高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試分類匯編概率蘇教版選擇性必修2

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）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由條件概率的公式代入計算.【詳解】設(shè)“小明同學(xué)在第1個路口遇到紅燈”為事件，“小明同學(xué)在第2個路口遇到紅燈”為事件，則由題意可得，，則小明同學(xué)在騎自行車上學(xué)途中第1個路口遇到紅燈的條件下，第2個路口也遇到紅燈的概率為．故選：C．2．（2021·北京市十一學(xué)校高二期末）若，則，，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意，得，再利用原則代入計算即可.【詳解】∵，由，，∴.故選：C3．（2021·浙江·高二期末）若隨機變量，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用二項分布的期望公式和方差公式列方程組求解即可【詳解】解：因為隨機變量，且，，所以，解得，故選：A4．（2021·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高二期末（理））我國中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，功不可沒，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化敗毒方、宜肺敗毒方.若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機選出兩種，事件表示選出的兩種中有一藥，事件表示選出的兩種中有一方，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用古典概型分別求出，，根據(jù)條件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機選出兩種，事件表示選出的兩種中有一藥，事件表示選出的兩種中有一方，則，，∴.故選：D.5．（2021·遼寧·東北育才學(xué)校高二期末）設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的.且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為（

）A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2【答案】A【解析】【分析】利用條件概率公式即可求解.【詳解】以A1，A2，A3分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，B表示取得的X光片為次品，P=，P=，P=，P=，P=，P=；則由全概率公式，所求概率為P=P+P+P=×+×+×=0.08.故選：A6．（2021·山東青島·高二期末）在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于的是（

）A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)【答案】C【解析】根據(jù)超幾何分布列式求解即可．【詳解】X服從超幾何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，故選：C.二、多選題7．（2021·江蘇·海安高級中學(xué)高二期末）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻；某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）服從正態(tài)分布，其密度曲線函數(shù)為，則下列說法正確的是（

）A．該地水稻的平均株高為100B．該地水稻株高的方差為10C．隨機測量一株水稻，其株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大D．隨機測量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（單位：）的概率一樣大【答案】AC【解析】【分析】由可知，由此判斷A正確，B錯誤;然后根據(jù)正態(tài)分布的對稱性及原則求解概率判斷C和D.【詳解】由正態(tài)分布密度曲線函數(shù)，得，該地水稻的平均株高為，所以A正確；該地水稻株高的方差為，所以B不正確；，所以株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大，所以C正確；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知：,所以株高在（80，90）和在（100，110）（單位：）的概率不一樣大，所以D錯誤；故選：AC8．（2021·江蘇·金陵中學(xué)高二期末）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和道填空題)，不放回地依次隨機抽取道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率的求法及條件概率，互斥事件概率求法，可以分別求得各選項.【詳解】,故A正確；，故B正確；，故C正確；，，，故D錯誤.故選:ABC三、填空題9．（2021·陜西·榆林市第十中學(xué)高二期末（理））設(shè)隨機變量，若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)隨機變量和求服從二項分布的變量的期望公式，代入公式后得到.【詳解】解：由題意得：隨機變量隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，解得故答案為：10．（2021·北京市十一學(xué)校高二期末）設(shè)隨機變量的分布列為，則___________.