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A法a4I人生設(shè)計(jì)HAITIANEDUCATION| 92013考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)講義(高數(shù)上)——之極限、微分學(xué)部分南京海天

王君甫第一章函數(shù)極限連續(xù)第一節(jié)函數(shù)一、集合二、區(qū)間與鄰域區(qū)間：設(shè)出。都是實(shí)數(shù)，且a<b.數(shù)集{尤卜<》<口稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間，記作團(tuán)⑼，即(a,b)={x\a<x<b}.其中稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間(a,b)的端點(diǎn)，這里a1(a,b),b1(a,b)數(shù)集稱(chēng)為閉區(qū)間，記作［a,。］,即［凡勿=3〃(工</?}.其中凡。稱(chēng)為閉區(qū)間［a,b］的端點(diǎn)，這里aw［a,b］,bw［a,b］類(lèi)似地：有限區(qū)間［a,b)={x|aKx<b}.(。,切="卜<xWb}.無(wú)限區(qū)間［。,+8)={1,之。},(-oo,Z?)={x|x</?}./?=(-00,+oo)鄰域：以點(diǎn)〃為中心的任何開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為點(diǎn)［的鄰域，記作U(a).設(shè)S是任一正數(shù)，則開(kāi)區(qū)間(a",a+廿就是點(diǎn)a的一個(gè)鄰域,稱(chēng)為點(diǎn)a的5鄰域，記作U(a,5),即U(a?)={x|a-3<x<a+5}={x[k-a|<3}.a稱(chēng)為鄰域的中心》稱(chēng)為鄰域的半徑.點(diǎn)a的去心S鄰域，記作U(a?),即U(a,S)={O<k-a|<b}.點(diǎn)a的左b鄰域(a-瓦a),點(diǎn)a的右S鄰域(a,a+b).三、函數(shù)的概念定義：設(shè)x,y是兩個(gè)變量，。是一個(gè)給定的數(shù)集，如果VxeO,y按照一定的法則總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y是x的函數(shù)，記作y=/(x),雌。稱(chēng)為函數(shù)的定義域，x叫做自變量，y叫做因變量.y的取值范圍叫函數(shù)的值域..反函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椤S(chǎng)值域?yàn)檠緩V反過(guò)來(lái)，如果把y看作自變量，x看作因變量，即存在唯一的xe%與之對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)法則記為尸，得到新函數(shù)》=尸”)，稱(chēng)x=L(y)為函數(shù)y=/(x)的反函數(shù).注意：(1)只有一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù)(=單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù))(2)原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).基本初等函數(shù)(6類(lèi)函數(shù)的圖像及性質(zhì))(1)常值函數(shù)y=c,(xeR)(2)募函數(shù)y=xa(aeR)(掌握a=-1,1,2,3的函數(shù)圖像及性質(zhì))(3)指數(shù)函數(shù)y=廢(。>0,且aBl)xeR,ye(0,+8)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logdx(a>0,fia*l)xe(0,+oo),yeR與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).記ex=expx,log(,x=lnxy=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,(圖像及性質(zhì))(5)三角函數(shù) i 1y=secx= ,y=escx= cosx* sinx(6)反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=a/cotx(圖像及性質(zhì)).復(fù)合函數(shù)：若y=/(〃),〃=°(幻,當(dāng)(p(x)的值域落在了(〃)的定義域內(nèi)時(shí)，稱(chēng)y=〃例刈是由中間變量“復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)..初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的并能用一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)..非初等函數(shù)：a)常見(jiàn)的分段函數(shù)b)符號(hào)函數(shù)sgnx C)狄利克雷函數(shù)3(x) d)黎曼函數(shù)R(x)四、函數(shù)的基本性質(zhì).有界性：若三加>0,\/%€/,/&)歸例,則稱(chēng)代止行界 .反之，若不存在這樣的正數(shù)則稱(chēng)為止無(wú)界 ..單調(diào)性：X]<x2=>/(^))</(^2)單調(diào)增X]<Xj=>/(x()f(x2)單調(diào)不減通常根據(jù)導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)單調(diào)性.奇偶性：y(-x)=/(x)偶函數(shù)/(-x)=-/(x)奇函數(shù)注意：定義域一定要對(duì)稱(chēng)；通常按定義判斷函數(shù)奇偶性運(yùn)算性質(zhì)：奇函數(shù)士奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)士偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)x(十)奇函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)X")偶函數(shù)=偶函數(shù);奇函數(shù)x(+)偶函數(shù)=奇函數(shù)；.周期性：三非零常數(shù)T,/(x+n=/(x)通常按定義判斷函數(shù)周期性例判別下列函數(shù)的奇偶性y=ln(x4-yjx24-1)y=/(x)(_^+:),其中的詢(xún)函數(shù)"(x)ci—12第二節(jié)極限一、數(shù)列極限定義：limx〃=a<=>V￡>OJN>0,使對(duì)胭府*, \xn-a\<￡極限存在與前有限項(xiàng)的取值無(wú)關(guān)，即limx,+*=limx“（其中的自然數(shù)）n->oo "foo數(shù)列極限的性質(zhì)：.唯j性若linW也=A,limx“=8 A=8.（想想為什么？）n—>oo.有界性若州觸律A,3M>0,\xn\<M.（想想為什么？）〃一?00收斂數(shù)列一定有界，但是有界數(shù)列不一定收斂.如.保號(hào)性如果1加/=4>0（或409密翔存或n>Nxn>0（xn<0）.（想n—>oo想為什么？）.收斂數(shù)列與子數(shù)列的關(guān)系若limx“=Anlimx“=A反之，不一■定.n-HO Afook.數(shù)列極限存在準(zhǔn)則（I）夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列｛怎｝,｛”｝及｛z“｝滿(mǎn)足下列條件:a）從某項(xiàng)起，即現(xiàn)wN,當(dāng)〃>%時(shí),有y“4x“Vz”，TOC\o"1-5"\h\zb)limyn=a,limzn=a,〃一>8 n—>oo那么數(shù)列｛x“｝的極限存在，且limxa=a.“TOO(II)單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則單調(diào)有界數(shù)列必有極限例1證明limn(— F-——+ + ——)=1"->? 〃+萬(wàn) 〃+2乃 〃+〃乃例2證明數(shù)列也亞屋反，2+亞二月,…的極限存在,并求該極限.二、函數(shù)極限.函數(shù)當(dāng)xfx。時(shí)的極限定義1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)X。的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)4對(duì)于任意給定的正數(shù)￡(不論有多小)，總存在正數(shù)5,使得當(dāng)X滿(mǎn)足不等式O<|x-Xo|<6時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值/(x)都滿(mǎn)足不等式\f(x)-A\<c,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作lim/(x)=A或角x)—>A(xfx0)(簡(jiǎn)述：lim/(x)=AoV￡>0JS>0,當(dāng)時(shí)引靖引<6 \f(x)-A\<￡注意：a)上述極限表示x既從x0的左側(cè)又從x°的右側(cè)趨向于尤。的，b)當(dāng)x從x()的左側(cè)(即4-b<x</)趨向于與時(shí)，，那么A就叫做函數(shù)/(x)當(dāng)xfx()時(shí)的左極限，記作lim/(x)=4或/(%-)=A;類(lèi)似地,定義右極限，lim/(x)=A或/(/+)=AC)極限存在與/(x)在點(diǎn)與有無(wú)定義或定義的值無(wú)關(guān).d)lim/(x)=A<=>lim/(x)=lim/(x)=AXT與 XT而. XT/一.函數(shù)當(dāng)Xf8時(shí)的極限定義2：設(shè)函數(shù)/(X)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義.如果存在常數(shù)4,對(duì)于任意給定的正數(shù)￡(不論有多小)，總存在正數(shù)X,使得當(dāng)X滿(mǎn)足不等式k|>X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值“X)都滿(mǎn)足不等式\f(x)-A\<￡,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)/(幻當(dāng)Xf8時(shí)的極限，記作lim/(x)=A或 —>A(xf8)x->co簡(jiǎn)述：lim/(x)=Au>V￡>O,mX>0,當(dāng)啊|>布 \f(x)-A\<￡注意：a)x―>00既^去^力：x—>+8也1表X―>-00b)limf(x)=A=limf(x)=limf(x)=AXT8 X—>+<X> X—?—00.函數(shù)極限的性質(zhì)(1)唯一，性：若lim/(x)=A/im/(x)=8,貝tlA=8(2)局部有界性:若lim/(x)=A,則訓(xùn)>0?>0,使0<lx-Xol<3時(shí)，⑶局部保號(hào)性：若lim/(x)=A,A>0,則￡(%),xe5(x°),/(x)>0(4)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系(歸結(jié)原則)：若limf(x)=A,limxn=x0(xnx0),則lim/(xw)=limf(x)=Ax—n—>oo n—>oo x—>x0(5)四則運(yùn)算：若limf(x)=A,limg(x)=B,貝Ijlim[^(x)±lg(x)]=kA±IB;lim[0(x)?g(x)]=乂?8；lim=-(B*0).g(x)B兩個(gè)常用結(jié)論:a)lim4^存在,limg(x)=O=>lim/(x)=O;g(x)b)lim—A*=A0limf(x)=0=>limg(x)=0;g(x)事實(shí)上，除了上述法則外，還應(yīng)注意：存在不存在不存在；不存在不薇在不一定；

