高中數(shù)學(xué)第三章不等式34不等式的實(shí)際應(yīng)用名師講義-8225

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精3。4不等式的實(shí)質(zhì)應(yīng)用比較法在實(shí)責(zé)問(wèn)題中的應(yīng)用[典例］某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車(chē)前往．甲車(chē)隊(duì)說(shuō)：“如領(lǐng)隊(duì)買(mǎi)全票一張，其他人可享受7。5折優(yōu)惠”．乙車(chē)隊(duì)說(shuō)：“你們屬集體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠”．這兩車(chē)隊(duì)的原價(jià)、車(chē)型都是相同的，試依照單位去的人數(shù),比較兩車(chē)隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．［解]設(shè)該單位有職工n人（n∈N），全票價(jià)為x元，坐甲車(chē)需花y元,坐乙車(chē)需花y2＋1元，則y1＝x＋錯(cuò)誤!x(n－1）＝錯(cuò)誤!x＋錯(cuò)誤!xn,y2＝錯(cuò)誤!xn，因此y1－y2＝錯(cuò)誤!x＋錯(cuò)誤!xn－錯(cuò)誤!xn＝錯(cuò)誤!x－錯(cuò)誤!xn1x錯(cuò)誤!.4當(dāng)n＝5時(shí)，y1＝y(tǒng)2;當(dāng)n＞5時(shí),y1＜y2；當(dāng)0＜n＜5時(shí)，y1＞y2。因此當(dāng)單位人數(shù)為5時(shí)，兩車(chē)隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時(shí),選甲車(chē)隊(duì)更優(yōu)惠；少于5人時(shí)，選乙車(chē)隊(duì)更優(yōu)惠．有關(guān)不等式的應(yīng)用中，若涉及誰(shuí)優(yōu)、誰(shuí)劣、誰(shuí)省、哪一種方案更好等問(wèn)題，都可歸納為依照不等式的性質(zhì)比較大小的問(wèn)題,解題時(shí)常常用作差法比較，從而獲得正確結(jié)論．［活學(xué)活用］有一批貨物成本為a元,若是本月初銷(xiāo)售,可贏收益100元；若是下月初銷(xiāo)售，可贏收益120元．若本月初銷(xiāo)售后把本利投資某小商品，月收益為2%；若下月初銷(xiāo)售，則要付5元保管費(fèi)，試問(wèn)是本月初銷(xiāo)售好，還是下月初銷(xiāo)售好？并說(shuō)明原由．解:若本月初銷(xiāo)售，則在下月初可盈利100＋（100＋a)×2%＝102＋0。02a（元)；若下月初銷(xiāo)售，則可盈利120－5＝115(元）．∵0。02a＋102－115＝0。02a－13，∴當(dāng)0.02a－13＞0，即a＞650時(shí)，本月初銷(xiāo)售好；當(dāng)a＝650時(shí),本月初銷(xiāo)售和下月初銷(xiāo)售盈利相同；當(dāng)a＜650時(shí),下月初銷(xiāo)售好。一元二次不等式的實(shí)質(zhì)應(yīng)用[典例]某摩托車(chē)生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車(chē)的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1。2萬(wàn)元/輛，年銷(xiāo)售量為1000輛．今年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品品位，適當(dāng)增加投入成本．若每輛車(chē)投入成本增加的比率為x(0<x<1），則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比率為0.75x,同時(shí)預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量增加的比率為0.6x。已知年收益＝(出廠價(jià)－投入成本）×年銷(xiāo)售量．(1)寫(xiě)出今年度預(yù)計(jì)的年收益y與投入成本增加的比率x的關(guān)系式；-1-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精(2)為使今年度的年收益比上年度有所增加，問(wèn)投入成本增加的比率x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？［解］（1)由題意，得y＝［1.2×（1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0.6x）（0<x1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200（0〈x〈1)．