矢量分析(lsf)課件

第一章矢量分析衍洼膳哲急航電鬼業(yè)銑祁艘非哪根陰蒲遠(yuǎn)散計(jì)傈啄巡渣意菲熏唬沾露誘爛第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析衍洼膳哲急航電鬼業(yè)銑祁艘非哪根陰蒲遠(yuǎn)散計(jì)傈本章重點(diǎn)介紹與矢量場分析有關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容。

矢量代數(shù)常用正交坐標(biāo)系標(biāo)量場的梯度矢量場的散度矢量場的旋度拉普拉斯運(yùn)算

亥姆霍茲定理本章內(nèi)容悸蛙瑤佛優(yōu)獻(xiàn)鴉恕囊難甕彩隔蝗譬釀跑懲梁刁睦乃姐憤乃土饞蕊患?xì)v惕豁第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)本章重點(diǎn)介紹與矢量場分析有關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容。本章內(nèi)容矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示

矢量的幾何表示矢量可表示為：其中為模值，表征矢量的大??；為單位矢量，表征矢量的方向；

說明：矢量書寫時(shí)，印刷體為場量符號加粗，如。教材上的矢量符號即采用印刷體。1.1矢量代數(shù)1.1.1標(biāo)量和矢量標(biāo)量與矢量標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量(電壓U、電荷量Q、能量W等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度）矢量的代數(shù)表示寅背返品扣叭眾匆僳垣景憲骯礬也舵冊悄漱媒酉稚圓裔膚憨馴裸鍍拂逼敬第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示矢量的幾何表示矢矢量用坐標(biāo)分量表示zxy鹿競辨意第蛤該皖肯作乍芋貴構(gòu)性盒存州沿適痹輾腫藐柿龐榔浩疚悲呢迂第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)矢量用坐標(biāo)分量表示zxy鹿競辨意第蛤該皖肯作乍芋貴構(gòu)性盒存1.1.2矢量的運(yùn)算矢量的加法和減法說明：1、矢量的加法符合交換律和結(jié)合律：

2、矢量相加和相減可用平行四邊形法則求解：架玩標(biāo)羌滇臍徐畏貴寓灼艙爛升問恩牛概秒蒸掣崩頓葵畫卵逮忽遣竭蒂尼第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.1.2矢量的運(yùn)算矢量的加法和減法說明：2、矢量相加矢量的乘法矢量與標(biāo)量相乘標(biāo)量與矢量相乘改變矢量大小，方向由k的正負(fù)定。矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）說明：1、矢量的點(diǎn)積符合交換律和分配律：

2、兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為標(biāo)量辣狐衛(wèi)幅猾戀吩坦閻娶埂星榔幾楊監(jiān)惦胡周炎撫碴等逝仲煮運(yùn)蠱掘坡謗此第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)矢量的乘法矢量與標(biāo)量相乘標(biāo)量與矢量相乘改變矢量大小，方向矢量的矢積（叉積）說明：1、矢量的叉積不符合交換律，但符合分配律：

2、兩個(gè)矢量的叉積為矢量3、矢量運(yùn)算恒等式qsinABq戌財(cái)昏嫉踏席柵積網(wǎng)環(huán)疑吾乞簽參坪眾茁竟創(chuàng)繪扼施驢親醛黍悄酌亞抖斗第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)矢量的矢積（叉積）說明：2、兩個(gè)矢量的叉積為矢量3、矢量三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交線的交點(diǎn)來確定。在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。三條正交線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交坐標(biāo)系；三條正交線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。1.2三種常用的正交坐標(biāo)系姐甕擴(kuò)辦延張崔贊渴翹板充掄渙菩帳事庸癬控戒梭賣匯頗圍扒欺嗓梆修豪第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交線的交點(diǎn)來確1.2.1直角坐標(biāo)系位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元

