zw-高一數(shù)學人教版必修四課件第三章三角恒等變換3高效整合

xxx大學XXX

老師高中數(shù)學·必修4智維私教

985/211重點高校大學生實時一對一第三章三角恒等變換知能整合提升1．(1)公式C(α－β)是由向量數(shù)量積的坐標表示推導出來的，體現(xiàn)了向量的工具性．(2)

公式C(α

＋β)是推導其他公式的出發(fā)點，公式S(α

＋β)就是轉(zhuǎn)化為π2C

－（α＋β）

＝C

π

2－α

－β

，利用C＋(α

β)得到的．和差角推導過程中，注意“以－β

代替β”的思想．C(α－β)，C(α＋β)的公式特點：同名相乘，符號反．S(α＋β)，S(α－β)的公式特點：異名相乘，符號同．

T(α±β)的符號規(guī)律為“分子同，分母反”．要能熟練推證公式，熟悉公式的正用、逆用，還要熟練掌握公式的變形應用．2．推導倍角公式，把握“二倍”原則(1)分別令公式C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)中的α＝β，即得公式C2α，S2α，T2α.

(2)“二倍”關系是相對的，只要兩個角滿足比值為2

即可．倍角公式揭示了具有倍角關系的兩個角的三角函數(shù)的運算規(guī)律．(3)公式變形．升冪公式：cos

2α＝2cos2α－1，cos

2α＝1－2sin2α.降冪公式：cos2α＝1＋cos

2α22，sin

α＝1－cos

2α

2.3．掌握角的變換，順利解決化簡、證明、求值問題應用公式時，注意分析已知角與已知角，目標角與已知角間的關系．常見的角的變換有：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝(α＋β)－α＝(β－α)＋α，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(β＋α)－(β－α)，2β＝(α＋β)＋(β－α)＝(β＋α)－(α－β)，2α＋β＝(α＋β)＋α，α＋2β＝(α＋β)＋β，α＋β＝＋α＋β

α＋β2

2，α－β＝α－β

α－β22＋

，22α＋ββ

αα－ββ

α

＝α－2－2－β，

＝α＋2－2＋β.其中，分析角之間的互余、互補關系，可以利用誘導公式簡化運算．4．和(差)角公式推導輔助角，研究三角函數(shù)性質(zhì)運用和(差)角的正、余弦公式，可以將形如y＝asin

x＋bcos

x

的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y＝Asin(ωx＋φ)[或y＝Acos(ωx＋φ)]的函數(shù)，進而研究函數(shù)的周期、最值、單調(diào)性及相關圖象變換等．熱點考點例析三角函數(shù)式的求值三角函數(shù)的求值有三種類型：給角求值：一般所給的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角之間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)問題．給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關鍵在于“變角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角范圍的

．(函數(shù)值，然后確定所間上單調(diào)的函數(shù)名稱，以便于角的確求所求角的正弦或余弦值均可；若所求角的范圍是(0，

ππ值；若所求角的范圍為－2，2，選擇求所求角的正弦值．π

1已知－2＜x＜0，sin

x＋cos

x＝5.(1)求sin

2x

和cos

x－sin

x

的值；(2)求sin

2x＋2sin2x1－tan

x的值．解析：

(1)由

sinx＋cos

x251

1＝5，平方得

1＋sin

2x＝

，π所以

sin

2x＝－24

＜x＜0，所以

cos

x＞sin

x，25，因為－2所以

cosx－sinx＝

1－2sin

xcos

x＝75.(2)1－tan

xsin

2x＋2sin2x

2sin

xcosx＋2sin2xsin

x1－cos

x＝

＝cos

x－sinxcosx2sinx（cosx＋sin

x）＝sin

2x·cos

x＋sinxcosx24

1

24－sin

x＝－25×7＝－175.

π

π

1π

1．已知sin4＋αsin4－α＝6，α∈2，π，求

sin

4α

21＋cos

α的值．

π

π

1解析：

∵sin4＋αsin4－α＝6，

π

π

1∴sin4＋α·cos4＋α＝6，π1

1sin2＋2α＝3，即cos

2α＝3.