要保證今年度的收益比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤!解不等式組，得0〈x<錯(cuò)誤!，因此為保證今年度的年收益比上年度有所增加，投入成本增加的比率x的范圍為錯(cuò)誤!。用一元二次不等式解決實(shí)責(zé)問(wèn)題的步驟(1）理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系；(2）建立相應(yīng)的不等關(guān)系,把實(shí)責(zé)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問(wèn)題；3)解這個(gè)一元二次不等式，獲得實(shí)責(zé)問(wèn)題的解．[活學(xué)活用］某校園內(nèi)有一塊長(zhǎng)為800m,寬為600m的長(zhǎng)方形地面,現(xiàn)要對(duì)該地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．解：設(shè)花卉帶的寬度為xm（0<<600)，則中間草坪的長(zhǎng)為（800－2）m，寬為(600－2）xxxm.依照題意可得(800－2x）(600－2x)≥錯(cuò)誤!×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600）(x－100)≥0，因此0＜x≤100或x≥600，x≥600不吻合題意，舍去．故所求花卉帶寬度的范圍為（0,100］m。均值不等式在實(shí)責(zé)問(wèn)題中的應(yīng)用［典例]某汽車(chē)企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了4輛大客車(chē)，每輛200萬(wàn)元，用于長(zhǎng)途客運(yùn)，預(yù)計(jì)每輛車(chē)每年收入約100萬(wàn)元,每輛車(chē)第一年各種花銷(xiāo)約為16萬(wàn)元，且從第二年開(kāi)始每年比上一年所需花銷(xiāo)要增加16萬(wàn)元．（1)寫(xiě)出4輛車(chē)運(yùn)營(yíng)的總收益y（萬(wàn)元）與運(yùn)營(yíng)年數(shù)x(x∈N＋)的函數(shù)關(guān)系式；（2）這4輛車(chē)運(yùn)營(yíng)多少年,可使年平均運(yùn)營(yíng)收益最大?[解]（1)由于每輛車(chē)x年總收入為100x萬(wàn)元，總支出為200＋16×（1＋2＋＋x)＝200＋錯(cuò)誤!x（x＋1)·16＝200＋8x(x＋1）(萬(wàn)元）．則y＝4[100x－200－8x(x＋1)]16（－2x2＋23x－50)(萬(wàn)元）．（2)年平均收益為錯(cuò)誤!＝16錯(cuò)誤!16錯(cuò)誤!.∵x∈N＋,∴x＋錯(cuò)誤!≥2錯(cuò)誤!＝10,-2-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí),等號(hào)建立，此時(shí)錯(cuò)誤!≤16×(23－20)＝48。因此，運(yùn)營(yíng)5年可使年平均運(yùn)營(yíng)收益最大，最大收益為48萬(wàn)元．（1)圖析解不等式應(yīng)用問(wèn)題的步驟錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(2）利用均值不等式求最值．要注意等號(hào)建立的條件以及合理的對(duì)式子進(jìn)行分解、組合等．［活學(xué)活用］某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建筑一棟最少10層、每層2000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，若是將樓房建為(x≥10）層，則每平方米的平均建筑花銷(xiāo)為560＋48xx（單位：元）．為了使樓房每平方米的平均綜合花銷(xiāo)最少,該樓房應(yīng)建為多少層？錯(cuò)誤!解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合花銷(xiāo)為f（x）元，則f（x）＝（560＋48x）＋錯(cuò)誤!＝560＋48x＋錯(cuò)誤!＝560＋48錯(cuò)誤!≥560＋48×2錯(cuò)誤!＝2000.當(dāng)且僅當(dāng)x＝錯(cuò)誤!，即x＝15∈[10,＋∞）時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)x＝15時(shí)，f（x）取最小值f（15)＝2000.答：為了使樓房每平方米的平均綜合花銷(xiāo)最少，該樓房應(yīng)建為15層．層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．某工人共加工300個(gè)零件．在加工100個(gè)零件后，改進(jìn)了操作方法，每天多加工15個(gè)，用了不到20天的時(shí)間就完成了任務(wù)．