柔體動(dòng)力學(xué)介紹

柔體動(dòng)力學(xué)介紹一、KED(Kineto-Elastodynamics)法KED法，即運(yùn)動(dòng)彈性動(dòng)力學(xué)，由美國(guó)學(xué)者Erdman和Sandor提出。該方法的研究始于上個(gè)世紀(jì)60年代，早期研究者僅把部件（一般是一個(gè)，如四桿機(jī)構(gòu)的連桿）看作是柔性的，并且只考慮其一種變形（如桿件的彎曲變形），方程中也引入較多假設(shè)。70年代初期，Erdman和Sandor將結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的有限元方法移植到機(jī)構(gòu)分析中來，克服了模型過于簡(jiǎn)單的缺陷。我國(guó)自80年代初開始研究機(jī)構(gòu)彈性力學(xué)，學(xué)者張策對(duì)KED法做了大量研究。KED法在分析機(jī)構(gòu)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，均假設(shè)：與采用剛性機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析法的到的機(jī)構(gòu)名義運(yùn)動(dòng)的位移相比，由構(gòu)件變形引起的彈性位移很?。贿@種彈性位移不會(huì)影響機(jī)構(gòu)的名義運(yùn)動(dòng)。依據(jù)上述假設(shè)，機(jī)構(gòu)真實(shí)運(yùn)動(dòng)的位移可以看作是名義運(yùn)動(dòng)的位移和彈性位移的疊加。名義運(yùn)動(dòng)可以用剛體機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力學(xué)分析方法求出，彈性位移則用彈性動(dòng)力學(xué)分析方法求出。為了使所建模型較準(zhǔn)確反應(yīng)原機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的特性，現(xiàn)在普遍采用“子結(jié)構(gòu)分析方法”即把系統(tǒng)按結(jié)構(gòu)劃分為子結(jié)構(gòu)單元，然后建立單元和子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，最后將單元和子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程組合成系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。對(duì)于連續(xù)體的離散，有1）集中參數(shù)模型2）有限元模型兩種建模方法。以一個(gè)簡(jiǎn)單例子為例：一般彈性動(dòng)力學(xué)方程為：一般彈性動(dòng)力學(xué)方程為：Myfr??rMy+M^yf=(q)+(q)M：yf+KffyfW+(qvf-其中，第一個(gè)方程描述的是機(jī)構(gòu)的剛體動(dòng)力學(xué)方程，第二個(gè)方程描述的是機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程。yr表示機(jī)構(gòu)廣義剛體位移，yf表示機(jī)構(gòu)廣義彈性位移，qe表示機(jī)構(gòu)所受外力，qv表示機(jī)構(gòu)的科氏力和離心力。對(duì)于KED方法，變形對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的影響忽略不計(jì)，因此，忽略耦合項(xiàng)，上述方程變?yōu)椋篗yfr??rMy=（q）My+Ky=（q）+（q）-Myff??ffffefvffr??r從上式可以看出，由于KED方法的假設(shè)，使方程得到很大的化簡(jiǎn)，提高了計(jì)算效率，此方法對(duì)于作大范圍剛體運(yùn)動(dòng)，機(jī)構(gòu)剛度大（即彈性變形小的系統(tǒng)）適用。但隨著輕質(zhì)、高速運(yùn)動(dòng)、大尺寸機(jī)構(gòu)的發(fā)展，KED方法計(jì)算結(jié)果的精確度不再令人滿意。在這些系統(tǒng)中，剛體運(yùn)動(dòng)和彈性變形的慣性耦合非常重要，在動(dòng)力學(xué)分析中不能被忽略，因此，KED方法在這些機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析中不再適用。二、浮動(dòng)坐標(biāo)法（FloatingFrameofReference）浮動(dòng)坐標(biāo)法是目前進(jìn)行計(jì)算機(jī)柔體動(dòng)力學(xué)仿真時(shí)最廣泛運(yùn)用的方法，這種方法已經(jīng)被應(yīng)用在幾種商用動(dòng)力學(xué)分析軟件中。在浮動(dòng)坐標(biāo)法中，共使用兩種坐標(biāo)系來描述變形體的構(gòu)型，一種是用來描述變形體連體坐標(biāo)系的位置和方向，另一種是用來描述變形體相對(duì)于其連體坐標(biāo)系的變形。如下圖所示：圖一1）運(yùn)動(dòng)分析變形體上任意一點(diǎn)P在全局坐標(biāo)系X]X2X3中的位置為：r=R+A（U0+七）（1.1）其中，A為連體坐標(biāo)系X1'X2,X3'相對(duì)于全局坐標(biāo)系X1X2X3的方向余弦矩陣。U0為點(diǎn)P在未變形時(shí)在連體坐標(biāo)系中的位置，Uf為變形位移。對(duì)于一個(gè)具體問題，如何選擇合適的連體坐標(biāo)系是難點(diǎn)。在多剛體動(dòng)力學(xué)中，選取通過質(zhì)心的主軸坐標(biāo)系為跟隨坐標(biāo)系而使動(dòng)力學(xué)方程中平移與轉(zhuǎn)動(dòng)慣性解耦。