一個(gè)新的借貸模型

660/10一個(gè)新的借貸模型艾小蓮趙明清(山東科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院金融工程研究所，泰安，271019)摘要本文在一般借貸模型的基礎(chǔ)上給出了一個(gè)新的借貸模型用以解決多重收益率問題，并分析說明了該模型是可行有效的。最后，用一個(gè)實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證。關(guān)鍵詞收益率現(xiàn)值積累值投資余額模型1引言收益率是這樣的利率，按此利率投資返回的現(xiàn)值等于投資投入的現(xiàn)值。它常被用作一項(xiàng)指標(biāo)用以度量一項(xiàng)特定的業(yè)務(wù)受歡迎或不受歡迎的程度。從貸方的觀點(diǎn)看，收益率越高越受歡迎；從借方的觀點(diǎn)看則情況相反。在大多數(shù)常見的金融業(yè)務(wù)中收益率是唯一的，但也會碰到一些金融業(yè)務(wù)，其中的收益率并不唯一，也即存在多重收益率。在這樣的場合要對某些金融計(jì)算找出合理的解釋及對不同的金融業(yè)務(wù)作出比較就會遇到一些困難。目前解決多重收益率的方法多采用一般借貸模型，本文在此基礎(chǔ)上構(gòu)造的一個(gè)新的借貸模型可以-有效地解決多重收益率問題。一般求收益率的方法是求解多項(xiàng)式方程：(1)其中是第期的投資余額；表示投資時(shí)期；表示各時(shí)期利率;為正值表示第時(shí)期的投入，為負(fù)值表示第時(shí)期的返回。第期的投資余額是這樣定義的：且。方程（1）可能只有一個(gè)正根，即對應(yīng)唯一的收益率；也可能有多個(gè)正根，即對應(yīng)多重收益率。2現(xiàn)有解決多重收益率的方法實(shí)踐中曾提出各種方法以回避多重收益率帶來的內(nèi)在問題：一種方法是將未來的投資返回按一規(guī)定的利率貼現(xiàn)，然后僅基于未來的投資投入來完成其計(jì)算，即對(=1,2,…,)按gv是否大于零進(jìn)行分類。若小于零，則把它貼現(xiàn)個(gè)時(shí)期到初始現(xiàn)值，然后再按一般求收益率的方法計(jì)算，不妨稱之為預(yù)先設(shè)立基金法。該方法也就是求解下列多項(xiàng)式方程：另一種方法是基于這樣的前提：投資者在投資期間處于貸款人位置時(shí)的利率不同于他處于借款人位置時(shí)的利率?？赐顿Y者是貸款人還是借款人主要是看投資余額。當(dāng)投資者處于貸款人位置，即投資余額時(shí)，可接受利率稱為項(xiàng)目投資率，記為，此時(shí)有；當(dāng)投資人處于借款人位置，即<時(shí)，可接受利率稱為項(xiàng)目借通訊地址：山東科技大學(xué)研究生99級（271019）艾小蓮聯(lián)系電話H）貸率，記為，此時(shí)有。這樣收益率就不是單個(gè)的數(shù)了，而是和之間的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，如果對一個(gè)給定的，可以找到一個(gè)的值，使，則稱和為此項(xiàng)業(yè)務(wù)的收益率對。一般來說，會大于,因?yàn)橐粋€(gè)精明的投資者作為貸款人時(shí)的可接受利率會比作為借款人時(shí)的可接受利率要大。該方法也就是求解下列多項(xiàng)式方程：其中，為整數(shù)，且，。的含義是從時(shí)期到時(shí)期中使用利率的時(shí)期總數(shù)，而其余時(shí)期用利率。該方法即所謂的一般借貸模型。3模型建立在一般的借貸模型中或，即本期的投資余額是上一期的投資余額在本期的積累值與本期的投入進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。當(dāng)為負(fù)，即有返回時(shí)就會發(fā)生抵消。不過在現(xiàn)實(shí)生活中我們會碰到這樣的問題：一個(gè)人在銀行既有存款（貸款），又有借款。從個(gè)人來說他可能愿意存款與借款相抵消，不過從銀行，也即投資者來說，就不愿意這樣兩項(xiàng)款項(xiàng)相抵消了。