則改進(jìn)操作方法前，每天最少要加工零件的個(gè)數(shù)為( )A．9B．10C．8D．11剖析：選A設(shè)每天最少要加工x零件．由題意得：錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!<20，解得x〉5錯(cuò)誤!或x〈－5錯(cuò)誤!，設(shè)每天最少要加工9個(gè)零件．行駛中的汽車(chē),在剎車(chē)時(shí)由于慣性作用，要連續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車(chē)距離．在某種路面上，某種型號(hào)汽-3-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精nv車(chē)的剎車(chē)距離s（m)與汽車(chē)的車(chē)速v(km/h)滿(mǎn)足以下關(guān)系：s＝100＋錯(cuò)誤!（n為常數(shù)，且n∈N），做了兩次剎車(chē)試驗(yàn)，有關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)以下列圖，其中錯(cuò)誤!則n為（）A．7B．5C．6D．8剖析：選C依題意得錯(cuò)誤!解得錯(cuò)誤!又n∈N，因此n＝6.3．某初版社,若是以每本2。50元的價(jià)格刊行一種圖書(shū)，可刊行80000本．若是一本書(shū)的定價(jià)每高升0.1元，刊行量就減少2000本,那么要使收入不低于200000元，這種書(shū)的最高定價(jià)應(yīng)當(dāng)是（）A．2B．3C．4D．5剖析：選C設(shè)這種書(shū)的最高定價(jià)應(yīng)當(dāng)為x元，由題意得：[80000－（x－2.5）×20000］×x≥200000，解得：錯(cuò)誤!≤x≤4，因此最高定價(jià)為4元．4．某產(chǎn)品的總成本y（萬(wàn)元）與產(chǎn)量x（臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝3000＋20x－0。1x20＜x＜240，x∈R），若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元,則生產(chǎn)者不虧本（銷(xiāo)售收入不小于總成本)時(shí)最低產(chǎn)量是（)A．100臺(tái)B．120臺(tái)C．150臺(tái)D．180臺(tái)剖析：選C由題意知3000＋20x－0.1x2≤25x?x2＋50x－30000≥0，解得x≤－200（舍去）或x≥150。5．某商場(chǎng)的某種商品的年進(jìn)貨量為1萬(wàn)件,分若干次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨的量相同，且需運(yùn)費(fèi)100元，運(yùn)來(lái)的貨物除銷(xiāo)售外,還需租庫(kù)房存放，一年的租金按一次進(jìn)貨時(shí)的一半來(lái)計(jì)算每件2元,為使一年的運(yùn)費(fèi)和租金最省,每次進(jìn)貨量應(yīng)為( )A．500件B．1000件C．2500件D．5000件剖析:選B設(shè)每次進(jìn)x件花銷(xiāo)為y元，由y＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!×2≥2錯(cuò)誤!＝2000，當(dāng)錯(cuò)誤!＝x，x＝1000時(shí)，y最小．6．某家庭用14。4萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)了一輛汽車(chē)，使用中維修花銷(xiāo)逐年上升，第n年維修花銷(xiāo)約為0.2n萬(wàn)元,每年其他花銷(xiāo)為0。9萬(wàn)元．報(bào)廢損失最小指的是購(gòu)車(chē)費(fèi)、維修費(fèi)及其他花銷(xiāo)之和的年平均值最小，則這輛車(chē)應(yīng)在________年后報(bào)廢損失最?。饰觯耗昶骄靛e(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＋0。1n＋1≥3。4，-4-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精當(dāng)且僅當(dāng)錯(cuò)誤!＝0.1n，即n＝12時(shí)，年平均值最小，因此12年后報(bào)廢損失最?。鸢?127．某地每年銷(xiāo)售木材約20萬(wàn)m3,每立方米價(jià)格為2400元．為了減少木材耗資，決定按銷(xiāo)售收入的t％征收木材稅，這樣每年的木材銷(xiāo)售量減少錯(cuò)誤!t萬(wàn)m3.為了既減少木材耗資又保證稅金收入每年很多于900萬(wàn)元,則t的取值范圍是________．