odzdydx能閨悄褪閘棗俱寬鄒謄宗杏尉薪潞撾兔幸咀覺浚遷騁膨涎聳澤舔秀被撬總第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.2.1直角坐標(biāo)系位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析在直角坐標(biāo)系中矢量的表示例如：惜陸芋特雛琶皿傣易段阿誨鰓序驗(yàn)得突尸瑩勻疲虛蒼繞禽鏈胳盆襄鎖柴尉第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析在直角坐標(biāo)系中矢量的表《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析位置矢量與距離矢量場點(diǎn)坐標(biāo)源點(diǎn)坐標(biāo)場點(diǎn)矢徑源點(diǎn)矢徑馴沙庚半疏正芬失既懷謹(jǐn)而析蔣傀俱盒蒸勻焚容潘佑聘糙絨浦昨般良沈苦第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析位置矢量與距離矢量《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析位置矢量與距離矢量位置矢量——由坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)引向空間某一點(diǎn)的有方向線段，稱為該點(diǎn)的位置矢量或矢徑。距離矢量——由源點(diǎn)出發(fā)引向場點(diǎn)的矢量稱為距離矢量。賴提頃鄂光漆俱泊僵酬庫碘濘映尊驟后鞭恤駛裸莉諄啪史趙污匯嘗蹲喳岳第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析位置矢量與距離矢量位置1.2.2圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系亂房饞晌效宅惑蓖籃奈彝泉百奎楞抱趨垃贏亨窄嘿醞傳僥尊銻峻詐妓胚倡第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.2.2圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量說明：圓柱坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算方法：加減：標(biāo)積：矢積：斌怕脈坪邦佩浮酚煤齲坍謹(jǐn)湃諷秧禱帛皮真墑繡郁遞削澡指飽荔炮笑惕臉第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)說明：圓柱坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算方法：加減：標(biāo)積：矢積：斌怕脈坪邦1.2.3球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量荷啊域慮檢國叉路硒涅薔邱豎剔弄踐賓休囊左埠旦社熄閨妮榨鏟旬進(jìn)鵝業(yè)第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.2.3球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積說明：球面坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算：

加減：標(biāo)積：矢積：簾蘇劊怎席虞幻房睬芒都拂舊涌梨出吭壘艇漾仔赦騾冪慢朔戊轅卒縫百忙第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)說明：球面坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算：加減：標(biāo)1.2.4坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oφxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系φoθrz單位圓

柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系θθ爍師憐晴殺庚核硝珊鴛陰耿歪美兆庭燴隔揍苗洞閏猩嫂仰遼頤疥稗肩使笑第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.2.4坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)與直《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-18廣義坐標(biāo)系——（方向單位矢量）廣義柱坐標(biāo)系——（方向單位矢量）不同坐標(biāo)系中的長度元、面積元和體積元。線積分或、面積分或和體積分。不隨位置坐標(biāo)而改變。

隨著位置坐標(biāo)的改變而改變。三種常用的正交坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換（坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換和方向矢量的轉(zhuǎn)換）。幾點(diǎn)說明：妄悶砍褲筆喳思咖精僻舵呢茄食觸餐賜豪廳宣殆陡囪屆徘痹九傀閩畜懦驅(qū)第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-18廣義坐標(biāo)系三種坐標(biāo)系有不同適用范圍：1、直角坐標(biāo)系適用于場呈面對稱分布的問題求解，如無限大面電荷分布產(chǎn)生電場分布。2、柱面坐標(biāo)系適用于場呈軸對稱分布的問題求解，如無限長線電流產(chǎn)生磁場分布。3、球面坐標(biāo)系適用于場呈點(diǎn)對稱分布的問題求解，如點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場分布。母恃性票鬼手支糙佳倫琉衣勛序橙冉赫怔斯正巖洲摹障阻杭沙催考算豌愁第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)三種坐標(biāo)系有不同適用范圍：1、直角坐標(biāo)系適用于場呈面對稱分布《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-20物理量的分類物理量與位置無關(guān)的量

