平面向量的基本定理及加減數(shù)乘坐標運算(精講)

6.3.1平面向量的基本定理及加減數(shù)乘坐標運算(精講)考法一平面向量的基本定理【例1-1】(2021·陜西)下列各組向量中，可以作為基底的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】對A：因為零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底；對B：因為，故B中兩個向量不共線；對C：因為，故C中兩個向量共線，故C中向量不可作基底；對D：因為，故D中兩個向量共線，故D中向量不可作基底.故選：B.【例1-2】(2020·懷仁縣大地學校高一月考)如圖在梯形中，，，設，，則()A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，，所以，又，，所以.故選：D.【例1-3】(2020·全國高一課時練習)在三角形中，為的中點，若，則下列結論正確的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】因為為的中點，所以，所以，又，所以，，故選：C.【例1-4】(2020·全國高一課時練習)在邊長為2的正方形中，為的中點，交于.若，則()A．1B．C．D．【答案】B【解析】建立以為原點，為軸的直角坐標系，則，，.又根據(jù)題意，得，，則.所以，，則，，.故選:B.【舉一反三】1．(2020·上海)下列各組向量中，能成為平面內(nèi)的一組基向量的是()．A．B．C．D．【答案】B【解析】對于，因為，所以與共線，不能成為平面內(nèi)的一組基向量，故不正確；對于，因為，所以與不共線，能成為平面內(nèi)的一組基向量，故正確；對于，因為，所以與共線，不能成為平面內(nèi)的一組基向量，故不正確：對于，因為，所以與共線，不能成為平面內(nèi)的一組基向量，故不正確；故選：B.2．(2020·河南高一其他模擬)如圖，在中，點為線段上靠近點的三等分點，點為線段上靠近點的三等分點，則()A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B.3．(2020·湖北高一期末)如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為線段BC，AD，BE的中點，則=()A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，故選D．4．(2021·甘肅)設為所在平面內(nèi)一點，，若，則()A．B．3C．D．2【答案】A【解析】若，，化為，與比較，可得：，，解得．則．故選．5．(2020·株洲市九方中學高一期末)如圖，已知，若點滿足，，則()A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，又，所以，因此.故選：C.6．(2020·全國高一課時練習)中，，，，點是內(nèi)(包括邊界)的一動點，且，則的最大值是A．B．C．D．【答案】B【解析】中，，，，，，，；以為原點，以所在的直線為軸，建立如圖所示的坐標系，如圖所示，，，，，，，，設點為，，，，，，，，，，，①直線的方程為，②，聯(lián)立①②，得，此時最大，．故選：B．考法二加減數(shù)乘的坐標運算【例2】(1)(2020·北京高一期末)已知點，，則()A．B．C．D．(2)(2020·陜西省商丹高新學校高一期中)已知，，則()A．2B．C．4D．(3)(2020·河南開封市·高一期中)已知，，若，則點的坐標為()A．(3，2)B．(3，-1)C．(7，0)D．(1，0)(4)(2021·黑龍江)已知向量，，，且，則，的值分別為()A．，B．，C．，D．，【答案】(1)C(2)C(3)C(4)D【解析】(1)點，，則.故選：C.(2)由題得=(0,4)所以．故選C(3)設點的坐標為，則，，因為，即，所以，解得，所以.故選：C.(4)因為，，所以，，，因為，，所以，，解得，，故選：D.【舉一反三】1．(2020·咸陽百靈學校高一月考)已知點(－3，3)，(－5，－1)，那么等于()A．(－2，－4)B．(－4，－2)C．(2，4)D．(4，2)【答案】A【解析】(－3，3)，(－5，－1)，.故選：A2．(2020·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學高一期末)已知點，，則與反方向的單位向量為()A．B．C．D．【答案】B【解析】，,，則，所以與反方向的單位向量為.故選：B.3．(2020·全國高一)已知向量，，則等于()A．B．C．D．【答案】D【解析】因為向量，，所以,故選：D4．(2020·北京二十中高一期末)已知向量，，若，則實數(shù)的值為()A．-4B．4C．-1D．1【答案】C【解析】由題意，向量，，所以，可得，解得.故選：C.