節(jié)對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形PptPPT資料

第六節(jié)對稱矩陣(jǔzhèn)的標(biāo)準(zhǔn)形Ppt第一頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)對于任意一個(yīɡè)n級實對稱矩陣A，都存在一個(yīɡè)n級正交矩陣T，使TTAT=T-1AT

成對角形.先討論實對稱矩陣的一些性質(zhì)，它們(tāmen)本身在今后也是非常有用的.我們把它們(tāmen)歸納成下面幾個引理.引理1設(shè)A是實對稱矩陣，則A的特征值皆為實數(shù).證明設(shè)λ0是A的特征值，于是有非零向量ξ=(x1,x2,…,xn)T滿足Aξ=λ0

ξ.第二頁，共26頁。因為λ1,…,λr兩兩不同，所以根據(jù)這一節(jié)引理4，向量組還是兩兩正交的.經(jīng)過轉(zhuǎn)軸，坐標(biāo)(zuòbiāo)變換公式為定理7對于任意一個n級實對稱矩陣A，都存在(cúnzài)一個n級正交矩陣T，使TTAT=T-1AT成對角形.這是屬于(shǔyú)三重特征值1的三個標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量.再求屬于特征值-3的特征向量.根據(jù)上面(shàngmiɑn)的結(jié)果，有行列式為1的正交矩陣C使因此，它們就構(gòu)成Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，并且也都是A的特征向量.設(shè)λ1,…,λr是A的全部(quánbù)不同的特征值.考察(kǎochá)等式顯然，由ε1,ε2,…,εn到η1,η2,…,ηn的過渡(guòdù)矩陣就是而得到(dédào)經(jīng)過轉(zhuǎn)軸，坐標(biāo)(zuòbiāo)變換公式為這樣，正交矩陣T也就求出了.把α1單位化，還用α1代表它.證明設(shè)λ,μ是A的兩個的不同(bùtónɡ)特征值，α,β分別是屬于λ,μ的特征向量：即定義12歐氏空間中滿足(mǎnzú)等式(3)的線性變換稱為對稱變換.上頁下頁返回(fǎnhuí)令考察(kǎochá)等式其中是xi的共軛復(fù)數(shù)，則其左邊為，右邊為.故又因ξ是非(shìfēi)零向量故，即λ0是一個實數(shù).證畢.第三頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)對應(yīng)于實對稱矩陣A，在n維歐氏空間Rn上定義一個(yīɡè)線性變換A如下：(1)A顯然(xiǎnrán)A在標(biāo)準(zhǔn)正交基(2)下的矩陣就是A.第四頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)引理2設(shè)A是實對稱矩陣(jǔzhèn)，A的定義如上，則對任意α,β∈Rn，有(Aα,β)=(α,Aβ),(3)或

βT(Aα)=αT(Aβ)定義12歐氏空間中滿足(mǎnzú)等式(3)的線性變換稱為對稱變換.證明只要證明最后一個等式就行了.實際上βT(Aα)=βTATα=(Aβ)Tα=αT(Aβ).證畢.等式(3)把實對稱矩陣的特性反映到線性變換上，我們引入第五頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)引理3設(shè)A是對稱(duìchèn)變換，V1是A-子空間，則V1⊥也是A-子空間.證明(zhèngmíng)設(shè)α∈V1⊥，要證Aα∈V1⊥，即Aα⊥V1.任取β∈V1，有Aβ∈V1.因α⊥V1⊥，故(α,Aβ)=0.因此

容易看出，對稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實對稱矩陣.用對稱變換來反映實對稱矩陣，一些性質(zhì)可以看得更清楚.(Aα,β)=(α,Aβ)=0.

即Aα⊥V1，Aα∈V1⊥，V1⊥也是A-子空間.證畢.第六頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)引理4設(shè)A是實對稱矩陣，則Rn中屬于(shǔyú)A的不同特征值的特征向量必正交.證明設(shè)λ,μ是A的兩個的不同(bùtónɡ)特征值，α,β分別是屬于λ,μ的特征向量：即

Aα=λα，Aβ=μβ.定義線性變換A如(1)，于是Aα=λα，Aβ=μβ.由(Aα,β)=(α,Aβ)，有λ(α,β)=μ(α,β).因為λ≠μ，所以(α,β)=0.即α,β

是正交的.

證畢.

第七頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)定理7對于任意一個n級實對稱矩陣A，都存在(cúnzài)一個n級正交矩陣T，使TTAT=T-1AT成對角形.證明由于(yóuyú)實對稱矩陣和對稱變換的關(guān)系，只要證明n維歐氏空間中對稱變換A有n個特征向量做成標(biāo)準(zhǔn)正交基就行了.

現(xiàn)在來證明主要定理

我們對空間的維數(shù)n作數(shù)學(xué)歸納法.

n=1時，顯然定理的結(jié)論成立.