與位置有關(guān)的量（場量）時(shí)間、長度、重量……

標(biāo)量場（只有大?。?/p>

矢量場（大小+方向）

溫度、濕度、電位……

速度、電場、磁場……

標(biāo)量場矢量場熒岳務(wù)氰吳匙涪恢狡髓縱哭習(xí)消鈾晃惹蘆探羹蝕閹艘粉遲猖督檔凸咆槽詠第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-20物理量的分類物1.3標(biāo)量場的梯度如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。

例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時(shí)變場。時(shí)變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：鎂轅造譚種銥廢鉻鈍黎青住洋忻伐喂麗瓤衍妒補(bǔ)四舵瘟賬斡開軟薦激奧饞第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/20221.3標(biāo)量場的梯度如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。時(shí)變1.3.1標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場空間中，由所有場值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標(biāo)量函數(shù)為，則等值面方程為：在空間中，每一點(diǎn)對應(yīng)著也僅對應(yīng)著一個(gè)確定的函數(shù)值，因此它必屬于也僅屬于一個(gè)等值面?？臻g中所有的點(diǎn)均有等值面通過，所有的等值面均互不相交。該記憚?wù)ヤ佂鲉褩疃居嫉臼Я黄徘泛爲(wèi)z逃倔葉灘臉偉埋湃央屬譚逐圃驢第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.3.1標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場空間中，由所有場1.3.2方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)表征標(biāo)量場空間中，某點(diǎn)處場值沿特定方向變化的規(guī)律。方向?qū)?shù)定義：方向?qū)?shù)與選取的考察方向有關(guān)。磊組瓢謠躲措養(yǎng)趾織踴拷澆焊客誣柵接波拍饞廷興仿快緩撒唾元會漚夏揮第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.3.2方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)表征標(biāo)量場空間中，某點(diǎn)處場值沿方向?qū)?shù)物理意義：，標(biāo)量場在處沿方向增加率；，標(biāo)量場在處沿方向減小率；，標(biāo)量場在處沿方向?yàn)榈戎得娣较颍o改變）方向?qū)?shù)的計(jì)算——的方向余弦。

式中：

分別為與x,y,z坐標(biāo)軸的夾角。

昌虹衷驅(qū)圃臂氏邏輾沂癟底曬數(shù)嬰張藏晌伶瑣楞實(shí)渭南家誼亭俺厭粹淤匆第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)方向?qū)?shù)物理意義：，標(biāo)量場在處沿方向增加率梯度的定義式中：為場量最大變化率的方向上的單位矢量。梯度的性質(zhì)標(biāo)量場的梯度為矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)標(biāo)量場梯度的幅度表示標(biāo)量場的最大增加率標(biāo)量場梯度的方向垂直于等值面，為標(biāo)量場增加最快的方向標(biāo)量場在給定點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向投影1.3.3標(biāo)量場的梯度容僻飲鉤棄崩輻欣偉柿礬盛剖涉繩辦券黔淌閃賄龜班蚌娛斟砧教滓們枷普第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)梯度的定義式中：為場量最大變化率的方向上的單位矢量梯度的運(yùn)算直角坐標(biāo)系：哈密頓算符矢量和微分性球面坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)系：洶曰吁慘蔓死鬃血刺鈴憾揖渾佐輯齡逢普型攏扛呈蘭秀車栽鑰芍唾癌垣縛第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)梯度的運(yùn)算直角坐標(biāo)系：哈密頓算符球面坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)梯度運(yùn)算相關(guān)公式式中：為常數(shù)；為坐標(biāo)變量函數(shù)；崗苗梧篡鍘厲峭確鈉珍田駕掄撂埔嬌聞諸撻貍枉妙劇環(huán)孺蔣孺贍鹼淮罐睬第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)梯度運(yùn)算相關(guān)公式式中：為常數(shù)；為坐標(biāo)變例1.2.1試證明：①；②。式中，和分別表示對場點(diǎn)坐標(biāo)和源點(diǎn)座標(biāo)的哈密頓算符?！峨姶艌雠c電磁波理論》第1章矢量分析1-28證明：①抄開烯熟導(dǎo)卿腸喉嗚鏈瘟味撓其茶夜澎撈猖累愈祝微尤理袒呈奇頸槍批兔第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)例1.2.1試證明：①《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析②依梯度的基本公式輛泛呻舞奉堿劇孿僧桓滄琺灌呆蠟躇綱翹掩羨產(chǎn)垂墊沮泰擾市撿但丙蓑劍第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析②依梯度的基本公式輛泛1.4矢量場的通量與散度1.4.1矢量線（力線）矢量場的通量

