第27章《相似圖形》-整章優(yōu)質(zhì)課件-人教版數(shù)學九年級下冊

第27章《相似圖形》人教版九年級下冊數(shù)學第27章《相似圖形》人教版九年級下冊數(shù)學127.1圖形的相似人教版數(shù)學九年級下冊27.1圖形的相似人教版數(shù)學九年級下冊2天壇導入新知天壇導入新知3八達嶺長城導入新知八達嶺長城導入新知4國旗五角星導入新知國旗五角星導入新知5我們剛才所見到的圖形有什么聯(lián)系？【想一想】其中一個圖形可以看作是另一個圖形放大或者縮小得到的.導入新知我們剛才所見到的圖形有什么聯(lián)系？【想一想】其中一個圖形可以看63.能根據(jù)多邊形相似進行相關的計算。

1.了解相似圖形和相似比的概念.2.理解相似多邊形的定義.素養(yǎng)目標3.能根據(jù)多邊形相似進行相關的計算。1.了解相似圖形和相似7全等圖形指能夠完全重合的兩個圖形，觀察即它們的形狀和大小完全相同。探究新知知識點1相似圖形的定義全等圖形指能夠完全重合的兩個圖形，觀察即它們的形狀和大小完全8黃山松天壇觀察兩張黃山松、兩張?zhí)靿恼掌惺裁刺攸c?探究新知黃山松天壇觀察兩張黃山松、兩張?zhí)靿恼掌惺裁刺攸c?探究新知9中國地圖【思考】這兩張中國地圖的照片有什么關系?探究新知中國地圖【思考】這兩張中國地圖的照片有什么關系?探究新知10【想一想】我們剛才所見到的圖形有什么相同和不同的地方?相同點：不同點：形狀相同．大小不同．探究新知【想一想】我們剛才所見到的圖形有什么相同和不同的地方?相同點11

兩個圖形的形狀________，但圖形的大小位置__________，這樣的圖形叫做相似圖形。完全相同不一定相同探究新知歸納總結(jié)兩個圖形的形狀________，但圖12圖形的放大探究新知圖形的放大探究新知13圖形的放大探究新知圖形的放大探究新知14圖形的縮小兩個圖形相似探究新知圖形的縮小兩個圖形相似探究新知15

兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到。相似圖形的關系探究新知兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大16【思考】你見過哈哈鏡嗎？哈哈鏡與平面鏡中的形象哪一個與你本人相似？探究新知【思考】你見過哈哈鏡嗎？哈哈鏡與平面鏡中的形象哪一個與你本人171.在下列圖形中，找出相似圖形.鞏固練習1.在下列圖形中，找出相似圖形.鞏固練習18下圖是兩個等邊三角形，它們相似嗎?它們的對應角、對應邊分別有什么關系?BCAB′CA′′∠A=∠A′∠B=∠B′∠C=∠C′兩個等邊三角形相似,它們的對應角相等,對應邊成比例.探究新知觀察與思考知識點2相似多邊形的定義和相似比的概念下圖是兩個等邊三角形，它們相似嗎?它們的對應角、對應19【思考】下圖是兩個正六邊形，它們相似嗎?它們的對應角、對應邊分別有什么關系?兩個正六邊形相似,它們的對應角相等,對應邊成比例.從上述兩個問題的探索中你能得到什么結(jié)論?

兩個邊數(shù)相等的正多邊形相似,且對應角相等、對應邊成比例.探究新知【思考】下圖是兩個正六邊形，它們相似嗎?它們的對應角、對應邊20任意兩個相似三角形,它們的對應角相等嗎?對應邊成比例嗎?【結(jié)論】任意兩個相似三角形,它們的對應角相等!對應邊成比例!探究新知任意兩個相似三角形,它們的對應角相等嗎?對應邊成比例21

圖中兩個四邊形是相似形，仔細觀察這兩個圖形，它們的對應邊之間是否有以上的關系呢？對應角之間又有什么關系？【結(jié)論】任意兩個相似多邊形,它們的對應角相等!對應邊成比例!探究新知圖中兩個四邊形是相似形，仔細觀察這兩個圖形，它們的對應22各角分別相等、各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形的對應邊的比叫作相似比.相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例.相似比：相似多邊形的特征：相似多邊形的定義：歸納：探究新知各角分別相等、各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.23【思考】任意的兩個菱形（或矩形）是否相似？為什么？探究新知【思考】任意的兩個菱形（或矩形）是否相似？為什么？探究新知24例1

