拉普拉斯變換(5)(共30張PPT)

第十三章拉普拉斯變換13-1拉普拉斯變換的定義本章主要內(nèi)容：介紹拉普拉斯變換在線性電路中的應(yīng)用。涉及：拉普拉斯變換(拉氏變換)的定義、用部分分式法(分解定理)求拉氏反變換、拉氏變換與電路分析有關(guān)的一些性質(zhì)、運算電路概念、應(yīng)用拉氏變換分析線性電路。拉普拉斯變換——是一種積分變換法通過積分變換可以將時域函數(shù)變?yōu)轭l域函數(shù)，從而把時域的微分方程化為頻域的代數(shù)方程。經(jīng)過拉普拉斯反變換又可以將計算結(jié)果返回時域。所以用拉普拉斯變換法求解高階復(fù)雜動態(tài)電路是有效而重要的方法之一。1第1頁，共30頁。對于定義在[0，)區(qū)間的函數(shù)f(t)，其拉普拉斯變換式F(s)拉普拉斯變換的定義：式中，s=+j，F(xiàn)(s)稱為f(t)的象函數(shù)，f(t)稱為F(s)的原函數(shù)在數(shù)學(xué)理論中，若對于所有t滿足條件：則f(t)的拉氏變換F(s)總是存在。本書涉及的f(t)均滿足上述條件拉普拉斯反變換的定義：式中，M,c為正的有限常數(shù)用

[]表示對中括號中的時域函數(shù)作拉氏變換用

[]表示對中括號中的復(fù)變函數(shù)作拉氏反變換例如：F(s)=[f(t)]=2第2頁，共30頁。求下列函數(shù)的象函數(shù)F(s)單位階躍函數(shù)單位沖激函數(shù)指數(shù)函數(shù)例：13-13第3頁，共30頁。13-2拉普拉斯變換的性質(zhì)與分析線性電路有關(guān)的一些性質(zhì)1、線性性質(zhì)設(shè)：

[f1(t)]=F1(s)，[f2(t)]=F2(s)則：[A1

f1(t)+A2

f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s)證：[A1

f1(t)+A2

f2(t)]=4第4頁，共30頁。例：13-2若：以上函數(shù)的定義域均為[0，∞]，求其象函數(shù)。5第5頁，共30頁。2、微分性質(zhì)若：

[f

(t)]=F

(s)則：[f’

(t)]=sF

(s)-f(0-)證：設(shè)e-st=u，f’(t)dt=dv，則：只要s的實部足夠大，當(dāng)t→∞時，e-stf(t)→0，所以F(s)存在，微分性質(zhì)得證。6第6頁，共30頁。例：13-3應(yīng)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)7第7頁，共30頁。3、積分性質(zhì)若：

[f

(t)]=F

(s)則：只要s的實部足夠大，當(dāng)t→∞及t=0-時，等式右邊第一項均為0，所以積分性質(zhì)得證。證：令，dv=e-stdt，則：8第8頁，共30頁。例：13-4利用積分性質(zhì)求函數(shù)f(t)=t的象函數(shù)9第9頁，共30頁。4、延遲性質(zhì)函數(shù)f(t)的象函數(shù)與其延遲函數(shù)f(t-t0)的象函數(shù)之間的關(guān)系為：若：