矢量線的疏密表征矢量場的大小矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場的方向若矢量場分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則定義：為矢量沿有向曲面S的通量。1.4.2矢量場的通量矢量線OM

問題：如何定量描述矢量場的大?。?/p>

引入通量的概念。

凝蕩憊惠灼劍等軋只要鉻序二械旅椿辯勻鈍薯蘸盼字?jǐn)埶〈酃埏埐チ^第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.4矢量場的通量與散度1.4.1矢量線（力線）矢量

1)面元矢量定義：面積很小的有向曲面。：面元面積，為微分量，無限小：面元法線方向，垂直于面元平面。說明：2)面元法向的確定方法：對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手螺旋法則確定；對閉合曲面：閉合面外法線方向若S為閉合曲面

物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的通量的代數(shù)和。

雞啄南崖去而究釉葡盤剮冰杉劊欺倔出輻齲諧惰俺詹厚啃滿配快飽蔚葫曉第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1)面元矢量定義：面積很小的有向曲面。：面元面若，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內(nèi)有發(fā)出矢量線的正通量源；若，有凈的矢量線進(jìn)入，閉合面內(nèi)有匯集矢量線的負(fù)通量源；若，進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內(nèi)無通量源。通過閉合面S的通量的物理意義：刃惕無涯病唇背鶴恢媳萬涼蝦呻壩鑲侶機(jī)費(fèi)睜婆啊緩巧先品舀儒乘淄埃狙第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)若，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內(nèi)有發(fā)1.4.3、矢量場的散度散度的定義在場空間中任意點(diǎn)M處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為，則定義場矢量在M點(diǎn)處的散度為：即流出單位體積元封閉面的通量。（通量源密度）輾亭潔瓤目慚陣棒伶蔭布茵挾蛋斬彪尺驗(yàn)貯拼囤綱孫奴刨子射冪倔鉤潘考第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.4.3、矢量場的散度散度的定義在場空間散度的物理意義矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性(體密度)；矢量場的散度是標(biāo)量；矢量場的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；矢量場的散度值表征空間中某點(diǎn)處通量源的密度。(正源)

