高二數(shù)學(xué)試題及答案

高二數(shù)學(xué)試題及答案高二數(shù)學(xué)試題及答案高二數(shù)學(xué)試題及答案xxx公司高二數(shù)學(xué)試題及答案文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計，管理制度高二數(shù)學(xué)期中測試卷(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．設(shè)a<b<0，則下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)2<ab<b2 B．b2<ab<a2C．a(chǎn)2<b2<ab D．a(chǎn)b<b2<a2答案B2．關(guān)于數(shù)列3,9，…，2187，…，以下結(jié)論正確的是()A．此數(shù)列不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列B．此數(shù)列可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列C．此數(shù)列可能是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列D．此數(shù)列不是等差數(shù)列，但可能是等比數(shù)列解析記a1＝3，a2＝9，…，an＝2187，…若該數(shù)列為等差數(shù)列，則公差d＝9－3＝6，an＝3＋(n－1)×6＝2187，∴n＝365.∴{an}可為等差數(shù)列．若{an}為等比數(shù)列，則公比q＝eq\f(9,3)＝3.an＝3·3n－1＝2187＝37，∴n＝7.∴{an}也可能為等比數(shù)列．答案B3．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，則角C為()A．鈍角 B．直角C．銳角 D．60°解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2.即a2＋b2－c2＝c2>0，cosC>0.答案C4．設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a5＝16，則數(shù)列{an}的前7項和為()A．63 B．64C．127 D．128解析a5＝a1q4＝q4＝16，∴q＝2.∴S7＝eq\f(1－27,1－2)＝128－1＝127.答案C5．一張報紙，其厚度為a，面積為b，現(xiàn)將此報紙對折7次，這時報紙的厚度和面積分別為()A．8a，eq\f(b,8) B．64a，eq\f(b,64)C．128a，eq\f(b,128) D．256a，eq\f(b,256)答案C6．不等式y(tǒng)≤3x＋b所表示的區(qū)域恰好使點(3,4)不在此區(qū)域內(nèi)，而點(4,4)在此區(qū)域內(nèi)，則b的范圍是()A．－8≤b≤－5 B．b≤－8或b>－5C．－8≤b<－5 D．b≤－8或b≥－5解析∵4>3×3＋b，且4≤3×4＋b，∴－8≤b<－5.答案C7．已知實數(shù)m，n滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n≤4，,m－n≤2，,m＋n≤3，,m≥0，))則關(guān)于x的方程x2－(3m＋2n)x＋6mn＝0的兩根之和的最大值和最小值分別是()A．7，－4 B．8，－8C．4，－7 D．6，－6解析兩根之和z＝3m＋2n，畫出可行域，當(dāng)m＝1，n＝2時，zmax＝7；當(dāng)m＝0，n＝－2時，zmin＝－4.答案A8．已知a，b，c成等比數(shù)列，a，x，b成等差數(shù)列，b，y，c成等差數(shù)列，則eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)的值等于()\f(1,4) \f(1,2)C．2 D．1解析用特殊值法，令a＝b＝c.答案C9．制作一個面積為1m2，形狀為直角三角形的鐵架框，有下列四種長度的鐵管供選擇，較經(jīng)濟的(夠用、又耗材最少)是()A． B．C．5m D．解析設(shè)三角形兩直角邊長為am，bm，則ab＝2，周長C＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)＝2eq\r(2)＋2≈(m)．答案C10．設(shè){an}是正數(shù)等差數(shù)列，{bn}是正數(shù)等比數(shù)列，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1,則()A．a(chǎn)n＋1>bn＋1 B．a(chǎn)n＋1≥bn＋1C．a(chǎn)n＋1<bn＋1 D．a(chǎn)n＋1＝bn＋1解析an＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1,2)≥eq\r(a1a2n＋1)＝eq\r(b1b2n＋1)＝bn＋1.答案B11．下表給出一個“直角三角形數(shù)陣”：eq\f(1,4)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)eq\f(3,4)，eq\f(3,8)，eq\f(3,16)……滿足每一列成等差數(shù)列，從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，且每一行的公比相等，記第i行第j列的數(shù)為aij(i≥j，i，j∈N*)，則a83等于()\f(1,8) \f(1,4)\f(1,2) D．1解析第1列為eq\f(1,4)，eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，eq\f(3,4)，…，所以第8行第1個數(shù)為eq\f(8,4)，又每一行都成等比數(shù)列且公比為eq\f(1,2)，所以a83＝eq\f(8,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).答案C12．已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋x－1≤0，,y－3x－1≤0，,y－x＋1≥0，))則z＝2x＋y的最大值為()A．4 B．2C．1 D．－4解析先作出約束條件滿足的平面區(qū)域，如圖所示．由圖可知，當(dāng)直線y＋2x＝0，經(jīng)過點(1,0)時，z有最大值，此時z＝2×1＋0＝2.答案B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分．共20分．把答案填在題中橫線上)13.在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，則最短邊的邊長等于________．解析∵B＝45°，C＝60°，∴A＝180°－B－C＝75°.∴最短邊為b.由正弦定理，得b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(1×sin45°,sin60°)＝eq\f(\r(6),3).答案eq\f(\r(6),3)14．銳角△ABC中，若B＝2A，則eq\f(b,a)的取值范圍是__________．解析∵△ABC為銳角三角形，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<B＝2A<\f(π,2)，,0<π－A－B<\f(π,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,4)，,\f(π,6)<A<\f(π,3).))∴A∈(eq\f(π,6)，eq\f(π,4))．∴eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝2cosA.∴eq\f(b,a)∈(eq\r(2)，eq\r(3))．答案(eq\r(2)，eq\r(3))15．