通信原理考研輔導(dǎo)經(jīng)典筆記考研輔導(dǎo)

§8最佳接收要點：通信系統(tǒng)的統(tǒng)計模型、最佳接收機的原理和結(jié)構(gòu)最佳接收機的性能分析最佳基帶系統(tǒng)§8o1通信系統(tǒng)的統(tǒng)計模型圖8.1數(shù)字通信的統(tǒng)計模型數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計模型如圖8.1所示。發(fā)送的消息對應(yīng)于信源，（消息是信息的載體）,消息的集合U就構(gòu)成所謂的超商至7旗（例如，由26個字母組成的英語消息空間）。消息要通信，必須轉(zhuǎn)化成適合于信道傳輸?shù)男盘枺赐ǔＲ饬x下的編碼與調(diào)制），并且它是-一對應(yīng)的，那么消息空間中的消息就一一映射到那號空間X中的信號。在信號空間中，信號被設(shè)計成適合于信道傳輸?shù)男问?，對于帶通型的信道，則信號應(yīng)該是帶通型的信號；對于基帶型信道，信號應(yīng)該是基帶型信號。在某一個碼元傳輸時間內(nèi)，消息空間中發(fā)送的消息是隨機產(chǎn)生的，因此對應(yīng)于消息空間的傳輸信號也是隨機的，但是山于信號空間中對應(yīng)各消息的信號是確定的（如二進制2PSK信號空間中，兩個信號分別是土Acos2猶1）,經(jīng)過信道后由于信道白噪聲的加入，使接收信號在接收端變成了隨機的信號。例如，對于二進制調(diào)制信號的接收信號為：±Acos2/f+n（t）o假設(shè)接收時載波和時間是同步的，則在某個碼元時間內(nèi)，從接收機的角度看，接收機收到信號空間中某個經(jīng)過噪聲污染的信號，但是它并不知道當前碼元時間內(nèi)傳送的是什么消息。接收機的主要任務(wù)是確定一種判斷方法，以接收到的信號為基礎(chǔ)判斷當前的發(fā)送信息是什么？確定判決方法是容易也是多樣的，但是什么樣的判決方法是最佳的呢？這就是數(shù)字信號的最佳接收機試圖解決的問題。此處最佳的含義一般指通信誤碼率最小。接收機根據(jù)接收信號Y，判斷X。它的工作一股可以分為（或者可以等效成）兩部分，一部分把接收的波形處理后得到一個判決依據(jù)R，叫“判決量”，另一部分進行判決。如圖8-2示。TOC\o"1-5"\h\z ?信號識別 ? ―y（r） ,R 、i ?判決8；梃W ?M決 ―^ ?、~——— J圖8.2AWGN信道下的接收機AWGN信道下接收信號的統(tǒng)計特性理想AWGN信道下，假設(shè)發(fā)送端前后碼元的發(fā)送是統(tǒng)計獨立的，且接收端載波定時同步，則在任意碼元時間間隔內(nèi)，接收信號可以表示為y0）=xa）+〃a）,其中〃“）是均值為0,雙邊功率譜密度為區(qū)的高斯白噪聲，X。）是發(fā)送信號經(jīng)過信道后在接收端收到的信號分量，x（f）e{sW）,S2（f）..3Ma）},這里將集合X={s?）,S2⑺.?.Sm。）}稱為信號空間，設(shè)信號映射將信源符號U={Xl,X2,...,XM}——映射至信號空間X={s,（t）,s2（t）...sM（/））。X（t） 帶寬為B的|y（f）=X（r）+nB（/）->1 '—>濾波器 》〃⑴▲圖8.3理想AWGN信道下數(shù)字接收分析的模型如圖8.3所示，對接收信號y?）進行奈奎斯特抽樣，得到M）=M4）+"&），o</,.<ts其中T,是碼元間隔。假設(shè)濾波器是理想的，〃8（。是窄帶的高斯過程，其均值為0、方差為〃,當B無限寬時，信道就是理想AWGN信道。對〃A。進行抽樣，抽樣速率為28,則各抽樣點之間是互相獨立的、均值為0、方差為〃,出的高斯隨機變量。在T,時間內(nèi)，抽樣點數(shù)為N=T,2B,抽樣間隔為。=」一。必）...>（八）I?。?尤（4）…））= 1 _（叫-血）尸 1 f_=￡c））2=n萬二e2斕=（。）2渴1=0[2勿2（/.N1 -^~^7〉心）一工《））24= 1 ,2MA（2〃°B力產(chǎn)2

當B很大時,1 當B很大時,1 dtQ〃oB兀)n'2ei（2加心嚴2(y(r)-x(f))2dr(8-1)§8o2最佳接收原理及其結(jié)構(gòu)由前述可知，接收問題是一個后驗判決的問題，數(shù)字通信中，判決輸出的是有限集中的元素（與輸入是有限集中的元素對應(yīng)），根據(jù)后驗概率最大判決準進行判決能使系統(tǒng)的平均誤碼率最低。.MAP準則（最大后驗概率準則）最大后驗概率（MAP）準則描述如下：“如果「（%?）及（。）＞「匹"（。,，=1,2...“及"）），則判決為不⑴”“如果p（xm|r）＞p（x"= |y）,則判決為xmn即：判決輸出為X,=argmaxP（X“,|丫）。對于二進制數(shù)字通信系統(tǒng)來說，則變成：“P（So?）|y（r））＞P（S|（1）|ya））,判決為即：舞瑞端”則判決為。則判決為1P(x(r)=So(f)|則判決為1P(x(t)=s,(z)Iy(0).最大似然準則（ML準則）根據(jù)Bayes準則，后驗概率與先驗概率的有如下關(guān)系:p（x/）=p（yp（x/）=p（y|x）p（x）最大,(8-2)最大,(8-2)因此，使尸（%|丫）最大，就是使p（x〃"丫）=P"p（y|x,”）p（x,“）：p（y|x,y,“）p（x,）

p（y）p（y）所以，最大后驗概率準則變成“p(y?xm)p(xj>p(y|Xi*m)p(Xj*m),判決為xj實現(xiàn)上述最大后驗概率準則的充分條件為：?f(y|Xm)P(Xn)>f{y|X(36m)P(X()，判決為 (8-3)即符合最大似然準則的判決一定能滿足最大后驗概率準則。其中，lx』稱為信號X,”的似然函數(shù)，對于二元通信，上述準則變成f(Y|X0)P(X0)>f(Y|X,)P(X,).判決為0；反之，判決為1” (8-4)采用最大后驗概率準則需要已知后驗概率分布，計算起來比較不方便，ML準則直接利用信道的轉(zhuǎn)移概率，分析起來會方便些，并且滿足ML準則一定滿足最大后驗概率準則。以下采用ML準則作為我們的分析基礎(chǔ)。.最大似然準則下的最佳接收機1)相關(guān)接收機下面先從二元數(shù)字通信入手，最終推廣到M進制的情況。假設(shè)發(fā)送端，消息空間U的取值只有兩種可能(即0、1),經(jīng)過調(diào)制后將0、1一一對應(yīng)成信號空間中的兩個信號/?),花。)，經(jīng)過信道后，在某個碼元間隔時間內(nèi)，接收到的信號y(t)=xl(t)+n(t)根據(jù)最大似然準則式8-4,判決的規(guī)則應(yīng)該如下：“〃y|Xo)P(Xo)>〃y|X1)P(XJ,判決為0；反之，判決為1”由將式(8-1)帶入上述判決規(guī)則，得/("。)=—"'""心=6￡和舊,)-％(講+")-』(討皿>生L2判為0f(y\xi)6々:飆’11西" p(x。)'為便于計算，將上式兩邊取對數(shù)，化簡后得到，判為0；反之判為1。 (8-5)假設(shè)發(fā)送0、1等概時，可以得到如下的判決規(guī)則：fy(t)x0(t)dt-^E0>￡'y(r)x,⑺力一;E1時,判決為0f --E0<I'y(f)X](r)力一，￡\時，判決為1。力 2 4 2這里，￡0=￡1x0(t}2dt,E1=￡xx(tydt因此，根據(jù)這種規(guī)則構(gòu)造的接收機具有最佳性能，這種結(jié)構(gòu)的接收機構(gòu)造如圖8.4示:

二元相關(guān)最佳接收機形式也可以如卜.圖8.5所示:圖8.5二元最佳接收機結(jié)構(gòu)2同理，M進制的相關(guān)最佳接收機的結(jié)構(gòu)如下圖8.6：圖8.6M進制最佳接收機結(jié)構(gòu)例1、雙極性二元碼(NRZ)假設(shè)二進制信息0、1對應(yīng)的信號波形如下，且假設(shè)0、1等概出現(xiàn),+iM吟，發(fā)1x(r)=<-\|r|<—,發(fā)0?！鰡柸绾螛?gòu)造對上述信號進行最佳接收的接收機？解：因為0、1等概，且E0=E1=力=1所以，最佳接收機應(yīng)滿足fy")x()(i)力>￡'y(t)x{(t}dt,判為o即-2，y⑺力〉0,判為0所以，最佳接收機的結(jié)構(gòu)可以構(gòu)造如下：2)匹配濾波器最佳接收機還可以有另外的一種結(jié)構(gòu)，即匹配濾波器。通信系統(tǒng)的誤碼率與輸出的信噪比有關(guān)，接收端輸出信噪比越大，則系統(tǒng)的誤碼率越小。因此，如果在每次判決前，輸出的信噪比都是最大的，則該系統(tǒng)一定是誤碼率最小的系統(tǒng)。遵從這種考慮原則，可以得到匹配濾波器的概念。接收機通過匹配濾波器使在抽樣時刻輸出信噪比最大。匹配濾波器原理假設(shè)線性濾波器的輸入端是信號與噪聲的疊加5(r)=x(t)+〃(r),且假設(shè)噪聲n(t)是白N噪聲，其功率譜密度？(/)=寸，信號的頻譜為X(7)。問題：設(shè)計一個濾波器使輸出端的信噪比在某時刻達到最大。假設(shè)該濾波器的系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)為“(/),系統(tǒng)沖擊響應(yīng)為/?”)，則輸出信號y(t)=s0(t)+no(t)其中，在4時刻，信號的功率為15?(r0)|2輸出噪聲的功率譜密度Pn(/)=y-1〃(/)/輸出噪聲平均功率為P〃=1 |"(/)「df所以，％時刻輸出的信噪比為:

%二&g)|2IJX(/)”(/)/叫。Pn%二&g)|2IJX(/)”(/)/叫。Pn￡ylW)l2#根據(jù)Schwarts不等式，?rx(/)y(/)療12Krix(ni2#riK(m2可J-co J-x J-x(8-6)(8-7)可以得到「IX⑺”ZE,2(8-8)當H(f)=KXIf)”?叫時等式成立。因此，如果設(shè)計一個濾波器，它的系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)為//(/)=0(/)*/2咻時，濾波器輸出信噪比最大。?匹配濾波器結(jié)構(gòu)匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)為”(/)=KX(f)*eT2* (8-9)兩邊取傅立葉反變換，得到h(t)=Kx(t0-t)' (8-10)如果輸入信號x(f)是實信號,則果f)=Kx(t0-t)把以上的結(jié)論用在數(shù)字通信ho假設(shè)符號的傳輸速率則在接收端同樣地需要每隔T,時間進行一次判決，且希望在每T,時刻的輸出信噪比最大，將上述的J用A帶入，得到匹配濾波器如下：h(t)=Kx(Ts-r)?匹配濾波器與相關(guān)接收機的關(guān)系由匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)力。)=KxJ-t),當接收端輸入為S?)=X[?)+〃“)時，在相對于X』。的匹配濾波器端輸出信號r(r)=[5(r)/?(r-r]dr=[ +n](T)]Kx](/-Tx+r)dr

=K￡'x1(rjx,(r+t-Ts)dT+jKn{(v)xx(t-Ts+T)dr當f=T，時，得到r(7；)=K/七(r)x,(r)Jr+Kfn,⑺演(r)Jr= 力 (相關(guān)接收機形式)可以看到，在1=7；的取樣點上，匹配濾波器與相關(guān)接收機的結(jié)果是等價的。圖8.7匹配濾波器形式的最佳接收機結(jié)構(gòu)由上分析可見，匹配濾波器形式的最佳接收機與相關(guān)形式的最佳接收機其性能一樣。3)正交展開的相關(guān)接收機*由于數(shù)字調(diào)制信號是有限集信號，因此數(shù)字信號可以展開成正交函數(shù)的線性和形式，即k=[將上式帶入AWGN信道下的最大似然準則(式8-4),并用式8-1得到f(y(0~sm(t))2dt-n0InP(X,“)<￡(y(t)-s^m(t))2dt-n0InP(X^m)(8-11)N將y(f)=Z%￡Q)，其中力?=j'y(f)A(f)力帶入式8-11中的積分式，得到k=\(y(t)-sm(t))2dt=￡y(t)2dt-2^'y(t)sm(t)dt+^'sm(t)2dtf^rN NN'y")2力-21Zsm，0)y⑺力+[XZsQm/⑺力⑺力1N N N=L-v*一2tssm+￡/A=1 &=1 k=\

=X(%f廳 (8一⑵jt=l所以，最大似然準則變成￡(九-s,.)2-〃01np一5注)2-〃oInP(XJ,判為X”,，*=i t=i(8-13)舉例說明該判決準則是判決調(diào)制星座圖(正交展開的二維信號)的方法，如果定義歐式距離為信號之間的距離的話，即［2=((,?)一%?))2力=火(九一5成)2,則判決準則k=\實際可以理解成：“距離接收信號歐式距離最近的星座點即為最佳判決輸出二如QPSK,16QAM信號的星座圖及其判決區(qū)域等。最佳接收機的正交展開形式，決“抨利In，決“抨利In由上可以得到正交展開形式的最佳接收機，如下圖。圖8.8正交展開形式的最佳接收機y(r)正交展開后的統(tǒng)計特性N N Ny(f)=Sm")+n(t)= + +〃")-Z〃kf《)jt=l *=l k=\(8-14)這里，九=’.+〃*,〃*=j〃⑺人⑺力。可以證明，%之間是互相獨立的隨機變N量，且均值為0,方差為％/2。由于0(。=〃(。-與％是不相關(guān)的，即從?=1。(。中是不知道任何關(guān)于s,“(r)的信息的，因此忽略它對判決的結(jié)果沒有影響。即E[o(t)yk]=E凡⑷⑺]+E[nko(t)]=E[nko(t)]NE[n（t）n（T）]fk（T）dr-2鳳〃,4）/,（0