剖析：設(shè)按銷(xiāo)售收入的t%征收木材稅時(shí)，稅金收入為y萬(wàn)元，則y＝2400錯(cuò)誤!×t%＝60(8t－t2）．令y≥900,即60(8t－t2)≥900,解得3≤t≤5.答案：［3，5］8．某企業(yè)一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)花銷(xiāo)為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)藏花銷(xiāo)之和最小，則x＝________噸．剖析:某企業(yè)一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)x噸，則需要購(gòu)買(mǎi)錯(cuò)誤!次,運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次,一年的總儲(chǔ)藏花銷(xiāo)為4x萬(wàn)元，因此一年的總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)藏花銷(xiāo)之和為錯(cuò)誤!萬(wàn)元，而錯(cuò)誤!＋4x≥160，當(dāng)且僅當(dāng)錯(cuò)誤!＝4x，即x＝20時(shí),一年的總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)藏花銷(xiāo)之和最?。鸢?209．甲、乙兩家飯館的老板同去商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)兩次大米，這兩次大米的價(jià)格不相同，兩家飯館老板購(gòu)買(mǎi)的方式也不相同，其中甲每次購(gòu)進(jìn)100kg大米，而乙每次用去100元錢(qián)．問(wèn)：誰(shuí)的購(gòu)買(mǎi)方式更合算？解：設(shè)兩次大米的價(jià)格分別為a元/千克,b元/千克（a，>0，≠),則甲兩次購(gòu)買(mǎi)大米bab的平均價(jià)格是錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!元/千克；乙兩次購(gòu)買(mǎi)大米的平均價(jià)格是錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!元/千克．∵錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!>0,a＋b〉錯(cuò)誤!。2∴乙飯館的老板購(gòu)買(mǎi)大米的方式更合算．10．某同學(xué)要把自己的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)．現(xiàn)有兩家ISP企業(yè)可供選擇．企業(yè)A每小時(shí)收費(fèi)1.5元；企業(yè)B在用戶(hù)每次上網(wǎng)的第1小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.7元,第2小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1。6元,今后每小時(shí)減少0.1元(若用戶(hù)一次上網(wǎng)時(shí)間高出17小時(shí)，按17小時(shí)計(jì)算)．假設(shè)該同學(xué)一次上網(wǎng)時(shí)間總是小于17小時(shí),那么該同學(xué)如何選擇ISP企業(yè)較省錢(qián)?解：假設(shè)一次上網(wǎng)x小時(shí),則企業(yè)A收取的花銷(xiāo)為1.5x元，企業(yè)B收取的花銷(xiāo)為錯(cuò)誤!元．若可以保證選擇A比選擇B花銷(xiāo)少，則錯(cuò)誤!>1.5x（0〈x〈17),整理得x2－5〈0，解得0〈<5，xx-5-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精因此當(dāng)一次上網(wǎng)時(shí)間在5小時(shí)以?xún)?nèi)時(shí)，選擇企業(yè)A的花銷(xiāo)少；高出5小時(shí)，選擇企業(yè)B的花銷(xiāo)少．層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．某商品在近來(lái)30天內(nèi)的價(jià)格f（t）與時(shí)間t（單位：天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)＝t＋10（0〈t≤20，t∈N）；銷(xiāo)售量（)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是(）＝－t＋35（0〈≤30，t∈gtgttN),則使這種商品日銷(xiāo)售金額不小于500元的t的范圍為()A．[15,20］B．[10,15］C．（10,15）D．