π

又α∈2，π，2α∈(π，2π)，2∴sin

2α＝－

1－cos

2α＝－3121－

＝－2

23，1＋cos2α∴

sin

4α

＝2sin

2α·cos

2α1＋1＋cos

2α

22×－

32

2

1×3＝

＝－1＋11＋

324

215.三角函數(shù)式的化簡與證明1．三角函數(shù)式的化簡常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②弦切互化，異名化同名，異角化同角；③三角公式的逆用等．化簡的要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數(shù)的種數(shù)盡量少；③使項數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)．2．三角恒等式的證明三角恒等式的證明思路是根據(jù)等式兩邊的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩邊化“異”為“同”．三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關系，采用代入法、消參法或分析法進行證明．解題過程中應注意：角的變化；函數(shù)名的變化；次數(shù)的變化；角的范圍的變化(開方時應特別注意正、負問題)．1＋sinθ－cosθ

1＋sinθ＋cosθ求證：1＋sin

θ＋cosθ＋1＋sin

θ－cosθ2＝sin

θ.證明：1＋sin

θ－cos

θ

1＋sin

θ＋cos

θ＝θ

θ2

sin

2＋cos

2

－cos2θ2θ2－sin2θθ2

cos

2＋sin

2

＋cos2θ2＋sin2θ2＝θ

θ

θ

θ

θθsin

2＋cos

2sin

2＋cos

2－cos

2－sin

2θ

θ

θ

θ

θθsin

2＋cos

2sin

2＋cos

2＋cos

2－sin

2＝sin

θ

2cos1＋sin

θ＋cosθθ，所以1＋sin

θ－cos

θ2cos

θ

2sin＝

θ，2所以左邊＝cos

θ

sin

θ2

2sin

θ

cos

θ2＋

2＝cos

2sin

2sin2

θ

cos2θ2＋

2＝2θ

θ

sin

θ＝右邊，所以原式得證．

1＋3tan

θ

3＋5tan

θ

2．化簡：2cos

2θ＋sin

2θ－1 cos

2θ－4sin

2θ－4—

.解析：

1＋3tan

θ

原式＝cos2θ－3sin2θ＋2sin

θcos

θ＋＝

3＋5tan

θ

3cos2θ＋5sin2θ＋8sin

θcos

θcos

θ＋3sin

θcos

θ（cos

θ＋3sin

θ）（cos

θ－sin

θ）＋3cos

θ＋5sin

θ

cos

θ（3cos

θ＋5sin

θ）（cos

θ＋sinθ）＝＋1

12

2cos

θ－sin

θcosθ

cos

θ＋sin

θcosθ

cos

θ＋sin

θ

cos

θ－sinθ

＝cos

θ（cos2θ－sin2θ）＋cos

θ（cos2θ－sin2θ）＝

2cos

θ

＝

2cos

θcos2θ

cos2θ.分類分類 思想的思想就是在研究和解決數(shù)學問題時，根據(jù)數(shù)學對象的特點，將對象分為不同的種類，然后逐步進行研究，從而達到解決三角函數(shù)教學中數(shù)學思想的運用問題的目的．分類一方面可將復雜的問題分解成若干個簡單的問題，另一方面恰當分類又可避免丟值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴謹?shù)臄?shù)學素養(yǎng)，其實，日常生活中對成千上萬的事物進行分門別類的研究，就是分類的思想在認識事物時的具體運用．本章在求有關三角函數(shù)的值，尤其是利用同角三角函數(shù)的基本關系、半角公式時，通常對三角函數(shù)的值的正負進行判斷，分區(qū)間、分象限進行，從而求得三角函數(shù)的值．已知－6≤4的最小值．2[邊聽邊記]

∵－π

β＜π

∴－1

sin

β＜

，6≤

4，

2≤

210≤sin2β＜2，∴0≤2sin2β＜1.由已知得2sin2β＝3sin2α－2sin

α，∴0≤3sin2α－2sin

α＜1，即3sin2α－2sin

α≥0，23sin

α－2sin

α＜1，1解得2

sin

α＜1，或－ ＜sin

α≤0.3≤

32

2

2

2121

1

1

1∴y＝sin

β－2sin

α＝2(3sin

α－2sin

α)－2sin

α＝sinα－2

－4.2

3∵當

sin

α∈

，1時，y

是增函數(shù)，2∴當sin

α＝3時，ymin＝－29.