[f

(t)]=F

(s)則：其中：當(dāng)t﹤t0時，f(t-t0)=0證：令=t-t0則：所以延遲性質(zhì)得證。10第10頁，共30頁。例：13-5求圖示矩形脈沖的象函數(shù)11第11頁，共30頁。常用拉普拉斯變換表12第12頁，共30頁。13-3拉普拉斯反變換的部分分式展開拉普拉斯反變換可以將頻域響應(yīng)返回至?xí)r域響應(yīng)。拉普拉斯反變換的定義：式中，c為正的有限常數(shù)拉普拉斯反變換的計算較復(fù)雜，一般多采用部分分式展開的方法間接求得。設(shè)F(s)可以表示為如下的有理分式，m和n為正整數(shù)，且n≥m。當(dāng)n=m，則：其中A為常數(shù)，13第13頁，共30頁。當(dāng)n>m，F(xiàn)(s)為真分式，可以根據(jù)以下幾種情況展開為部分分式1、D(s)=0有n個單根，其中n個單根分別為：p1、p2、…pn、i=1、2、…、n14第14頁，共30頁。例：13-615第15頁，共30頁。2、D(s)=0具有共軛復(fù)根p1=+j，p2=-j16第16頁，共30頁。例：13-717第17頁，共30頁。3、D(s)=0具有q階重根p1，其余為單根p2、p3、……18第18頁，共30頁。13-1拉普拉斯變換的定義本書涉及的f(t)均滿足上述條件u(0-)為電容中的初始電壓對于任一回路，U(s)=0用[]表示對中括號中的時域函數(shù)作拉氏變換3、D(s)=0具有q階重根p1，其余為單根p2、p3、則f(t)的拉氏變換F(s)總是存在。sC為電容的運算導(dǎo)納，對應(yīng)圖（c）運算電路證：設(shè)e-st=u，f’(t)dt=dv，經(jīng)過拉普拉斯反變換又可以將計算結(jié)果返回時域。+u(t)-拉普拉斯變換——是一種積分變換法證：令，dv=e-stdt，例：13-819第19頁，共30頁。13-4運算電路對電路定律的時域形式取拉氏變換，可以得到其運算形式基爾霍夫定律的時域形式：對于任一結(jié)點，i(t)=0；對于任一回路，u(t)=0由拉氏變換的線性性質(zhì)，基爾霍夫定律的運算形式：對于任一結(jié)點，I(s)=0對于任一回路，U(s)=01、電阻的運算電路Ri(t)+u(t)-Ri(t)+u(t)-時域電路u(t)=Ri(t)由線性性質(zhì)，運算電路U(s)=RI(s)20第20頁，共30頁。2、電感的運算電路對于時域電路由微分性質(zhì)，得運算電路(a)其中：sL為電感的運算阻抗，i(0-)為電感中的初始電流(b)附加電壓源電感運算關(guān)系又可以表示為：1/sL為電感的運算導(dǎo)納，對應(yīng)圖（c）運算電路(c)附加電流源21第21頁，共30頁。3、電容的運算電路對于時域電路由積分性質(zhì)，得運算電路(a)其中：1/sC為電容的運算阻抗，u(0-)為電容中的初始電壓(b)附加電壓源電容運算關(guān)系又可以表示為：(c)sC為電容的運算導(dǎo)納，對應(yīng)圖（c）運算電路附加電流源22第22頁，共30頁。用[]表示對中括號中的復(fù)變函數(shù)作拉氏反變換式中，c為正的有限常數(shù)拉普拉斯反變換的計算較復(fù)雜，一般多采用部分分式展開的方法間接求得。求下列函數(shù)的象函數(shù)F(s)若：(1)iS(t)=(t)A；求圖示矩形脈沖的象函數(shù)兩邊取拉氏變換得耦合電感運算電路：當(dāng)n>m，F(xiàn)(s)為真分式，可以根據(jù)以下幾種情況展開為部分分式13-5應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路若：[f(t)]=F(s)若：(1)iS(t)=(t)A；對于定義在[0，)區(qū)間的函數(shù)f(t)，其拉普拉斯變換式F(s)i=1、2、…、ni(0-)為電感中的初始電流則：[f’(t)]=sF(s)-f(0-)4、耦合電感的運算電路對于時域電路(a)附加電壓源兩邊取拉氏變換得耦合電感運算電路：sL為自感運算阻抗，sM為互感運算阻抗23第23頁，共30頁。RLC串聯(lián)的運算電路由U(s)=0，得到電路的運算方程Z(s)為運算阻抗24第24頁，共30頁。13-5應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路相量法——把正弦量變換為相量（復(fù)數(shù)），將求解線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)問題轉(zhuǎn)換為求解以相量為變量的線性代數(shù)方程。運算法——把時間函數(shù)變換為對應(yīng)的象函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)換為求解以象函數(shù)F(s)為變量的線性代數(shù)方程。需要時，利用拉普拉斯反變換，可以將向函數(shù)變換為對應(yīng)的時間函數(shù)25第25頁，共30頁。例：13-9電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S閉合，試用運算發(fā)求解i1(t)。對應(yīng)的運算電路時域電路26第26頁，共30頁。例：13-10電路如圖所示，RC為并聯(lián)電路，激勵為電流源iS(t)若：(1)iS(t)=(t)A；(2)iS(t)=(t)A。試求電路響應(yīng)u(t)。27第27頁，共30頁。例：13-11圖示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S閉合，求t≥0時的uL(t)。已知：uS1(t)=2e-2tV，uS2(t)=5V，R1=R