xy1

0dxdx這是

y

的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多的根（全部豎柱內(nèi)的

y

值都應該滿足），可見它的共6頁第頁4

4

4d4f

xd4f

x

0

，

Ex10，兩個方程要求系數(shù)和自由項都必須等于零。dxdxfx

Ax

Bx

Cx

，

f1x

Dx(c)3232f

x中的常數(shù)項，

f1x中的一次和常數(shù)項已被略去，因為這三項在

的表達式中成為

y

的一次和常數(shù)項，不影響應力分量。得應力函數(shù)

yAx

Bx

Cx

Dx

Ex

(d)3232（4）由應力函數(shù)求應力分量。

2

x

xfx

0

，(e)y22

y

yfy

6Axy

2By

6Dx

2E

gy

，(f)x22

xy

3Ax2

2Bx

C

.(g)xy(5)

考察邊界條件。利用邊界條件確定待定系數(shù)先來考慮左右兩邊

x

b

2的主要邊界條件：

x

xb

2

0，

xy

xb

2

0

，

xy

xb

2

q

。將應力分量式(e)和(g)代入，這些邊界條件要求：3

x

xb

2

0

，自然滿足；

Ab

Bb

C

0(h)(i)2xy

xb

243

Ab2

Bb

C

qxy

xb

24q由（h）（i）得B

（j）2b考察次要邊界

y

0

的邊界條件，應用圣維