1∵當sin

α∈－3，0時，y

是減函數(shù)，∴當sin

α＝0時，ymin＝0.2綜上，函數(shù)y＝sin2β－1sin2α

的最小值為－29.3．若0＜α＜π，化簡1＋sin

α.1－sin

α＋原

式

＝解

析

：α

αsin2α＋cos2α－2sin

cos2

2

2

2＋α

αsin2α＋cos2α＋2sin

cos2

2

2

2αα2＝

sin

2－cos

2

＋αsin

2＋cos

2α2

α

α

αα＝sin

2－cos

2＋sin

2＋cos

2α

π∵0＜α＜π，故0＜2＜2，α當

0＜α≤π

cos

≥sin

α＞0；2

4時，

2

2當π

α＜π

α

α4＜2

2時，sin

2＞cos

2＞0.∴

1－sin

α＋

1＋sin

α＝2cos

α，0＜α≤2

2π，α

π2

22sin

，

＜α＜π.一、選擇題(每小題5

分，共20

分)1．sin

75°cos

30°－cos

75°sin

30°的值為()A．1

B.12C.

2

D.

32

2解析：

sin

75°cos30°－cos

75°sin30°＝sin(75°－30°)2

.答案：

C32．已知

sin

α＝2

cos(π－2α)＝(

)，則A．－

53B．－19C.1D.

59

3解析：

cos(π－2α)＝－cos

2α＝－(1－2sin2α)2219＝2×

－1＝－

.3答案：

B4

π3．若

cos

α＝－5，α

是第三象限的角，則

sin(α＋4)＝(

)A．－7

210B.7

210C．－

210D.

210解析：

因為

cos

α＝－4

α

是第三象限的角，所以

sin

α＝－35，

5，由兩角和

π

3

4π

π

2

2的正弦公式可得

sinα＋4＝sin

αcos

4＋cos

αsin

4＝－5×

2

＋－5×

2

＝－7

210

.答案：

Aππ4．函數(shù)y＝sin2x＋4＋sin2x－4的最小值為()A.

2C．－

2B．－2D.

3π

ππ

π解析：

因為

y＝sin2x＋4＋sin2x－4＝sin

2xcos

4＋cos

2xsin

4＋sin2xcos

ππ4－cos

2xsin

4＝

2sin

2x，所以所求函數(shù)的最小值為－

2.答案：

C二、填空題(每小題5

分，共10

分)π

35．已知

sin4－x＝5，則

sin

2x

的值為

．π

π

解析：

sin

2x＝cos2－2x＝cos

24－x2π

7＝1－2sin

4－x＝25.答案：7256．若1＋tan

α1－tan

α

1

＝2

016，則cos2α＋tan2α＝．解析：1＋tan

α

1

1＋tan2α

2tan

α∵

1－tan

α＝

2 016

，

∴cos2α

＋

tan 2α

＝1－tan2α

＋1－tan2α

＝（1＋tan

α）2

1＋tan

α1－tan2α

＝1－tan

α＝2

016.答案：

2

016三、解答題(每小題10

分，共20

分)7．已知A、B

均為鈍角，且sinA＝5105

10，sinB＝

，求A＋B的值．5解析：

∵A、B

均為鈍角且

sin

A＝

5

sin

B＝，1010

，55∴cos

A＝－

1－sin2A＝－

2

＝－2

.5103

10cos

B＝－

1－sin2B＝－

3

＝－

，10∴cos(A＋B)＝cos

Acos

B－sin

Asin

B＝－

5

×－

102

5

3

10

5

10－

5

×