2021年高考理科數(shù)學試卷(全國乙卷真題)-(含答案和解析)

絕密★啟用前河南省2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）理科數(shù)學注意事項：.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上..回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效..考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的..設2(z+Z)+3(z—Z)=4+6i,則2=()A.l-2z B.1+2/ C.1+/ D.1-Z.己知集合5={5卜=2〃+1,〃￡2},T=(r|r=47?+lj7eZ},則SnT=()TOC\o"1-5"\h\zA.0 B.S C.T D.Z.已知命題p:3x￡R,sinx<l；命題aTxeR,e|x|>1,則下列命題中為真命題的是（）A.PM B.八q C.P八F D.-i（pvq）—r4.設函數(shù)/（X）=——，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（ ）1+XA.f（X—1）—1 B./（X-1）+1 C. 1 D./（x+l）+l5.在正方體ABC?！狝瓦GR中，P為用。的中點，則直線P3與AR所成的角為（）7［兀 兀 兀A.- B.— C.- D.一2 3 4 66,將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種.把函數(shù)丁=/（工）圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的1倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移巳個2 3單位長度，得到函數(shù)丁=5山|\一。］的圖像，則/（X）=（）\ 4

(XA.sm--12lx\(XA.sm--12lx\12；B.sinX7t—+一212D.sin2x+—I12JD.sin2x+—I12JI12)7.在區(qū)間（01）與（L2）中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于一的概率為（47A.一97A.一923B.—329

C.—

322D--9.魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高.如圖，點E，”,G在水平線AC上，OE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”,GC和后”都稱為“表目距”，GC與￡7/的差稱為“表目距的差”則海島的高AB二（）A.C.表高x表距+表高表目距的差表高x表距表目距的差+表距口表高xA.C.表高x表距+表高表目距的差表高x表距表目距的差+表距口表高x表距表目距的差一表回D.表高x表距表目距的差一表距.設owO,若x為函數(shù)/（1）=4（1一4）2（1-與的極大值點，則（）Aa<bB.a>bCAa<bB.a>bC?ab<a2D.ab>a21L設8是橢圓C:二+二=1伍>8>0）上頂點，若C上的任意一點P都滿足區(qū)2〃，則C的離心cr率的取值范圍是（A.B.C.D.°4A.B.C.D.°412.設12.設q=21nL01,/?=1111.02,c=5/T04-1.則( )A.a<b<cb<c<ab<a<cD.A.a<b<cb<c<ab<a<cD.c<a<b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知雙曲線C:--y2=1(/h>0)的一條漸近線為0+my=0,則C的焦距為14.已知向量〃二(1,3)]=(3,4),若則2=.13.15.記△A6C的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a",c,面積為,B=60。，+c?=3oc，則〃二.16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為(寫出符合要求的一組答案即可).圖④圖⑤16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為(寫出符合要求的一組答案即可).圖④圖⑤三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品設備，為檢驗新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110310.610.510.410.5舊設備和新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為7和y，樣本方差分別記為s；和S〉(1)求1y,S；,S；；

（2）判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果y-無之2匡，則認為新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.匡，則認為18.如圖，四棱錐P—45CD的底面是矩形，底面A5CQ,PD=DC=1,"為5c的中點，且PB1AM.（1）求6C：（2）求二面角4一/>“一3的正弦值.

2 1.記S”為數(shù)列｛q｝前〃項和，2為數(shù)列｛S〃｝的前〃項積，己知三+廠=2.(1)證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列；(2)求｛可｝的通項公式..設函數(shù)/(x)=ln(a-x),己知x=0是函數(shù)y=，4(x)的極值點.(1)求a；(2)設函數(shù)(2)設函數(shù)g(%)=x+/(x)

