定積分的定義課件

1.5.3定積分的概念1.5.3定積分的概念1.定積分的概念（1）定積分的定義式(2)積分下限__，積分上限__，積分區(qū)間________，被積函數(shù)_____,積分變量x,被積式_______.ab［a,b］f(x)f(x)dx積分上限積分號積分下限被積函數(shù)1.定積分的概念ab［a,b］f(x)f(x)dx積分上限積2.定積分的幾何意義如果在區(qū)間［a,b］上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有________，那么定積分表示由直線____________和曲線_______所圍成的曲邊梯形的面積.f(x)≥0x=a,x=b,y=0y=f(x)2.定積分的幾何意義f(x)≥0x=a,x=b,y=0y=f3.定積分的性質（1）（k為常數(shù)).（2）（3）3.定積分的性質二、定積分的運算性質正確理解定積分的性質，思考下列問題：探究1:定積分的性質（2）能推廣到多個函數(shù)和或差的定積分運算嗎？提示:能.推廣公式為二、定積分的運算性質探究2:定積分的性質（3）能推廣到有限個區(qū)間上的積分和嗎？提示:能.推廣公式為探究2:定積分的性質（3）能推廣到有限個區(qū)間上的積分和【探究提升】定積分的運算性質的關注點（1）線性運算：定積分的性質（1）（2）稱為定積分的線性運算，等式兩邊積分區(qū)間保持不變.(2)區(qū)間可加性：定積分的性質（3），稱為定積分對積分區(qū)間的可加性，等式右邊任意兩個積分區(qū)間的交集都是空集，各個積分區(qū)間的并集等于左邊的積分區(qū)間.【探究提升】定積分的運算性質的關注點類型一利用定義求定積分1.利用定積分的定義求的值.類型一利用定義求定積分【技法點撥】用定義法求積分的步驟（1）分割：將積分區(qū)間［a,b］n等分.（2）近似代替：取點ξi∈［xi-1,xi］，可取ξi=xi-1或者ξi=xi.（3）求和：（4）求極限：【技法點撥】用定義法求積分的步驟【變式訓練】利用定積分的定義計算的值.【解析】把區(qū)間［1,2］分成n等份,每個小區(qū)間的長度為在上取所以作積求和所以【變式訓練】利用定積分的定義計算的值.類型二定積分幾何意義的應用根據(jù)定積分的幾何意義結合函數(shù)圖象求解定積分的值，并總結用定積分表示曲線圍成的平面區(qū)域的面積的步驟.1.利用定積分的幾何意義填空.(1)(2)2.定積分的幾何意義是什么？類型二定積分幾何意義的應用【解題指南】1.根據(jù)定積分的幾何意義,通過求相應圖形的面積求定積分的值.2.弄清被積函數(shù)的圖象，結合定積分的幾何意義作答.【解析】1.（1）表示的是圖（1）中陰影所示長方形的面積，由于這個長方形的面積為2，所以答案:2【解題指南】1.根據(jù)定積分的幾何意義,通過求相應圖形的面(2)表示的是圖（2）中陰影所示梯形的面積，由于這個梯形的面積為所以答案:(2)表示的是圖（2）中陰影所示梯形的面積，由于這2.被積函數(shù)的圖象是以原點為圓心，半徑r=3的圓位于x軸上方的部分（包括與x軸的交點）.由積分的幾何意義可知，定積分表示此半圓的面積.2.被積函數(shù)的圖象是以原點為圓心，半徑r【互動探究】本題2若改為“求定積分的值”，結果怎樣？【解題指南】根據(jù)定積分的幾何意義，通過求規(guī)則圖形的面積求定積分的值.【互動探究】本題2若改為“求定積分的【解析】被積函數(shù)的圖象是以原點為圓心，半徑r=3的圓位于x軸下方的部分（包括與x軸的交點）.由積分的幾何意義可知，定積分表示此半圓的面積S=的相反數(shù)，故【解析】被積函數(shù)的圖象是以原點為圓心，【技法點撥】用定積分表示曲線圍成的平面區(qū)域的面積的步驟（1）準確畫出各曲線圍成的平面區(qū)域.（2）把平面區(qū)域分割成容易表示的幾部分，同時注意x軸下方有沒有區(qū)域.（3）解曲線組成的方程組確定積分的上、下限.（4）根據(jù)積分的性質寫出結果.【技法點撥】用定積分表示曲線圍成的平面區(qū)域的面積的步驟類型三定積分性質的應用熟練根據(jù)定積分的性質進行相關的運算，并總結利用定積分的性質求定積分的策略.1.已知則()2.