存在承荀在=不一定不存在不存存有尸定；=4.無(wú)窮小量和無(wú)窮大量(1)無(wú)窮小量1)定義：若lim/(x)=0,稱(chēng)/(x)為x趨于*的無(wú)窮小量.特別地，。也XT*可以看作無(wú)窮小量.2)無(wú)窮小量的比較：設(shè)lima(x)=0』imP(x)=0.高階:若lim伙")-=0,貝lj稱(chēng)/?*)為a(x)的高階無(wú)窮小量記為/?(%)=o(a(x)).a(x)同階：若lim綱=C￥0,則稱(chēng)以幻與a(x)是同階無(wú)窮小量.a(x)等價(jià)：若lim名旦?=1,則稱(chēng)"x)與a(x)是等價(jià)無(wú)窮小量.記為a(》~〃(x).?(x)無(wú)窮小的階：若lim-"x)「=C#0,則稱(chēng)/(x)是a(x)的k階無(wú)窮小量.例已知當(dāng)xf0時(shí)，"‘-cos&x與ax"是等價(jià)無(wú)窮小，求〃3)無(wú)窮小量的性質(zhì):a)有限個(gè)無(wú)窮小量之和仍為無(wú)窮小量；b)常數(shù)與無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量；c)有限個(gè)無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量；d)無(wú)窮小量與有界變量之積仍為無(wú)窮小量；(2)無(wú)窮大量1)定義:若lim/(x)=oo,稱(chēng)/(x)為x趨于*的無(wú)窮大量XT*2)無(wú)窮大量與無(wú)界變量的關(guān)系：無(wú)窮大量=無(wú)界變量，反之不一定成立，數(shù)列K｝是無(wú)窮大量：VM>0,圳,當(dāng)小卜麗，有 \xn\>M數(shù)列區(qū)｝是無(wú)界變量：VM>OJN,使\xn\>M.反例：數(shù)列七,="+(-1)"]〃是無(wú)界變量，但不是無(wú)窮大量.3)無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系：無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量；無(wú)窮小量(除0外)的倒數(shù)是無(wú)窮大量.注意：a)無(wú)窮大量之和(同方向)、之積為無(wú)窮大量；無(wú)窮大量之差(同方向)、之商結(jié)果不一定；無(wú)窮大量與有界變量之積不一定(如limx'=i),但若I00Xlim/(x)=a。O,limg(x)=8,則lim/(x)g(x)=oo；無(wú)窮大量與有界變量之和、之差為無(wú)窮大量.b)在求極限的過(guò)程中，當(dāng)*boo無(wú)窮大量\naxxpax￡(a,"0,a>l)三者趨于無(wú)窮大的快慢程度不一樣決定了三者之間比值的極限也不一樣.對(duì)于數(shù)列無(wú)窮大量之間有Innnaan〃！〃"(a>0,a>l)

, x" nx cix如lim———=oo;lim =oo;lim—=oo;-8in"xi°°In=x18xpInaxIn。xx'lim—1r=0;lim--=0;lim—=0;X->00 X->00QA X—>oca'例lim—（Vn-1）=isinn5.求極限的步驟與方法步驟：對(duì)于函數(shù)極限：步1）能否有理化；步2）考慮等價(jià)無(wú)窮小代換;步3）考慮重要極限；步4）考慮洛必達(dá)法則；步5）利用泰勒公式轉(zhuǎn)化.對(duì)于數(shù)列極限：步1）能否連續(xù)化求對(duì)應(yīng)函數(shù)極限；步2）夾逼準(zhǔn)則；步3）單調(diào)有界準(zhǔn)則；步4）利用定積分的定義.方法1：利用有理運(yùn)算法則求極限常用的方法a）分子、分母有理化后約分b）多項(xiàng)式比值的極限lim4(x)_Q()lim4(x)_Q()x'"+qx"1+???+Q,,(x)瓦x"+W+…+或包,當(dāng)及=m瓦0,當(dāng)〃＞機(jī),00,當(dāng)〃<m.例lim+8->/x+l)=x—>oc方法2：利用重要極限a）lim皿=1=推廣形式蚓心硬=1（iox （p（x）\_ _J_加liq(l+x)；=e=>推廣形式班(ft+9(x))Wx)=e(nm^(x)=0);lim(l+0(x))*(*)=eA(當(dāng)Ifrfn(p(x)?y/{x)=A).C)limVx=lx—>oo/tj.1 「zarcsinxx： 例lim( )i-g=X方法3：利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小，當(dāng)x-0時(shí)，xsinxtanxarcsinxarctanxln(l+x)ex-112axxlna;(l+x)a14-?x;l-cosx-x.注意：有相應(yīng)的推廣形式求極限，等價(jià)無(wú)窮小只能在乘除法中替換,不能用于加減法.1的［1r(I+ —I例1hm- =cosX-1例2lim理衛(wèi)=一。2x方法4：利用洛必達(dá)法則(9;2)000設(shè)函數(shù)/(x),g(X)滿(mǎn)足條件：lim/(x)=0,limg(x)=0.(或limf(x)=oo,limg(x)=oo)x—>Xq X—>Xq X—>Aq X->Xq/(x),g(x)都在隔鄰域內(nèi)可導(dǎo)(在點(diǎn)除外)且g'(x)#O;lim"也存在(或小XT%g(%)則lim1加上XT"g(X)刀一與g'(X)推廣形式求0?00；8-00；18；00。；0。；型極限,前二者可直接化為9；方型極限,000后三者可用事指數(shù)函數(shù)極限的方法即lim(/(x))R")=lim再進(jìn)一步化為°；方型極限求.000注意：一般來(lái)說(shuō)對(duì)于振蕩函數(shù)求極限不用洛必達(dá)法則.