設(shè)n-1時定理的結(jié)論成立.第八頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)對n維歐氏空間(kōngjiān)V，線性變換A有一特征向量α1，其特征值為實數(shù)λ1.把α1單位化，還用α1代表它.作L(α1)的正交補(bǔ)，設(shè)為V1.由引理3，V1是A的不變子空間(kōngjiān)，其維數(shù)為n-1.

又A|V1顯然也滿足(3)，仍是對稱變換.

據(jù)歸納法假設(shè)，A|V1有n-1個特征向量α2,…,αn作成V1的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

從而α1,α2,…,αn是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，又是A的n個特征向量.證畢.第九頁，共26頁。下面來看看在給定了一個實對稱矩陣A之后，按什么辦法求正交矩陣T使TTAT成對角形.在定理(dìnglǐ)的證明中看到，矩陣A按(1)式在Rn中定義了一個線性變換.求正交矩陣T的問題就相當(dāng)于在Rn中求一組由A的特征向量構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基.上頁下頁返回(fǎnhuí)

事實上，設(shè)第十頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)是Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們都是A的特征向量.顯然，由ε1,ε2,…,εn到η1,η2,…,ηn的過渡(guòdù)矩陣就是T是一個(yīɡè)正交矩陣，而T-1AT=TTAT就是對角形.第十一頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)根據(jù)上面的討論，正交矩陣T的求法可以(kěyǐ)按以下步驟進(jìn)行：1.求出A的特征值.設(shè)λ1,…,λr是A的全部(quánbù)不同的特征值.2.對于每個λi

，解齊次方程組求出一個基礎(chǔ)解系，這就是A的特征子空間Vλi的一組基.由這組基出發(fā)，按定理2的方法求出Vλi的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.第十二頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)3.因為λ1,…,λr兩兩不同，所以根據(jù)這一節(jié)引理4，向量組還是兩兩正交的.又根據(jù)定理7以及第七章§5的討論，它們的個數(shù)就等于空間的維數(shù)n.因此，它們就構(gòu)成Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，并且也都是A的特征向量.這樣，正交矩陣T也就求出了.第十三頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)例已知求一正交矩陣(jǔzhèn)T使TTAT成對角形.解先求A的特征值.由第十四頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)即得A的特征值為1(三重(sānzhònɡ))，-3.其次(qícì)，求屬于1的特征向量.把λ=1代入求的基礎(chǔ)解系為α1=(1,1,0,0),

α2=(1,0,1,0),

α3=(-1,0,0,1).(4)第十五頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)把它正交化再單位(dānwèi)化，得第十六頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)這是屬于(shǔyú)三重特征值1的三個標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量.把它單位(dānwèi)化，得

再求屬于特征值-3的特征向量.用λ=-3

代入(4)，求得基礎(chǔ)解系為α4=(1,-1,-1,1).特征向量η1,η2,η3,η4

構(gòu)成R4的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，所求的正交矩陣為第十七頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)而得到(dédào)為對角形.

解畢.第十八頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)說明：這里(zhèlǐ)的正交矩陣并不是唯一的.本題(běntí)所作的正交矩陣是T=(η1,η2,η3,η4).顯然取正交矩陣為T=(η2,η1,η3,η4)

或T=(η3,η2,η1,η4)等，同樣有如取正交矩陣為T=(η4,η1,η2,η3)，則有第十九頁，共26頁。應(yīng)該指出，在定理(dìnglǐ)7中，對于正交矩陣T我們還可以進(jìn)一步要求上頁下頁返回(fǎnhuí)|T|=1.事實上，如果(rúguǒ)求得的正交矩陣T的行列式為-1，那么取則T1=TS還是正交矩陣，而且|T1|=|T||S|=1顯然T1TAT1=TTAT.第二十頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)如果(rúguǒ)線性替換的矩陣C=(cij)是正交的，那么(nàme)它就稱為正交的線性替換.正交的線性替換當(dāng)然是非退化的.

用二次型的語言，定理7可以敘述為：第二十一頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)定理(dìnglǐ)8任意一個實二次型都可以(kěyǐ)經(jīng)過正交的線性替換變成平方和其中平方項的系數(shù)λ1,λ2,…,λn就是二次型矩陣A的特征多項式全部的根.

最后指出，這一節(jié)的結(jié)果可以應(yīng)用到幾何上化簡直角坐標(biāo)系下二次曲線的方程，以及討論二次曲線的分類.第二十二頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)在直角坐標(biāo)(zhíjiǎozuòbiāo)系下，二次曲線的一般方程是(5)令則(5)可以(kěyǐ)寫成(6)第二十三頁，共26頁。上頁下頁返回(fǎnhuí)經(jīng)過轉(zhuǎn)軸，坐標(biāo)(zuòbiāo)變換公式為或者X=CX1其中