VU)證明:g(x)vL.已知拋物線C.x2=2py（p>0）的焦點為F，且尸與圓W:V+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4.（1）求〃；（2）若點。在"上，尸4尸5是C的兩條切線，43是切點，求△尸46面積的最大值.（二）選考題，共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.［選修4?4：坐標系與參數(shù)方程1（10分）.在直角坐標系X。），中，OC的圓心為c（2』），半徑為1.（1）寫出OC的一個參數(shù)方程；（2）過點尸（4,1）作的兩條切線.以坐標原點為極點，大軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程.［選修4?5：不等式選講］（10分）.己知函數(shù)/（力=卜-4+卜+3|.（1）當。=1時，求不等式/（x）之6的解集;（2）若/（x）＞—〃，求a的取值范圍.答案解析理科數(shù)學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的..設2（z+z）+3（z—z）=4+6i,則2=（）A.1-2/ B.1+2/ C.1+z D.1-i【答案】C【解析】【分析】設z=a+bi,利用共筑更數(shù)的定義以及復數(shù)的加減法可得出關于。、〃的等式，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出復數(shù)"【詳解】設1=4+次，則2=4—初，則2卜+2）+3卜一司=4。+6萬=4+6,，=4所以，V/,,解得〃=b=l,因此，z=l+i.[6b=6故選：C..己知集合5={5b=2〃+1,〃￡2},7={力=4〃+1,〃eZ},則snr=（）A.0 B.S C.T D.z【答案】c【解析】【分析】分析可得TqS,由此可得出結論.【詳解】任取則f=4〃+l=2?（2〃）+l,其中〃￡Z,所以，res,故T=S,因此，SC\T=T.故選：C..已知命題p:去￡R,sinx<l；命題,ew>l>則下列命題中為真命題的是（）A.〃八夕 B.f人C.PAf D.-n（pV<7）【答案】A【解析】【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題〃的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題q的真假性，由此確定正確選項.【詳解】由于一IKsinxKl,所以命題〃為真命題：由于兇之0,所以6兇之1,所以命題9為真命題；所以〃八4為真命題，n、PII、-為假命題.故選：A.—r4,設函數(shù)/(X)=——，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( )1+XA.f(X-1)-1 B./(X—1)+1 C.-1D./(x+l)+l【答案】B【解析】【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.1-Y 2【詳解】由題意可得/")=一-=-1+——，1+X 1+X9對于A,/(1一1)一1二——2不是奇函數(shù)；X2對于B,7(1-1)+1=—是奇函數(shù)；X2對于C,/(x+l)-l=——一2,定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)：' / x+22對于D,/(x+l)+l=-定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù).故選:B【點睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學生對概念的理解，是一道容易題.5.在正方體ABC?！狝4G2中，P為42的中點，則直線必與AR所成的角為()TOC\o"1-5"\h\z兀 兀 兀 兀A.- B.- C.- D.一2 3 4 6【答案】D【解析】【分析】平移直線至8Q,將直線必與AR所成的角轉化為總與6G所成的角，解三角形即可.

【詳解】【詳解】如圖，連接6G，PG，P8,因為AR〃8C\,所以NP5G或其補角為直線pb與g所成的角，因為平面 所以B4_LPQ,又PCJBQ1，BB]CBiQ=Bi，所以PG_l平面P6耳，所以尸g，pb，設正方體棱長為2,則BQ=2&,pq=g。固=企,PC1 ksmNPBQ=U=w，所以NPBC1=工.故選:D.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種【答案】C【解析】【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4!種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有C：x4!=240種不同的分配方案，故選：C.【點睛】本題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排

思想求解..把函數(shù)丁=/(工)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的;倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移手個單位長度，得到函數(shù)》=$111|\—f]的圖像，則/(])=()\ 4JA.SuQ—1212,B.sinA.SuQ—1212,B.sinX71

一十—1212J.、 71D.sin2x+—I12J【答案】B【解析】【分析】解法一：從函數(shù))，=/(#的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到y(tǒng)=/2x—g,即得了2x—g=sinx—3,再利用換元思想求得y=/(x)的解析表達式;解法二：從函數(shù)y=sm(x-7)出發(fā)，逆向實施各步變換，利用平移伸縮變換法則得到)，=/(用的解析表達式.【詳解】解法一：函數(shù)y=/(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的;倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)=/(2x)的圖象，再把所得曲線向右平移J個單位長度，應當?shù)玫搅?/ 的圖象，3 L13人根據(jù)已知得到了函數(shù)y=sm(x—7)的圖象，所以/'(x-=sin(x-：),，則X=t 7t 7t t，則X=-+—,X =—+一,2 3 4 212所以= + 所以/(x)=sin［；+^!)；解法二：由己知的函數(shù)y=sm(x-7)逆向變換，第一步：向左平移￡個單位長度，得到y(tǒng)=sin(x+g-9]=sin[x+=]的圖象,3 I34JI12；