如當(dāng)XT8時(shí),極限式中含有sinx,cosx;當(dāng)x—0時(shí)，極限式中含有sinLcosL

xx例方法5：利用泰勒公式展開(kāi)求極限x2ex=l+x2ex=l+x+—+o2

x2

COSX=1 F2/ x3(x2);sinx=x +o(x?,);arcsinx=x+—+€>(x3);6 6,4,3—+o(x4);tanx=x+—4-o(x3);arctanx=x--4-o(x3);4! 3 3ln(l-i-x)=x-^-4--+o(x3ln(l-i-x)=x-^-4--+o(x3);(1+x)°=1+ax+次6^-,x2+o(x2).mii「cosx-e2例Ihm- i。x[x+ln(l-x)]例2limx->0sinx-tanx(#1+廠(chǎng)-1)(Jl+sinl-1)方法6：利用夾逼準(zhǔn)則求極限例lim例limRa：+ +…+冊(cè)〃T8Y.(4>0)方法7：利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限例x“+]=sinx,（0<X]<乃,〃=1,2,?一）證明limx”存在，并求該極限n—>oo方法8：利用定積分的定義求極限例 lim(—!—+——+???+—?—)"T8〃+in+2 n-\-n第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)的概念L定義：設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)入的某一鄰域內(nèi)有定義，如果limAy=lim[/(xo+Ax)-/(xo)]=O,Ax—>0 AxtO那么就稱(chēng)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)與連續(xù).常用定義：設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)飛的某一鄰域內(nèi)有定義，如果lim/(x)=/(x0),那么就稱(chēng)函數(shù)/(x)在點(diǎn)與連續(xù).簡(jiǎn)述：/(X)在點(diǎn)X。連續(xù)0%>035>0,當(dāng)M第<b \f(x)-f(x0)\<￡左連續(xù)：1加/(幻=/(4)=/(%)x-Mo右連續(xù)：lim/(x)=/(x0+)=/(x。)XT%函數(shù)/⑴在點(diǎn)尤0連續(xù)O/⑴在點(diǎn)無(wú)。左連續(xù)且右連續(xù).二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及類(lèi)型.第一類(lèi)間斷點(diǎn)：左、右極限都存在的間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn):左極限=右極限(lim/(x)=lim/(x)*f(x0))x—>Xq X—>Xq~跳躍間斷點(diǎn)：左極限w右極限(lim/(x)*limf(x))X->Xq4 X—>Xq-.第二類(lèi)間斷點(diǎn)：左、右極限中至少有一個(gè)不存在，只掌握兩類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn)：X—時(shí)，/(%)—>00.振蕩間斷點(diǎn)：xf4時(shí)，/(幻振蕩，例limsin-x例 求函數(shù)/(x)=limH=的間斷點(diǎn)并指出其類(lèi)型.〃-8X+X三、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)及復(fù)合仍連續(xù)；.初等函數(shù)在其定義域內(nèi)處處連續(xù)；.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(往往用于證明方程中自的存在性以及方程的根問(wèn)題)a)有界性：若/(x)在［a向上連續(xù),則/(X)在［a,小上有界.b)最值性：若/(x)在［a,加上連續(xù)，則/(x)在［a,加上必有最大值和最小值.C)介值性：若“X)在［a,切上連續(xù)，且F(a)HfS),則對(duì)/(a)及/⑸之間任意常數(shù)C,至少存在一點(diǎn),使得/C)=C.推論：若/(x)在［a向上連續(xù)，則/(x)在［a,加上可取到介于最小值和最大值之間的任何值.d)零點(diǎn)定理:若/⑴在［a,加上連續(xù)，且>(辦/@)<0,則至少存在一點(diǎn)火(a,b),使得"4)=0.例設(shè)函數(shù)/(x)在(-00,+8)上連續(xù)，且lim42=0,試證存在18X^e(-oo,+oo),使得/0+自=0.證明:第二章導(dǎo)數(shù)和微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)和微分概念1.導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)(/(/?)內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x趨近于與即Ax趨于0時(shí)，相應(yīng)地增量與=/也+-)-〃%。)與Ax的比值的極限存在，稱(chēng)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處可導(dǎo)，該極限稱(chēng)為y=/(x)在點(diǎn)無(wú)。處的導(dǎo)數(shù)，記作M-或/'(/)?簡(jiǎn)述:/'(/)=外氣=lim"=lim/*。+醺）一/（/）

AxasoAx簡(jiǎn)述:/'(/)=外氣推廣形式一卬小安詈小『3.左導(dǎo)數(shù)：￡(%)=lim”x)7(x。)=iim/(/+力)-/(%).*-＞與.x-xQio-h右導(dǎo)數(shù)：/；(x0)=lim/⑴一小)=lim"&+〃)―/(々).*-*()?x—xQi?！痟可導(dǎo)。左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.例研究函數(shù)/(尤)=可在x=0處的導(dǎo)數(shù)..微分的定義設(shè)有函數(shù)y=f(x),若函數(shù)的增量Ay=/(x0+Zkr)-/(x0)可表示為△y=A-+o(Ar)的形式，其中A是不依賴(lài)于醺的常數(shù)，那么稱(chēng)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)與處是可微的.叫做函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/相對(duì)于自變量的增量心的微分，記作dy,即dy=AAr.函數(shù)可微的充要條件：/(X)在點(diǎn)/可微o/(x)在點(diǎn)X?？蓪?dǎo).且dy=f'(x0)dx.簡(jiǎn)要證明：(=>):Ay=AAx+o(Ax)=>—=A+二|而—=f\xn)=A,即dy=f\x0)dx',AxAxz0Ax(<=):lim—=/r(x0)=>—=/'(工0)+1=>Ay=/'(Xo)Ax+aAx=/F(x0)Ax4-6>(Ax).Z Ax于是函數(shù)y=/(x)的微分又可記作dy=f\x)dx..導(dǎo)數(shù)和微分的幾何意義(會(huì)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程).導(dǎo)數(shù)八/)在幾何上表小曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(不)/(%)處切線(xiàn)的斜牛，.微分dy=_T(Xo)dr在幾何上表示曲線(xiàn)y=/(x)的切線(xiàn)的增量.4.連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系例討論函數(shù)xsE^xhO在點(diǎn)x=o處的連續(xù)性和可導(dǎo)性以及導(dǎo)函數(shù)I0,x=0的連續(xù)性.第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1.基本求導(dǎo)公式1)(cy=o；2)(xay=axa-'-3)(ax)'=a'\na-,4)5)(log“x)'= ;6)(Inx/=—;7)(sinx)'=cosx;8)(cosx)'=-sinx;x\na x9)(tan=sec2x\10)(cotx)'=-csc2x;11)(secx)r=secxtanx;12)(escx)r——escxcotx;13)(arcsinx)f=. ;14)(arccosx\=——/15)(arctanx)f--16)(arccotx)r= 1+x 1+x~2.求導(dǎo)法則1)有理運(yùn)算法則設(shè)"=〃(丈),丫=心)在》處可導(dǎo)，貝ljf fa)(u±v)f=ur±vrb)(〃?v)'= c)(一)'= j——(，00)vv例(不一——y=x+5xcosx2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法設(shè)“=0（幻在x處可導(dǎo)，＞=/（“）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=/［貝初在x處可導(dǎo)，且axduax例y=sin■2%--,求也- 1+x2dx顯函數(shù)：形如y=/(x),等號(hào)左端是因變量的符號(hào)，右端是含有自變量的式子，這種方式表達(dá)的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù).例如y=sinx;y=lnx+e*隱函數(shù)：由方程尸(x,y)=O在一定條件下，當(dāng)自變量x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)的總有滿(mǎn)足這方程的唯一的y值存在，那么就說(shuō)方程F(x,y)=O在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù).求導(dǎo)方法：設(shè)y=y(x)是由方程尸(x,>)=0所確定的隱函數(shù)的可導(dǎo)函數(shù),為求得了，可在方程/區(qū)y)=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得到一個(gè)含有V的方程，從中解出y即可.例設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程+町=0所確定，求y"(0).4)反函數(shù)求導(dǎo)法若函數(shù)x=/(y)在區(qū)間/,內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且尸(y)HO,則它的反函數(shù)y=/T(x)在區(qū)間Ix={x|x=/(y),ye/v}內(nèi)也可導(dǎo)，且"%)了=/-或蟲(chóng)=4-.f\y)dxdxdy證明：由于函數(shù)x=/(y)在區(qū)間4內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(即連續(xù))且((y)#0,則x=/(>)的反函數(shù)y=尸(x)存在，且在對(duì)應(yīng)區(qū)間/<={#=/(y),ye/,,}內(nèi)也單調(diào)、可導(dǎo)(即連續(xù)).任取給尤以增量+ ,由〉=尸(外的單調(diào)性