考法三共線定理的坐標表示【例3-1】(多選)(2020·三亞華僑學校高一月考)已知點，，與向量平行的向量的坐標可以是()A．B．C．D．(7，9)【答案】ABC【解析】由點，，則選項A.,所以A選項正確.選項B.,所以B選項正確.選項C.,所以C選項正確.選項D.,所以選項D不正確故選：ABC【例3-2】(2020·全國高一課時練習)已知非零向量，，，若，，且，則()A．4B．-4C．D．【答案】D【解析】由題意知，，所以；又，，所以，解得．故選：D【例3-3】(2020·全國高一)若，，三點共線，則實數(shù)的值是()A．6B．C．D．2【答案】B【解析】因為三點，，共線，所以,若，，三點共線，則和共線可得：，解得；故選：B【舉一反三】1．(2020·北京昌平區(qū))下列各組向量中不平行的是()A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】對于A，有，所以與是平行向量；對于B，有，所以與是平行向量；對于C，是零向量，與是平行向量；對于D，不滿足，所以與不是平行向量.故選：D．2．(2020·浙江杭州市·高一期末)與平行的一個向量的坐標是()A．B．C．D．【答案】C【解析】若向量與向量平行，則，，則設向量，則與符號相同，與符號相反，所以可知A，B，D不成立，選項C：若，則，，，故C正確.故選：C.3．(2020·全國高一)已知，，則“”是“”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，解得或，所以“”是“”充分不必要條件.故選：A.4．(2020·全國高一課時練習)已知向量，，若，則實數(shù)()A．8B．C．2D．【答案】D【解析】由，，可得，，因為，所以，解得.故選：D.5．(2020·全國高一單元測試)已知向量，．若向量與平行，則＝.【答案】【解析】向量，，所以，若向量與平行，可得，解得.故答案為:考法四向量與三角函數(shù)的綜合運用【例4-1】(2021·湖南)已知向量，，若//，則的值為()A．B．C．D．【答案】C【解析】因為//，故可得，故可得，又.故選：【例4-2】(2020·本溪市燕東高級中學高一月考)設向量，，．(1)若與垂直，求的值；(2)求的最大值；(3)若，求證：∥．【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析．【解析】(1)由與垂直，則，即，則．(2)，，最大值為32，所以的最大值為．(3)由得，即，所以．【舉一反三】1．(2021·新疆)已知平面向量，，若，則()A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴．故選：A．2．(2020·全國高一課時練習)在平面直角坐標系xOy中，已知向量，，，，若，則的值()A．4B．3C．D．0【答案】C【解析】在平面直角坐標系中，向量，，，，因為，可得，即，所以.故選：C．3．(2020·山東省五蓮縣第一中學高一月考)設0≤θ<2π，已知兩個向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，則向量長度的最大值是()A．B．C．3D．2【答案】C【解析】∵＝－＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，∴||＝.當時，有最大值.故選C.考法五奔馳定理解三角形面積【例5】(1)(2020·衡水市第十四中學高一月考)若點M是所在平面內(nèi)的一點，且滿足，則與的面積比為().A．B．C．D．(2)(2020·江西宜春市·高一期末)已知為正三角形內(nèi)一點，且滿足，若的面積與的面積之比為3，則()A．B．C．D．【答案】(1)C(2)A【解析】(1)如圖，由5=+3得2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故△ABM與△ABC同底且高的比為3∶5，故S△ABM∶S△ABC=3∶5.所以選C.(2)分別取、的中點、，連接、，如圖，所以是的中位線，因為，所以，所以，所以、、三點共線，所以，所以即，所以即.故選：A.【舉一反三】1．(2020·河南安陽市·林州一中高一月考)已知為內(nèi)一點，且有，則和的面積之比為()A．B．C．D．【答案】C【解析】設是的中點，則，又因為，所以,，，所以故選：2．(2020·懷仁市第一中學校云東校區(qū))內(nèi)有一點，滿足，則與的面積之比為()A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，在內(nèi)有一點，滿足，由奔馳定理可得，所以，故選A．3．(2020·山西朔州市)已知點O是內(nèi)部一點，并且滿足，的面積為，的面積為，則()A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