f=l=~-/*（/）--yA（O=O （8-15）所以，1 （力一%1）2 rqf（yk1^）=/g2，，/=￡〃/]=U （8-16）、/2my2 2§8o3接收機的性能分析1、QPSK信號的系統(tǒng)性能分析(2001年考研題)2、MASK信號的系統(tǒng)性能分析(有時間的話)。3、帶碼間干擾的系統(tǒng)的計算?！?o4最佳基帶系統(tǒng)最佳基帶系統(tǒng)的設(shè)計原則：保證系統(tǒng)是抽樣點無碼間干擾的系統(tǒng)。保證收發(fā)匹配。1、理想信道下的最佳基帶系統(tǒng)什么是理想信道？理想信道就是對信號衰減為1,噪聲為加性高斯白噪的信道模型。最佳基帶傳輸系統(tǒng)的傳遞函數(shù)〃(7)=Gr(/)C(/)Gr(/)要滿足無碼間干擾條件，又要符合最佳接收機形式。因為是理想信道，信道的傳遞函數(shù)是常數(shù)，所以〃(/)=Gt(/)Gr(/)要滿足奈奎斯特無碼間串擾條件。如果我們令接收濾波器GR(/)=Gr(/)*eT2",則接收機與發(fā)射機形成匹配形式，可以保證判決時信噪比最大。因此綜合以上結(jié)果，設(shè)計最佳基帶系統(tǒng)應(yīng)按2步設(shè)計：(1)、根據(jù)頻譜的要求設(shè)計無碼間干擾系統(tǒng)的傳遞函數(shù)〃(/)(2)、令Gr(/)=VWi，GR(/)=VWk，2"舉例1,假設(shè)某二元通信系統(tǒng)的信息速率為1200bits/s,采用基帶傳輸，已知信道的帶寬為1200Hz,請設(shè)計最佳通信方式，并畫出系統(tǒng)框圖和必要的設(shè)計參數(shù)。解：為了適應(yīng)信道的帶寬要求，必須設(shè)計在1200Hz帶寬內(nèi)無碼間干擾的傳輸系統(tǒng)，根據(jù)無碼間干擾的準則，我們可以得到整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)應(yīng)為。=1的升余弦函數(shù)。因此H(f)=21l+cos嘰]Gr(/)=7W).GR(f)=y[H(f)e-^例題分析：最佳基帶系統(tǒng)的性能分析（99年考研題10題）2、非理想信道下的最佳基帶系統(tǒng)*非理想信道下的最佳基帶系統(tǒng)設(shè)計與理想信道下一樣，只不過由于信道非理想，通常在設(shè)計無碼間干擾傳遞函數(shù)前，先對信道進行理想化，這在實際系統(tǒng)中?般用均衡技術(shù)解決。然后按照理想信道的最佳基帶傳輸系統(tǒng)進行設(shè)計?！?信道編碼與差錯控制要點：1、掌握差錯控制編碼的基本概念（碼距、最小碼距、編碼率、糾錯能力、檢錯能力、隨機差錯、突發(fā)差錯）2、掌握基本的差錯控制編碼原理，（糾檢錯能力與最小碼距的關(guān)系），差錯控制方式（FEC、ARQ、混合）3、簡單差錯控制編碼（奇偶校驗、行列奇偶校驗，糾錯碼+交織）4、線性分組碼（漢明碼的最小碼距、設(shè)計、生成矩陣、監(jiān)督矩陣概念）5、循環(huán)碼（生成多項式、生成矩陣、監(jiān)督矩陣、編碼器）6、卷積碼（結(jié)構(gòu)、格狀圖、樹圖、網(wǎng)格圖、編碼、譯碼*）7、信道編碼的譯碼方法：最大似然序列譯碼、最短漢明距譯碼§9o1信道差錯及其控制方法應(yīng)用信道編碼能有效地減少信道譯碼差錯，相應(yīng)地如果要求一定的傳輸質(zhì)量，信道編碼的應(yīng)用還允許減少發(fā)射功率。信道編碼的主要原理是在傳輸信息的同時加入信息冗余（與信源編碼正好相反），通過信息冗余來達到信道差錯控制的目的。當接收機利用該冗余信息來譯碼時，此時不需要反饋信道，這種方式就稱為前向糾錯譯碼：當接收機利用該冗余信息對傳輸信息進行差錯檢驗并將檢驗結(jié)果反饋，發(fā)送端根據(jù)反饋結(jié)果決定是否用發(fā)信息時，這種方式就稱為自動重復(fù)要求（ARQ）。信道編碼一般可以分成兩大類，即分組碼和卷積碼。分組碼是基于嚴格的代數(shù)理論建立的一種有效的信道編碼;分組碼編碼是將輸入信息分成不同的組,對各組信息分別獨立編碼,加入冗余信息，因此分組碼傳輸時，組與組之間是獨立的，其譯碼也是分組獨立譯碼。卷積碼編碼是將輸入信息與一固定結(jié)構(gòu)的編碼器進行卷積，卷積的輸出作為傳輸信息。由于卷積的關(guān)系，卷積碼的輸出信息是前后關(guān)聯(lián)的，因此譯碼時，卷積碼一般采用序列譯碼的方式。I、差錯控制的目的及其需要性