可知取=廣1（8+加：）一廣1（外/0,于是有色=，-,因y=/T（x）連續(xù)，故AxAxNlimAy=0,從而AiO[f-'(x)Y=lim包=lim1=」一

.->OAxAy->oAxf\y)Ay反函數(shù)二階導(dǎo)公式:"%)raxfn"%)raxfn(y)f(y)/"(y)

"'(y)F5）參數(shù)方程求導(dǎo)法設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程”=*）確定的，則稱(chēng)此函數(shù)關(guān)系所（7=力。）表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).dydydtdy1"'?）

= - - dxdtdxdtdx”⑺

dt參數(shù)方程二階導(dǎo)公式：d2yddx2dxdy'('=dy'(r)].d2yddx2dxdx(p\t)dt(p'(t)dx (p'2(/) (p'(t)例求參數(shù)方程卜二心灰下的二階導(dǎo)數(shù)y=arctant

若函數(shù)為y=/(x)g")形式，求型.則對(duì)函數(shù)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得,axIny=g(x)ln/(x)=>—=g'(x)Inf(x)+g(x)^^=>J--y'=y[g'(x)ln/(x)+g(x)^y^]y ，(x)dx /(x)例設(shè)y=(l+x?嚴(yán),求y.第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)定義：一般地，函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)y=((x)仍然是x的函數(shù).我們把y=_f(x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=/(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或少，即類(lèi)似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，……，(〃-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做〃階導(dǎo)數(shù)，分別記作d"y~dx"、嚴(yán)v(4) 、：(">成考d4yd"y~dx"y,y，…,y或者京京，?計(jì)算方法:I)歸納法：即先求一階導(dǎo)，二階導(dǎo)，…，最后歸納證明出〃階導(dǎo)數(shù).II)萊布尼茲公式：嚴(yán)=2。/"*)盧)4=0

vitt flTTa)[sin(ax+b)]("'=a"sin(ax+/74 );[cos(ax+b)產(chǎn)=a"cos(ax+/7H );b)〃！b)(x+a嚴(yán)C)[(l+x)0]<n)=(z(a-l)(iz—2)…(a—〃+1)(1+x)a-n.IV）利用泰勒級(jí)數(shù)：〃外=￡絲比（X-X。）"其中麟孰或電次項(xiàng)的系數(shù)，n ）?=（）n\ n\貝獷伙%）=4?〃！例設(shè)/（X）=2—Z求/2%）?廠(chǎng)一5工+6例求函數(shù)f(x)=x2ln(l+x)在x=0處的n(n>2)階導(dǎo)數(shù).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理一、羅爾定理.費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)/(x)在點(diǎn)與的某一鄰域U(x。)內(nèi)有定義，并且在X。處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的xeU(x0),有/34八%)(期3"(%)),那么/,(xo)=O.證明：不妨設(shè)xwUQo)時(shí)，/(幻】(/)(如果/(32/(%),可以類(lèi)似地證明).于是，對(duì)于尤o+—eU(%),有/(x0+Ax)</(x0),從而當(dāng)Ax〉O時(shí)，/(X。+Ax)-"/)三0；當(dāng)原<0時(shí)，/(/+八)-"%)>0根據(jù)函數(shù)/⑶在小Ar Ax可導(dǎo)的條件及極限的保號(hào)性，得/(X。)=￡(4)=lim""［)T(x°)wo,/'(X。)=￡(%)=lim"/+，)-"x°)A0

&jo-Ax所以尸5)=o.證畢..羅爾定理：如果函數(shù)/(x)滿(mǎn)足：a)在閉區(qū)間［a向上連續(xù)；b)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);c)端點(diǎn)值相等,BPf{d)=f(b),那么至少存在一點(diǎn)火(a/),使得與修)=0.證明：由于"X)在［a㈤上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的最值定理知，fM有最大值M和最小值機(jī)，分兩種情況討論：M=m,此時(shí)/(x)在［a,例上必然取相同的值M,即/(x)=M.由此得/(x)=0.因此,任取火(a,b),有尸0=0.M>m,因?yàn)?(a)=/S),所以M和m至少有一個(gè)不等于/(x)在區(qū)間［a,M端點(diǎn)處的函數(shù)值.不妨設(shè)Mx/(a)(若初到那似證明 )則必定至少存在一點(diǎn)Je(a⑼使得/《)=”.因此任取有/(x)</?),從而由費(fèi)馬引理有:(4)=0.證畢.想想：幾何意義？例設(shè)函數(shù)/(x)在［a,封上連續(xù)，在(a⑼內(nèi)可導(dǎo),且/(a)=b,f(b)=a,。與b同號(hào).求證：*e(a,b)使,C)=-A^.4二、拉格朗日中值定理(條件比羅爾定理弱多了)拉格朗日中值定理：如果函數(shù)"X)滿(mǎn)足:a)在閉區(qū)間［a,。］上連續(xù);b)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);那么至少存在一點(diǎn)火(a,b),使得f(b)-f(a)=f'^)(b-a).證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=/(x)-"⑷+"?一/⑷("a)］，于是F(x)b-a剛好符合羅爾定理的條件，則至少存在一點(diǎn)使得/信)=0,F\x)=f\x)-f(bl~f(a),

b-a所以,b-a從而/S)-/(a)=/'C)S-a).證畢.想想：幾何意義？拉格朗日定理是羅爾定理的推廣形式(只需令f(a)=f(b)即可).例證明當(dāng)x>0時(shí)，一匚<ln(l+x)<x.1+X并有離散形式：—^―<ln(n4-1)-In/?<—.n+l n三、柯西中值定理柯西中值定理：如果函數(shù)"X)及尸(X)同時(shí)滿(mǎn)足：a)在閉區(qū)間［a向上連續(xù)；b)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；C)對(duì)任一xe(a,b),尸(x)#0,那么至少存在一點(diǎn)火(a,b),使得/⑸一/⑷=2.F(b)-F(a)F(^)證明：首先注意到/(b)-F(a)HO.因?yàn)镕(b)-F(a)=F\r})(b-a),77e(a,b)因假定F(〃)#0,又b-aHO,所以尸⑸-尸(a)wO.構(gòu)造函數(shù)例x)=f(x)-f⑷一一/3)［f(x)_/(幻］,易驗(yàn)證例對(duì)適合F(b)—F(a)羅爾定理的條件：(p(a)=(p(b)=0;e(x)在閉區(qū)間［a,。］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(9)內(nèi)可導(dǎo)且"(x)=八幻-3里.尸(x).根據(jù)羅爾定理，可知至少F(b)-F{a)存在一點(diǎn)六(a,b),使得d4)=0,即r?_"b)-J(a)F，《)=o,