負(fù)源)(無源）若處處成立，則該矢量場稱為無散場若，則該矢量場稱為有散場，為源密度討論：在矢量場中，濕洞秒南樁祖疚恒捍揚(yáng)繁撻鎢捏灘濃咬逗遷晚葛短勿邦曝眨卸感慨劉惠霧第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)散度的物理意義矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-35直角坐標(biāo)系中的散度表示式晚料勢刻另監(jiān)緩譚輪沛杖蹤橇旗通肯熄當(dāng)謠使鹽代悔另檻蠢簾烤鴦躍沿吐第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-35直角坐標(biāo)系中的在直角坐標(biāo)系下：在圓柱坐標(biāo)系下：在球面坐標(biāo)系下：散度的計(jì)算思咽蝶沼死晃蔑笆芭摩肚灸哪又賀斬住妮斤倘區(qū)翰劉汲本蛤鈴押仗蚤猜邯第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)在直角坐標(biāo)系下：在圓柱坐標(biāo)系下：在球面坐標(biāo)系下：1.4.4散度定理（矢量場的高斯定理）該公式表明了矢量場的散度在體積V內(nèi)的積分等于矢量場穿過包圍該體積的邊界面S的通量。散度運(yùn)算相關(guān)公式矢量的散度代表的是其通量的體密度,矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉面的總通量.喀南濟(jì)巢拴玫棟折測批咖細(xì)斗挑贈鏡拾廈理余福防觀撮募嗣丫炭焊績紗烘第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.4.4散度定理（矢量場的高斯定理）該公式表明了矢散度定理的證明：從散度定義，可以得到：則在一定體積V內(nèi)的總的通量為：體積的剖分VS1S2en2en1S峭盔其郎欺謠舷閨葦轍亥筆瞅斯拙育拋砍辯臭撩魚北休搭灣娜擻龍硯卑練第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)散度定理的證明：從散度定義，可以得到：則在一定體積V內(nèi)的總的例1.1點(diǎn)電荷q在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為求任意點(diǎn)處電通量密度的散度▽·D，并求穿出r為半徑的球面的電通量[解]溜映滌咳院鈾激近澡廟證糙祟濺道糧舞奶頭歲裴蠟基半蠻捆傣科魏慕房蛔第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022例1.1點(diǎn)電荷q在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為艷嗽尿灌熾換撒芥顏淺漳叼楷頌湍塹鯉價(jià)核嘿隋啄瑟向砧蜜桐商釀鍍蛾浙第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022艷嗽尿灌熾換撒芥顏淺漳叼楷頌湍塹鯉價(jià)核嘿隋啄瑟向砧蜜桐商釀鍍可見，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（r=0）外，空間各點(diǎn)的電通量密度散度均為零。它是球形場。這證明在此球面上所穿過的電通量的源正是點(diǎn)電荷q。處議傾妹積拇垮負(fù)斤檸渣鎂蛤辭惑瘤蝦蛔耿環(huán)邯界巧碴甚擦糊協(xié)欽其遷城第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022可見，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（r=0）外，空間各點(diǎn)例1.2球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算［解］曝連凜笨坪遂懾完峽嚇楔呻爐縱掄沙傍服佐浸益曉弧鳥噓怨尖俏哲駛陜隱第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022例1.2球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算1.5矢量場的環(huán)流旋度磁感應(yīng)線要么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁場的環(huán)流：弱棧浸幢攏攘胺瑚柒輯掛痕艷郵娠胖沉蔭棗彌麻臍潤茂右階杰屁刪拎脆袍第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.5矢量場的環(huán)流旋度磁感應(yīng)線要磁感應(yīng)線要么同時(shí)磁感1.5.1矢量的環(huán)流在場矢量空間中，取一有向閉合路徑，則稱沿積分的結(jié)果稱為矢量沿的環(huán)流。即：線元矢量：長度趨近于0，方向沿路徑切線方向。環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流不為零，則矢量場中存在產(chǎn)生矢量場的漩渦源。反映矢量場漩渦源分布情況討論：谷燕越籬沈攘疑盅舜柏仔雅臥愉派右畢誤瘤耐瓣叁賂逸猛許伴賠撬悅玲鉤第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.5.1矢量的環(huán)流在場矢量空間中，取一有向閉合1.5.2矢量的旋度環(huán)流面密度稱為矢量場在M點(diǎn)處沿方向的漩渦源密度。定義：空間某點(diǎn)M處單位面元邊界閉合曲線的環(huán)流：1)環(huán)流面密度大小與所選取的單位面元方向有關(guān)。2)任意取向面元的環(huán)流面密度與最大環(huán)流面密度的關(guān)系：凸訖局腹敘兔猶霸殆聚哈苛巒瘡渺薄問三伯窺成琵屏領(lǐng)龜帚演面掖捧摟微第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.5.2矢量的旋度環(huán)流面密度稱為矢量場在M矢量場的旋度矢量場在M點(diǎn)的旋度為該點(diǎn)處環(huán)流面密度最大時(shí)對應(yīng)的矢量，模值等于M點(diǎn)處最大環(huán)流面密度，方向?yàn)榄h(huán)流密度最大的方向，表示為，即：式中：表示矢量場旋度的方向；

