電磁場理論第2章：靜電場

第二章靜電場

2.1庫侖定律與電場強度

2.2高斯定理

2.3靜電場的旋度與靜電場的電位

2.4電偶極子

2.5電介質中的場方程

2.6靜電場的邊界條件

2.7*導體系統(tǒng)的電容

2.8電場能量與能量密度

2.9*電場力2.1庫侖定律與電場強度2.1.1庫侖定律圖2–1庫侖定律用圖式中：R=r-r′表示從r′到r的矢量；R是r′到r的距離；R°是R的單位矢量；ε0是表征真空電性質的物理量，稱為真空的介電常數(shù)，其值為庫侖定律表明，真空中兩個點電荷之間的作用力的大小與兩點電荷電量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線，同號電荷之間是斥力，異號電荷之間是引力。點電荷q′受到q的作用力為F′，且F′=-F，可見兩點電荷之間的作用力符合牛頓第三定律。q電荷受力：庫侖定律只能直接用于點電荷。所謂點電荷，是指當帶電體的尺度遠小于它們之間的距離時，將其電荷集中于一點的理想化模型。對于實際的帶電體，一般應該看成是分布在一定的區(qū)域內，稱其為分布電荷。用電荷密度來定量描述電荷的空間分布情況。電荷體密度的含義是，在電荷分布區(qū)域內，取體積元ΔV，若其中的電量為Δq，則電荷體密度為其單位是庫/米3(C/m3)。這里的ΔV趨于零，是指相對于宏觀尺度而言很小的體積，以便能精確地描述電荷的空間變化情況；但是相對于微觀尺度，該體積元又是足夠大，它包含了大量的帶電粒子，這樣才可以將電荷分布看作空間的連續(xù)函數(shù)。如果電荷分布在宏觀尺度h很小的薄層內，則可認為電荷分布在一個幾何曲面上，用面密度描述其分布。若面積元ΔS內的電量為Δq，則面密度為對于分布在一條細線上的電荷用線密度描述其分布情況。若線元Δl內的電量為Δq，則線密度為庫/米2(C/m2)庫/米(C/m)2.1.2電場強度電荷q′對電荷q的作用力，是由于q′在空間產生電場，電荷q在電場中受力。用電場強度來描述電場，空間一點的電場強度定義為該點的單位正試驗電荷所受到的力。在點r處，試驗電荷q受到的電場力為多個點電荷時:對于體分布的電荷，可將其視為一系列點電荷的疊加，從而得出r點的電場強度為同理，面電荷和線電荷產生的電場強度分別為(畫圖)例2-1

一個半徑為a的均勻帶電圓環(huán)，求軸線上的電場強度。解：取坐標系如圖2-2，圓環(huán)位于xoy平面，圓環(huán)中心與坐標原點重合，設電荷線密度為ρl

。圖2-2

例2-1用圖所以

高斯定理描述通過一個閉合面電場強度的通量與閉合面內電荷間的關系。可以證明：2.2高斯定理Q:S面內電量的代數(shù)和要分析一個點的情形，要用微分形式。如果閉合面內的電荷是密度為ρ的體分布電荷，則式(2-15)可以寫為由于體積V是任意的，所以有例2-2

假設在半徑為a的球體內均勻分布著密度為ρ0的電荷，試求任意點的電場強度。解：當r>a時，故當r<a時，所以例2-3

已知半徑為a的球內、外的電場強度為求電荷分布。解：由高斯定理的微分形式，得電荷密度為用球坐標中的散度公式可得(r>a)(r<a)2.3靜電場的旋度與靜電場的電位由于電場強度可表示為一個標量位函數(shù)的負梯度，所以有可用一個標量函數(shù)的負梯度表示電場強度。這個標量函數(shù)就是靜電場的位函數(shù)，簡稱為電位。電位φ的定義由下式確定電位的單位是伏(V)，因此電場強度的單位是伏/米(V/m)。體分布的電荷在場點r處的電位為:線電荷和面電荷的電位表示式與上式相似，只需將電荷密度和積分區(qū)域作相應的改變。對于位于源點r′處的點電荷q，其在r處產生的電位為可見，靜電場在任意閉合回路的環(huán)量為零：