F(b)-F(a)由此得，=f'(^

F(b)-F(a)~證畢.想想：兒何意義？柯西中值定理是拉格朗日定理的推廣形式(只需令產(chǎn)(x)=x即可).例設(shè)函數(shù)/(x)在［a,包上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且a與b同號(hào)，求證:使f'(4)=中/'(77).四、泰勒中值定理泰勒中值定理(拉格朗日型余項(xiàng))：如果函數(shù)/(幻在含有％的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(a,6)內(nèi)具有直到(〃+1)階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一xe(a,b),有f(x)=f(xQ)+f'(x0)(x-x0)+/，＞)(x—/了+…+上~(x-％)"+R，x),

2! n\其中4(%)=u-x0嚴(yán)看是介于與與》之間的某個(gè)值.(〃+1)!

(佩亞諾型余項(xiàng))：如果函數(shù)/(x)在含有與的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(a㈤內(nèi)具有直到(〃+1)階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一xe(a,b),有f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+ (x-x0)+-x2-Vl+x2例1求極限+-x2-Vl+x2例1求極限1).lim理與等絲, 2).lim:一5——.TOC\o"1-5"\h\z2! n\其中/??(x)=o[(x-x0)"],(x->x0).如果取x0=0,從而泰勒公式變成較簡(jiǎn)單的形式，稱(chēng)為麥克勞林公式.常見(jiàn)的麥克勞林公式：(大綱要求掌握)1 1 8 ]ex=\+x+—x2+■+—xn+o(xn)=Y—xn2! n! 士〃！sinx=x--x…sinx x->0(cosx-e')sinx2+-x5--+(-l)n―J—x2n+l+o(x2n+l)=y(…sinx x->0(cosx-e')sinx23! 5! (2〃+l)! & (2〃+l)!1 1 1 1cosx=l-—x2+—x4--+(-l)n—x2n+0(x2")=Y(-1)"~^—x2n2! 4! (2〃)！ 士 (2〃)！1 1 1ln(l+x)=x--x2+-x3—??+(-l)n—xM+1+o(xn+i)=V(-1)"—xn+,,xe(-l,l]3 〃+1 Mn+1Z1.、a.. .a(cr-l)2.cr(a-1)???(?-n+1)?n(a(a-l)…(a-〃+l)?(1+x)=l+axd xH 1 x+o(x)=> x,例2設(shè)/(x)在[0,1]上三階可導(dǎo),且/(0)=0,/(1)=1,/(二)例2設(shè)/(x)在[0,1]上三階可導(dǎo),且/(0)=0,/(1)=1,/(二)=0.求證:帶e(0,1)，使/@224.第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、函數(shù)的單調(diào)性與曲線(xiàn)的凹凸性和拐點(diǎn).函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間［a向上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(凡母內(nèi)可導(dǎo).a)如果在(a,b)內(nèi)/(x)>0,那么函數(shù)y=/(x)在上單調(diào)增加；b)如果在(a,b)內(nèi)r(x)<0,那么函數(shù)y=/(x)在［a向上單調(diào)減少.注意：在判斷函數(shù)的單調(diào)性及求單調(diào)區(qū)間的過(guò)程中，第一步找出無(wú)定義的點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)；第二步根據(jù)這些點(diǎn)來(lái)劃分定義區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上討論((%)的符號(hào)；第三步求出單調(diào)區(qū)間.例1證明：當(dāng)x>l時(shí)，24>3」.X例2試討論方程Inx-±+1=0的實(shí)根個(gè)數(shù)e.函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)1)定義：設(shè)函數(shù)/(X)在區(qū)間/上連續(xù)，如果對(duì)/上任意兩點(diǎn)不赴恒有人.+々)</Ui)+/(-y2)2 2 '那么稱(chēng)/(x)在/上的圖形是凹的(幾何形狀?)：如果恒有『盧+%〉/(一)+/(±)八21 2那么稱(chēng)/(x)在/上的圖形是凸的(幾何形狀?).判定方法：(聯(lián)系幾何意義記憶)設(shè)函數(shù)/(X)在S向上連續(xù)，在①⑼內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么：3)若在(a,b)內(nèi)f"(x)>0,則/(x)在［a,b］上是凹函數(shù)；b)若在(a,仕內(nèi)/(x)<0,則/(尤)在［a向上是凸函數(shù).2)拐點(diǎn)定義：如果連續(xù)曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)兩側(cè)的凹凸性相反,則稱(chēng)點(diǎn)(尤0，/(%))為曲線(xiàn)y=f(x)的拐點(diǎn).判定凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的方法：a)求出函數(shù)y=/(x)定義域；b)求出二階導(dǎo)數(shù)廣(X)；C)求出二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；d)判斷，確定出曲線(xiàn)凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).注意：拐點(diǎn)不一■定是二階導(dǎo)為零的點(diǎn)(反例y=也在點(diǎn)x=0)；二階導(dǎo)為零的點(diǎn)也不一定是拐點(diǎn)(反例y=x4在點(diǎn)x=0).例求曲線(xiàn)y=3d-4尤3+1的拐點(diǎn)及凹、凸區(qū)間.二、函數(shù)的極值與最值.函數(shù)的極值.定義：設(shè)函數(shù)/(x)在點(diǎn)4的某鄰域U(%)內(nèi)有定義，如果對(duì)于去心鄰域0(%)內(nèi)的任一x,有/(x)</(x0)(或/(x)>/(x。))，那么就稱(chēng)/(x0)是函數(shù)/（X）的一個(gè)極大值（或極小值）.1）極值的必要條件設(shè)函數(shù)/（X）在x=x0處取得極值，且八%）存在，則/（%）=（）.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)），注意：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)（例y=x，在點(diǎn)X=O）,極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)（例函數(shù)y=國(guó)在點(diǎn)x=0）.2）極值的充分條件a）第一充分條件設(shè)函數(shù)/（X）在/處連續(xù)，且在X。的某去心鄰域0（工》）內(nèi)可導(dǎo)，I）若xe（X。?-瓦X。）時(shí)，f'（x）>0,而xe（/Mo+5）時(shí)，f'（x）<0,則）（x）在X。處取得極大值；II）若%6（%0-瓦/）時(shí)，f\x）<0>而xe（為0，%+5）時(shí)，f'（x）>0,則/（x）在無(wú)。處取得極小值；III）若xeO（x。⑶時(shí)，/（x）的符號(hào)保持不變，則/⑴在/處沒(méi)有極值.b）第二充分條件若尸（%）=0/（%）*0，則/⑴在公處取得極值.其中當(dāng)/”（%）>0取極小值,當(dāng)/"（/）<0取極大值.C）第三充分條件若八X。）=/"（%）=???=（X。）=0J0°（Xo）+0,則：I）當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)/（X）在X。處有極值；/伙/）>0取極小值，/叫/）<0取極大值.II）當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)/（X）在X。處無(wú)極值..函數(shù)的最值函數(shù)在定義區(qū)間上的最大值和最小值稱(chēng)為函數(shù)的最值.注意：函數(shù)的極值是局部概念；函數(shù)的最值是整體概念.函數(shù)的極值不一定是最值；最值也不一定是極值.判斷函數(shù)極值和最值的方法：a)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(⑺；b)找出函數(shù)/(x)的全部駐點(diǎn)和無(wú)定義點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；c)通過(guò)判斷廣⑴符號(hào)情況利用充分條件進(jìn)行確定函數(shù)的極值情況；d)確定出函數(shù)所有極值點(diǎn)和極值；并與所有不可導(dǎo)點(diǎn)的值以及區(qū)間的端點(diǎn)值作比較，確定出函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的最值.例求函數(shù)/(x)=(x2_iy+i在［一2,3］上的極值與最值.三、函數(shù)圖形的描繪和曲率.函數(shù)的漸近線(xiàn)定義：當(dāng)曲線(xiàn)y=/(x)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P沿曲線(xiàn)移向無(wú)窮點(diǎn)或定點(diǎn)時(shí)，如果點(diǎn)P到某定直線(xiàn)L的距離趨向于零，那么該直線(xiàn)L就稱(chēng)為曲線(xiàn)y=/(X)的一條漸近線(xiàn).1)水平漸近線(xiàn)若lim/(x)=a(或limf(x)=a)>則稱(chēng)y=a為曲線(xiàn)y=f(x)的水平漸近線(xiàn).如：曲線(xiàn)y=arctanx有兩條水平漸近線(xiàn)y= =2)垂直漸近線(xiàn)若lim/(x)=8(或lim/(x)=oo),則除x=x°為曲線(xiàn)y=/(x)的垂直漸近線(xiàn).如：曲線(xiàn),=再1有兩條垂直漸近線(xiàn)、=Tx=2.3）斜漸近線(xiàn)若lim慮=*hm[f（x）-ax]=b,貝U稱(chēng)直線(xiàn)y=qx+/?為曲線(xiàn)y=/（x）的斜漸近線(xiàn).（想想為什么？可聯(lián)系幾何意義）例：求曲線(xiàn)y=生01的漸近線(xiàn)方程.&.函數(shù)圖形的描繪方法步驟：a）確定函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)；b）求出一階和二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，求出一階和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；c）列表分析，確定曲線(xiàn)的單調(diào)性和凹凸性；d）確定曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)；e）確定并描出曲線(xiàn)上的極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、其它特殊占?八、、，f）聯(lián)接這些點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)的圖形..曲率、曲率半徑（數(shù)三不要求）曲率是描述曲線(xiàn)彎曲程度的量.k=—"?3；（其中y="龍））曲率a+廣\ ，曲率半徑K=- ^;（其中苫=8（04=刈）7f2.,/2\2A-*|人生設(shè)計(jì)HAITIANEDUCATION| 92013考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)講義（高數(shù)上）——之積分學(xué)、方程部分南京海天

