統(tǒng)計(jì)-chs2hr p幾種離散型變量

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用講授內(nèi)容：第一節(jié)二項(xiàng)分布第二節(jié)Poisson分布隨

量有連續(xù)型和離散型之分，相應(yīng)的概率分布就可分為連續(xù)型分布和離散型分布。有關(guān)連續(xù)型分布如u

分布、t

分布和F

分布等面的章節(jié)中已作了介紹。本章介紹在醫(yī)學(xué)中常用的三種離散型分布：二項(xiàng)分布、Poisson分布和負(fù)二項(xiàng)分布。第一節(jié)二項(xiàng)分布分類資料：將觀察單位按某種屬性或類別分組,計(jì)分類

數(shù)。最簡(jiǎn)單——分兩類總體：總

數(shù)某類 數(shù)非某類 數(shù)總體率（構(gòu)成比）NMN

M

M

/

N樣本：含量：n某類

數(shù)

X非某類

數(shù)樣本率（構(gòu)成比）n

Xp

X

/

n統(tǒng)計(jì)推斷：由樣本信息P

推斷n

n

n

np

0

1

2

nX

0,1,

2,…

,

n,

,

,…

,案例:拋一枚均勻硬幣,正面朝上的出現(xiàn)次數(shù)X及其概率:0(正面朝下)π

0.51(正面朝上)0.5如果將此試驗(yàn)重復(fù)若干次，如10次，正面朝上的出現(xiàn)次數(shù)X

可以為0,1,2,…,10,面朝上的出現(xiàn)次數(shù)X

的分布即為二項(xiàng)分布。定義：二項(xiàng)分布（binomialdistribution），是指在只會(huì)產(chǎn)生兩種可能結(jié)果如“陽(yáng)性”或“陰性”之一的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，當(dāng)每次試驗(yàn)的“陽(yáng)性”概率π保持不變時(shí)，出現(xiàn)“陽(yáng)性”次數(shù)X=0，1，2，…，n的一種概率分布。式中且總有n!P(

X

)

X

(1

)n

XX

!(n

X

)!X

!(n

X

)!P(

X

)

1n!X

0,1二項(xiàng)系數(shù)0，1，2，……n在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)陽(yáng)性次數(shù)X的概率

：二項(xiàng)函數(shù)

1

展開式n

的通項(xiàng)二項(xiàng)分布有兩個(gè)參數(shù)：總體率樣本含量記作：X～B(n，π)X服從試驗(yàn)次數(shù)為n和“陽(yáng)性”的概率為π的二項(xiàng)分布n例6-1

某種藥物治療某種非傳染性疾病的有效率為0.70。今用該藥治療該疾病患者10人，試分別計(jì)算這10人中有6人、7人、8人有效

的概率。本例n=10，π=0.70，X=6，7，8。按公式（6-1）計(jì)算相應(yīng)的概率為0.706

(1

0.70)106

0.200126!(10

6)!P(6)

10!0.707

(1

0.70)107

0.266837!(10

7)!P(7)

10!0.708

(1

0.70)108

0.233478!(10

8)!P(8)

10!一、二項(xiàng)分布的適用條件和性質(zhì)(一)二項(xiàng)分布的適用條件每次試驗(yàn)只會(huì)發(fā)生兩種對(duì)立的可能結(jié)果之一，即兩種對(duì)立結(jié)果的概率之和恒等于1；(π,1-π)

每次試驗(yàn)產(chǎn)生某種結(jié)果（如“陽(yáng)性”）的概率固定不變；

重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，即任何一次試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)不會(huì)影響其它試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率。(二)二項(xiàng)分布的性質(zhì)1.

二項(xiàng)分布的均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，出現(xiàn)“陽(yáng)性”次數(shù)X的總體均數(shù)為總體方差為總體標(biāo)準(zhǔn)差為

n

2

n

(1

)

n

(1

)若以率表示，則樣本陽(yáng)性率p

（p=0/n，1/n，2/n，…，n/n）也服從二項(xiàng)分布,其總體均數(shù)為總體方差為總體標(biāo)準(zhǔn)差為

p

(1

)np2

(1

)np

樣本率的標(biāo)準(zhǔn)差也稱為率的標(biāo)準(zhǔn)誤，可用來描述樣本率的抽樣誤差，率的標(biāo)準(zhǔn)誤越小，則率的抽樣誤差就越小。在一般情形下，總體率π往往并不知道。此時(shí)若用樣本資料計(jì)算樣本率p=X/n作為π的估計(jì)值，則的

p估計(jì)為:S

p

p(1

p)

/

n對(duì)于二項(xiàng)分布而言，當(dāng)π=0.5時(shí)，分布是對(duì)稱的，見圖6-1；圖

6-1.