如圖，四邊形ABCD和EFGH

相似，求角α，β的大小和EH的長度

x.DABC182178°83°β24GEFHαx118°探究新知素養(yǎng)考點1利用相似多邊形的定義求線段、角的值例1如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求25在四邊形ABCD中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.解：∵四邊形ABCD和EFGH相似，∴它們的對應角相等．由此可得DABC182178°83°β24GEFHαx118°探究新知在四邊形ABCD中，∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°26∵四邊形ABCD和EFGH相似，∴它們的對應邊成比例，由此可得解得

x＝28.，即

.探究新知DABC182178°83°β24GEFHαx118°∵四邊形ABCD和EFGH相似，解得x＝28272.如圖所示的兩個五邊形相似，求未知邊a、b、c、d的長度．532cd7.5ba69鞏固練習解：相似多邊形的對應邊的比相等，由此可得

，，，，解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.所以未知邊a，b，c，d的長度分別為3，4.5，4，6.2.如圖所示的兩個五邊形相似，求未知邊a、b、c、d的長度281.（2018?重慶）制作一塊3m×2m長方形廣告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴大為原來的3倍，那么擴大后長方形廣告牌的成本是（）A．360元

B．720元

C．1080元

D．2160元連接中考鞏固練習C1.（2018?重慶）制作一塊3m×2m長方形廣告牌的成本是292.（2018?重慶）要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形的三邊長分別為5cm，6cm和9cm，另一個三角形的最短邊長為2.5cm，則它的最長邊為（）A．3cm

B．4cm

C．4.5cm

D．5cmC連接中考鞏固練習2.（2018?重慶）要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一30D2.若一張地圖的比例尺是1:150000，在地圖上量得甲、乙兩地的距離是5cm，則甲、乙兩地的實際距離是（）A.3000mB.3500m

C.5000m

D.7500mD

基礎鞏固題課堂檢測1.下列說法正確的是（）A．小明上幼兒園時的照片和初中畢業(yè)時的照片相似.B．商店新買來的一副三角板是相似的.C．所有的課本都是相似的.D．國旗的五角星都是相似的.D2.若一張地圖的比例尺是1:150000，在地圖上量得313.

如圖所示的兩個矩形相似嗎？為什么？如果相似，相似比是多少？GFEH1.51ADCB32解：矩形ABCD相似于矩形EFGH因為它們的對應角相等，對應邊成比例.相似比為:.課堂檢測基礎鞏固題3.如圖所示的兩個矩形相似嗎？為什么？如果相似，相似比是多324.

觀察下面的圖形

(a)~(g)，其中哪些是與圖形

(1)、

(2)

或

(3)相似的？基礎鞏固題課堂檢測4.觀察下面的圖形(a)~(g)，其中哪些是與圖形(33

判斷下邊的兩個多邊形是否相似？3正方形344菱形解:∵正方形，菱形的四條邊都相等.∴它們的對應邊成比例，k=3:4.∵正方形的四個內(nèi)角均為直角，

而菱形的內(nèi)角有鈍角有銳角.∴它們的對應角不相等.∴這一組圖形不相似.課堂檢測能力提升題判斷下邊的兩個多邊形是否相似？3正方形344菱形解:∵34

如圖，把矩形ABCD

對折，折痕為EF，若矩形ABCD與矩形EABF

相似，AB=1．

ABCDEF解：∵E是

AD的中點，∴.又∵矩形

ABCD與矩形

EABF相似，AB=1，

∴，∴AB2=AE·BC，∴.解得拓廣探索題課堂檢測（1）求BC長；如圖，把矩形ABCD對折，折痕為EF，若矩35（2）求矩形

ABFE

與矩形

ABCD的相似比.ABCDEF解：矩形ABEF與矩形ABCD

的相似比為：拓廣探索題課堂檢測（2）求矩形ABFE與矩形ABCD的相似比.ABCD36相似圖形形狀相同的圖形叫做相似圖形

相似圖形的大小不一定相同相似多邊形對應邊的比叫做相似比對應角相等，對應邊成比例圖形的相似相似多邊形課堂小結(jié)相似圖形形狀相同的圖形叫做相似圖形相似圖形的大小不一定相同3727.2相似三角形人教版數(shù)學九年級下冊27.2.1相似三角形的判定27.2相似三角形人教版數(shù)學九年級下冊27.2.1相似38

平行線分線段成比例定理

及其推論第一課時返回平行線分線段成比例定理第一課時返回391.相似多邊形的特征是什么？2.怎樣判定兩個多邊形相似？3.什么叫相似比？4.相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形．如果∠A

＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，，那么△ABC與△A1B1C1相似嗎？我們還有其他方法判定兩個三角形相似嗎？

導入新知ABCA1B1C11.相似多邊形的特征是什么？導入新知ABCA1B1C1401.理解相似三角形的概念，并會用以證明和計算.

2.體會用相似符號“∽”表示的相似三角形之間的邊，角對應關系.素養(yǎng)目標3.