王君甫第四章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)基本概念、理論一、不定積分.原函數(shù)定義1:如果在區(qū)間/上，可導(dǎo)函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)為/（x）,即對(duì)任一XG/,都行/（X）=/（X）或"（X）=/（X）dx,為陷F（X）就稱(chēng)為/（X）在區(qū)間/上的原函數(shù).原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)/（X）在區(qū)間/上連續(xù)，則/（X）在區(qū)間/上一定有原函數(shù).注意：a）如果/（X）有一個(gè)原函數(shù)，則/（X）就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù).即設(shè)尸（x）是/（x）的原函數(shù)，則F（x）+C也是/（x）的原函數(shù).

b)如果F(x)與G(x)都為/(x)在區(qū)間/上的原函數(shù)，則F(x)與G(x)之差為常數(shù),即尸(x)-G(x)=C..不定積分定義2：在區(qū)間/上，/(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)，稱(chēng)為/(外在區(qū)間/上的不定積分，記為J/(x)dx.注意：a)如果尸(x)是/(x)的一個(gè)原函數(shù)，則J/(x)dx=F(x)+C,(C為任意常數(shù))b)初等函數(shù)在定義域區(qū)間上連續(xù)，因而一定存在原函數(shù)，但cosxX它的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)，也就是下列積分是積不出來(lái)的.如:cosxX-dx,jsin(x2)Jx,jcos(x2)dx,.基本性質(zhì)a)線(xiàn)性性質(zhì)：(x)±bg(x)]Jx=aj/(x)dx±h (x)dx;b)微分與積分運(yùn)算:d\f(x)dx=f(x)dx;[F(x)\lx=F(x)+[F(x)\lx=F(x)+C;pF(x)rfx=F(x)+C.基本積分表l)Jkdx=H+C2)J尤"dx=+C(//*-l);3)J—=ln|x|4)J—=arctanx+C;5)l==dx=arcsinx+C;6)JcosMx=sinx4)J—=arctanx+C;5)7)(sinxdx=-cosx4-C;8)f——=(sec2xJx=tanx+C;9)f——=fcsc2xdr=-cotx+C;J Jcos2xJ Jsin2xJa*10)jsecxtanxdx=secx+C;l1)jcscxcotxdx=-escx+C;12)^exdx-ex+C;13)^axdx=-——+C.二、定積分.定積分的定義由曲邊梯形的面積導(dǎo)入：定義：設(shè)函數(shù)/(x)在［a向上有界，在［a向中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a=x0<%)<x2<???<xn_］<xn=h9把區(qū)間［a,。］分成個(gè)〃小區(qū)間［如引，［再㈤，…,各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為Ar1=斗-x0,Ax2=x2-X!，---,Axn=xn-x?-r在每個(gè)小區(qū)間區(qū)”引上任取一點(diǎn)作函數(shù)值/(幻與小區(qū)間長(zhǎng)度”的乘積f?)AXj(i=l,2,…并作出和S=￡/(沁……(1)1=1記4=max{jM，…,如果不論對(duì)［a,回怎樣劃分，也不論在小區(qū)間上點(diǎn)。怎樣選取，只要當(dāng)4—0時(shí)，和S總趨于確定的極限/,那么稱(chēng)這個(gè)極限/為函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,b］上的定積分(簡(jiǎn)稱(chēng)積分)，記作("x"，即ff(.x)dx=1=lim七/C,i=\其中/(x)叫做被積函數(shù)，/(x)dx叫做被積表達(dá)式，x叫做積分變量，。叫做積分下限，b叫做積分上限，【。㈤叫做積分區(qū)間.利用”￡-小的說(shuō)法，上訴定積分的定義可以表述如下：設(shè)有常數(shù)/，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)￡>0,總存在一個(gè)正數(shù)相使得對(duì)于區(qū)間【。向的任意分法，不論點(diǎn)。在優(yōu)上怎樣選取，只要尤<5時(shí)，總有<￡成立，則稱(chēng)/是/(x)在區(qū)間［a,b］上的定/=!積分，記作f/(xg.注意：a)定積分要求積分區(qū)間有限，被積函數(shù)在積分區(qū)間上有界.b)積分值與積分變量無(wú)關(guān)，即fv(xwx=(f(t)dt=rfwu.Jr? Jr/ J(iC)在幾何意義上，定積分表示的是函數(shù)圖像與X軸圍成的代數(shù)面積.例.函數(shù)的可積性必要條件：/(x)在［%b］上可積,則/(x)在［%b］上有界.充分條件：a)/(x)在區(qū)間口們上連續(xù).b)"X)在口々上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)..定積分的性質(zhì)約定a)：當(dāng)a=b時(shí)，f(x)dx=0約定b):當(dāng)a〉b時(shí)，=f(x)dx1)線(xiàn)性性質(zhì)：f［kf(x)+lgJ()］dx=kff{x)dx±lff(x)dx2)區(qū)間可加性：I*f(x)dx=rf(x)dx-^f(x)dx(c為任意的常數(shù))3)比較定理：如果在區(qū)間M,口上，/(x)>0,貝ljf/(xWxNO(a<b)特別地，如果在區(qū)間［a,b］上，/(x)Ng(x),貝lj fg(x)(/x(a<b)推論：|￡f(x)dx<￡|/(x)|c/x(a<&)(證明？)4)積分估值定理：在區(qū)間［。力］上，設(shè)m<f(x)<M,則 qAf(b-a)(證明？)5)積分第一中值定理：如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［。向上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)六出向，使得。(xWx=/e)(b-a)(證明？)推廣形式：若/(x)與g(%)都在口以上連續(xù)，且g(x)在M向上不變號(hào),則至少存在一點(diǎn)使得f/(x)g(xWx=/C)fg(x0x(證明？)6)/\dx=b-a;設(shè)函數(shù)〃x)在M,加上連續(xù)，非負(fù)，且『/(x)dx=O,則/(x)三0.Ja例1求極限limfxYl+x？dx〃一HJOJ).