已知類型三定積分性質的應用【解題指南】1.根據(jù)定積分的運算性質把所求定積分轉化成兩個定積分的和.2.直接利用定積分的運算性質把所求定積分轉化成兩個定積分的差,然后再根據(jù)定積分的幾何意義求解.【解題指南】1.根據(jù)定積分的運算性質把所求定積分轉化成兩個定【解析】1.選C.由定積分的性質可知,2.因為表示x=0,x=2,y=0,y=2x圍成的圖形的面積，所以所以=8－4=4.答案:4【解析】1.選C.由定積分的性質可知,【技法點撥】利用定積分的性質求定積分的策略（1）利用性質可把定積分分成幾個簡單的積分的組合,對于每一個積分都可以利用定積分的幾何意義求出,從而得到所求定積分的值.（2）求分段函數(shù)的定積分，可先把每一段的定積分求出后再相加.提醒：要注意合理利用函數(shù)的奇偶性、對稱性求解.【技法點撥】利用定積分的性質求定積分的策略【拓展延伸】奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分（1）若f（x）為偶函數(shù)，且在［-a,a］上圖象連續(xù)不斷，則（2）若f（x）為奇函數(shù)，且在［-a,a］上圖象連續(xù)不斷，則【拓展延伸】奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分【變式訓練】已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù).證明【證明】由定積分的性質可知由定積分的幾何意義及偶函數(shù)的圖象特征可知所以【變式訓練】已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù).證明1.若在區(qū)間［1,2］上,f(x)>0恒成立,則的符號()A.一定為正B.一定為負C.可能為正,也可能為負D.不能判斷【解析】選A.由定積分的概念可知,的值為曲邊梯形的面積.而該曲邊梯形始終在x軸的上方,故其值為正.1.若在區(qū)間［1,2］上,f(x)>0恒成立,則2.求曲線y=ex,直線x=2,y=1圍成的圖形的面積時,若選擇x為積分變量,則積分區(qū)間為()A.［0,e2］B.［0,2］C.［1,2］D.［0,1］【解析】選B.因為y=1時，由1=ex，所以x=0，所以根據(jù)圍成圖形的形狀及積分變量可知,積分區(qū)間為［0,2］.2.求曲線y=ex,直線x=2,y=1圍成的圖形的面積時,若3.已知則()【解析】選D.由定積分的性質可知3.已知則()4.計算【解析】答案:44.計算5.由所圍成的圖形的面積寫成定積分的形式為_______.【解析】由定積分的定義和幾何意義可知答案:5.由所圍成的圖形的6.已知求：（1）（2）（3）6.已知1.5.3定積分的概念1.5.3定積分的概念1.定積分的概念（1）定積分的定義式(2)積分下限__，積分上限__，積分區(qū)間________，被積函數(shù)_____,積分變量x,被積式_______.ab［a,b］f(x)f(x)dx積分上限積分號積分下限被積函數(shù)1.定積分的概念ab［a,b］f(x)f(x)dx積分上限積2.定積分的幾何意義如果在區(qū)間［a,b］上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有________，那么定積分表示由直線____________和曲線_______所圍成的曲邊梯形的面積.f(x)≥0x=a,x=b,y=0y=f(x)2.定積分的幾何意義f(x)≥0x=a,x=b,y=0y=f3.定積分的性質（1）（k為常數(shù)).（2）（3）3.定積分的性質二、定積分的運算性質正確理解定積分的性質，思考下列問題：探究1:定積分的性質（2）能推廣到多個函數(shù)和或差的定積分運算嗎？提示:能.推廣公式為二、定積分的運算性質探究2:定積分的性質（3）能推廣到有限個區(qū)間上的積分和嗎？提示:能.推廣公式為探究2:定積分的性質（3）能推廣到有限個區(qū)間上的積分和【探究提升】定積分的運算性質的關注點（1）線性運算：定積分的性質（1）（2）稱為定積分的線性運算，等式兩邊積分區(qū)間保持不變.