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1－2an＝0，數(shù)列{bn}的通項公式滿足關(guān)系式an·bn＝(－1)n(n∈N*)，則bn＝________.解析∵a1＝3，an＋1＝2an，∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比q＝2.∴an＝3·2n－1.又an·bn＝(－1)n.∴bn＝(－1)n·eq\f(1,an)＝eq\f(－1n,3·2n－1).答案eq\f(－1n,3·2n－1)16．不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－1<x<2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax的解集為________．解析由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－1＋2＝－\f(b,a)，,－1×2＝\f(c,a)，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－2a，,a<0.))所求不等式可化為x2＋1－(x－1)＋(－2)<2x，解得0<x<3.答案{x|0＜x＜3}三、解答題(本大題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)已知全集U＝R，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,4)x2＋x＋1>0))，B＝{x|3x2－4x＋1>0}，求?U(A∩B)．解A＝{x|3x2－4x－4<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(2,3)<x<2))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,3)，或x>1)).A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(2,3)<x<\f(1,3)，或1<x<2))，?U(A∩B)＝{x|x≤－eq\f(2,3)，或eq\f(1,3)≤x≤1，或x≥2}．18．(12分)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且8sin2eq\f(B＋C,2)－2cos2A＝7.(1)求角A的大小；(2)若a＝eq\r(3)，b＋c＝3，求b和c的值．解(1)在△ABC中，有B＋C＝π－A，由條件可得4[1－cos(B＋C)]－4cos2A＋2＝7，即(2cosA－1)2＝0，∴cosA＝eq\f(1,2).又0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).(2)由cosA＝eq\f(1,2)，得eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，即(b＋c)2－a2＝3bc，則32－(eq\r(3))2＝3bc，即bc＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝3，,bc＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝1.))19．(12分)遞增等比數(shù)列{an}滿足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中項．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝an·logeq\s\do8(\f(1,2))an，求數(shù)列{bn}的前n項和．解(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＋a1q2＋a1q3＝28，,a1q＋a1q3＝2a1q2＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝32，,q＝\f(1,2)，))(舍去)．所以an＝2·2n－1＝2n.(2)bn＝an·logeq\s\do8(\f(1,2))an＝－n·2n，Sn＝－(1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)，2Sn＝－(1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1)．兩式相減，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝eq\f(21－2n,1－2)－n·2n＋1＝－(n－1)·2n＋1－2.20．(12分)配制兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料．已知配A種藥需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B種藥需要甲料5毫克、乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A，B兩種藥至少各配一劑，問A、B兩種藥最多能各配幾劑？

解設(shè)A、B兩種藥分別能配x，y劑，x，y∈N*，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≥1，,3x＋5y≤20，,5x＋4y≤25，))作出可行域，圖中陰影部分的整點有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)．所以，在保證A，B兩種藥至少各配一劑的條件下，A種藥最多配4劑，B種藥最多配3劑．21．(12分)在△ABC中，已知eq\f(a＋b,a)＝eq\f(sinB,sinB－sinA)，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.(1)試確定△ABC的形狀；(2)求eq\f(a＋c,b)的范圍．解(1)由eq\f(a＋b,a)＝eq\f(sinB,sinB－sinA)，得eq\f(a＋b,a)＝eq\f(b,b－a)，即b2－a2＝ab，①又cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C.sinA·sinB＝sin2C，則ab＝c2.②由①②知b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2.所以△ABC為直角三角形．(2)在△ABC中，a＋c>b，即eq\f(a＋c,b)>1.又eq\f(a＋c,b)＝eq\r(\f(a2＋c2＋2ac,b2))≤eq\r(\f(2a2＋c2,b2))＝eq\r(\f(2b2,b2))＝eq\r(2)，故eq\f(a＋c,b)的取值范圍為(1，eq\r(2)]．22．(12分)設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，滿足aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＝aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,5)，S7＝7.(1)求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn；(2)試求所有的正整數(shù)m，使得eq\f(amam＋1,am＋2)為數(shù)列{an}中的項．解(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)d，(d≠0)．由aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＝aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,5)，知2a1＋5d＝0.①又因為S7＝7，所以a1＋3d＝1.②由①②可得a1＝－5，d＝2.所以數(shù)列{an}的通項公式an＝2n－7，Sn＝eq\f(na