變限積分定義：如果函數(shù)/(幻在M力］上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)①(x)=f/Q)df在上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)①'(x)=@「/?)力=/(x)(a<x<h)注意：如果函數(shù)/(x)在M,以上連續(xù)，則函數(shù)①(x)=1/⑺力就是/(X)在力］上的一個(gè)原函數(shù).(即連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù))a)連續(xù)性：若/(x)在M㈤上可積，貝叮加)力在［。力］上連續(xù).b)可導(dǎo)性：若/⑴在M,以上連續(xù)，則力在力］上可導(dǎo)，且(￡/(rW=/(x)C)變限積分求導(dǎo)法則：(「"/(，)力)'=/(”(x))/(x)-/(e(x))“(x)即(X)d)奇偶性：i)若/(x)為連續(xù)奇函數(shù)，則工/⑺力為偶函數(shù)；(證明？)ii)若/(x)為連續(xù)偶函數(shù)，則1/⑴力為奇函數(shù).例設(shè)/(x)在［a向上連續(xù)，單調(diào)增.求證：xf(x)dx>f(x)dx.微積分學(xué)基本定理——牛頓、萊布尼茨公式如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)/(x)在［。向上的一個(gè)原函數(shù)，則例1設(shè)/(x)在［0,+oo)內(nèi)連續(xù)且/(x)〉0.證明函數(shù)/(x)=I也些在［次)出(0,y)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).4 _u.f/dt例2求lim 5x第二節(jié)積分法則.第一類(lèi)換元法(湊微分法)常見(jiàn)的幾類(lèi)湊微分法：^f(ax+b)dx=—^f(ax+b)d(ax+b);jf(xn)xn~'dx=—J/(xn)dx";dx=—;j/(sinx)cosxd=,(sinx)dsinx;j/(cosx)sinxd=-^/(cosx)dcosx;j/(tanx)sec2xd=j/(tanx)Jtanx;^f(ex)exdx=^f(ex)dex;j/(lnx)—J=j^/(lnx)rf(lnx);^J"巾⑺+5例]\~^dxJjc+X.第二類(lèi)換元法(變量替換法)/*=/(，)『]f(x)dx=jf[<p(t)](p'(t)dt=F(t)+C=F((p'x(x))+C;2)假設(shè)函數(shù)/(x)在[a,可上連續(xù)，函數(shù)x=*)滿(mǎn)足條件：例a)=a>(p(B)=b;°(r)在&0(或[夕,a])上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域(u[a,b],則有ff(x)dx=ff[(p(t)](p'(t)dtJa Ja3)常見(jiàn)的三角代換公式：a)yJa2-x2, =asint(acost)； b) 令x=atanr；C)yjx2—a2,令x=asect?.分部積分法一適用于兩類(lèi)函數(shù)的乘積形式的積分\iidv=uv—\vdu； 2)fudv=nvl—Tvdu常見(jiàn)的分部法則：jp〃(x)*dx;Jp“(x)sinaxdx;Jp“(x)cosaxdx.將多項(xiàng)式以外的湊到d上；jpn(x)Inxdx;jpn(x)arctanxdxjp〃(x)arcsinxdx.將多項(xiàng)式湊到d上;C)jeaxsinpxdx;J*cospxdx.湊誰(shuí)到”上都可以，關(guān)鍵會(huì)算兩步.dx=例]f.dxdx=Jy]X(4-X)后[.rarctane]例3J—Lx=例5psinxdx=比sinx4-cosx例6已知/(x)連續(xù)，tf(x-t)dt=1-cosx9求 的值.有理函數(shù)積分法1)有理函數(shù)：兩個(gè)多項(xiàng)式的商型稱(chēng)為有理函數(shù)，又稱(chēng)有理分式.

Q(x)真分式：P(x)的次數(shù)低于Q(x)的次數(shù).假分式：P(x)的次數(shù)高于Q(x)的次數(shù).方法：a)利用多項(xiàng)式的除法，假分式積分一定能化成一個(gè)多項(xiàng)式積分與一個(gè)真分式積分的和形式.如產(chǎn)：；］+%=j(2x2-l)Jx+b)對(duì)于真分式積分，舉例說(shuō)明：例］求f,X+1dx 例2求f3 dxJx--5x+6 J2x3+3x2+3x+l2)可化為有理函數(shù)的積分，j>(sinx,cosx)dx9通常采用萬(wàn)能公式代換法2tan—令，=tansinx=2tan—令，=tansinx= -2 142Xl+tan-22t1+產(chǎn)COSX=1 2%1-tan-[#22_1T9dx=21+/1+sinx,- - axsinx(l+cosx)3)簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)積分/，(令J\cx+d Ncx+d5.利用奇偶性和周期性及公式法計(jì)算定積分1)奇偶性:a)若/(x)在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則￡：/(x)dx=2"(x)dxb)若"x)在Hz,上連續(xù)且為奇函數(shù)，則￡'j(x)dx=02)周期性：設(shè)是連續(xù)的周期函數(shù)，周期為T(mén),則a)f[xydx=￡f(x)dxIb)[f(x)dx=m￡/(x)dx;3)公式法：n n” 71n n￡Af(sinx)Jx=yf(sinx)dx.

b)b)華萊士公式:n~\M-3 3171alb/auu ，〃為正偶數(shù)nn-2422巴上3…±2,〃為大于的正奇數(shù)n n2sin“n n2sin“xdx=limPcosMxdx=0) n—><xJ)例1arctanx+cos，x+sin8x)dx例2lim* H—>002第三節(jié)反常積分.無(wú)窮限的反常積分定義1:設(shè)函數(shù)/(X)在［a,+8)上連續(xù)，若lim，/(x)dx存在，則該極限稱(chēng)為/(x)在無(wú)窮區(qū)間［a,+00)上的反常積分，記作：「°f(x)dx=limff(x)dxJu 4—>+00alt/也稱(chēng)反常積分「〃x)dx收斂；若該極限不存在，則稱(chēng)反常積分發(fā)散.類(lèi)似地，可定義ff(x)dx=limCf(x)dx.注意：設(shè)函數(shù)/(X)在(-00,+oo)上連續(xù)，如果反常積分［/(X)山:和「/(x)dx都收斂，則稱(chēng)反常積分『/(x)dx=［/(x)dx+「/(x)dx收斂.否則，反常積分就發(fā)散..無(wú)界函數(shù)的反常積分定義2：設(shè)函數(shù)/(x)在(a,b］上連續(xù)，點(diǎn)a為/(幻的瑕點(diǎn)，若limf/(x)dx存在，則稱(chēng)該極限為函數(shù)"X)在(a向上的反常積分，記作：f7(x)dx=limf>(x)dx,也稱(chēng)該反常積分收斂，否則就稱(chēng)發(fā)散.JtJ J