Xrr\第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到>=sm不+方的圖象,(x兀即為>=/(x)的圖象，所以/(x)=sin-+—故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和伸縮變換，屬基礎題，可以正向變換，也可以逆向變換求解，關鍵是要注意每一步變換，對應的解析式中都是X的變換，圖象向左平移。個單位，對應X替換成x+a,圖象向右平移。個單位，對應了替換成牢記“左加右減I訣；圖象上每個點的橫坐標伸長或縮短到原X來的左倍，對應解析式中X替換成7.K78.在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于一的概率為（42D--9TOC\o"1-5"\h\z7 23 92D--9A.- B.— C.—9 32 32【答案】B【解析】【分析】設從區(qū)間0」，L2中隨機取出的數(shù)分別為羽y,則實驗的所有結果構成區(qū)域為Q=｛（x,y）|0<x<l,l<y<2）,設事件A表示兩數(shù)之和大于;，則構成的區(qū)域為A=/（X,y）|0<%<1,1<y（2,y）^\,分別求出QA對應的區(qū)域面枳，根據(jù)幾何概型的的概率公式即【詳解】如圖所示:—^丁一Aq,認7【詳解】如圖所示:—^丁一Aq,認7、、舊設從區(qū)間0/，1,2中隨機取出的數(shù)分別為x,y,則實驗的所有結果構成區(qū)域為O={(x,y)|0c<l/<)Y2},其面枳為“=1x1=1.

2332#設事件A表示兩數(shù)之和大于（，則構成的區(qū)域為人=｛（蒼>）|0<]<1,1<>〈2/+），）（，，2332#13323部分，其面積為SA=1——x—x—=—,A24432故選：B.【點睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題，解題關鍵是準確求出事件QA對應的區(qū)域面枳，即可順利解出.9.魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高.如圖，點E，”，G在水平線AC上，OE和尸G是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”,GC和后”都稱為“表目距”，GC與的差稱為“表目距的差”則海島的高A3二（）表高x表距A 表目距的差+表高口表高X表距主旨表目距的差一表回C.表高x表高x表距A 表目距的差+表高口表高X表距主旨表目距的差一表回C.表高x表距表目距的差+表距D.表高x表距表目距的差一表距【答案】A【解析】【分析】利用平面相似的有關知識以及合分比性質即可解出.【詳解】如圖所示:DFEHFGCG由平面相似可知，—= =-t而DE=FG,所以ABAHABACDE_EH_CG_DE_EH_CG_CG-EH_CG-EHAB~AH~AC~AC-AH~CH而C"=CE-EH=CG-EH+EG,即AB=CG*+巴小二生生+小建曾慧即AB=CG*+巴小二生生+小建曾慧十表高CG-EH CG-EH 表目距的差故選：A.【點睛】本題解題關鍵是通過相似建立比例式，闈繞所求目標進行轉化即可解出.10.設4工0,若1=。為函數(shù)/(1)=4(工一4『(工一6)的極大值點，則()A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2【答案】D【解析】【分析】結合對。進行分類討論，畫出/(x)圖象，由此確定正確選項.【詳解】若。二人則/(1)=。(工一。)3為單調函數(shù)，無極值點，不符合題意，故axb.依題意，1=。為函數(shù)/(工)=4(不一〃『(工一6)的極大值點，當〃<0時，由x〉〃，f(x)<0,畫出/(x)的圖象如下圖所示：由圖可知be。，?<0,故當〃>0時，由時，/(x)>0,畫出/(x)的圖象如下圖所示:由圖可知〃>0,故ab>c『.綜上所述,ab>標成立.故選：D【點睛】本小題主要考杳三次函數(shù)的圖象與性質，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法可以快速解答.11.設8是橢圓。：［+;=1伍>}>0）的上頂點，若。上的任意一點P都滿足|夕5區(qū)2〃，則C的離心cr率的取值范圍是（）【答案】C【解析】【分析】設尸（天,%），由5（0⑼，根據(jù)兩點間的距離公式表示出|「耳，分類討論求出|P目的最大值，再構建齊次不等式，解出即可.TOC\o"1-5"\h\z2 7【詳解】設尸（見,%）,由6（0㈤，因為至+g_=i,a2=b2+c2,所以crb-（v2\ 2 /3\2 14|。8『=4+（"一匕『=標I-*+（）'。一/?『=一百K+r+—+a2+b2,Ib-） 以）c-因為一〃當一白—b,即〃飛/時，|尸比田=4〃，即|P6|皿小2〃，符合題意，由〃飛/可得標之2c2,即o<e?巫；2當一g〉—b,即//時，+即*+ 化簡得,(c2-b2^<0,顯然該不等式不成立.故選：C.【點睛】本題解題關鍵是如何求出歸目的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調性從而確定最值..設4=21nl.Ol,b=lnl.O2,c=VL04-1.則( )A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調性不難對。》的大小作出判定，對于。與c,〃與c的大小關系,將001換成x,分別構造函數(shù)/(x)=21n(l+x)—Jl+4x+l,g(x)=ln(l+2x)—Jl+4x+l,利用導數(shù)分析其在0的右側包括0.01的較小范闈內(nèi)的單調性，結合共0尸0y(0)=0即可得出。與c,〃與c的大小關系.【詳解】67=21ii1.01=1ii1.012=lii(l+0.01)2=1ii(1+2x0.01+0.012)>1ii1.02=Z;,所以/?<〃；下面比較c與。力的大小關系./ ? 9 7 2(J1+4—-1—X)記"x)=21n(l+x)—VI7Z7+l惻/(O)=O，r(x)=^_^^==J__, L］+xy/l+4x (1+x)>/l+4x由于l+4x-(l+x)-=2x-x2=x(2-x)所以當0v%<2時，l+4x-(l+x『>0,即Jl+4x>(l+x)J'(+)>0,所以f(x)在［0,2］上單調遞增,所以/(0.01)>/(0)=0即21nL01〉VT^—1,即。〉C；I / 2 ? 2(Jl+4x-1-2x)令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,則g⑼=0,g'(x)= z=- / ，,l+2xJ1+4- (l+x)Vl+4x由于l+4x-(l+2x『=-4x2,在Q0時,1+4x-(1+2x)2<0,所以g'(x)<0,即函數(shù)g(x)在［0,+8)上單調遞減，所以g(O.Ol)vg(O)=O,即lnl.02cmz-1,即從C綜上，b<c<a,