既然一個(gè)精明的投資者作為貸款人時(shí)的可接受利率會比作為借款人時(shí)的可接受利率大，那么他在既有貸款（投入），又有借款（返回）的情況下，就可能會以不同的收益率看待這兩筆款項(xiàng)，即投入與返回不發(fā)生抵消。因此，我們可以針對這種情況來建立一個(gè)模型，該模型同樣引入了收益率對的概念。首先對(=1,2,…,)按是否大于零進(jìn)行分類，若大于零，則按投資利率計(jì)算；若小于零，則按借貸利率計(jì)算。其次引入兩個(gè)符號和：表示時(shí)期的借款余額，且，；表示時(shí)期的貸款余額，且，。令=則表示第時(shí)期的借貸余額，且，。求解下列多項(xiàng)式方程就可得收益率對中的與的關(guān)系。對給定的，令是一小于零的實(shí)數(shù)。根據(jù)Descartes定理（實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的正根的個(gè)數(shù)等于其系數(shù)序列中各項(xiàng)的變號數(shù)，或者比變號數(shù)少偶數(shù)個(gè)。每個(gè)根按其重?cái)?shù)計(jì)算個(gè)數(shù)；在計(jì)算變號數(shù)時(shí)，零系數(shù)忽略不計(jì)。如果已知給定多項(xiàng)式的一切根都是實(shí)根，則Descartes定理給出根的準(zhǔn)確個(gè)數(shù)）可知，以上多項(xiàng)式方程只有一個(gè)正的實(shí)根，也就是說和是一一對應(yīng)的。4模型間的比較若把看成，則其含義可解釋為每筆資金（投入、返回）先貼現(xiàn)到期初，再積累到期末。（1）式的含義是把每筆資金均按收益率貼現(xiàn)、積累；（2）式是把資金返回按事先給定的一個(gè)利率來貼現(xiàn)，而資金投入的貼現(xiàn)、積累和資金返回的積累均按收益率來計(jì)算。（3）式是通過計(jì)算投資余額來分類的。若投資余額大于0，則按投資利率貼現(xiàn)、積累，若投資余額小于0，則按借貸利率貼現(xiàn)、積累。（4）式是通過區(qū)分資金投入與資金返回來計(jì)算的。資金投入按投資利率貼現(xiàn)、積累，資金返回則按借貸利率貼現(xiàn)、積累。對（4）式，如果令，則（4）式變?yōu)椋?）式；在計(jì)算方面，按（4）式計(jì)算要比按（2）、（3）式都要簡單。由此可以說，新建模型更具有效性。5實(shí)例說明假設(shè)一位投資者欲立即投資$，第2年之末再投資$，以換取在第1年之末收到$。（1）求收益率。按（1）式，可得求值方程為：解此二次方程的兩個(gè)根為或由此，這是一筆有多重收益率的業(yè)務(wù)。（2）如果是多重收益率業(yè)務(wù)，給出解決方法。解決方法1：按（2）式，可得多項(xiàng)式方程如下：解得.解決方法2：按（3）式，可得多項(xiàng)式方程如下：解得.解決方法3：按（4）式，可得多項(xiàng)式方程如下：解得.從以上三個(gè)方法中可以看到：對一給定的，均可找到唯一的與之對應(yīng)，這使得該多重收益率業(yè)務(wù)可與其他業(yè)務(wù)進(jìn)行比較。3）如果，投資者會接受還是拒絕這筆業(yè)務(wù)？根據(jù)一般借貸模型，有：因，所以投資者拒絕接受這筆業(yè)務(wù)。根據(jù)新建模型，有：因，所以投資者拒絕這筆業(yè)務(wù)。不管用解決方法中的哪一種，其所得結(jié)果都是一樣的。由此我們可以說新建模型不僅是可行的，而且是有效的。參考文獻(xiàn)S．G．凱利森著，尚漢冀譯.利息理論.上海科學(xué)技術(shù)出版社，1998:151-152,178-182AnewFinancingModelAiXiaolianZhaoMingqing(InstituteofFinanceEngineering,CollegeofInformationScience&Engineering,SDUST,Taian,271019)AbstractOnthebasisofthegeneralfinancingmodel,thispaperpromotesanewfinancingm