類(lèi)似地，可定義『f(x)dx=limff(x)dx

工i t-^b~八注意：設(shè)函數(shù)/(x)在［a,加上除點(diǎn)c外連續(xù)，點(diǎn)c為/(x)的瑕點(diǎn)，如果反常積分「/(x)dx和f7(x)dx都收斂，則稱(chēng)反常積分f'/(x)dx=limff(x)dx

Ja Jr Ju &收斂.否則，反常積分就發(fā)散..反常積分的計(jì)算]f(x)dx=ff(x)dx=limf]f(x)dx=1 lb-.反常積分的斂散性(常用結(jié)論)a)r>=[p>l,a)r>=[p>l,收斂[pwi,發(fā)散(a>oei」fp<i,收斂 ax=< ，…，(x-a)p[p>1,發(fā)散例1求證：并求其值.例2例2判斷下列反常積分的斂散性1)嘿;2)￡告;rdxxln2x第四節(jié)定積分的應(yīng)用1.幾何應(yīng)用a)平面區(qū)域的面積：(幾何解釋?)i)由曲線(xiàn)y=/(x)(/(x)NO,及直線(xiàn)x=a與x=b(a</?)與x軸所圍成的圖形，面積為S=f/(x)dx.ii)由曲線(xiàn)y=/(x),y=g(x),及直線(xiàn)x=a與x=b(a<b)與x軸所圍成的圖形，面積為S=f|/(x)-g(x)|dx.iii)由曲線(xiàn)r=r(e)(“e)N0,及直線(xiàn)。=二與6=，所圍成的圖形，面積s=-f六⑹"；2八若有"="9)，r2r⑻，則所圍成的面積為5=31［昌6)_々2(的切iv)由參數(shù)方程*⑺給出的曲線(xiàn)，小弓分別為起點(diǎn)、終點(diǎn)，x=w)在用內(nèi)］上連續(xù)可微，>=吠⑺在此區(qū)間上連續(xù)，則曲邊梯形面積為5= 辿b)旋轉(zhuǎn)體體積：(幾何解釋?)i)曲線(xiàn)y=/(x),x=a,x=b繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體體積為匕=萬(wàn)/y~(x)dx推廠(chǎng)為匕以⑴-％21dxii)曲線(xiàn)y=/(x),x=a,x=b繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體體積為Vv=2乃［xy(x)dx推廣為匕=2萬(wàn)，口2(幻-%。)"C)曲線(xiàn)弧長(zhǎng)(數(shù)三不要求)：i）曲線(xiàn)方程y=/（x）（aWxWb）,則s=[J1+y"dxii）曲線(xiàn)方程為參數(shù)方程F=x⑺（aW￡）時(shí)，則[y=y（t）s=1啟⑴1+―力iii）曲線(xiàn)方程為極坐標(biāo)夕=p（e）（a《ew夕）時(shí)，貝Us=^yjp2+p'2ded）旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積（數(shù)三不要求）：）曲線(xiàn)方程、=/（*）20（。4工46）,則S。=[2萬(wàn)/（x）Jl+f"（x）dxii）曲線(xiàn)方程為參數(shù)方程/=M）（aW0時(shí)，則[y=y（.t）S^=f2]刈加一）[2+,《）]2力iii）曲線(xiàn)方程為極坐標(biāo)p=p（6）（a4"力）時(shí),則S僧=，17Cp（0）sin0>]p2+p'~d0.物理應(yīng)用（數(shù)三不要求）a）壓力；b）變力做功；c）引力.例設(shè)平面圖形A由f+y2w2x與y。所確定，求圖形A繞尤=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積.第五章常微分方程第一節(jié)基本概念、理論.微分方程定義：一般地，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程，簡(jiǎn)稱(chēng)方程.如y，+2xy+y=/.微分方程的階定義：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階.如心"+。〃_4孫，=3/是三階微分方程..微分方程的解定義：滿(mǎn)足微分方程的函數(shù)叫做微分方程的解..微分方程的通解定義：如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解.注意：任意常數(shù)的個(gè)數(shù)是說(shuō)獨(dú)立的常數(shù)的個(gè)數(shù)，如y=V+c是一階方程y，=2x的通解；如y=C,ex+C2e-3x是二階方程/+2/-3y=0的通解.初始條件：如果微分方程的解滿(mǎn)足在某一點(diǎn)的值，則該條件稱(chēng)為初始條件..微分方程的特解定義：確定了微分方程的通解中的常數(shù)后，對(duì)應(yīng)的解就叫做微分方程的特解.第二節(jié)一階微分方程.變量可分離方程定義：對(duì)于一階微分方程y，=/(x,y)如果能寫(xiě)成g(y)dy=/(x)dx的形式,就是說(shuō)，能把微分方程寫(xiě)成一端只含y的函數(shù)和dy,另一端只含x的函數(shù)和公，那么原方程稱(chēng)為可分離變量的微分方程.求解方法：步1)首先將原方程化成g(y)dy=/(x)dx的形式；步2)對(duì)上述方程兩端同時(shí)積分；步3)求不定積分解出通解y=y(x).例求微分方程蟲(chóng)=2町的通解.齊次微分方程1)如果一階微分方程可化成孚=0(馬的形式，那么就稱(chēng)這方程為齊

axx次微分方程.如(肛-/心_(%2_2知皿=0求解方法：步D將原方程化為包=以2)的形式；axx步2)令〃=2=>y=,則蟲(chóng)=〃+x也；x dxdx步3)將原方程化為U與X的變量可分離方程；步4)采用積分法求出〃=u(x),再將a=2代入得到通解.X例解方程八*2半”孚dxdx2)一階線(xiàn)性微分方程：孚+P(x)y=Q(x) (1)ax若Q(x)=O,則稱(chēng)為一階線(xiàn)性齊次微分方程；若Q(x)hO,則稱(chēng)為一階線(xiàn)性非齊次微分方程.求解方法：(公式法)方程⑴的通解為丁=/回々及“)』"①+。)3)伯努利方程(僅數(shù)一)：孚+P(x)y=2(x)y"ax當(dāng)〃=0或〃=1時(shí)，這是線(xiàn)性微分方程；當(dāng)〃時(shí)，該方程不是線(xiàn)性的，但是通過(guò)變量替換可化為一階線(xiàn)性微分方程.方法：步1)原方程兩端除以y"得，丫-"包+P(x)yj=Q(x)……..(2)；dx步2)作變量替換z=y~=半=(1-〃)尸半，則在方程⑵兩端dx dx同乘以(1-〃)，得到線(xiàn)性方程包+(1-〃)P(x)z=(1-〃)Q(x);dx步3)可用一階線(xiàn)性微分方程的公式法求出該方程的通解，最后以產(chǎn)1代替z得到伯努利方程的通解.故可得到伯努利方程的通解公式為：yj=Z=eJJ(1-〃)Q(x)+C)例求方程包+?=a(lnx)y2的通解.dxx4)全微分方程(僅數(shù)一)：形式：若P(x,y)dx+Q