掌握平行線分線段成比例的基本事實及其推論的應用，會用平行線判定兩個三角形相似并進行證明和計算.1.理解相似三角形的概念，并會用以證明和計算.2.體會用請分別度量l3,l4,l5.在l1上截得的兩條線段AB,

BC和在l2上截得的兩條線段DE,EF的長度,AB：BC與DE：EF相等嗎？任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的長度,它們的比值還相等嗎？

????猜想ABCDEF

l2探究新知l1

除此之外，還有其他對應線段成比例嗎？l2l3l4l5知識點1平行線分線段成比例定理若，那么若，那么即請分別度量l3,l4,l5.在l1上截得的兩事實上，當l3//l4//l5時，都可以得到，

還可以得到，，等.

ABCDEFl3l4l5

l1l2

通過探究，你得到了什么規(guī)律呢？探究新知事實上，當l3//l4//l5時，都可以得到

一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.符號語言：若a∥b∥c

，則，，

歸納：

A1A2A3B1B2B3bca探究新知一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實：符號語言441.如何理解“對應線段”？2.“對應線段”成比例都有哪些表達形式？

【想一想】

探究新知【想一想】探究新知1.如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是()

A.B.C.D.

DACEBDFl2l1l3鞏固練習1.如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是(

如圖，直線l3∥l4∥l5，由平行線分線段成比例的基本事實，我們可以得出圖中對應成比例的線段，ABCDEFl4l5l1l2l3把直線l1向左或向右任意平移，這些線段依然成比例.探究新知知識點2平行線分線段成比例定理的推論如圖，直線l3∥l4∥l5，由平行線分線段成比例的基本【思考】如果把圖1中l(wèi)1,l2兩條直線相交，交點A剛好落到l3上，如圖2（1），所得的對應線段的比會相等嗎？依據(jù)是什么？ABCDEFl3l4l5

l1l2探究新知圖1圖2（1）A（D）EFCB【思考】如果把圖1中l(wèi)1,l2兩條直線相交，交點48【思考】如果把圖1中l(wèi)1,l2兩條直線相交，交點A剛好落到l4上，如圖2（2）所得的對應線段的比會相等嗎？依據(jù)是什么？探究新知圖1圖2（2）ABCDEFl3l4l5

l1l2BCEADl1l2l3l4l5【思考】如果把圖1中l(wèi)1,l2兩條直線相交，交點A剛好落49l2l3l1l3ll

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll

探究新知

歸納：

l2l3l1l3ll平行于三角形一邊的直線截其他50鞏固練習2.如圖,l1∥l2∥l3，

，DE＝6，求DF的長．解：∵l1∥l2∥l3，∴.又∵，DE＝6，∴，解得EF＝4.∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.l1l2l3鞏固練習2.如圖,l1∥l2∥l3，，DE＝例1

如圖，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.

∴AE=3.

解：∵AC=4，EC=1，

∵DE∥BC，

∴∴AD=2.25，

∴BD=0.75.探究新知素養(yǎng)考點1利用平行線分線段成比例定理及推論求線段例1如圖，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，523.如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，

BE=6cm，F(xiàn)C=3cm，AF的長為_______．1cm鞏固練習3.如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，1cm鞏53

如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點，過點D作BC的平行線DE，交AC于點E.問題1

△ADE與△ABC的三個角分別相等嗎？問題2

分別度量△ADE與△ABC的邊長，它們的邊長是否對應成比例？BCADE探究新知知識點3相似三角形的判定定理如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點，過點D作BC問題3

你認為△ADE與△ABC之間有什么關系？平行移動DE的位置，你的結(jié)論還成立嗎？通過度量，我們發(fā)現(xiàn)△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，這個結(jié)論恒成立.探究新知BCADE問題3你認為△ADE與△ABC之間有什么關系？平行移動DE

【思考】1.我們通過度量三角形的邊長，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定義去證明它，我們需要證明什么？

2.由前面的結(jié)論，我們可以得到什么？還需證明什么？探究新知用相似的定義證明△ADE∽△ABCBCADE【思考】1.我們通過度量三角形的邊長，知道△ADE∽ABCDE證明:在△ADE與△ABC中，∠A=∠A∵

DE//BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C，過E作EF//AB交BC于F,∵四邊形DBFE是平行四邊形F∴DE=BF∴△ADE∽△ABC探究新知∴∴則已知：如圖，在△ABC中，DE//BC，且DE分別交AB，AC于點D、E．

求證：△ADE∽△ABC.ABCDE證明:在△ADE與△ABC中，∠A=∠A∵DE“A”型“X”型（圖2）DEOBCABCDE（圖1）探究新知定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.符號語言：∵DE//BC∴△ADE∽△ABC．“A”型“X”型（圖2）DEOBCABCDE（圖1）探究【討論】過點D作與AC平行的直線與BC相交，可否證明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出現(xiàn)一邊的平行線，那么你應該聯(lián)想到什么？【方法總結(jié)】過點D作與AC平行的直線與BC相交，仍可證明△ADE∽△ABC，這與教材第31頁證法雷同．題目中有平行線，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)，可列出比例式．探究新知【討論】過點D作與AC平行的直線與BC相交，可否證明△ADE4.

