大學(xué)-數(shù)學(xué)專業(yè)-空間解析幾何-第三章-軌跡與方程課件

高等院校本科數(shù)學(xué)課程——空間解析幾何大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第十講平面曲線的方程

空間曲面的方程空間曲線的方程腳本編寫：教案制作：高等院校本科數(shù)學(xué)課程——空間解析幾何大學(xué)一、平面曲線與方程：（1）滿足方程的(x,y)必是曲線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）曲線上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)滿足這個(gè)方程；則這個(gè)方程稱為這條曲線的方程，這條曲線稱為方程的圖形。曲線的方程常表示為：F(x,y)=0或y=f(x)yxoxy=2第一節(jié)平面曲線的方程定義：當(dāng)平面上取定了標(biāo)架之后，如果一個(gè)方程與一條曲線有著關(guān)系：一、平面曲線與方程：（1）滿足方程的(x,y)必是曲線上某一例1、求平面上圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓的方程。向量式方程|OM|=2解：x2+y2=4普通方程例1、求平面上圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓的方程。向量式方程|1、向量函數(shù)

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí),與它對(duì)應(yīng)的向徑也隨著時(shí)間t的不同而改變（模長(zhǎng)與方向的改變），這樣的向徑稱為變向量，記為r。yxoxy=2如果變數(shù)t(atb)的每一個(gè)值對(duì)應(yīng)于變矢r的一個(gè)完全的值（模長(zhǎng)與方向），則稱r是變數(shù)t的向量函數(shù)，記為r=r(t)(atb).1、向量函數(shù)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí),與它對(duì)應(yīng)的向徑也2、向量函數(shù)的分量表示

設(shè)平面上取定的標(biāo)架為{O;e1,e2},則向量函數(shù)可表示為r(t)=x(t)e1+y(t)e2

(atb).（1）其中x(t),y(t)是r(t)的分量,它們分別是變數(shù)t的函數(shù)。yxOr(t)P(x(t),y(t))2、向量函數(shù)的分量表示設(shè)平面上取定的標(biāo)架為{O;e13、向量式參數(shù)方程若取(atb)的一切可能值，由的終點(diǎn)總在一條曲線上；反之，在這條曲線上的任意點(diǎn)，總對(duì)應(yīng)著以它為終點(diǎn)的向徑，而這徑矢可由t的某一值t0(at0b)通過(guò)（1）完全確定，則稱表達(dá)式（1）為曲線的向量式參數(shù)方程，其中t為參數(shù)。表示的向徑r(t)r(t)=x(t)e1+y(t)e2

(atb).（1）yxOr(t)ABP(x(t),y(t))3、向量式參數(shù)方程若取(atb)的一切可能值，由4、坐標(biāo)式參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程又?？梢詫懗上铝行问剑悍Q為曲線的坐標(biāo)式參數(shù)方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t))4、坐標(biāo)式參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程又常可以寫成下列形式：稱為曲一、定義:若空間中的曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有如下關(guān)系:(1)S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程F(x,y,z)=0;(2)不在S上點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y,z)=0;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.F(x,y,z)=0

Sxyzo第二節(jié)空間曲面的方程2x+3y4z19=0.◆在空間解析幾何中,曲面被看成空間點(diǎn)的幾何軌跡．一、定義:若空間中的曲面S與三元方程F(x,y,z)(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2

稱此方程為球面的標(biāo)準(zhǔn)方程.特別:當(dāng)球心在原點(diǎn)O(0,0,0)時(shí),球面方程:x2+y2+z2

=R2

例3、求三維空間中球心為M0(x0,y0,z0),半徑為R的球面的方程.

解：對(duì)于球面上任一點(diǎn)M(x,y,z),都有|M

M0|2=R2.即

M0

M

RF(x,y,z)=0上半球面(xx0)2+(yy0)2+(zz0解:原方程可改寫為(x1)2+(y+2)2+z2=5故:原方程表示球心在M0(1,2,0),半徑為的球面.例5:方程x2+y2+z2

2x+4y=0表示怎樣的曲面?解:原方程可改寫為(x1)2+(y+2)2面F(x,y,z)=0:面F(x,y,z)=0:例6方程的圖形是怎樣的？根據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底．解例6方程以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：（2）已知曲面方程，研究曲面形狀．（1）求曲面方程．以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：（2）已知曲面方程，二、曲面的參數(shù)方程1、雙參數(shù)向量函數(shù)在兩個(gè)變數(shù)u,v的變動(dòng)區(qū)域內(nèi)定義的函數(shù)r=r(u,v)或r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