由于信道傳輸不可避免的噪聲及其他影響，通過在發(fā)送端提供信息冗余來提供信息的檢驗和差錯控制，使通信系統(tǒng)達到高的可靠性，就是差錯控制編碼的基本任務(wù)。差錯控制編碼的基本思路:在發(fā)送端將被傳輸?shù)男畔⒏缴弦恍┍O(jiān)督碼元，這些多余的碼元與信息碼元之間以某種確定的規(guī)則相互關(guān)聯(lián)（約束）。接收端按照既定的規(guī)則校驗信息碼元與監(jiān)督碼元之間的關(guān)系，?旦傳輸發(fā)生差錯，則信息碼元與監(jiān)督碼元的關(guān)系就受到破壞，從而接收端可以發(fā)現(xiàn)錯誤乃至糾正錯誤。2、信道差錯的模式隨機差錯差錯的出現(xiàn)是隨機的，一般而言差錯出現(xiàn)的位置是隨機分布的。這種情況一般是由信道的加性隨機噪聲引起的。一般將這種信道稱為幽極信道.突發(fā)差錯差錯的出現(xiàn)是一連串出現(xiàn)的。這種情況如移動通信中信號在某一段時間內(nèi)發(fā)生衰落，造成串差錯；光盤上的條劃痕等等。這樣的信道稱為整套道，混合差錯既有突發(fā)錯誤又有隨機差錯的情況。這種信道稱之為海合信道。3、差錯控制的基本方法檢錯重發(fā)（ARQ）檢錯重發(fā)：在接收端根據(jù)編碼規(guī)則進行檢查，如果發(fā)現(xiàn)規(guī)則被破壞，則通過反向信道要求發(fā)送端重新發(fā)送，直到接收端檢查無誤為止。ARQ系統(tǒng)具有各種不同的重發(fā)機制：如可以停發(fā)等候重發(fā)、X.25協(xié)議的滑動窗口選擇重發(fā)等。ARQ系統(tǒng)需要反饋信道，效率較低，但是能達到很好的性能。前向糾錯前向糾錯（FEC）：發(fā)送端發(fā)送能糾正錯誤的編碼，在接收端根據(jù)接收到的碼和編碼規(guī)則，能自動糾正傳輸中的錯誤。不需要反饋信道，實時性好，但是隨著糾錯能力的提高，編譯碼設(shè)備復(fù)雜?；旌戏绞剑ɑ旌螦RQ）結(jié)合前向糾錯和ARQ的系統(tǒng)，在糾錯能力范圍內(nèi)，自動糾正錯誤，超出糾錯范圍則要求發(fā)送端重新發(fā)送。它是?種折中的方案。§9o2信道編碼的基本知識及碼的糾檢錯能力例1,假設(shè)發(fā)送的信息0、1（等概），采用2PSK方式，最佳接收的系統(tǒng)誤比特率為現(xiàn)在假設(shè)匕=1。一3（即平均接收I。。。個中錯一個）。如果將信息0編碼成00，信息1編碼成11,還是采用剛才的系統(tǒng)，則在接收端：如果發(fā)送00,收到01、10,我們知道發(fā)生了差錯，要求發(fā)送端重新傳輸，直到傳送正確為止，因此只有當收到11時，我們才錯誤地認為當前發(fā)送的是1。因此在這種情況下發(fā)2生譯碼錯誤的概率是一匕2；同理，如果發(fā)送的是11,只有收到00時才可能發(fā)生錯誤譯碼，因此在這種情況下發(fā)生譯碼錯誤的概率是2所以采用00、11編碼并采用ARQ方式的系統(tǒng)誤比特率為Pe\一、糾錯編碼的分類1、分組碼(n,k)分組碼將k個比特編成n個比特一組的碼字(碼組)(Codewords),通常將分組碼表示為(n,k)形式，因此輸入有2*種組合，輸出碼字空間具有2"種組合(n>k),(n,k)編碼器實際上是從輸入碼字空間到輸出碼字空間的一種一一映射,輸出實際上是在輸出碼字空間中挑出的2k個許用碼字。2、卷積碼(n,k,N)卷積碼是另外一種編碼方法，它也是將k個信息比特編成n個比特，但k和n通常很小，特別適合以串行形式進行傳輸，時延小。與分組碼不同，卷積碼編碼后的n個碼元不僅與當前段的k個信息有關(guān)，還與前面的N-1段信息有關(guān)，編碼過程中互相關(guān)聯(lián)的碼元個數(shù)為nN。二、糾錯編碼的基本原理設(shè)I為輸入碼字空間，C為輸出碼字空間，(n,k)編碼規(guī)則力I-C為一一映射。若I空間中的碼字用1= …/°)k元組表示，c空間中的碼字用C=(c“_|C時2…c0)n元組表示，CpCjeC,4表示碼字q第k個比特的值。定義1、碼字間的漢明距%=￡(q*十CjQ，十表示比特異或。*=1碼字間的漢明距即為兩個碼字間不相同的比特數(shù)。例如，碼字(1100111)與碼字(1011001)之間的漢明距為5。定義2、碼字的碼重卬碼字中的比特1的個數(shù)。例如，碼字(1100111)的碼重為5。定義3、最小碼距“min碼空間中任意兩個碼字間最小的漢明距。即dmin= 。Cj,CjeC最小碼距與碼的糾錯、檢錯性能之間的關(guān)系：為了檢測e個錯誤，要求最小碼距dminNe+1設(shè)碼字C發(fā)生的差錯為e,由于最小碼距為dmin，則當e2dmM時，C可能錯為其他的可用碼字，導(dǎo)致不能檢測出差錯的發(fā)生。因此，為了檢測e個錯誤，要求最小碼距

mm2e+1。為了糾正t個錯誤，要求最小碼距2e+1。設(shè)所有碼字均具有糾正t個錯誤的能力，設(shè)碼字C發(fā)生差錯為3為了不使差錯后的碼字落入其他碼字的糾錯能力范圍，因此要求碼字C與其他碼字的距離至少為2t+l,即min22f+1。為了糾正t個錯誤，同時檢測e個錯誤，要求最小碼距"皿仙Nr+e+122f+1。當碼字C要求能同時糾t個錯誤，同時還能檢測e個錯誤，那么若碼字C發(fā)生e個差錯，則它不能落在另外碼字的糾錯能力t內(nèi)，因此要求Ne+f+1?！?o3簡單的信道編碼1、奇偶校驗碼這是一種最簡單的檢錯碼，在計算機數(shù)據(jù)傳輸中得到廣泛應(yīng)用。假設(shè)奇偶監(jiān)督碼的碼字表示為：則偶校驗碼：十a(chǎn)_2十…十（即偶數(shù)個1）奇校驗碼：十。吁2十…十4=1（即奇數(shù)個1）可見這種碼的最小碼距為2,只能檢1個錯。2、二維奇偶校驗碼為了提高奇偶校驗碼對突發(fā)錯誤的檢測能力，可以考慮用二維奇偶校驗碼。將若干奇偶校驗碼排成若干行，然后對每列進行奇偶校驗，放在最后一行。

TOC\o"1-5"\h\zan-\ an-2 〃02 2 2an-\2 …c.3、交織碼突發(fā)信道造成突發(fā)差錯，突發(fā)差錯的特點是差錯集中，要求編碼的糾錯能力強，而一般的糾錯編碼對隨機差錯的糾錯能力強。解決這個矛盾的基本方法是采用糾錯編碼加交織編碼的方法。對信息進行糾錯編碼后，再進行一次交織編碼。交織編碼將待傳輸?shù)男畔⒈忍亟M成塊,在傳輸時按照列順序進行傳輸，在接收端乂按照行的順序檢驗是否差錯。由于突發(fā)錯誤是成串發(fā)生的，經(jīng)過這樣的傳輸后錯誤被分散了。在移動通信中，由于信道的衰落經(jīng)常造成突發(fā)錯誤，因此經(jīng)常在進入信道傳輸前，先將輸入的信息比特交織，將突發(fā)錯誤盡可能分散成隨機錯誤，然后用其它編碼方式來糾正隨機的錯誤。編碼(15,11)/能糾一個錯2,，K02,，K01617K30MMMM136137K150交織(行進列出)1,16,31,...,136,2,17,...,137,...,15,30,...,150MMM137K150反交織信道MMM137K150反交織1,16,3k...」.*,2,17,...,137,...,15,30,...,150信道傳輸差錯§9o4線性分組碼一、線性分組碼的概念及性質(zhì)若碼字AeC,A=(/M2,…,*)，eGF(2),滿足線性條件：n也(/=1,2,...,n-k) (9-1)則稱該(n,k)碼為線性分組碼。這里&eG/(2),其中稱廂…_h2} h22…h(huán)2nri—hn-k、lh〃_k,2 …^n-k,n__為校驗矩陣(監(jiān)督矩陣)，這里H矩陣的各行是線性不相關(guān)的。從上可以知道，(n,k)碼構(gòu)成線性n維空間的k維子空間。線性分組碼的線性條件可以寫成矩陣形式，即:AHt=0.(9-2)若A，4是（n,k）線性碼中的碼字，則構(gòu)成線性n維空間的k維子空間。線性分組碼的線性條件可以寫成矩陣形式，即:AHt=0.(9-2)若A，4是（n,k）線性碼中的碼字，則A+4也是線性碼（n,k）中的碼字，即滿足線性性。線性分組碼具有如下兩個性質(zhì)：1、線性性（包含全零碼字，封閉性）。2、最小碼距等于除全零碼外的碼字的最小碼重。1110100例1、（7,4）漢明碼的校驗矩陣為〃=01110101101001則（7,4）漢明碼的輸出碼字滿足即{%+%+=0%+%+=0%+。2+。4+。7=0%=%+。2+a3<a6=a2+a3+a4a1=61]+勺+%若輸入信息為U=（%,。2，。3，。4），編碼輸出為C=U?G=[ti]a2a3a41000001001000101011101101011這里稱G為（7,4）碼的生成矩陣。從上例可以看到，若校驗矩陣具有形式H從上例可以看到，若校驗矩陣具有形式H=[PI]，則生成矩陣為G=[lP]。所有的線性分組碼均可以通過生成矩陣G來表示編碼器結(jié)構(gòu)。二、線性分組碼的譯碼當信道傳輸出現(xiàn)差錯后，則接收到的碼字A'=A+E,接收端通過校驗矩陣進行校驗運算，即A'H「=S,S稱為校驗子，S=EH,只與差錯向量E有關(guān)，因此可以通過校驗子S的值來檢驗傳輸是否出現(xiàn)差錯或?qū)Σ铄e進行糾正。三、漢明碼及其設(shè)計漢明碼是一類能糾正一個傳輸錯誤的線性分組碼，若校驗子的列數(shù)為n-k,則校驗子可以對應(yīng)錯誤向量E的2"一"種情況，錯誤向量E中為1的位置表示傳輸出現(xiàn)差錯。當校驗子的不同值分別對應(yīng)只有一個位置出錯情況時，所得到的線性分組碼為漢明碼。因此漢明碼（n,k）滿足關(guān)系〃=2"*-1,能糾正1個傳輸錯誤，其最小碼距為3。（n,k）漢明碼的監(jiān)督矩陣的n列正好是n-k個比特的組合（全零除外）。例2,（15,11）漢明碼的監(jiān)督矩陣為