【答案】##【解析】【分析】由分布列的性質(zhì)列式求解，再根據(jù)的含義代入概率公式求解.【詳解】由題意，，所以，得，所以.故答案為：11．（2021·湖南·衡陽市八中高二期末）已知隨機變量X的分布列如下：013若隨機變量Y滿足，則Y的方差___________.【答案】9【解析】先根據(jù)分布列的性質(zhì)，即概率和為1，求出的值，再分別計算出的數(shù)學(xué)期望與方差，然后根據(jù)，利用即可求出．【詳解】由分布列的性質(zhì)可知，，所以，所以數(shù)學(xué)期望，方差，因為，所以，故答案為：9．四、解答題12．（2021·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高二期末）一個盒子里裝有張卡片，其中有紅色卡片張，白色卡片張，從盒子中任取張卡片（假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同）．(1)求取出的張卡片中，至少有張紅色卡片的概率；(2)在取出的張卡片中，白色卡片數(shù)設(shè)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【解析】【分析】（1）應(yīng)用古典概型及對立事件的概率求法，求取出的張卡片中，至少有張紅色卡片的概率；（2）由題設(shè)知的所有可能取值為，，，再分別求出對應(yīng)的概率值，進而寫出分布列，最后根據(jù)分布列求期望即可.(1)設(shè)“取出的張卡片中，至少有張紅色卡片”為事件，則.(2)隨機變量的所有可能取值為，，.，，.所以的分布列為012P隨機變量的數(shù)學(xué)期望：.13．（2021·河南南陽·高三期末（理））學(xué)校準(zhǔn)備籌建數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)中心，為了了解學(xué)生數(shù)學(xué)建模（應(yīng)用）能力，專門對高二報名的100名學(xué)生進行了數(shù)學(xué)建模閉卷測試，得分在45~95之間，分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數(shù)為40.(1)請根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為參與建模測試的學(xué)生分?jǐn)?shù)近似服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.①求；②學(xué)校為鼓勵學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)建?；顒?，決定對本次測試中90.8分以上的同學(xué)進行表彰.若某班正好有6人參與了這次測試，求這個班至少有1人獲得表彰的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，，.【答案】(1)，；(2)①；②.【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的公式進行求解即可；（2）①根據(jù)題中所給的公式進行求解即可；②根據(jù)對立事件的概率公式進行求解即可.(1)由頻率分布直方圖可知組距，第三組頻數(shù)為40，總共有100人，則第三組頻率=40100=0.4可知第4組的頻率為，所以X=50×0.1+60×0.25+70×0.4+80×0.15+90×0.1=69(2)①，，P(47.2<x<79.9)=P(μ?2σ<x<μ+σ)=P(μ?σ<x<μ+σ)+P(μ?2σ<μ+2σ)②記“6人中至少1人獲得表彰”為事件，則P(x>90.8)=P(x>μ+2σ)=1?P(μ?2σ<x<μ+2σ)所以一、單選題1．（2021·安徽黃山·高二期末（理））隨機變量的分布列如下表，其中，且，則（

）246A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由分布列可得，結(jié)合條件先解出，從而得出答案.【詳解】由分布列可得，又，則，由，即，即所以，所以所以故選：C2．（2021·浙江·麗水外國語實驗學(xué)校高三期末）兩位教師和兩位學(xué)生排成一排拍合照，記為兩位學(xué)生中間的教師人數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，隨機變量的取值為，結(jié)合排列組合，求得隨機變量的取值對應(yīng)的概率，利用公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，隨機變量的取值為，可得，所以期望為.故選：C.【點睛】求隨機變量的期望與方差的方法及步驟：1、理解隨機變量的意義，寫出可能的全部值；2、求取每個值對應(yīng)的概率，寫出隨機變量的分布列；3、由期望和方差的計算公式，求得數(shù)學(xué)期望；4、若隨機變量的分布列為特殊分布列（如：兩點分布、二項分布、超幾何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.3．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）袋中有4個黑球，3個白球.現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點就從袋中取出幾個球.若已知取出的球全是白球，則擲出2點的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】記骰子擲出的點數(shù)為i，，事件B:取出的球全是白球，分別求出利用條件概率公式即可求解.【詳解】記骰子擲出的點數(shù)為i，，事件B:取出的球全是白球，則,，所以所以若已知取出的球全是白球，則擲出2點的概率為：.故選：C.4．（2021·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高二期末（理））現(xiàn)有4個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子去參加籃球和乒乓球的體育活動，擲出點數(shù)為1或2的人去打籃球，擦出點數(shù)大于2的人去打乒乓球.