（0,10]剖析:選B由日銷(xiāo)售金額為（t＋10）(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15。2。在以下列圖的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x（單位：m)的取值范圍是（）A．[15,30]B．［12，25］C．［10，30]D．［20,30]剖析：選C設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為ym，則由三角形相似知,錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，∴y＝40－x，xy≥300，∴x（40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30。3．一種產(chǎn)品的年產(chǎn)量情況是第一年為a件,第二年比第一年增加P1%，第三年比第二年增長(zhǎng)P2%，且P1＞0，P2＞0，P1＋P2＝2P，若是年平均增加x％，則有( )A．x＝PB．x≤PC．x≥PD．x＜P剖析：選B設(shè)三年后產(chǎn)量為y，則y＝a（1＋P1%)(1＋P2％）≤a·錯(cuò)誤!2＝a·(1＋P%)2。2又∵年平均增加x%，則y＝a（1＋x%)，a(1＋x%)2≤a（1＋P%)2，∴x≤P.4．某商店銷(xiāo)售某種商品,每件盈利20元時(shí),銷(xiāo)售量為m件，為了促銷(xiāo)，擬采用每銷(xiāo)售1件商品向顧客贈(zèng)予1件小禮品的方法．試驗(yàn)表示贈(zèng)予價(jià)值為n(n∈N＋）元的禮品比贈(zèng)予價(jià)值為n－1元的禮品銷(xiāo)售量增加了10％，為了獲得最大收益，應(yīng)贈(zèng)予的禮品價(jià)值為（）A．9元或10元B．10元或11元C．8元或9元D．8元或10元剖析：選A設(shè)禮品價(jià)值為n元時(shí)，總收益為an，則an＝（20－n）m（1＋10％)n＝m(20－n)1.1n(0＜n＜20，n∈N＋)．依題意得錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤!解得9≤≤10.由n∈N＋，知＝9或＝10。應(yīng)選A。nnn5．現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200克，生產(chǎn)上需要含鹽5％以上、6％以下的食鹽水，設(shè)需要-6-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精加入含鹽4%的食鹽水為x克，則x的取值范圍是________．剖析:5%〈錯(cuò)誤!〈6％,解得x的范圍是（100，400）．答案:(100，400)6．某商家一月份至五月份累計(jì)銷(xiāo)售額達(dá)3860萬(wàn)元，展望六月份銷(xiāo)售額為500萬(wàn)元，七月份銷(xiāo)售額比六月份遞加x％,八月份銷(xiāo)售額比七月份遞加x％，九、十月份銷(xiāo)售總數(shù)與七、八月份銷(xiāo)售總數(shù)相等．若一月份至十月份銷(xiāo)售總數(shù)最少達(dá)7000萬(wàn)元，則x的最小值是________．剖析：七月份的銷(xiāo)售額為500(1＋x％），八月份的銷(xiāo)售額為500（1＋x％）2,則一月份到十月份的銷(xiāo)售總數(shù)是3860＋500＋2[500（1＋x％）＋500（1＋x%）2]，依照題意有3860＋500＋2［500(1＋x％)＋500(1＋x%）2]≥7000，即25(1＋x％)＋25（1＋x％)2≥66，令t＝1＋x％，則25t2＋25t－66≥0，解得t≥錯(cuò)誤!也許t≤－錯(cuò)誤!(舍去）,故1＋x%≥錯(cuò)誤!，解得x≥20.答案:207．某商場(chǎng)預(yù)計(jì)全年分批購(gòu)入每臺(tái)價(jià)值為2000元的電視機(jī)共3600臺(tái)，每批都購(gòu)入x臺(tái)(x是正整數(shù)）,且每批均需付運(yùn)費(fèi)400元，儲(chǔ)藏購(gòu)入的電視機(jī)全年所付保留費(fèi)與每批購(gòu)入電視機(jī)的總價(jià)值(不含運(yùn)費(fèi))成正比，若每批購(gòu)入400臺(tái)，則全年需用去運(yùn)輸費(fèi)和保留費(fèi)共43600元．現(xiàn)在全年只有24000元資本可以用于支付這筆花銷(xiāo),請(qǐng)問(wèn)：能否合適安排每批進(jìn)貨的數(shù)量使資本夠用？寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明原由．解：設(shè)每批購(gòu)入x臺(tái)，運(yùn)輸費(fèi)和保留費(fèi)共y元，則需進(jìn)貨錯(cuò)誤!次,每批進(jìn)貨總價(jià)值為2000x3600元，設(shè)全年保留費(fèi)為2000kx(k＞0)元．依題意得，43600＝2000×400k