柔體中各質(zhì)點(diǎn)的位置時(shí)刻都在變換，其質(zhì)心相對(duì)于其內(nèi)部的質(zhì)點(diǎn)也一直在不停地變化，因而不存在一個(gè)固定的連體坐標(biāo)系，選取不同的連體坐標(biāo)意味著選取了不同的柔性體變形。但研究表明這并不影響最終的位移分析結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)廣義坐標(biāo)為q=[R0qf卜。其中，R為描述變形體相對(duì)位置的笛卡爾坐標(biāo)，e為描述變形體方向的角度坐標(biāo)，qf為變形體上任意點(diǎn)變形坐標(biāo)，與變形位移的關(guān)系為uf=Sqf，其中s為型函數(shù)。之后便可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，對(duì)公式(1.3)求一次導(dǎo)數(shù)，便可得到任一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度：r=R+Au+Au=R+Au+ASq?p之后便可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，對(duì)公式(1.3)求一次導(dǎo)數(shù)，便可得到任一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度：r=R+Au+Au=R+Au+ASq?pf-ff-f=E+B0+ASq(1.2)-fR.=[lBAS]e=Lq.raa"I其中，B=面(AU)甌0u),i為系統(tǒng)廣義速度陣，L為系L1〃」數(shù)矩陣。…對(duì)1.4再求一次導(dǎo)數(shù)，可得到點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)加速度：r=Lq+Lq?p.??(1.3)2)質(zhì)量矩陣：系統(tǒng)的動(dòng)能為:t=L2v系統(tǒng)質(zhì)量陣為fpr^rdV=11pqTLrLqW=IqiMq??2?2?v(1.4)m=￡pLtLJV2'v(1.5)M是一個(gè)非線性的對(duì)稱矩陣。變系數(shù)，隨位形變化3)系統(tǒng)廣義力利用虛功原理，求解彈性力和外力所產(chǎn)生的關(guān)于廣義坐標(biāo)q的廣義力(1)系統(tǒng)廣義彈性力0008R8W=-(K0q]00080SI00Ker」8qf(1.6)(2)系統(tǒng)廣義外力8R—[QRQqj]8e其中，Qr和Qj為關(guān)于移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)的廣義力。4）運(yùn)動(dòng)約束方程圖二系統(tǒng)的約束方程可寫為向量的形式：（1.10）C(q,t)=0（1.10）其中，q=[qiTq2Tq〃T]T為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，t為時(shí)間，C=[C1C2C」T.為獨(dú)立的約束方程。例如，如圖二所示，如果點(diǎn)P「和點(diǎn)Pj相連，則有.rij=Ri+Aiui—（Rj+Ajuj）=f（t）（槌）當(dāng)f（t）=0時(shí)，則表示兩個(gè)點(diǎn)始終相連。為了將約束方程（1.10）引入動(dòng)力學(xué)方程中，對(duì)于廣義坐標(biāo)取微小變化Sq，公式（1.10）可寫為：CSqCSq=「Li-j8qiq(1.9)其中，Cq=LLi—L」為系統(tǒng)約束壓雅可比矩陣。5）系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程將以上求解各式帶入到第一類拉格朗日方程中，即可得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程Mq+Kq+Ct人=Q+Q『（1.10）其中，入為拉格朗日乘子。從以上分析可以看出，在浮動(dòng)坐標(biāo)法中，質(zhì)量矩陣為一個(gè)非線性的對(duì)稱矩陣，剛度矩陣為一個(gè)常量矩陣。計(jì)算廣義力時(shí)，需考慮系統(tǒng)的科氏力和離心力。浮動(dòng)坐標(biāo)法適用于作大范圍移動(dòng)小變形的系統(tǒng)，對(duì)于作大范圍移動(dòng)大變形的系統(tǒng)，此方法的求解不夠精確，不再適用。三、絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法（AbsoluteNodalCoordinateFormulation）該方法由AhmedA.Shabana于1996年提出，其理論基礎(chǔ)主要是有限元與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論。該方法中單元節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)定義在全局坐標(biāo)系下，采用斜率矢量代替?zhèn)鹘y(tǒng)有限單元中的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角坐標(biāo)。推導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)方程具有常質(zhì)量矩陣、不存在科氏力和離心力等項(xiàng)的特點(diǎn)。這些特點(diǎn)可以提高計(jì)算效率。絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法已被認(rèn)為是多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究歷史上的一個(gè)重要進(jìn)展之一，它的誕生使柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論與有限元理論進(jìn)一步整合。絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法自出現(xiàn)以來，一直是多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究者關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一。以一個(gè)二維單元梁為例：1）運(yùn)動(dòng)分析梁上任意一點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的位置為其中S為型函數(shù)，e為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，且有S=[s1IS21S3IS41]S3=3g2—2g3S=1一3&2+2g3S=lG—2&2+g3S4=lC3—g2),g=X。S3=3g2—2g3e=e=[ei=ri1e2ee34e5e6e7ej8drdrdrdr]Tri1i2rrk1_k2i2dxdxk1k2dxdxrTrdV=1JpeTSTSe^V=￡eTMe

--2--2--V(1.12)(1.13)(1.14)由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的選取可得出，絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法中并未使用轉(zhuǎn)角作為坐標(biāo)，而是選取斜率作為廣義坐標(biāo)。型函數(shù)rTrdV=1JpeTSTSe^V=￡eTMe

--2--2--V(1.12)(1.13)(1.14)對(duì)公式1.13求一次導(dǎo)，便可得到任意一點(diǎn)速度:r=Se2）質(zhì)量矩陣（1）系統(tǒng)的動(dòng)能為：丁1|\T=2Jpv（2）系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M=JpStSW由上文可知，型函數(shù)S僅為x的函數(shù)，因此，質(zhì)量矩陣M為一個(gè)常量矩陣，在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的時(shí)候，可事先計(jì)算好質(zhì)量矩陣，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間。3）系統(tǒng)廣義力（1）利用介質(zhì)力學(xué)中變形梯度，來求解彈性力。單元變形梯度為:利用拉格朗日應(yīng)變張量描述系統(tǒng)應(yīng)變，此張量為單元變形梯度的函數(shù)，表達(dá)式為：1f_T八1FctSe-1ctSe￡=_—I./—_ac(116)\o"CurrentDocument"a利用拉格朗日應(yīng)變張量描述系統(tǒng)應(yīng)變，此張量為單元變形梯度的函數(shù)，表達(dá)式為：1f_T八1FctSe-1ctSe￡=_—I./—_ac(116)\o"CurrentDocument"a22eTSectSe-1''Lcb」S=StS+StS'alxlx2x2xS=StS+StSblyly2y2y+StS式中l(wèi)xly2x2y°元形函數(shù)的第i行?！隇橐粋€(gè)對(duì)稱張量，因此可以寫為:

aS?表示單I8￡卜23利用材料本構(gòu)模型，則系統(tǒng)應(yīng)力張量為:a=Ee(1.19)其中，E為關(guān)于材料樣式模量的矩陣，若用拉梅常數(shù)表達(dá)，為:人+2日X0E=X人+2口0002日(1.19)桿件的彈性應(yīng)變能為:￡TE必V2V(1.17)彈性力為:(1.18)其中，K為系統(tǒng)剛度矩陣，可以寫為：K(e)=Q+2pi)K+XK+2piK123(1.19)K1=2』[S(eTS^eT)+S)QrSe—1jdVV=2』[S(eTS^eT)+S)QtSeT^jdVVK3=1j「(S+St)(eTSe^)]dVK34cccV(2)由虛功原理，求解廣義外力(1.19)(1.20)(1.21)8W=Ft8r=FtS8e=qt8e(1.19)(1.20)(1.21)因此廣義外力為：qT=FtS動(dòng)力學(xué)方程將上式帶入牛頓歐拉方程，得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：Me=qf+q從上述推導(dǎo)過程中可以看出，絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的動(dòng)力學(xué)方程中，質(zhì)量矩陣為一個(gè)常量矩陣，而剛度矩陣則為一個(gè)非線性的非常量矩陣，這一點(diǎn)正好與浮動(dòng)坐標(biāo)法相反。由于廣義坐標(biāo)中不包含轉(zhuǎn)動(dòng)量，因此計(jì)算時(shí)不需考慮科氏力與離心力，減小了計(jì)算量。絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對(duì)作大范圍剛體運(yùn)動(dòng)大變形的結(jié)構(gòu)體的求解十分精確，在航空航天、高速運(yùn)動(dòng)或具有大尺寸柔性結(jié)構(gòu)的機(jī)器上取得了很好的應(yīng)用，是目前廣泛應(yīng)用的柔體動(dòng)力學(xué)分析方法。參考文獻(xiàn)：[1]SHABANAA.A,DynamicsofMultibodySystems(ThirdEdition).CambridgeUniversityPress,NewYork,2005.⑵SHABANAA.A.,ComputationalContinuumMechanics.CambridgeUniversityPress,NewYork,2008.SHABANAA.A,FlexibleMultibodyDyn