=0.5

時(shí)，不同

n

值下的二項(xiàng)分布2.二項(xiàng)分布的圖形當(dāng)

0.5時(shí)，分布是偏態(tài)的，但隨著n的增時(shí)，只要π不太靠近0或1，二項(xiàng)分布則接近正態(tài)分布，見圖6-2。大，分布趨于對(duì)稱。當(dāng)n

00.10.20.30.4012

3n=5

陽(yáng)性數(shù)X45P(X)0.50.40.30.20.1001

2n=2

陽(yáng)性數(shù)X3P(X)00.10.20.30

1

2

3

4

5

6

7n=8

陽(yáng)性數(shù)XP(X)00.10.20.3n=100

1

2

3

4

5

6

7

8 9

10陽(yáng)性數(shù)XP(X)圖6-2.

=0.4時(shí)，不同n值下的二項(xiàng)分布圖二、二項(xiàng)分布的應(yīng)用(一)總體率的區(qū)間估計(jì)1.查表法50的小樣本資料，直接查附表6百分率的95%或99%區(qū)間表，即可得到其總體率的

區(qū)間。對(duì)于n

P721-725例6-2

在對(duì)13名

結(jié)扎的育齡婦女經(jīng)部-

部吻合術(shù)后，觀察其受孕情況，發(fā)現(xiàn)有6人受孕，據(jù)此資料估計(jì)該吻合術(shù)婦女受孕率的95%

區(qū)間。本例n=13，X=6。查附表6，取0.05時(shí)，在n=13（橫行）與X=6（縱列）的交叉處數(shù)值為19～75，即該吻合術(shù)婦女受孕率的95%

區(qū)間為（19%，75%）。附表6只列出“

”數(shù)n-X

查得總體

率的區(qū)

間QL～QU，再用下面的公式轉(zhuǎn)換成所需的陽(yáng)性率的區(qū)間。PL=1-QU，

PU=1-QL?

n=30,

X=26,

95%CI2時(shí)X，可n

先按2X

的

部n分。當(dāng)2.正態(tài)近似法根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的中心極限定理可得，當(dāng)n

較大、π不接近0也不接近1時(shí)，二項(xiàng)分布B(n,π)近似正態(tài)分布近似正態(tài)分布

。為此，當(dāng)n

較大、p

和1-p

均不太小如

np

和n(1-p)均大于5時(shí)，可利用樣本率p的分布近似正N

(n

，,n而(1相應(yīng)

)的)樣本率p

的分布也態(tài)分布來估計(jì)總體率的2

)N

(

,p區(qū)間。

的1

區(qū)間為：如：

的95%

的99%區(qū)間為(p

1.96Sp區(qū)間為(p

2.58Sp(

p

u

2

Sp例6-3在觀測(cè)一種藥物對(duì)某種非傳染性疾病的治療效果時(shí)，用該藥治療了此種非傳染性疾病患者100人，發(fā)現(xiàn)55人有效，試據(jù)此估計(jì)該藥物治療有效率的95% 區(qū)間。本例n=100，p=55/100=0.55Sp0.55-1.96×0.0497=0.45260.55+1.96×0.0497=0.6474該藥物治療有效率的

95%

區(qū)間為（

45.26%，64.74%

）。1000.55(1

0.55)

0.0497(二)樣本率與總體率的比較(

與的0

比較)1.直接法

可利用二項(xiàng)分布直接計(jì)算有關(guān)概率，對(duì)樣本率與總體率的差異進(jìn)行有無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的比較。比較時(shí)，在總體陽(yáng)性率為π的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，一般有下面幾種情形的概率計(jì)算：A、單側(cè)檢驗(yàn)，即“劣”或“優(yōu)”的問題（1）回答“差”或“低”的問題，則需計(jì)算出現(xiàn)“陽(yáng)性”的次數(shù)至多為k次的概率為:（2）回答“優(yōu)”或“高”的問題，則需計(jì)算出現(xiàn)“陽(yáng)性”的次數(shù)至少為k次的概率為nP(X

k)

X

kX

!(n

X

)!nP(

X

)

n!

X

(1

)

n

XX

kk

kP(

X

k

)

P(

X

)

X

0

X

0

n!

X

(1

)n

XX

!(n

X

)!B、雙側(cè)檢驗(yàn)，即“有無差別”的問題所要計(jì)算的雙側(cè)檢驗(yàn)概率P

值應(yīng)為實(shí)際樣本（記“陽(yáng)性”次數(shù)為k次）出現(xiàn)的概率與更背離無效假設(shè)的事件（記“陽(yáng)性”次數(shù)為i次，i

k）出現(xiàn)的概率之和，即，其中iP滿足P(

X

k)

P(

X

。

i)iP(

X

i)

P(

X

k)例6-4

據(jù) ，對(duì)結(jié)扎了的育齡婦女實(shí)施名部-

部吻合術(shù)后，受孕率為0.55。今對(duì)10結(jié)扎了的育齡婦女實(shí)施峽部-峽部吻合術(shù)，結(jié)果有9人受孕。問實(shí)施峽部-峽部吻合術(shù)婦女的受孕率是否高于