11H=111H=11111111100010110110111000010010100100110001其中各列正好是4比特除全零外的全部組合。例3、(7,4)漢明碼的設(shè)計如果取k=4,則可以確定n>=7?因此，可以用3個校驗子來確定傳輸?shù)?個位置是否出錯。假設(shè)傳輸時的碼字為5a4。3。2%即)，如果IS2S3與錯碼的位置對應(yīng)如下:S]S2s3錯碼位置S|S2s3錯碼位置001。0101010a}110a5100a2111許Oil000無錯根據(jù)上述的真值表，我們可以得到如下的關(guān)系:S[=勺+。4+。5+。6S2=%+。3+。5+。6S3=4+/+。4+。6在發(fā)送端編碼時，信息位。3，。4，。5，。6的取值取決于輸入的信息比特，因此它們是隨機變化的。監(jiān)督位。2，卬，。0應(yīng)根據(jù)信息位的取值按監(jiān)督關(guān)系來確定，即監(jiān)督位應(yīng)該使上三式的取值為0。我們可以得到：a2=a4+a5+a6a,=a3+a5+a6a0=a3+a4+a6因此，給出信息位a6a5a4a3后，根據(jù)上式可以算出監(jiān)督位外卬即，從而得到(7,4)的所有碼組。a645a4。3a24aoa6a5a4a300000001000111

0001Oil1001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110Oil11101000111000mi111?611101110101011000]a.上述關(guān)系可以寫成如下矩陣的形式:?611101110101011000]a.即HAt=01101101011011010011010,A=[a6a5a4a3a2a]aQ]<>01例：上例中(7,4)碼，若接收端收到碼字為A'=(1010110),S=HA'r=(100),可以查表得到錯誤圖樣是a2位置錯，即e=0000100,所以糾錯后的碼字為1010010,譯碼輸出為1010?四、生成矩陣G與監(jiān)督矩陣H的關(guān)系A(chǔ)=M?G,且=0所以，H?Gt?Mt=0 >H?Gt=0 >G?Ht=0對于任何線性分組碼而言，上述關(guān)系總是存在的，即G?〃t=0。-1110我們再來看，在上述的例子中，H={p(n_k)xkIn_k\,其中P=11011011-11rg=[/4-”“)]，其中Q=；；i=pt011實際上，上述關(guān)系可以通過關(guān)系G”r=0來求得。rpT-[lkQ_=PT+Q=0,所以Q=P7。Jn-k_五、系統(tǒng)碼與非系統(tǒng)碼假設(shè)信息位為[*_山“_2，如果編碼后的碼組為如下形式：lan-ian-2-an-kan-k-l-ao]1其中*…4是監(jiān)督位，則稱這種碼為系統(tǒng)碼。即系統(tǒng)碼經(jīng)過編碼后的碼組中前k個就是信息位，后n-k是監(jiān)督位。如果不存在上述關(guān)系，則稱為非系統(tǒng)碼。由以上定義可以看到，我們剛才討論的(7,4)碼是系統(tǒng)碼。只有系統(tǒng)碼才有關(guān)系。=尸"系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼都有性質(zhì)：GHt=0o§9o5循環(huán)碼循環(huán)碼是一類特殊的線性分組碼，它的特點是具有循環(huán)性，即任何許用碼字的循環(huán)移位仍然是一個許用碼字。循環(huán)碼具有特殊的代數(shù)性質(zhì)，這些性質(zhì)有助于按照要求的糾錯能力系統(tǒng)地構(gòu)造這類碼，并且簡化譯碼算法。循環(huán)碼還有易于實現(xiàn)的特點，很容易用帶反饋的移位寄存器實現(xiàn)其硬件。因此，循環(huán)碼在計算機系統(tǒng)和通信中得到廣泛的應(yīng)用。一、循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)為了用代數(shù)理論的方法研究循環(huán)碼的特性，經(jīng)常將循環(huán)碼表示成碼多項式的形式：定義：碼字C=(%7，＜?〃_2，???。0)的碼多項式如下：TOC\o"1-5"\h\zc(x)=cn.xM-1+c“7xn~2+...+c,x4-cn (0-3)\，n—i n—L iu其中，X、CieGF(2).碼字。=(%,7_2，.“,％)的循環(huán)移位1計為。'=(C“+i，C”+2,…，Co，%,...C.T的則c'(x)=c■,x"1+...+cnx'+…+c.o (0-4)、，n—i—i v n—i可以證明3(x)=xc(x)mod(xn4-1)o證明：XC(X)=Cn_}Xn4-Cn_2Xn~l+...+CQX=c?1+...+cnx+cn.+c?[(x"-1)n—￡ un—\n-I、 /由于在GF(2)中，減法即為加法，因此命題得證?？梢酝普摰玫絚'(x)=x'c(x)mod(x0-1)?根據(jù)代數(shù)理論，還可以證明如下結(jié)論：定理一、GF(2)上的循環(huán)碼(n,k)具有唯一的生成多項式g(x),且g(x)為該循環(huán)碼中最低基次的碼字多項式，循環(huán)碼中的其他碼字可以表示成c(x)=/(x)g(x)。證明：設(shè)循環(huán)碼(n,k)中存在兩個最低箱次的碼字多項式，則根據(jù)循環(huán)碼的線性性，將這兩個碼字相減，得到的碼字多項式仍屬于該循環(huán)碼，但其慕次降低，這與假設(shè)矛盾，因此循環(huán)碼中最低某次的碼字多項式唯設(shè)g(x)=g0+g/+-+grxr是循環(huán)碼中的一個碼字，由循環(huán)性和線性性得到c(x)=(c0+c,x+...+ )g(x)也是循環(huán)碼中的碼字。若c(x)=a(x)g(x)+b(x),b(x)是累次低于r的多項式，由循環(huán)性和線性性知b(x)=c(x)-a(x)g(x)也是循環(huán)碼中的碼字，若b(x)#0,則存在一個碼字具有比g(x)更低次幕的碼字，這是不可能的。因此，b(x)=0o即循環(huán)碼中的任意碼字多項式可以表示成c(x)=/(x)g(x)。定理二、(n,k)循環(huán)碼的生成多項式g(x)是多項式x"-1的因子，且哥次為n-k。證明：設(shè)g(X)=go+g|X+...+g,/,則由循環(huán)性和線性性x"Tg(x)=(x"-l)+b(x)這里b(x)=/(x)g(x)也是循環(huán)碼中的碼字多項式。因此，Z-1=(xn-r+/(x))g(x)即g(x)是x"-1的因子。另外，為了產(chǎn)生2k個不同的碼字，要求c(x)=/(x)g(x)具有2卜個不同多項式，即/(X)最高次第為k-1次第，因此g(x)的次索為n-k。根據(jù)上述結(jié)論，只要知道循環(huán)碼的牛.成多項式g(x)就可以完全確定循環(huán)碼的所有許用碼組,