(2)稱為雙參數(shù)向量函數(shù)，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是變向量r(u,v)的分量，它們都是變數(shù)u，v的函數(shù)。當(dāng)u,v取遍變動(dòng)區(qū)域的一切值時(shí)，向徑OM=r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

的終點(diǎn)M(x(u,v),y(u,v),z(u,v))所畫的軌跡一般為一張曲面。Mozxy

S二、曲面的參數(shù)方程1、雙參數(shù)向量函數(shù)在兩個(gè)變數(shù)u,v的變動(dòng)區(qū)2、曲面的向量式參數(shù)方程定義：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由(2)表示的徑矢r(u,v)的終點(diǎn)M總在一個(gè)曲面上，反之，在這個(gè)曲面上的任意點(diǎn)M總對(duì)應(yīng)著以它為終點(diǎn)的向徑，而這徑矢可由u,v的值(aub,cvd)通過(guò)(2)完全決定，則稱(2)式為曲面的向量式參數(shù)方程，其中u,v為參數(shù)。3、曲面的坐標(biāo)式參數(shù)方程因?yàn)閺绞竢(u,v)的分量為{x(u,v),y(u,v)z(u,v)},所以曲面的參數(shù)方程也常寫成表達(dá)式(3)稱為曲面的坐標(biāo)式參數(shù)方程。

r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

(2)2、曲面的向量式參數(shù)方程定義：若取u,v(au例5求空間中球心在原點(diǎn)，半徑為r的球面的參數(shù)方程。

M

rxyzPQθ解：設(shè)M(x,y,z)是球面上任一點(diǎn)，M在xOy坐標(biāo)面上的射影為P，而P在x軸上的射影為Q，又設(shè)在坐標(biāo)面上的有向角(i,OP)=,與Oz軸的交角MOZ=θ，則r=OM=OQ+QP+PM且PM=(rcosθ)k所以r=(rsinθcos)i

+(rsinθsin)j+(rcosθ)k(4)此即為中心在原點(diǎn)，半徑為r的球面的向量式參數(shù)方程。QP=(|OP|sin)j=(rsinθsin)jOQ=(|OP|cos)i=(rsinθcos)i例5求空間中球心在原點(diǎn)，半徑為r的球面的參數(shù)方程。Mr球心在原點(diǎn)，半徑為r的球面的坐標(biāo)式參數(shù)方程為(4),(5)中的θ,為參數(shù)，其取值范圍分別是0θ與-＜。r=(rsinθcos)i

+(rsinθsin)j+(rcosθ)k(4)

M

rxyzPQθ球心在原點(diǎn)，半徑為r的球面的坐標(biāo)式參數(shù)方程為(

M

ρxyzPQθ

M

rxyzPQθ0θ與-＜。MρxyzPQθMrxyzPQθ0θ與-xyzxyzORxyzOOxyzxyzORxyzOO例7求以z軸為對(duì)稱軸，半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程。解：如圖,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i,QP(Rsin)j,PM=uk所以r=(Rcos)i+(Rsin)j

+uk（6）此即為圓柱面的向量式參數(shù)方程。其坐標(biāo)式參數(shù)方程為(6),(7)式中的，u為參數(shù)，其取值范圍是-＜，-＜u＜+例7求以z軸為對(duì)稱軸，半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程。解：如xyzxyzxyz柱面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面OOOxyzxyzxyz柱面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面OOO空間曲線的一般方程曲線上的點(diǎn)都滿足方程，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.設(shè)空間曲線C為空間兩曲面的交線，則空間曲線C特點(diǎn)：2.1空間曲線的一般方程第二章軌跡與方程（空間曲線）的一般方程為空間曲線的一般方程曲線上的點(diǎn)都滿足方

例1方程

表示什么樣的曲線？

例1方程表示什么樣的曲例1方程表示什么樣的曲線？解交線如圖:例1方程表示什么樣的曲線消去變量z后得：稱為曲線C關(guān)于xOy的投影柱面.設(shè)空間曲線C的一般方程：三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影稱為曲線C在xOy面上的投影曲線.投影柱面與xOy面的交線：消去變量z后得：稱為曲線C關(guān)于xOy的投影柱面.設(shè)空間曲線C25如圖:投影曲線的研究過(guò)程.空間曲線投影曲線投影柱面如圖:投影曲線的研究過(guò)程.空間曲線投影曲線投影柱面26類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影.面上的投影曲線:面上的投影曲線:空間曲線在面上的投影曲線類似地：面上的投影曲線:面上的投影曲線:空間曲線在面27例4