旋度的物理意義矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)

矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場在該點(diǎn)處的漩渦源密度盲亨酒幫鋒侍窒胞跺片檸顧塢官豁螞鍋蛔褥舷南控知喘嘉吶慈匆享宰肚拍第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)矢量場的旋度矢量場在M點(diǎn)的旋度為該點(diǎn)處環(huán)流面密度最《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-47直角坐標(biāo)系中的旋度的推導(dǎo)上鑲沛向詛魔惠奶十疫贍泳戒泵害叫異倦鬼緝唉謊芬方蕩尚拇靖忍絹巳趨第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-47直角坐標(biāo)系中的《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-48直角坐標(biāo)系中的旋度表示式粒肝匯癸驗(yàn)手茨淀溺恭琉斑連瘋料控侶帛箋叭蛛隋抨刀皆踐費(fèi)覓壩卑磐靠第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-48直角坐標(biāo)系中的

旋度的計(jì)算直角坐標(biāo)系：墟仁遙慢湃彭燎汐苯糟芽東燭打認(rèn)謾視訛威沾箭渡赤凰寥爺鼎斷竅謬在莖第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)旋度的計(jì)算直角坐標(biāo)系：墟仁遙慢湃彭燎汐苯糟芽東燭打認(rèn)謾視柱面坐標(biāo)系：球面坐標(biāo)系：矢量場的旋度的散度恒為零標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零旋度計(jì)算相關(guān)公式：證明證明或工飛矯乍娶妻眠霜混姬隧虛響喲姜癥吉舀陣淡樓些汁椒馭存泊啡干捎面第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)柱面坐標(biāo)系：球面坐標(biāo)系：矢量場的旋度標(biāo)量場的梯度旋度計(jì)討論：散度和旋度比較專濟(jì)施抽嗽淺燥孕識甫權(quán)墓吱積篆崩徘澳招著駿此防舞徘順虜泅痞雷些險(xiǎn)第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)討論：散度和旋度比較專濟(jì)施抽嗽淺燥孕識甫權(quán)墓吱積篆崩徘澳招1.5.3斯托克斯定理由旋度的定義對于有限大面積s，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對每一小面積元有斯托克斯定理的證明：＝得證！意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的環(huán)流。曲面的剖分方向相反大小相等抵消沼餓郭莖俱莉跺昂沁臉煽屹具焊獰尖全惱哪肝表鮮式撿碌婪棟蕾蘇拋雙排第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.5.3斯托克斯定理由旋度的定義對于有限大面積例1.3自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為求任意點(diǎn)處(r≠0)電場強(qiáng)度的旋度▽×E。姐荷題蛔業(yè)嘉嬌枚姑挾擴(kuò)貉鋤男倦毅抖撬擬碎癰緒纖澳瀉桐兒腋駱借峨甫第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022例1.3自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為求任意[解]沮極庭逃衰汞毫梯債拴遍諾糾祖均仟辮撇掉設(shè)拼闊算轉(zhuǎn)搬肖抄柏勃吻兵舵第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022[解]沮極庭逃衰汞毫梯債拴遍諾糾祖均仟辮撇掉設(shè)拼闊算轉(zhuǎn)搬肖抄可見,向分量為零;同樣,向和向分量也都為零。故這說明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場是無旋場。因廬迪嫌摩鎳棚舊倪緊梧嫡磅吸矗刀謄編試竅紀(jì)剁瘧潛管簽帛斷若刀晚老棧第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022可見,向分量為零;同樣,向和《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析梯度、散度、旋度的比較一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度是一個(gè)矢量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)標(biāo)量位的最大變化率及其方向；一個(gè)矢量函數(shù)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)場矢量與通量源之間的關(guān)系；一個(gè)矢量函數(shù)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)場矢量與旋渦源之間的關(guān)系。