因為循環(huán)碼的所有的許用碼組均是g(x)的倍式。二、循環(huán)碼的生成矩陣與監(jiān)督矩陣由于循環(huán)碼的碼字多項式是生成多項式g(x)的倍式，且根據(jù)線性碼的生成矩陣的特性，(n,k)碼的生成矩陣可以由(n,k)碼中k個不相關(guān)的碼組構(gòu)成。根據(jù)以上兩點，可以挑選出k個線性不相關(guān)的循環(huán)碼組的碼多項式如下：1、非系統(tǒng)碼的生成矩陣xig(x)G(x)= "" (0-5).g(x).輸入信息碼元為(“一即一…加。)時，相應(yīng)的輸出循環(huán)碼組多項式為：T(x)=(恤_1,叫-2…加o)G(x)=(/n*_1X*T+mk_2xk~2+...+m0)g(x)=M(x)g(x)例1：已知(7,4)循環(huán)碼的生成多項式為g(x)=d+/+1,求生成矩陣。解：G(x)=尤3+x2+1)X"(X+x~+1)x(x3+x2+解：G(x)=X，+X?+1-1101000'0110100所以，G=00110100001101如輸入信息為(1001)時，編碼輸出為(1001011).2、系統(tǒng)碼的生成矩陣系統(tǒng)碼定義為：(n,k)系統(tǒng)碼的碼組中前k個比特是信息比特，后n-k個比特是監(jiān)督位。若已知生成多項式g(x),則在系統(tǒng)碼中，許川碼組應(yīng)該具備如下的形式:T(x)=m.,xn~1+m.,x"~2+...+m...xn~k+r(x)= +mk_2xk^2+...+m0)xn~k+r(x)=M(x)g(x)

其中，r(x)的次數(shù)小于等于n-k-1。實際匕上式表示了如何生成系統(tǒng)碼，即將信息碼多項式升n-k次，然后以g(x)為模，求出余式?幻。例：已知(7,4)系統(tǒng)循環(huán)碼的生成多項式為g(x)=d+/+],求生成矩陣。解：系統(tǒng)碼的生成矩陣形式肯定是IkQ,因此選擇信息多項式為XyIo將/提升n-k=3次，得到一,求/除以g(x)的余式得到x=x+xmodg(x)x5=x+1modg(x)x=x+x+1modg(x)G(x)=表示成矩陣形式,x3=x+1modg(x)G(x)=表示成矩陣形式,+X+1■2+1得到0010三、循環(huán)碼的編碼和譯碼1.系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼器(除法器電路)系統(tǒng)循環(huán)碼最容易實現(xiàn)的方式是將信息碼多項式升n-k次基后除以生成多項式，然后將所得余式置于升幕后的信息多項式后。T(x)=mk_ixn^1+mk_2x"~2+...+mox"~k+r(x)=(mli_ixk~l+mk_2xk~2+...+m0)xn~k+r(x)三M(x)g(x)例：已知(7,4)系統(tǒng)循環(huán)碼的生成多項式g(x)=jc3+x2+\,若信息碼為1001,

求編碼后的循環(huán)碼。解：信息碼多項式M(x)=l+1,xyM(x)

g(x)X，+ +X，xyM(x)

g(x)—： =X+X+X+1+x3+x2+1因此，編碼后的碼組為(1001011).多項式除法可以用帶反饋的線性移位寄存器來實現(xiàn)。可以通過如下圖電路構(gòu)造系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼器。圖9-1系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼器電路在輸入前k個信息比特時，開關(guān)Ki、2閉合，冷斷開，宜接輸出系統(tǒng)位信息；當輸入k比特信息完畢后，開關(guān)Ki、2斷開，冷閉合，輸出系統(tǒng)校驗位信息。2.循環(huán)碼的譯碼用于糾錯目的的循環(huán)碼譯碼器原理將接收到的碼組進行除法運算，如果除盡，則說明正確傳輸：如果未除盡，則在寄存器中的內(nèi)容就是錯誤圖樣，根據(jù)錯誤圖樣可以確定一種邏輯，來確定差錯的位置，從而達到糾錯的目的。常見的循環(huán)碼譯碼器有梅吉特譯碼器。用于檢錯目的，然后用ARQ方式的循環(huán)碼的原理將接受到的碼組進行除法運算，如果除盡，則說明傳輸無誤；如果未除盡，則表明傳輸出現(xiàn)差錯，要求發(fā)送端甫發(fā)。用于這種目的碼經(jīng)常被稱為循環(huán)冗余校驗碼，即CRC校驗碼。CRC校驗碼由于編碼電路、檢錯電路簡單且易于實現(xiàn)，因此得到廣泛的應(yīng)用。在通過MODEM傳輸文件的協(xié)議如ZMODEM協(xié)議中均用到了CRC校驗技術(shù)。CRC校驗碼是循環(huán)碼的推廣，一般來說CRC碼不再具有循環(huán)性，但是CRC碼的所有許用碼組是生成多項式的倍數(shù)?！?o6BCH碼*§9。7RS§9o8卷積碼分組碼把k個信息比特的序列編成n個比特的碼組，每個碼組的n-k個校驗位僅與本碼組的k個信息位有關(guān)，而與其他碼組無關(guān)。為了達到一定的糾錯能力和編碼效率，分組碼的碼組長度?般都比較大。編譯碼時必須把整個信息碼組存儲起來，由此產(chǎn)生的譯碼時延隨n的增加而增加。卷積碼是另外一種編碼方法，它也是將k個信息比特編成n個比特，但k和n通常很小，特別適合以串行形式進行傳輸，時延小。與分組碼不同，卷積碼編碼后的n個碼元不僅與當前段的k個信息有關(guān)，還與前面的N-1段信息有關(guān)，編碼過程中互相關(guān)聯(lián)的碼元個數(shù)為nN。卷積碼的糾錯性能隨N的增加而增大，而差錯率隨N的增加而指數(shù)下降。在編碼器復(fù)雜性相同的情況下，卷積碼的性能優(yōu)于分組碼。但卷積碼沒有分組碼那樣嚴密的數(shù)學分析手段，目前大多是通過計算機進行好碼的搜索。卷積碼的結(jié)構(gòu)和描述一、卷積碼的一般結(jié)構(gòu)卷積碼編碼器的形式如圖所示，它包括：?個由N段組成的輸入移位寄存器，每段有k個，共Nk個寄存器；一組n個模2和相加器，一個由n級組成的輸出移位寄存器。卷積碼編碼時，每個時刻輸入k個比特，輸出n個比特。由圖9-2可以看到，n個輸出比特不僅與當前的k個輸入信息有關(guān)，還與前（N-l）k個信息有關(guān)。通常將N稱為約束長度，把卷積碼記為（n,k,N）,當k=l時，N-1就是寄存器的個數(shù)。二、卷積碼的描述描述卷積碼的方法有兩類：圖解法和解析表示。圖解法包括：樹圖、狀態(tài)圖、網(wǎng)格圖。解析法包括：矩陣形式、生成多項式形式。以如下的結(jié)構(gòu)為例說明各種描述方法。圖90-3 （7,5）卷積碼結(jié)構(gòu)1、樹圖根據(jù)圖90-3,可以得到當前時刻寄存器值、下一時刻寄存器值、輸入、輸出的關(guān)系下表9-1：表9-1當前輸入11FonfonFonro-