用，分別表示這4個人中去打籃球和乒乓球的人數(shù)，記，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分別求出每個人去打籃球、打乒乓球的概率，的所有可能取值為0，2，4，利用二項分布的概率公式求出的分布列即可求得的期望值.【詳解】依題意，這4個人中，每個人去打籃球的概率為，去打乒乓球的概率為，設(shè)“這4個人中恰有人去打籃球”為事件，則﹐的所有可能取值為0，2，4.由于與互斥﹐與互斥，故﹐，所以的分布列為224隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列與期望、二項分布的概率求解，屬于較難題.5．（2021·吉林·長春市實驗中學(xué)高二期末（理））將三顆骰子各擲一次，記事件A＝“三個點數(shù)都不同”，B＝“至少出現(xiàn)一個６點”，則條件概率，分別是A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件概率的含義，明確條件概率P（A|B），P（B|A）的意義，即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)條件概率的含義，其含義為在發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率，即在“至少出現(xiàn)一個6點”的情況下，“三個點數(shù)都不相同”的概率，“至少出現(xiàn)一個6點”的情況數(shù)目為，“三個點數(shù)都不相同”則只有一個6點，共種，；其含義為在發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率，即在“三個點數(shù)都不相同”的情況下，“至少出現(xiàn)一個6點”的概率，．故選：．【點睛】本題考查條件概率，考查學(xué)生的計算能力，明確條件概率的含義是關(guān)鍵．二、多選題6．（2021·江蘇南通·高三期末）設(shè)隨機變量表示從1到這個整數(shù)中隨機抽取的一個整數(shù)，表示從1到這個整數(shù)中隨機抽取的一個整數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．當(dāng)（且）時，D．當(dāng)時，的數(shù)學(xué)期望為【答案】BCD【解析】根據(jù)題意分別求出當(dāng)取不同值時的概率即可判斷.【詳解】對A，當(dāng)時，，，則，故A錯誤；對B，當(dāng)時，，則由可得或，，故B正確；對C，當(dāng)（且）時，，，則，故C正確；對D，當(dāng)時，的可能取值為1，2，則，，故的數(shù)學(xué)期望為,故D正確.故選：BCD.【點睛】本題考查概率的相關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用概率的乘法公式，正確求出對應(yīng)的概率.7．（2021·湖南·衡陽市八中高二期末）甲罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球；乙罐中有5個紅球，3個白球和2個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列的結(jié)論：其中正確結(jié)論的為（

）A． B．C．事件與事件不相互獨立 D．，，是兩兩互斥的事件【答案】BCD【解析】根據(jù)古典概型概率計算公式及事件的相關(guān)概念，逐一分析四個選項的真假，可得答案．【詳解】解：甲罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球；乙罐中有5個紅球，3個白球和2個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以、和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，對A，，故A錯誤；對B，，故B正確；對C，當(dāng)發(fā)生時，，當(dāng)不發(fā)生時，，事件與事件不相互獨立，故C正確；對D，，，不可能同時發(fā)生，故是兩兩互斥的事件，故D正確；故選：BCD．【點睛】本題考查概率的基本概念及條件概率，互斥事件概率加法公式，考查運算求解能力.三、填空題8．（2021·北京大興·高二期末）已知甲在上班途中要經(jīng)過兩個路口，在第一個路口遇到紅燈的概率為，兩個路口連續(xù)遇到紅燈的概率為，則甲在第一個路口遇到紅燈的條件下，第二個路口遇到紅燈的概率為___________．【答案】35##0.6【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式計算即可.【詳解】設(shè)事件A：第一個路口遇到紅燈，事件B：第二個路口遇到紅燈，則，，，故答案為：．四、解答題9．（2021·河北邯鄲·高三期末）為了調(diào)查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機采摘了個蘋果.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知，.(1)若從蘋果園中隨機采摘個蘋果，求該蘋果的重量在內(nèi)的概率；(2)從這個蘋果中隨機挑出個，這個蘋果的重量情況如下.重量范圍（單位：）個數(shù)為進一步了解蘋果的甜度，從這個蘋果中隨機選出個，記隨機選出的個蘋果中重量在內(nèi)的個數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】【分析】（1）利用正態(tài)密度曲線的對稱性結(jié)合已知條件可求得的值；（2）分析可知，隨機變量的所有可能取值為、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進一步可求得的值.(1)解：已知蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的對稱性可知，，所以從蘋果園中隨機采摘個蘋果，該蘋果的重量在內(nèi)的概率為.