已知：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有___對相似三角形.3CDABEFO相似具有傳遞性鞏固練習4.已知：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有___對相似三角連接中考鞏固練習

（2018?臨安區(qū)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB，AC相交于點D，E，若AD=4，DB=2，則DE：BC的值為（）A．

B．

C．

D．A連接中考鞏固練習（2018?臨安區(qū)）如圖，在△ABC中1.如圖，在△ABC

中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC=4cm，EF

長（）

AA.1cmB.cm

C.3cmD.2cmABCEF課堂檢測基礎鞏固題1.如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE2.如圖，DE∥BC，，

；FG∥BC，，則

.ABCEDFG課堂檢測基礎鞏固題2.如圖，DE∥BC，，3.如圖，在△ABC中，EF∥BC.（1）如果E、F分別是AB和AC上的點，AE=BE=7，

FC=4，那么AF的長是多少？ABCEF解：∵∴解得AF=4.課堂檢測基礎鞏固題3.如圖，在△ABC中，EF∥BC.ABCEF解：∵∴解得(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的長是多少？解：∵∴基礎鞏固題解得

.ABCEF課堂檢測(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么F

如圖所示，如果D，E，F(xiàn)分別在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求證：OD∶OA＝OE∶OB

證明：∵DF∥AC，∵EF∥BC，課堂檢測能力提升題如圖所示，如果D，E，F(xiàn)分別在OA，OB，O66

如圖，已知菱形ABCD內(nèi)接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的邊長.解：∵四邊形ABCD為菱形，BCADEF∴CD∥AB，∴設菱形的邊長為xcm，則CD=AD=xcm，DF=(4－x

）cm，∴解得

∴菱形的邊長為

cm.課堂檢測拓廣探索題如圖，已知菱形ABCD內(nèi)接于△AEF，A兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長線），所得的對應線段成比例.相似三角形判定的引理平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.基本事實平行線分線段成比例課堂小結(jié)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.推論平行于三三邊成比例的兩個三角形相似第二課時返回ABCDEDEOBC三邊成比例的兩個三角形相似第二課時返回ABCDEDEOBC69學習三角形全等時，我們知道，除了可以通過證明對應角相等．對應邊相等來判定兩個三角形全等外，還有判定的簡便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．類似地，判定兩個三角形相似時，是不是也存在簡便的判定方法呢？類似于判定三角形全等的SSS方法，我們能不能通過三邊來判斷兩個三角形相似呢？探究探究！討論一下？導入新知學習三角形全等時，我們知道，除了可以通過證明對應角相702.會運用“三組對應邊的比相等的兩個三角形相似”判定兩個三角形相似，并能進行相關計算與推理.1.復習已經(jīng)學過的三角形相似的判定定理

.素養(yǎng)目標2.會運用“三組對應邊的比相等的兩個三角形相似”判定兩個三1.定義法:對應角相等，對應邊的比相等的兩個三角形相似.如何判斷兩個三角形是否相似?

∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

DEABCABCDE2.平行法:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.A型X型探究新知知識點1三邊對應成比例的兩三角形相似還有沒有其他簡單的判斷方法呢？1.定義法:對應角相等，對應邊的比相等的兩個三角形相似.如何72

是否有△ABC∽△A′B′C′？ABC三邊對應成比例探究新知C′B′A′是否有△ABC∽△A′B′C′？ABC三邊對應成比例探究73ABCC′B′A′

通過測量不難發(fā)現(xiàn)∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，又因為兩個三角形的邊對應成比例，所以△ABC∽△A′B′C′.

下面我們用前面所學的定理證明該結(jié)論.探究新知ABCC′B′A′通過測量不難發(fā)現(xiàn)∠A=∠A′，∠74已知:如圖，在△ABC和△A′B′C′中，A′B′:AB=A′C′:AC=B′C′:BC.求證:△ABC∽△A′B′C′證明:在△ABC的邊AB(或延長線)上截取AD=A′B′,A′B′C′ABCDE過點D作DE∥BC交AC于點E.