故選：B.【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數(shù),利用導數(shù)研究相應函數(shù)的單調性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.填空,：本，共4填空,：本，共4小題，每小題5分，共20分..已知雙曲線。上—儼=1(〃7〉0)的一條漸近線為出工+團),=0,則。的焦距為m【答案】4【解析】【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出。力的關系，再結合雙曲線中對應關系，聯(lián)立求解川，再由關系式求得C,即可求解【詳解】由漸近線方程+ =0化簡得>=-且x,即2=更，同時平方得匕=之，又雙曲線中mam 。-nra2=m,b2=1,故三=工,解得=3/〃=0(舍去)，=/+//=3+l=4nc=2,故焦距2c=4nrm故答案為：4【點睛】本題為基礎題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計算并聯(lián)立關系式求解是關鍵.己知向量4=(L3),B=(3,4),若則2=.【答案】I【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出.【詳解】因為14=(1,3)—2(3,4)=(1—343—4/1),所以由，一碼_L5可得，3(1—34)+4(3—42)=。，解得/l=|.故答案為：—.【點睛】本題解題關鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設￡=(.7);),B=(.q，K),〃J_Bu>4-B=0oxtx2+);乃-0，注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分..記6c的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,C,而枳為岔，3=60。，a2+c2=3ac，則〃=.【答案】2&【解析】【分析】由三角形面積公式可得收=4,再結合余弦定理即可得解.

【詳解】由題意，S\Bc=LacsmB=?ac=小,所以4c=4,/+/=12,所以/=/+/-24ccos6=12—2x4xL=8,解得6=2點（負值舍去）.2故答案為：2應..以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.圖① 圖② 圖③圖④2-H圖④2-H圖⑤【答案】③④【解析】【分析】由題意結合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.【詳解】選擇側視圖為③，俯視圖為④，

D】D】如圖所示，長方體A5c0—44GA中，AB=BC=2,BB]=1,旦尸分別為棱8￡,8C的中點,則正視圖①，側視圖③，俯視圖④對應的幾何體為三棱錐E—A0/L故答案為：③④.【點睛】三視圖問題解決的關鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分..某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設備，為檢驗新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如卜.:舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為7和亍，樣本方差分別記為S；和S>(1)求x,y,S；,S；；（2）判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果了-無之2新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.【答案】（1）7=103=10.3,S：=0.036,S；=0.04：（2）新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備沒有顯著提高.