mo當前寄存器狀態(tài)0110120000010110101111aaccbbdD當前輸出C1C21100001101101001下一寄存器狀態(tài)1000100011011101babadcdC根據(jù)上表可以畫出如下的樹狀圖(圖9-4)：2、狀態(tài)圖圖9-5(7,5)卷積碼狀態(tài)圖 圖9-6(7,5)卷積碼網(wǎng)格圖3、網(wǎng)格圖將狀態(tài)圖中的狀態(tài)排開，可以得到卷積碼的網(wǎng)格圖，如上圖示。例1,輸入為1101110,輸出為：110101000110014、生成多項式表示定義gl=[glO，gu，gl2]，g2=[g20，g21，g22]，則上述結(jié)構(gòu)為g[=7，g2=5,這里用8進制表示g”g2加0G=[glO加0G=[glO，gu，gl2】外,m2m0Cl=[g20，g21，g22〕m\叫(0-6)定義gKfOMgio+guO+goOZ=1+0+02gzOXgzo+gzN+gzzA=1+D2 (0-7)設(shè)輸入信息/，仇為2，...的多項式為M(O)=%+仇。+%。2+43+....,則可以得到輸出G(o)=M(o)gW)C2(D)=M(D)g2(D)最終輸出是孰(。),。2(。)的相同次數(shù)項的排列。例，輸入為1101110..M(D)=1+D+D3+D4+D5+...C}(D)=\+D5+...C2(D)=\+D+D2+D4+...則最后輸出為110101000110...可以看到，卷積碼的輸出是輸入序列與g1,g2的卷積?！?o9信道編碼的譯碼?最大似然序列譯碼假設(shè)信道是無記憶的，(即前后符號的概率分布是統(tǒng)計獨立的)，發(fā)送的序列為(七"1，七,2，“工可)，接收序列為(必，必，…打)，貝I已知接收序歹“(必，力，…以)的情況下，如何最佳判決輸入的序列？設(shè)調(diào)制方式為2PSK,信道噪聲為加性高斯白噪，其雙邊噪聲功率譜密度為N。/2,發(fā)送序列為等概的+1、-1序列，經(jīng)過最佳接收后接收序列y1=xmi+n'i=l,2”..,NN其中n是均值為0,方差為」的高斯變量，則發(fā)送序列的似然函數(shù)為2

]〃/(必，為“弘141，/2“鼻)=小，、"/2IP(N。兀)i=i1 1 ，加f)(No乃產(chǎn)2根據(jù)最大似然準則，選擇具有最大似然概率的輸入序列作為判決結(jié)果是最佳判決，山上式可見，比較似然函數(shù)的大小就是比較X(%—x,＞的小大。1=1令2=￡(y,一(,)2，選擇使。“最小的序列又二=(七?“￡12，?/??.)作為判決輸出，i=l能使系統(tǒng)的性能最佳(誤碼率最小)。硬判決當2PSK的解調(diào)端輸出的符號經(jīng)過判決輸出一1、1,然后再經(jīng)過譯碼的形式，稱這樣的譯碼為硬判決譯碼，即編碼信道的輸出是一1、1的硬判決信息。可以看到，硬判決的最大似然譯碼實際上是尋找與接收序列漢明距最小的輸入序列。當y,,x而取值為一1、1時，?！?支(%一工而)2與序列(M,必，“0\)與序列.?./、)的漢明距平方成正比。!=]即2=4服軟判決當2PSK的解調(diào)端輸出的符號沒有經(jīng)過判決，而是直接輸出模擬量，然后經(jīng)過譯碼的形式，稱這樣的譯碼為軟判決譯碼，即編碼信道的輸出是沒有經(jīng)過判決的匹配濾波器的輸出。可以看到，軟判決的最大似然譯碼實際上是尋找與接收序列歐式距離最小的輸入序列。一般而言,由于硬判決在譯碼前被判決了一次，信息有所損失，軟判決比硬判決的性能要好l-2dBo例如：已知編碼{(0000)(0101)(0011)(0110)},2PSK調(diào)制將0映射為+1,1映射成一1,經(jīng)過解調(diào)后收到碼組(020.5,-0.3,0.2),此時按硬判決則解調(diào)后判決輸出為(0010),因此最小漢明距的碼組為(0011)、(0110).(0000),因此譯碼判決可以是上述三個中的任何?個，而若采用軟判決，則接收碼組與各編碼碼組的歐式距離平方分別為3.32、8.62、2.82、4.02,因此最后判決結(jié)果應(yīng)為0011?！?0正交編碼和偽隨機序列要點：正交編碼與碼分多址(CDMA)偽隨機序列(m序列及其性質(zhì))m序列的應(yīng)用§10o1正交編碼與碼分多址.幾個概念互相關(guān)系數(shù)設(shè)長為n的編碼中碼元只取+1、-1,x和y是其中兩個碼組X=(X”X2...X“)，y=(%,y2…%)，其中七,%€(+1,-1)則X、y間的互相關(guān)系數(shù)定義為p{x,y)=~2_4xiyi (10-1)如果用。表示+1、1表示-1,則互相關(guān)系數(shù)也可以寫成/、A一0 ,P(x,y)=-~- (10-2)A+D其中A是相同碼元的個數(shù)，D為不同碼元的個數(shù)。自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)定義為]￡2")=一￡七七3 (10-3)〃,=1其中下標的計算按模n計算。正交編碼若碼組Vx,yeC,(C為所有編碼碼組的集合)滿足夕(x,y)=0,則稱C為正交編碼。即：正交編碼的任意兩個碼組都是正交的。例1：已知編碼的4個碼組如下：S,=(+l,+l,+l,+l);S2=(u,-l,-l);S3=(1,-l,-l,l);S4=(1-1,1-1)可以計算得到任意兩個碼組互為正交。雙正交編碼由正交編碼及其反碼便組成雙正交編碼。例3：正交編碼(1,1,1,1)(1,1,0,0)(1,0,0,1)(1,0,1,0)反碼為(0,0,0,0)(0,0,1,1)(0,1,1,0)(0,1,0,1)雙正交碼中任意兩個碼組間的互相關(guān)系數(shù)為0或-1。.哈達瑪矩陣哈達瑪矩陣在正交編碼的構(gòu)造中具有很重要的作用。哈達瑪矩陣的構(gòu)成如下：2階哈達瑪矩陣