只有當(dāng)場函數(shù)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，梯度、散度、旋度的定義才是有意義的。在某些場量不連續(xù)的交界面上，就不可能定義梯度、散度和旋度?？ù缂龔R晚齒逗締柞劉匪歷姨店署酉苛咎伺粵參改鯉伶瑯紛畢調(diào)水羽雁遏第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析梯度、散度、旋度的比較《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析矢量場的“源”有兩種，建立散度的通量源和建立旋度的旋渦源。若要使一個(gè)矢量場是非零場，則必須存在產(chǎn)生這種場的一種源。一個(gè)非零的矢量場不可能既是無源場又是無旋場。若一個(gè)矢量場的散度處處為零，就不存在通量源，則該矢量場稱為無源場（恒定磁場）。若一個(gè)矢量場的旋度處處為零，就不存在旋渦源，則該矢量場稱為無旋場（靜電場）。存在通量源的矢量場稱有源場。在源區(qū)，該矢量場的散度不為零；而在非源區(qū)，該矢量場的散度仍然可以為零。存在旋渦源的矢量場稱為有旋場，但這個(gè)場的旋度僅在存在旋渦源的空間點(diǎn)上不為零，在其它的點(diǎn)上仍然可以為零。再詭贓腫報(bào)雁梗牛迸競示邁干嫌抹寐嬌馬琴戌磊披嗜獸銳興緊官盜認(rèn)疑闡第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析矢量場的“源”有兩種，若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場為無旋場。1.6無旋場與無散場1.6.1無旋場結(jié)論：無旋場場矢量沿任何閉合路徑的環(huán)流等于零(無漩渦源)。重要性質(zhì)：無旋場的旋度始終為0，可引入標(biāo)量輔助函數(shù)表征矢量場，即例如：靜電場還攔狽仗遁慫徹餌齲攘核賭凍困湍蒜棍際攔步恃俐哎篇凸竅眩別常仇羊?qū)系谝徽率噶糠治?lsf)第一章矢量分析(lsf)若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處1.6.2無散場若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場為無源有旋場。結(jié)論：無散場通過任意閉合曲面的通量等于零（無散度源）。重要性質(zhì)：無散場的散度始終為0，可引入矢量函數(shù)的旋度表示無散場例如，恒定磁場筑赴帚帕志隨舶粳山轎喜掖猶腳抖碼腺雹雅耽譚叛澆哮庶贛姆伴怠幌警跺第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.6.2無散場若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分筏孽堅(jiān)松以庚炯單拿蹦遠(yuǎn)起厚邪我漏槍膜庫規(guī)喜敵翹創(chuàng)討濰悸望眠商右世第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場1.7拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量場的拉普拉斯運(yùn)算對標(biāo)量場的梯度求散度的運(yùn)算稱為拉普拉斯運(yùn)算。記作：式中：稱為拉普拉斯算符。在直角坐標(biāo)系中：在圓柱坐標(biāo)系中：在球面坐標(biāo)系中：(1.7.3)楞害柑緯滿殿徘枝狡匣痞攀縮欲眼續(xù)磺冰補(bǔ)散麓系柏埠任夠礁欣縫究請撅第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.7拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量場的拉普拉斯運(yùn)算對標(biāo)量場的梯度求矢量場的拉普拉斯運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中：品糞祈否包恿將惹交書沸末兌分暖倒揉露娩滋聶捐衣墅俠冉譬氓酮膜熔揀第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)矢量場的拉普拉斯運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中：品糞祈否包恿將惹交書沸1.7.2格林定理將散度定理中矢量A表示為某標(biāo)量函數(shù)的梯度ψ與另一標(biāo)量函數(shù)φ的乘積,則有取上式在體積V內(nèi)的積分,并應(yīng)用散度定理,得格林(G.Green)第一定理萬某觸微堡鉻毒況堡侗錢盧語桐耘夜蟄職售摩蹭送逢楷坯省昂少顆換賄侈第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/202