【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結合（1）的結論進行判斷..、沖皿、,、一【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結合（1）的結論進行判斷..、沖皿、,、一9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7in［詳解］x= =10,1010.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5 =10.3,100.22+0.3?+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32八 =U.U36，10…0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.F+0.22八?S；= =0.04?- 10(2)依題意，y-x=0.3=2x0.15=2V0.152=2^0.025?2卜=2,0.038，,所以新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備沒有顯著提高.18.如圖，四棱錐P—A5CD的底面是矩形，?。，底面458,PD=DC=l,M為5c的中點，且（2）求二面角4一月必一3的正弦值.【答案】（1）JJ；（2）叵14【解析】【分析】（1）以點。為坐標原點，DA.DC、OP所在直線分別為％、）'、z軸建立空間直角坐標系，設5c=2〃，由已知條件得出戶從4^=0,求出。的值，即可得出5c的長；

（2）求出平面Q4M、出加的法向量，利用空間向量法結合同角三角函數(shù)的基本關系可求得結果.【詳解】（1）?.?PZ）_L平面45c0,四邊形A5CZ）為矩形，不妨以點Z）為坐標原點，DA.DC、。尸所在直線分別為工、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系。一a），z,設6C=2a,則0（0,0,0）、尸（0。1）、8（2<1,0）、M（4,1,0）、A（2a,0,0）,則方=（2a,LT）,AM=（-?,L0）,?.?P6_L4W，則萬=療+1=0,解得。=孚，故8c=2〃=應;（2）設平面（2）設平面Q4M的法向量為詬二（/44）,則AM'='與。AP=(-5/2,0,l),取玉=無，可得用=（應,1,2卜m-AM=_孝&+取玉=無，可得用=（應,1,2卜m-AP=->/2xl+Zi=0設平面的法向量為1=（9，）%么），6M'=一3,0,01BP=（-V2,-1,1）,J/b的"也尤二0 一由］_ 2 - ,取力=1,可得〃二（04,1）,n-BP=一應尤_4+乙=0.1—一cos<〃?，〃>=in-n〃??cos<〃?，〃>=in-n〃??〃3 _35/14不又近一14所以,sm<〃7,〃>=V1所以,sm<〃7,〃>=V1-cos?<加；;>=叵14因此，二面角—5的正弦值為畫.14【點睛】思路點睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標系，寫出二面角對應的兩個半平面中對應的點的坐標；（2）設出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標平面，直接取法向量即可）：（3）計算（2）中兩個法向量的余弦值，結合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角,從而得到二面角的余弦值.2 119.記S”為數(shù)列｛q｝的前〃項和，2為數(shù)列｛S〃｝的前〃項積，己知不+廠=2.（1）證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列；（2）求｛可｝的通項公式.2【答案】（1）證明見解析；（2）an=lTOC\o"1-5"\h\z—一1 〃22?【解析】2 1 2〃【分析】（1）由己知不+二=2得5〃=丁\，且〃尸0,取〃=1,得,由題意得3”么 小一1 22bl 2A 2bfj. 2bmb.. ..北士.刃口…不1="，消積得到項的遞推關系無。=臂，進而證明數(shù)列也｝是等差數(shù)列；2（2）由（1）可得"的表達式，由此得到S〃的表達式,然后利用和與項的關系求得q=彳 .—一1 之2【詳解】（1）由己知不+廠=2得5”=蠟、■，且“了之,J""n —I 2取〃=1,由S]=4得4=g,由于“為數(shù)列｛s,J的前1項積,

2bl所以不2b22b,—12b.所以右2a2b.-1所以由于4+1所以北二口丁，即%「"二；其中〃2bl所以不2b22b,—12b.所以右2a2b.-1所以由于4+1所以北二口丁，即%「"二；其中〃￡*所以數(shù)列｛“｝是以a=g為首項，以?=；為公差等差數(shù)列;(2)由(1)可得，數(shù)列｛0｝是以&=|為首項:.b=-+(n-l)x—=l+—,