由斯托克斯公式：

通常，稱φ(P)-φ(P0)為P與P0兩點間的電位差(或電壓)。一般選取一個固定點，規(guī)定其電位為零，稱這一固定點為參考點。當取P0點為參考點時，P點處的電位為

當電荷分布在有限的區(qū)域時，選取無窮遠處為參考點較為方便。此時，可以證明：將E=-▽φ代入高斯定理的微分形式，得到若討論的區(qū)域ρ=0，則電位微分方程變?yōu)樯鲜龇匠虨槎A偏微分方程，稱為拉普拉斯方程。其中▽2在直角坐標系中為泊松方程例2-5

求均勻帶電球體產生的電位。解：(r>a)(r<a)由此可求出電位。當r>a時，當r<a時，例2-6

若半徑為a的導體球面的電位為U0,球外無電荷，求空間的電位。解：

即再對其積分一次，得在導體球面上，電位為U0，無窮遠處電位為零。分別將r=a、r=∞代入上式，得這樣解出兩個常數(shù)為所以總之，真空中靜電場的基本方程可歸納為：（微分方程）（積分方程）2.4電偶極子圖2-5電偶極子0用電偶極矩表示電偶極子的大小和空間取向，它定義為電荷q乘以有向距離l，即電偶極子在空間任意點P的電位為其中，r1和r2分別表示場點P與q和-q的距離，r表示坐標原點到P點的距離。經推導圖2-6電偶極子的電場分布2.5電介質中的場方程2.5.1介質的極化極化強度的單位是C/m2。極化強度定義：極化現(xiàn)象…….擊穿強度…….2.5.2極化介質產生的電位圖2-7極化介質的電位場點*設極化介質的體積為V，表面積是S，極化強度是P，現(xiàn)在計算介質外部任一點的電位。在介質中r′處取一個體積元ΔV′，因|r-r′|遠大于ΔV′的線度，故可將ΔV′中介質當成一偶極子，其偶極矩為p=PΔV′，它在r處產生的電位是整個極化介質產生的電位是上式的積分：極化體電荷密度極化面電荷密度比較電位公式，得：例2-7

一個半徑為a的均勻極化介質球，極化強度是P=P0ez，求極化電荷分布。解：取球坐標系，讓球心位于坐標原點。

極化電荷體密度為極化電荷面密度為

2.5.3介質中的場方程在真空中高斯定理的微分形式為▽·E=ρ/ε0，其中的電荷是指自由電荷。在電介質中，高斯定理的微分形式便可寫為將ρP=-▽·P代入，得這表明，矢量ε0E+P的散度為自由電荷密度。稱此矢量為電位移矢量，并記為D，即于是，介質中高斯定理的微分形式變?yōu)榕c其相應的積分形式為將介質中靜電場的方程歸納如下：自由電荷2.5.4介電常數(shù)式中χe為極化率，是一個無量綱常數(shù)。從而有稱εr為介質的相對介電常數(shù)，稱ε為介質的介電常數(shù)。對于均勻介質(ε為常數(shù))，電位滿足如下的泊松方程：由實驗得知例2-8

一個半徑為a的導體球，帶電量為Q，在導體球外套有外半徑為b的同心介質球殼，殼外是空氣，如圖2-8所示。求空間任一點的D、E、P以及束縛電荷密度。圖2-8例2-8用圖解：(r≥a)介質內(a<r<b)：見附錄一A1.26式介質外(b<r)：介質內表面(r=a)的束縛電荷面密度：介質外表面(r=b)的束縛電荷面密度：2.6靜電場的邊界條件圖2-9法向邊界條件（什么是邊界？）或如果界面上無自由電荷面電荷分布，即在ρS=0時，邊界條件變?yōu)榛驁D2-10切向邊界條件E2E1因為Δl2=l°Δl，Δl1=-l°Δl,

l°是單位矢量，上式變?yōu)樽⒁獾絥⊥l°，故有*電場強度的切向分量連續(xù)，意味著電位是連續(xù)的，即由于法向分量的邊界條件用電位表示為*導體內的靜電場在靜電平衡時為零。設導體外部的場為E、D，導體的外法向為n，則導體表面的邊界條件簡化為2.8電場能量與能量密度電場能量能量密度例2-14

若一同軸線內導體的半徑為a，外導體的內半徑