(2)區(qū)間可加性：定積分的性質（3），稱為定積分對積分區(qū)間的可加性，等式右邊任意兩個積分區(qū)間的交集都是空集，各個積分區(qū)間的并集等于左邊的積分區(qū)間.【探究提升】定積分的運算性質的關注點類型一利用定義求定積分1.利用定積分的定義求的值.類型一利用定義求定積分【技法點撥】用定義法求積分的步驟（1）分割：將積分區(qū)間［a,b］n等分.（2）近似代替：取點ξi∈［xi-1,xi］，可取ξi=xi-1或者ξi=xi.（3）求和：（4）求極限：【技法點撥】用定義法求積分的步驟【變式訓練】利用定積分的定義計算的值.【解析】把區(qū)間［1,2］分成n等份,每個小區(qū)間的長度為在上取所以作積求和所以【變式訓練】利用定積分的定義計算的值.類型二定積分幾何意義的應用根據(jù)定積分的幾何意義結合函數(shù)圖象求解定積分的值，并總結用定積分表示曲線圍成的平面區(qū)域的面積的步驟.1.利用定積分的幾何意義填空.(1)(2)2.定積分的幾何意義是什么？類型二定積分幾何意義的應用【解題指南】1.根據(jù)定積分的幾何意義,通過求相應圖形的面積求定積分的值.2.弄清被積函數(shù)的圖象，結合定積分的幾何意義作答.【解析】1.（1）表示的是圖（1）中陰影所示長方形的面積，由于這個長方形的面積為2，所以答案:2【解題指南】1.根據(jù)定積分的幾何意義,通過求相應圖形的面(2)表示的是圖（2）中陰影所示梯形的面積，由于這個梯形的面積為所以答案:(2)表示的是圖（2）中陰影所示梯形的面積，由于這2.被積函數(shù)的圖象是以原點為圓心，半徑r=3的圓位于x軸上方的部分（包括與x軸的交點）.由積分的幾何意義可知，定積分表示此半圓的面積.2.被積函數(shù)的圖象是以原點為圓心，半徑r【互動探究】本題2若改為“求定積分的值”，結果怎樣？【解題指南】根據(jù)定積分的幾何意義，通過求規(guī)則圖形的面積求定積分的值.【互動探究】本題2若改為“求定積分的【解析】被積函數(shù)的圖象是以原點為圓心，半徑r=3的圓位于x軸下方的部分（包括與x軸的交點）.由積分的幾何意義可知，定積分表示此半圓的面積S=的相反數(shù)，故【解析】被積函數(shù)的圖象是以原點為圓心，【技法點撥】用定積分表示曲線圍成的平面區(qū)域的面積的步驟（1）準確畫出各曲線圍成的平面區(qū)域.（2）把平面區(qū)域分割成容易表示的幾部分，同時注意x軸下方有沒有區(qū)域.（3）解曲線組成的方程組確定積分的上、下限.（4）根據(jù)積分的性質寫出結果.【技法點撥】用定積分表示曲線圍成的平面區(qū)域的面積的步驟類型三定積分性質的應用熟練根據(jù)定積分的性質進行相關的運算，并總結利用定積分的性質求定積分的策略.1.已知則()2.已知類型三定積分性質的應用【解題指南】1.根據(jù)定積分的運算性質把所求定積分轉化成兩個定積分的和.2.直接利用定積分的運算性質把所求定積分轉化成兩個定積分的差,然后再根據(jù)定積分的幾何意義求解.【解題指南】1.根據(jù)定積分的運算性質把所求定積分轉化成兩個定【解析】1.選C.由定積分的性質可知,2.因為表示x=0,x=2,y=0,y=2x圍成的圖形的面積，所以所以=8－4=4.答案:4【解析】1.選C.由定積分的性質可知,【技法點撥】利用定積分的性質求定積分的策略（1）利用性質可把定積分分成幾個簡單的積分的組合,對于每一個積分都可以利用定積分的幾何意義求出,從而得到所求定積分的值.（2）求分段函數(shù)的定積分，可先把每一段的定積分求出后再相加.提醒：要注意合理利用函數(shù)的奇偶性、對稱性求解.【技法點撥】利用定積分的性質求定積分的策略【拓展延伸】奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分（1）若f（x）為偶函數(shù)，且在［-a,a］上圖象連續(xù)不斷，則（2）若f（x）為奇函數(shù)，且在［-a,a］上圖象連續(xù)不斷，則【拓展延伸】奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分【變式訓練】已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù).證明【證明】由定積分的性質可知由定積分的