“2' 72 2,以d=9為公差的等差數(shù)列,23當n=l時，a=S=—,2當〃N2時=S〃一S〃t2+7?1+〃，顯然對于〃=1不成立,P=11【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前〃項和與項的關系，數(shù)列的前〃項積與項的關系，其中由2bl 2AX 一2b2bl 2AX 一2b〃=bn，得到2bl 2AX .2b1—12A—12b—1, 2b..b..="+】，進而得到"\=產(chǎn)是關鍵一步；要熟練掌握前〃項和，積與數(shù)列的項的關系，消和(積)得到項(或項的遞推關系)，或者消項得到和(積)的遞推關系是常用的重要的思想方法.20.設函數(shù)/(x)=ln(a—x),已知x=0是函數(shù)丁=,4(x)的極值點.(1)求a；

（2）設函數(shù)（2）設函數(shù)g*）=x+/(x)

VU)證明:g(x)<L【答案】1；證明見詳解【解析】x+ln(l—x)⑵由⑴得g”畫言x+ln(l—x)⑵由⑴得g”畫言工＜1且無工0,分類討論X￡（O,1）和X￡（—8,O）,可等價轉化為要證g(x)<l,即證x+ln(l—x)>xln(l—x)在xe((M)和x￡(—s,O)上恒成立，結合導數(shù)和換元法即可求解1 、 Kx【詳解】(1)由/(x)=ln(4—x)=>/〈x)=--,y=V\x)=>)"=ln(a-x)+——,.XCl XCl又x=0是函數(shù)y=-4(x)的極值點，所以>'(0)=1114=0,解得a=l；(2)由(1)得/(x)=ln(l—x),g(x)=-+/")= ：),xvl且XW0,7 \ 7 xf(x)xlll(l-x)當xe(o,l)時，要證85)=)土一V<1,vx>o,hi(l-x)<o,;.xln(l-x)<Ot即證x+lll(l-x)>xlll(l-x),化簡得入+(1-1)111(1-1)>0；同理，當xe(-s,0)時，要證-—<1,?.F<0,ln(l—x)>0,;.xln(l-x)<0,即證\ 7 xhi(l-x)x+hi(l-x)>xhi(l-x),化簡得工+(1-1)111(1一.丫)〉0；令〃3=x+(l—x)ln(l—x),再令/=l—x,則f<O1)U(L+s),x=l-t,令g(f)=l-f+flnr,g'a)=-l+lnf+l=lnf,當f￡(O,l)時，g[x)<0,g(x)單減,假設g(l)能取到,則g⑴=0,故g?)>g(l)=O;當1￡。,+8）時,g＜x）＞0,g（x）單增，假設g（l）能取到,則g（l）=O,故g（，）＞g（l）=。；綜上所述,g(x)=X+lll(l-X)綜上所述,g(x)=X+lll(l-X)

xhi(l-x)＜1在工e（—s,0）U（?！梗┖愠闪ⅰ军c睛】本題為難題，根據(jù)極值點處導數(shù)為o可求參數(shù)。，第二問解法并不唯一，分類討論對函數(shù)進行等價轉化的過程，一定要注意轉化前后的等價性問題，構造函數(shù)和換元法也常常用于解決更雜函數(shù)的最值與恒成立問題.21.已知拋物線C:x2=2py（p＞0）的焦點為F，且尸與圓W:V+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4.（1）求〃；（2）若點戶在"上，尸4尸5是。的兩條切線，43是切點，求△P45面積的最大值.【答案】（1）p=2；（2）20B【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質可得出關于〃的等式，即可解出〃的值；（2）設點4（%,到）、5（天,8）、尸（見，兒），利用導數(shù)求出直線尸A、PB,進一步可求得直線AB的方程，將直線A5的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出|4耳以及點夕到直線A6的距離，利用三角形的面枳公式結合二次函數(shù)的基本性質可求得△P48面積的最大值.【詳解】（1）拋物線C的焦點為尸|FM|=§+4,所以，尸與圓/：V+（y+4）2=l上點的距離的最小值為"+4-1=4,解得〃=2；2（2）拋物線C的方程為/=4＞，即），=：,對該函數(shù)求導得＞=1,設點a（n，m）、B（W，K）、尸C%,）'o），直線叢的方程為y-%=｝（x—xj,即y=乎一其，即x/-2y「2y=0,乙 乙同理可知，直線P3的方程為公1-2），2-2），=0,由于點夕為這兩條直線公共點，則:I° ;°八，[x2xQ-2y2-2yQ=0所以，