求曲線在坐標(biāo)面上的投影.解（1）消去變量z后得在xOy面上的投影為例4求曲線在坐標(biāo)面上的投28所以在xOz面上的投影為線段.（3）同理在yOz面上的投影也為線段.（2）因?yàn)榍€在平面上，所以在xOz面上的投影為線段.（3）同理在yOz面上的投影（29空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程yxz0空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程yxz0動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，解動(dòng)點(diǎn)從螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比．即上升的高度螺距螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)作業(yè)P1391.2.5.(2)(3)作業(yè)P1391.2.5.(2)(3)高等院校本科數(shù)學(xué)課程——空間解析幾何大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第十講平面曲線的方程

空間曲面的方程空間曲線的方程腳本編寫：教案制作：高等院校本科數(shù)學(xué)課程——空間解析幾何大學(xué)一、平面曲線與方程：（1）滿足方程的(x,y)必是曲線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）曲線上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)滿足這個(gè)方程；則這個(gè)方程稱為這條曲線的方程，這條曲線稱為方程的圖形。曲線的方程常表示為：F(x,y)=0或y=f(x)yxoxy=2第一節(jié)平面曲線的方程定義：當(dāng)平面上取定了標(biāo)架之后，如果一個(gè)方程與一條曲線有著關(guān)系：一、平面曲線與方程：（1）滿足方程的(x,y)必是曲線上某一例1、求平面上圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓的方程。向量式方程|OM|=2解：x2+y2=4普通方程例1、求平面上圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓的方程。向量式方程|1、向量函數(shù)

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí),與它對(duì)應(yīng)的向徑也隨著時(shí)間t的不同而改變（模長(zhǎng)與方向的改變），這樣的向徑稱為變向量，記為r。yxoxy=2如果變數(shù)t(atb)的每一個(gè)值對(duì)應(yīng)于變矢r的一個(gè)完全的值（模長(zhǎng)與方向），則稱r是變數(shù)t的向量函數(shù)，記為r=r(t)(atb).1、向量函數(shù)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí),與它對(duì)應(yīng)的向徑也2、向量函數(shù)的分量表示

設(shè)平面上取定的標(biāo)架為{O;e1,e2},則向量函數(shù)可表示為r(t)=x(t)e1+y(t)e2

(atb).（1）其中x(t),y(t)是r(t)的分量,它們分別是變數(shù)t的函數(shù)。yxOr(t)P(x(t),y(t))2、向量函數(shù)的分量表示設(shè)平面上取定的標(biāo)架為{O;e13、向量式參數(shù)方程若取(atb)的一切可能值，由的終點(diǎn)總在一條曲線上；反之，在這條曲線上的任意點(diǎn)，總對(duì)應(yīng)著以它為終點(diǎn)的向徑，而這徑矢可由t的某一值t0(at0b)通過(guò)（1）完全確定，則稱表達(dá)式（1）為曲線的向量式參數(shù)方程，其中t為參數(shù)。表示的向徑r(t)r(t)=x(t)e1+y(t)e2

(atb).（1）yxOr(t)ABP(x(t),y(t))3、向量式參數(shù)方程若取(atb)的一切可能值，由4、坐標(biāo)式參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程又?？梢詫懗上铝行问剑悍Q為曲線的坐標(biāo)式參數(shù)方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t))4、坐標(biāo)式參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程又常可以寫成下列形式：稱為曲一、定義:若空間中的曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有如下關(guān)系:(1)S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程F(x,y,z)=0;(2)不在S上點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y,z)=0;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.F(x,y,z)=0

Sxyzo第二節(jié)空間曲面的方程2x+3y4z19=0.◆在空間解析幾何中,曲面被看成空間點(diǎn)的幾何軌跡．一、定義:若空間中的曲面S與三元方程F(x,y,z)(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2

稱此方程為球面的標(biāo)準(zhǔn)方程.特別:當(dāng)球心在原點(diǎn)O(0,0,0)時(shí),球面方程:x2+y2+z2

=R2

例3、求三維空間中球心為M0(x0,y0,z0),半徑為R的球面的方程.