部-

部吻合術(shù)？顯然，這是單側(cè)檢驗(yàn)的問題，其假設(shè)檢驗(yàn)為H0：π=π0=0.55H1：π>0.55ɑ

=0.05π=0.55本例

n=10，π=0.55，k=9。按公式（6-12）有:P(X

9)

0.55

X

0(5.15)10

XX

9!(10

XX)!10(

XP)

X

91010!=0.023257

按ɑ =0.05水準(zhǔn)，

H0，接受H1，即認(rèn)為實(shí)施峽部-峽部吻合術(shù)婦女的受孕率要高于

部-部吻合術(shù)。例6-5

已知某種非傳染性疾病采用甲藥治療的有效率為0.60。今改乙藥治療該疾病患者10人，發(fā)現(xiàn)9人有效。問甲、乙兩種藥物的療效是否不同？這是雙側(cè)檢驗(yàn)的問題。記乙藥治療該疾病的有效率為πH0：π=0.60H1：π≠

0.60ɑ

=0.05本例n=10，按π=0.60，實(shí)際樣本陽(yáng)性數(shù)X

=9出現(xiàn)的概率由公式（6-1）有0.609

(1

0.60)109

0.04031110!P(

X

9)

9!(10

9)!π=0.6比實(shí)際樣本更背離無效假設(shè)的事件,即滿足P(

X

i)

0.040311的i（i

≠

9）分別有：0、1、2、10。因此，所要計(jì)算的雙側(cè)檢驗(yàn)概率P值為P

P

X

P

X

P

X

P

X

P2(X1)(01)0(9)=0.040311+0.000104858+0.001572864+0.010617+0.006046618=0.0586520.05<P<0.10，按ɑ=0.05水準(zhǔn)，不

H0，尚不能認(rèn)為甲、乙兩種藥物的療效不同。2.正態(tài)近似法

當(dāng)n

較大、p

和1-p

均不太小，如np

和n(1-p)均大于5時(shí)，利用樣本率的分布近似正態(tài)分布的原理，可作樣本所在總體率與已知總體率π0的比較。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量u

值的計(jì)算公式為:

0

(1

0

)

np

0u

？例6-6

對(duì)某疾病采用常規(guī)治療的治愈率為45%。現(xiàn)隨機(jī)抽取180名該疾病患者改用新的治療方法進(jìn)行治療，治愈117人。問新治療方法是否比常

規(guī)療法的效果好？本例是單側(cè)檢驗(yàn)，記新治療方法的治愈率為π，而π0=0.45。其假設(shè)檢驗(yàn)為H0：π=0.45H1：π>0.45=0.05本例n=180，p=117/180=0.65為∞的一行）得查u界值表（t界值表中單側(cè)

P

0.0005

。按

α=0.05水準(zhǔn)，

H0，接受H1，即新的治療方法比常規(guī)療法的效果好。

3940.45

0(415.

180)0.65

0.45u

P709比較)的2目的:對(duì)相應(yīng)的兩總體率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。當(dāng)n1p1、n1(1-p1)及n2p2、n2(1-p2)均大于5時(shí)，可利用樣本率的分布近似正態(tài)分布，以及獨(dú)立的兩個(gè)正態(tài)變量之差也服從正態(tài)分布的性質(zhì)，采用正態(tài)近似法對(duì)兩總體率作統(tǒng)計(jì)推斷。(三)兩樣本率的比較(與1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量u的計(jì)算公式為：1

2

p2S

p

pu

p11

22

n

n

n

X

2

)(

1

1

)n1

n2

n1X1

X

2

(1

X1S

p1

p2例6-7

為研究某職業(yè)人群頸椎病發(fā)病的

差異，今隨機(jī)

了該職業(yè)人群

120人和女性110人，發(fā)現(xiàn)

中有36人患有頸椎病，女性中有22人患有頸椎病。試作統(tǒng)計(jì)推斷。為π1，女記該職業(yè)人群頸椎病的患病率性為π2，其檢驗(yàn)假設(shè)為H0：π1=π2H1：π1≠π2=0.05n1=120

，

X1=36

，

p1=X1/n1=36/120=0.30

；n2=110，X2=22，p2=X2/n2=22/110=0.20120

36

2pS

0.05730.u

查u界值表得0.05<P<0.10。按

=0.05水準(zhǔn)，不拒絕H0，即尚不能認(rèn)為該職業(yè)人群頸椎病的發(fā)病有差異。第二節(jié)Poisson分布(PoissonDistribution)Ladislaus

von

Bortkiewicz（1868～1931年）Poisson分布（Poissondistribution）作為二項(xiàng)分布的一種極限情況，已發(fā)展成為描述小概率事件發(fā)生規(guī)律性的一種重要分布。Poisson分布是描述單位面積、體積、時(shí)間、人群等內(nèi)稀有事件（或罕見事件）發(fā)生數(shù)的分布。所謂隨

量X

服從Poisson分布，是指在足夠多的n次獨(dú)立Bernoulli試驗(yàn)中，取值X

的概率為P(

X

)

X

!e

X式中參數(shù)

即為總體均數(shù)，且有：

P(

X

)

1。X

服從以