(2)解：由題意可知，隨機變量的所有可能取值為、、，，；，所以，隨機變量的分布列為：所以.10．（2021·福建·莆田二中高三期末）2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設(shè)．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況，隨機調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時間(單位：小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這200名學(xué)生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表)；(2)由直方圖可以看出，目前該校學(xué)生每周的閱讀時間服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.①一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進行計算：若，令，則，且.利用直方圖得到的正態(tài)分布，求．②從該高校的學(xué)生中隨機抽取20名，記表示這20名學(xué)生中每周閱讀時間超過10小時的人數(shù)，求(結(jié)果精確到)以及的均值．參考數(shù)據(jù)：，.若，則.【答案】(1)；.(2)①；②；.【解析】【分析】（1）代入公式計算均值和方差即可；（2）①由題意可得，再代入所給的轉(zhuǎn)化公式求解概率；②計算，得到變量服從二項分布，利用二項分布的概率計算公式以及期望計算公式求解.(1)，(2)①由題意知，，∴．，.②由①知，可得，.【點睛】解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：(1)對稱軸；(2)標(biāo)準(zhǔn)差；(3)分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為.11．（2021·福建·泉州五中高二期末）甲?乙進行射擊比賽，兩人輪流朝一個靶射擊，若擊中靶心得分，擊中靶心以外的區(qū)域得分，兩人得分之和大于或等于分即結(jié)束比賽，且規(guī)定最后射擊的人獲勝，假設(shè)他們每次擊中靶心的概率均為且不會脫靶，經(jīng)過抽簽，甲先射擊.（1）求甲需要射擊三次的概率.（2）比賽結(jié)束時兩人得分之差最大為多少？求這個最大值發(fā)生的概率.（3）求乙獲勝的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依題意甲需要射擊三次，則兩人前四次射擊均只得分，根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）比賽結(jié)束時，兩人得分之差最大為分，即甲分，乙分，甲分，再根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得；（3）要使乙獲勝，即到乙射擊之和積分之和恰好滿足大于或等于分，分四種情況討論，分別計算所對應(yīng)的概率，最后相加即可；【詳解】解：（1）甲需要射擊三次，則兩人前四次射擊均只得分，所以甲需要射擊三次的概率為.（2）比賽結(jié)束時，兩人得分之差最大為分，他們得分情況為：甲，乙，甲，所以這個最大值發(fā)生的概率為.（3）根據(jù)他們輪流射擊的得分，分四種情況：甲，乙，概率為；甲，乙，甲，乙，概率為；前三次射擊中有一次分，兩次分，概率為；前五次射擊均得分，概率為.所以乙獲勝的概率為.12．（2021·湖南師大附中高二期末）國家發(fā)改委、城鄉(xiāng)住房建設(shè)部于2017年聯(lián)合發(fā)布了《城市生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定某46個大中城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，并且垃圾回收、利用率要達標(biāo)．某市在實施垃圾分類的過程中，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的類社區(qū)（全市共320個）中隨機抽取了50個進行調(diào)查，統(tǒng)計這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸），得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過28噸的社區(qū)定為“超標(biāo)”社區(qū)．垃圾量頻數(shù)56912864（1）估計該市類社區(qū)這一天垃圾量的平均值；（2）若該市類社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為50個樣本社區(qū)的平均值（精確到0.1噸），估計該市類社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個數(shù)；（3）根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的50個社區(qū)中，這一天共有8個“超標(biāo)”社區(qū)，市政府決定從這8個“超標(biāo)”社區(qū)中任選5個跟蹤調(diào)查其垃圾來源．設(shè)這一天垃圾量不小于30.5噸的社區(qū)個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若服從正態(tài)分布，則；；．【答案】（1）22.76噸；（2）51個；（3）分布列見解析，.【解析】（1）樣本數(shù)據(jù)各組的中點值分別乘以各組的頻數(shù)求和后再除以樣本容量可得答案；（2）據(jù)題意計算出，由.進而可以求出這320個社區(qū)中超標(biāo)社區(qū)的個數(shù)；（3）算出的可能取值及對應(yīng)的概率列出分布列計算出變量的期望即可.【詳解】（1）樣本數(shù)據(jù)各組的中點值分別為