又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA

∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC∵AD=A′B′∴AD:AB=A′B′:AB

∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.因此DE=B′C′,EA=C′A′.∴△A′B′C′∽△ABC

∴△ADE≌△A′B′C′探究新知已知:如圖，在△ABC和△A′B′C′中，A′B′:AB=A75由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理：三邊成比例的兩個三角形相似．歸納：∵，∴△ABC∽△A′B′C.符號語言：探究新知由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理：歸納：∵76【討論】在用三邊的比判定兩個三角形相似時，如何尋找對應邊？【方法點撥】利用三邊的比判定兩個三角形相似時，應先將兩個三角形的三邊按大小順序排列，然后分別計算它們對應邊的比，最后由比值是否相等來確定兩個三角形是否相似．

探究新知【討論】在用三邊的比判定兩個三角形相似時，如何尋找對應邊？【77例1

已知AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=24cm，試說明△ABC∽△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′＇探究新知素養(yǎng)考點1利用三邊成比例判斷三角形相似解：∵

∴例1已知AB=4cm，BC=6cm，AC78探究新知方法點撥判定三角形相似的方法之一：如果題中給出了兩個三角形的三邊的長，分別算出三條對應邊的比值，看是否相等，計算時最大邊與最大邊對應，最短邊與最短邊對應.探究新知方法點撥判定三角形相似的方法之一：如果題中791.在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，F(xiàn)D＝1.6，那么這兩個三角形能否相似的結(jié)論是______，理由是_________________．2.

如圖，在大小為4×4的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是（）相似C三組對應邊的比相等鞏固練習A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④1.在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝680例2

如圖，在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，且

求證：△A′B′C′∽△ABC.

證明：由已知條件得

AB=2A′B′，AC=2A′C′，

∴BC2=AB2－AC2=(2A′B′)2－(2A′C′)2=4A′B′2－4A′C′2

=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′)2.∴△A′B′C′∽△ABC.∴BC=2B′C′，探究新知素養(yǎng)考點2判斷三角形相似例2如圖，在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中813.如圖，△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，求證：△ABC∽△EFD．∴△ABC∽△EFD.證明：∵△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，∴∴鞏固練習3.如圖，△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，82試說明∠BAD=∠CAE.ADCEB∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC即∠BAD=∠CAE例3如圖已知：解：∵探究新知素養(yǎng)考點3利用三角形相似求角相等試說明∠BAD=∠CAE.ADCEB∴ΔABC∽ΔADE例383解：相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.理由如下：在△ABC和△ADE中，∵

AB:AD=BC:DE=AC:AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=

∠ADE，∠C=∠E.∴∠BAC－∠CAD=∠DAE－∠CAD，∴∠BAD=∠CAE.故圖中相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.

4.

如圖，已知

AB:AD=BC:DE=AC:AE，找出圖中相等的角(對頂角除外)，并說明你的理由.ABCDE鞏固練習解：相等的角有∠BAC=∠DAE，4.如圖，已知AB84

（2018?臨安）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）

A．

B．

C．

D．

連接中考鞏固練習B（2018?臨安）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的1．下列各組三角形一定相似的是（）A．兩個直角三角形B．兩個鈍角三角形C．兩個等腰三角形D．兩個等邊三角形D2.下列判斷，不正確的是（）A．兩條直角邊分別是3、4和6、8的兩個直角三角形相似.B．斜邊長和一條直角邊長分別是、4和、2的兩個直角三角形相似.C．兩條邊長分別是7、4和14、8的兩個直角三角形相似.D．斜邊長和一條直角邊長分別是5、3和2.5、1.5的兩個直角三角形相似.C課堂檢測基礎鞏固題1．下列各組三角形一定相似的是（）D2.下列863.

如圖，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列結(jié)論正確的是（）

A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDA

C.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA

ACBPDC課堂檢測基礎鞏固題3.如圖，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列結(jié)874.判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由．ABC33.54DFE1.82.12.4課堂檢測基礎鞏固題4.判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由．ABC33.88解：在△ABC

中，AB>BC>CA，在△DEF中，DE>EF>FD.∴△DEF∽△ABC.

∵

，，，∴.

課堂檢測基礎鞏固題DFE1.82.12.4ABC33.54解：在△ABC中，AB>BC>CA，在△DE89要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形框架的三邊長分別為4、5、6，另一個三角形框架的一邊長為2，它的另外兩條邊長應當是多少？你有幾個答案？方案(1)解：設另外兩條邊長分別為x,y方案(2)方案(3)課堂檢測能力提升題要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形框架的90

如圖，某地四個鄉(xiāng)鎮(zhèn)

A，B，C，D之間建有公路，已知

AB=14千米，AD=28千米，BD=21千米，DC=31.5千米，公路

AB與

CD平行嗎？說出你的理由.ACBD2814214231.5解：公路

AB與

CD平行.∵∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.課堂檢測拓廣探索題如圖，某地四個鄉(xiāng)鎮(zhèn)A，B，C，D之間建有公91三邊成比例兩個三角形相似利用三邊判定兩個三角形相似相似三角形的判定定理的運用

課堂小結(jié)三邊成比例兩個三角形相似利用三邊判定兩個三角形相似相似三角92兩邊成比例且夾角相等的兩個

三角形相似第三課時返回B'A'C'BAC兩邊成比例且夾角相等的兩個第三課時返回B'A'C'BAC931.