解：對(duì)于球面上任一點(diǎn)M(x,y,z),都有|M

M0|2=R2.即

M0

M

RF(x,y,z)=0上半球面(xx0)2+(yy0)2+(zz0解:原方程可改寫為(x1)2+(y+2)2+z2=5故:原方程表示球心在M0(1,2,0),半徑為的球面.例5:方程x2+y2+z2

2x+4y=0表示怎樣的曲面?解:原方程可改寫為(x1)2+(y+2)2面F(x,y,z)=0:面F(x,y,z)=0:例6方程的圖形是怎樣的？根據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底．解例6方程以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：（2）已知曲面方程，研究曲面形狀．（1）求曲面方程．以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：（2）已知曲面方程，二、曲面的參數(shù)方程1、雙參數(shù)向量函數(shù)在兩個(gè)變數(shù)u,v的變動(dòng)區(qū)域內(nèi)定義的函數(shù)r=r(u,v)或r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

(2)稱為雙參數(shù)向量函數(shù)，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是變向量r(u,v)的分量，它們都是變數(shù)u，v的函數(shù)。當(dāng)u,v取遍變動(dòng)區(qū)域的一切值時(shí)，向徑OM=r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

的終點(diǎn)M(x(u,v),y(u,v),z(u,v))所畫的軌跡一般為一張曲面。Mozxy

S二、曲面的參數(shù)方程1、雙參數(shù)向量函數(shù)在兩個(gè)變數(shù)u,v的變動(dòng)區(qū)2、曲面的向量式參數(shù)方程定義：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由(2)表示的徑矢r(u,v)的終點(diǎn)M總在一個(gè)曲面上，反之，在這個(gè)曲面上的任意點(diǎn)M總對(duì)應(yīng)著以它為終點(diǎn)的向徑，而這徑矢可由u,v的值(aub,cvd)通過(guò)(2)完全決定，則稱(2)式為曲面的向量式參數(shù)方程，其中u,v為參數(shù)。3、曲面的坐標(biāo)式參數(shù)方程因?yàn)閺绞竢(u,v)的分量為{x(u,v),y(u,v)z(u,v)},所以曲面的參數(shù)方程也常寫成表達(dá)式(3)稱為曲面的坐標(biāo)式參數(shù)方程。

r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

(2)2、曲面的向量式參數(shù)方程定義：若取u,v(au例5求空間中球心在原點(diǎn)，半徑為r的球面的參數(shù)方程。

M

rxyzPQθ解：設(shè)M(x,y,z)是球面上任一點(diǎn)，M在xOy坐標(biāo)面上的射影為P，而P在x軸上的射影為Q，又設(shè)在坐標(biāo)面上的有向角(i,OP)=,與Oz軸的交角MOZ=θ，則r=OM=OQ+QP+PM且PM=(rcosθ)k所以r=(rsinθcos)i

+(rsinθsin)j+(rcosθ)k(4)此即為中心在原點(diǎn)，半徑為r的球面的向量式參數(shù)方程。QP=(|OP|sin)j=(rsinθsin)jOQ=(|OP|cos)i=(rsinθcos)i例5求空間中球心在原點(diǎn)，半徑為r的球面的參數(shù)方程。Mr球心在原點(diǎn)，半徑為r的球面的坐標(biāo)式參數(shù)方程為(4),(5)中的θ,為參數(shù)，其取值范圍分別是0θ與-＜。r=(rsinθcos)i

+(rsinθsin)j+(rcosθ)k(4)

M

rxyzPQθ球心在原點(diǎn)，半徑為r的球面的坐標(biāo)式參數(shù)方程為(

M

ρxyzPQθ

M

rxyzPQθ0θ與-＜。MρxyzPQθMrxyzPQθ0θ與-xyzxyzORxyzOOxyzxyzORxyzOO例7求以z軸為對(duì)稱軸，半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程。解：如圖,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i,QP(Rsin)j,PM=uk所以r=(Rcos)i+(Rsin)j

+uk（6）此即為圓柱面的向量式參數(shù)方程。其坐標(biāo)式參數(shù)方程為(6),(7)式中的，u為參數(shù)，其取值范圍是-＜，-＜u＜+例7求以z軸為對(duì)稱軸，半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程。解：如xyzxyzxyz柱面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面OOOxyzxyzxyz柱面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面OOO空間曲線的一般方程曲線上的點(diǎn)都滿足方程，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)