4階哈達瑪矩陣H2h2/一/可以證明，哈達瑪矩陣的所有行之間互相正交，所有列之間互相正交。哈達瑪矩陣經(jīng)過行列交換后得到的矩陣仍然正交，沃爾什矩陣可以通過哈達瑪矩陣按交變的次數(shù)排列順序構(gòu)成。例4：構(gòu)造四階的Walsh矩陣如下：'1111'11-1-1W=1-1-111-11-13.碼分多址通信碼分多址通信的概念是利用碼之間的正交性在同時、同頻的情況卜.進行多址復(fù)用通信。設(shè)具有n個用戶，每個用戶的所用的碼P1"),P2(f)…P,,。)互相正交，即'='，每個用戶的信息為叫⑺,加2⑺…%⑺，則白 [0iwj碼分復(fù)用后多用戶信號為5(r)=mi(t)pt(r)coscoct (10-4)i=l接收端只要通過相關(guān)接收的方法，就可以分離出相應(yīng)的用戶信息。/n((r)=2￡s[t}p\t)coscdctdt= +2 ￡irij(r)pj(r)/?,(/)cos2a>ctdt(10-5)由于在每個碼元時間內(nèi)，信號不變，再由正交性可以得到上式后面一項為Z嗎⑺『Z嗎⑺『+cos20/]t〃=0.(10-6)因此就從符合信號中分離出第j路信號。同理，其他路的信號也可以這樣分離，實現(xiàn)了多路復(fù)用的功能?？梢钥吹?，碼分多址CDMA中，每個用戶占用相同的時間、相同的頻段、不同的碼字：而時分多址TDMA是每個用戶占用相同的頻段、不同的時隙；頻分復(fù)用FDMA是占用相同的時間、不同的頻段。§10o2偽隨機序列(m序列及性質(zhì)和構(gòu)造)偽隨機序列是一種可人為重復(fù)產(chǎn)生的類似于噪聲的序列。為了說明偽隨機序列的特性，先來看一看噪聲序列的特性，如果對高斯白噪進行抽樣，并將抽樣值進行正負判決，抽樣值為正則輸出“1”，反之輸出為“0”，這樣就得到一個噪聲序列。這樣的噪聲序列具有如下一些特性：（1）序列中0、1個數(shù)出現(xiàn)概率相等（2）序列中具有相同長度的連0和連1的概率相等。如果我們將連0或連1的長度稱為0或1的游程的話，即0、1的游程分布是等概的。并且由概率知識我們可以知道，游程為1的概率為1/2,游程為2的概率為1/4,游程為n的概率為1/2"。（3）該序列的自相關(guān)系數(shù)為沖激函數(shù)。偽隨機序列是具有上述噪聲序列的特性，且可以再現(xiàn)的一種序列。常用的偽隨機序列包括m序列、Gold序列，其中m序列又是構(gòu)造Gold序列的基礎(chǔ)。.m序列的產(chǎn)生最長線性反饋移位寄存器序列m序列是最長線性反饋移位寄存器序列的簡稱,它是由帶線性反饋的移位寄存器產(chǎn)生的周期最長的序列。先看如下的例子：圖10.1m圖10.1m序列發(fā)生器圖10.2非m序列發(fā)生器TOC\o"1-5"\h\z初始狀態(tài)： 1000 10001100 11001110 01101111 10110111 01011011 00100101 00011010 100011010110001110010100001000011000可以看到，圖5.1的輸出的周期為15,除去全0外，其輸出是周期最長的的序列。為了能以盡可能少的級數(shù)產(chǎn)生盡可能長的序列，而一個n級反饋移存器可能產(chǎn)生的最長周期為2〃-1,則反饋電路如何連接才能輸出序列最長是本節(jié)要討論的問題。一般而言，線性移位寄存器序列可以由下圖構(gòu)成：,圖10.3線性移位寄存器序列結(jié)構(gòu)圖m序列的特征方程移存器的結(jié)構(gòu)用特征方程表示：f(X)=CQ4-C1X+...4-CnXW (10-7)/=0m序列的遞推方程m序列的母函數(shù)至G(x)=aQ+aix+...+anxn+.??=Z〃X (10-9)&=o.幾個有用的定理用來構(gòu)造m序列定理一、/(x)G(x)=A(x),其中〃*)為次數(shù)低于/*)的次數(shù)的多項式。證明：G(x)=￡aW=￡名91尤1/=fqx'fajxik=Q k=Qi=l i=lk=QTOC\o"1-5"\h\zi-\ k=0〃 n=Z。/'(a_/T+)+Zqx'G(x)1=1 i=l(1+Zjx')G(x)=/,Ctx，a_tx~l)t=l i=lCo=1得到如下關(guān)系：f(x)G(x)=h(x)可以看到，〃(x)的次數(shù)小于n。當電路給定后，/i(x)只取決于初始狀態(tài)。定理二、一n級線性反饋移位寄存器的相繼狀態(tài)具有周期性，周期為NW2"-1。證明：反饋寄存器狀態(tài)取決于前?狀態(tài)，因此只要產(chǎn)生的狀態(tài)與前面某一時刻相同，則以后的狀態(tài)肯定是循環(huán)的，因此具有周期性。移存器?共有n個，因此只有2"種組合，因此經(jīng)過它的周期最大為2"。而在線性結(jié)構(gòu)中，全0狀態(tài)的下一狀態(tài)為0,因此在長周期的序列中，寄存器狀態(tài)不應(yīng)該出現(xiàn)全0,因此寄存器狀態(tài)周期N定理三、若序列4={4}具有最長周期N=2"-l,則其特征多項式/(x)應(yīng)為既約多項式。證明：用反證法。若/(x)=/|(x)/2(x)則：G(x)=UD=遜+忸口f(x)/(x)f2(x)且有 的次數(shù)〃1，〃2滿足〃I+〃2=〃?？梢詫⑸鲜鲂蛄锌闯?個序列的和，因此他們的周期分別為N”N2,根據(jù)定理二，N=LCM(Ni,N2)<(2n'-1)(2"2-1)=2"-2"'-2"2+1<2H-3<2"-1不是最長序列。定理四、一個線性移位寄存器的特征多項式/(x)若為既約的，則由其產(chǎn)生的序列A={4}的周期等于使f(x)能整除的(xN+1)最小正整數(shù)p。證明：q^=G(x)=5y11cx/(x) *=0=%+a]x+.??4+(6Zq+4Z|X+...)+x"(a0+...)+...=(1+x"+X?”+...)(<7q+u^x+…an-x'i)1 / N-1、= -(i7n4~ +...4~,X)IN、uI /v-i ，+X經(jīng)整理后，得到h(x)(\+xN)/(x)JV-I二旬+axx+...+aN_xx因此，/(x)是(1+x")的因子，即周期為N的序列的f(x)整除能(1+”)。反之，若/(x)能整除(1+xn),令其商為bn+b.x+...+hf..x^'v1 /V—I則因為/(x)為既約的，因此序列的長度與初始狀態(tài)無關(guān)，取初始狀態(tài)為000」G(x)=h(x)_1f(x)