兩個三角形全等有哪些判定方法？2.我們學習過哪些判定三角形相似的方法？SSS、SAS、ASA、AAS、HL(1)通過定義（三邊對應成比例，三角分別相等）(2)平行于三角形一邊的直線(3)三邊對應成比例導入新知1.兩個三角形全等有哪些判定方法？SSS、SAS、ASA、94

類似于判定三角形全等的SAS方法，我們能不能通過兩邊和夾角來判斷兩個三角形相似呢？探究導入新知類似于判定三角形全等的SAS方法，我們能不探究導入新951.

探索“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的判定定理并且會運用.2.會運用“兩邊成比例且夾角相等”判定兩個三角形相似，并進行相關計算與推理.素養(yǎng)目標1.探索“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的判定定理改變∠A或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結(jié)論？實際上，我們有利用兩邊和夾角判定兩個三角形相似的方法.等于k∠B=∠B'∠C=∠C'改變k的值具有相同的結(jié)論利用刻度尺和量角器畫△ABC和△A'B'C'，使∠A＝∠A'，量出它們第三組對應邊BC和B'C'的長，它們的比等于k嗎？另外兩組對應角∠B與∠B'，∠C與∠C'是否相等？探究新知知識點1兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似改變∠A或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結(jié)論？實際上，我97A'B'C'ABC∠A＝∠A'如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似．類似于證明通過三邊判定三角形相似的方法，我們試證明這個結(jié)論．△ABC∽△A'B'C'探究新知A'B'C'ABC∠A＝∠A'如果兩個三角形98已知：如圖，

△A'B'C'和

△ABC中，∠A'=∠A，A'B'：AB=A'C'：AC求證：△A'B'C'∽△ABC證明：在△ABC的邊AB、AC（或它們的延長線）上分別截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，連結(jié)DE，因∠A'=∠A，這樣△A'B'C'≌△ADE∴DE//BC∴△ADE∽△ABC∴△A'B'C'∽△ABCA'B'C'ABCDE探究新知已知：如圖，△A'B'C'和△ABC中，∠A'=∠A，99由此得到利用兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．符號語言：∵

∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′

.歸納：探究新知由此得到利用兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：符號語100【思考】對于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.∠C=∠C′，這兩個三角形一定會相似嗎？

不一定，如下圖，因為能構(gòu)造符合條件的三角形有兩個，其中一個和原三角形相似，另一個不相似.

A

B

C

A′

B′

B″

C′探究新知【思考】對于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:101探究新知

歸納總結(jié)

如果兩個三角形兩邊對應成比例，但相等的角不是兩條對應邊的夾角，那么兩個三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對應邊的夾角.探究新知歸納總結(jié)如果兩個三角形兩邊對應102已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由.∵又

∠A＝∠A'∴△ABC∽△A'B'C'例1探究新知素養(yǎng)考點1利用兩邊成比例且夾角相等識別三角形相似兩三角形的相似比是多少？

△ABC∽△A'B'C'.理由如下：解：∴已知∠A＝120°，AB＝71031.

已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=40°，A'B'=16，A'C'=30，判斷△ABC與△A'B'C'是否相似，并說明理由.解：

∴△ABC∽△A'B'C'鞏固練習△ABC∽△A'B'C'

.

理由如下：∴∠A=∠A'又∵∵1.已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=104解：∵AE=1.5，AC=2，

ACBED例2

如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的長.∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴探究新知素養(yǎng)考點2利用三角形相似求線段的長度提示：解題時要找準對應邊.解：∵AE=1.5，AC=2，ACBED例2如圖，D，1052.如圖，在△ABC中，AC＞BC，D是邊AC

上一點，連接BD．（1）要使△CBD∽△CAB，還需要補充一個條件是;（只要求填一個）（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，

,求CD的長．鞏固練習ABCD解：（1）CD:CB＝BC:AC

（2）設CD＝x,則CA＝x＋2．當△CBD∽△CAB，且AD＝2，,有CD:CB＝BC:AC，即,所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．但x２＝－3不符合題意,應舍去．所以CD＝1．2.如圖，在△ABC中，AC＞BC，D是邊AC上一點，106證明：∵CD是邊

AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.ABCD例3

如圖，在

△ABC

中，CD是邊

AB上的高，且，求證：∠ACB=90°．∵探究新知素養(yǎng)考點3利用三角形相似求角方法總結(jié)：解題時需注意隱含條件，如垂直關系，三角形的高等.證明：∵CD是邊AB上的高，∴△ADC∽△CDB1073.如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分別是AB、AC上的點，AE：AD＝AB：AC．試問:DE與AB

垂直嗎?為什么?ABCDE證明：DE⊥AB．理由如下:∵AE：AD＝AB：AC,∴．又∠A＝∠A,∴△ABC∽△AED．∴∠ADE＝∠C＝90°．∴DE與AB垂直．鞏固練習3.如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分別是A1081.（2017?同仁）如圖，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．求證：△ABC∽△AED．連接中考鞏固練習證明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．

∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△AED．∴，，∴，1.（2017?同仁）如圖，已知：∠BAC=∠EAD，AB=1.

如圖，D是

△ABC一邊

BC上一點，連接

AD，使△ABC∽△DBA的條件是

（）

A.AC:BC=AD:BD

B.AC:BC=AB:AD

C.AB2=CD·BC

D.AB2=BD·BCDABCD課堂檢測基礎鞏固題1.如圖，D是△ABC一邊BC上一點，連接AD1102.

在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求證：△DEF∽△ABC.ACBFED證明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，又

∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.∴課堂檢測基礎鞏固題2.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，1113.

如圖，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求證：△ABC∽△ADE.證明：∵AD=AE，AB=AC，∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE.ABCDE課堂檢測基礎鞏固題3.如圖，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AD=A112

如圖，在四邊形

ABCD

中，已知

∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，

，求

AD

的長．ABCD解：∵AB=6，BC=4，AC=5，，

∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，

∴，∴課堂檢測能力提升題如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B=∠113

如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，試判斷△ADE與△ABC是否相似，某同學的解答如下：解：∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，∴AD=7.8-4.8=3.

∵∴這兩個三角形不相似.你同意他的判斷嗎？請說明理由.

拓廣探索題課堂檢測 如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，114解：他的判斷是錯誤的.

∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，

∴AD=7.8-4.8=3.∵，，

∴．

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB

．拓廣探索題課堂檢測解：他的判斷是錯誤的.拓廣探索題課堂檢測115兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似利用兩邊及夾角判定三角形相似相似三角形的判定定理的運用

課堂小結(jié)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似利用兩邊及夾角判定三角形116兩角分別相等的兩個三角形相似第四課時返回兩角分別相等的兩個三角形相似第四課時返回117

觀察兩副三角尺如圖，其中同樣角度（30°與60°，或45°與45°）的兩個三角尺大小可能不同，但它們看起來是相似的．一般地，如果兩個三角形有兩組對應角相等，它們一定相似嗎？導入新知觀察兩副三角尺如圖，其中同樣角度（30°與60°，或1181.

掌握“兩角對應相等，兩個三角形相似”的判定方法.2.能夠運用三角形相似的條件解決簡單的問題.素養(yǎng)目標3.掌握判定兩個直角三角形相似的方法，并能進行相關計算與推理.1.掌握“兩角對應相等，兩個三角形相似”的判定方法.2.作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，這時它們的第三個角滿足∠C＝∠C'嗎？分別度量這兩個三角形的邊長，計算，你有什么發(fā)現(xiàn)？滿足：∠C=∠C'探究新知知識點1兩角分別相等的兩個三角形相似這兩個三角形是相似的作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'120

把你的結(jié)果與鄰座的同學比較，你們的結(jié)論一樣嗎？△ABC和△A'B'C'相似嗎？一樣△ABC和△A'B'C'相似探究新知你能試著證明△A′B′C′∽△ABC嗎？把你的結(jié)果與鄰座的同學比較，你們的結(jié)論一樣嗎？一樣121如圖，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，求證:△ABC∽△A'B'C'證明：在△ABC的邊AB（或延長線）上，截取AD=A'B'，過點D作DE//BC，交AC于點E，則有△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B'∴∠ADE=∠B'又∵∠A=∠A'，AD=A'B'∴△ADE≌△A'B'C'∴△A'B'C'∽△ABCABCDEA'B'C'探究新知如圖，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=122由此得到利用兩組角判定兩個三角形相似的定理：兩角分別相等的兩個三角形相似.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符號語言：CABA'B'C'歸納：探究新知由此得到利用兩組角判定兩個三角形相似的定理：∵∠A123例1如圖所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判斷這兩個三角形是否相似．C'B'A'CBA解：∵∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′

探究新知利用兩角相等判斷三角形相似素養(yǎng)考點1例1如圖所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝124ABDCACDACB

B

ADC鞏固練習1.如圖，點D

在AB上，當∠

＝

(或∠

＝∠

)時，△ACD∽△ABC；

ABDCACDACBBADC鞏固練習1.如圖，點125例2弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點P,求證:PA·PB=PC·PDACD證明:連接AC、BD∵∠A、∠D都是弧CB所對的圓周角∴∠A=∠D同理:

∠C=∠B∴△PAC∽△PDB即PA·PB=PC·PDABPOODCBP探究新知素養(yǎng)考點2利用三角形相似求等積式∴例2弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點P,求證:PA·PB=PC1262.如圖，⊙O

的弦

AB，CD相交于點

P，若

PA=3，

PB=8，PC=4，則

PD=

.

6ODCBAP鞏固練習2.如圖，⊙O的弦AB，CD相交于點P，若PA=127∴解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.

又∠C=90°，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC.

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一點，AE=5，ED⊥AB，垂足為D.求AD的長.DABCE∴探究新知知識點2兩直角三角形相似的判定∴解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.如圖，在128由此得到一個判定直角三角形相似的方法：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似.歸納：探究新知由此得到一個判定直角三角形相似的方法：歸納：探究新129已知：△ABC∽△A1B1C1.求證：你能證明嗎？可要仔細喲！HLABCA1B1C1Rt△ABC和

Rt△A1B1C1，探究新知已知：△ABC∽△A1B1C1.求證：你能證明嗎？可要仔細喲130

如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，.求證：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.CAA'BB'C'要證明兩個三角形相似，即是需要證明什么呢？目標：探究新知如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′131證明：設

，則AB=kA′B′，AC=kA′C′.由，得

∴.∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.勾股定理∴

CAA'BB'C'探究新知證明：設，則A132

如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似.判定兩直角三角形相似的定理HLABC△ABC∽△A1B1C1.即如果那么√A1B1C1Rt△ABC

和

Rt△A1B1C1.探究新知如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三133例3

如圖，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，，當AB的長為

時，△ACB與△ADC相似．CABD探究新知素養(yǎng)考點1直角三角形相似的判定例3如圖，已知：∠ACB=∠ADC=90°，A134解析：∵∠ADC=90°，AD=2，

，要使這兩個直角三角形相似，有兩種情況：（1）

當Rt△ABC∽Rt△ACD時，有

AC

:AD＝AB

:AC，

即

，解得

AB=3；∴CABD2探究新知解析：∵∠ADC=90°，AD=2，135（2）當Rt△ACB∽Rt△CDA時，有AC

:CD＝AB

:AC，即

，解得

．∴當AB的長為3或時，這兩個直角三角形相似．探究新知CABD2（2）當Rt△ACB∽Rt△CDA時，有AC:1363.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D.若AB=6，AD=2，則AC=

，BD=

，BC=

.18DBCA鞏固練習3.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，B1371.（2018?永州）如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的一點，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，則邊AC的長為（）

A．2

B．4

C．6

D．8鞏固練習連接中考B1.（2018?永州）如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的一2.（2018?紹興）學校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，則欄桿C端應下降的垂直距離CD為（

）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m連接中考鞏固練習C2.（2018?紹興）學校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置1.

如圖，△ABC中，AE交

BC于點

D，∠C=∠E，AD

:DE=3:5，AE=8，BD=4，則DC的長等于（）

A.B.C.D.A

CABDE課堂檢測基礎鞏固題1.如圖，△ABC中，AE交BC于點D，∠C=∠E1402.

如圖，在△ABC和△A'B'C'中，若∠A=60°，∠B=40°，∠A'=60°，當∠C'=

時，△ABC∽△A'B'C'.CABB'C'A'80°基礎鞏固題課堂檢測2.如圖，在△ABC和△A'B'C'中，若∠A=6141

3.如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC.AEFBCD證明:

∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.∴△ADE∽△EFC.基礎鞏固題課堂檢測3.如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，A142證明：∵在△

ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A－∠B=60°.

∵

在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.

∴∠B=∠E，∠C=∠F.

∴△ABC∽△DEF.4.

如圖，△ABC和

△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°

．求證：△ABC∽△DEF.

ACBFED基礎鞏固題課堂檢測證明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，4.143證明：∵△ABC的高AD、BE交于點F，∴∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE

=∠BFD（對頂角相等）∴△FEA

∽△FDB，∴1.

如圖，△ABC

的高AD、BE交于點F．

求證：

DCABEF課堂檢測能力提升題證明：∵△ABC的高AD、BE交于點F，1.如圖，△A144解：∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,∴△ABD∽△ACB,∴AB:AC=AD:AB,∴AB2=