高中數(shù)學(xué)111算法的概念課件湘教版必修5

【課標要求】1．通過對解決具體問題過程與步驟的分析，體會算法是解決問題的“機械”程序，并能在有限步內(nèi)完成，體會算法的思想．2．通過對具體問題解決過程的探索和研究，掌握算法步驟，了解算法與求解一個具體問題在方法上的區(qū)別，明確算法的要求．3．初步學(xué)會為一個具體問題設(shè)計算法．11．1算法的概念【課標要求】11．1算法的概念自學(xué)導(dǎo)引1．算法的概念算法(algorithm)通常是指由

組成的求解某

的通用的方法，對于該類問題中的每個給定的具體問題，機械地執(zhí)行這些步驟就可以得到問題的解答．2．算法的要求(1)寫出的算法，必須能解決

(例如解任意一個二元一次方程組)，并且能

；(2)算法過程要能

，每一步執(zhí)行的操作，必須

，不能含混不清，而且經(jīng)過有限步后能 ．有限多個步驟一類問題一類問題重復(fù)使用一步一步執(zhí)行確切得出結(jié)果自學(xué)導(dǎo)引有限多個步驟一類問題一類問題重復(fù)使用一步一步執(zhí)行確切3．算法的特點算法具有確定性、

和 ．4．更相減損術(shù)對于給定兩個正整數(shù)， ．作差后將所得的

與

的數(shù)構(gòu)成一對新數(shù)，對這對數(shù)再用大數(shù)減小數(shù)，以同樣的操作一直做下去，直到產(chǎn)生一對相等的數(shù)，這個數(shù)就是最大公約數(shù)．有效性有限性用較大的數(shù)減去較小的數(shù)差較小3．算法的特點有效性有限性用較大的數(shù)減去較小的數(shù)差較小自主探究1．算法與一般意義上的數(shù)學(xué)問題的解法一樣嗎？答案算法與一般意義上的數(shù)學(xué)問題的解法既有聯(lián)系又有區(qū)別．(1)聯(lián)系：算法與解法是一般與特殊、抽象與具體的關(guān)系．例如：教材先從分析一個具體的二元一次方程組的求解過程(解法)出發(fā)，歸納出了二元一次方程組的求解步驟，并且指出，這樣的求解步驟也適合所有滿足限制條件的二元一次方程組，這些步驟就構(gòu)成了解二元一次方程組的算法；(2)區(qū)別：算法是解決某一類問題所需要的程序和步驟的統(tǒng)稱，也可理解為數(shù)學(xué)中的“通法”；解法是解決某一個具體問題的過程和步驟，是具體的解題過程．自主探究2．怎樣正確理解更相減損術(shù)？答案所謂更相減損術(shù)就是對于給定的兩個數(shù)，以兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成一對新數(shù)，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟直到差數(shù)與較小的數(shù)相等，此時相等的兩數(shù)便為原兩數(shù)的最大公約數(shù)．算法步驟：(以求a，b兩整數(shù)的最大公約數(shù)為例)S1：輸入兩個正整數(shù)a，b(a＞b)；S2：若a不等于b，則執(zhí)行第三步，否則執(zhí)行第五步；S3：把a－b的差賦給r；S4：如果b＞r，則把b賦給a，把r賦給b；否則把r賦給a，執(zhí)行第二步；S5：輸出最大公約數(shù)b.2．怎樣正確理解更相減損術(shù)？預(yù)習(xí)測評1．用更相減損術(shù)求98與56的最大公約數(shù)為(

)．A．2 B．7C．14 D．56答案C預(yù)習(xí)測評解析D中所示求解是無限個數(shù)相加，不具備算法的有限性特點，因此不可以用算法求解．答案D解析D中所示求解是無限個數(shù)相加，不具備算法的有限性特點，因3．以下有六個步驟：①撥號；②等撥號音；③提起話筒(或免提功能)；④開始通話或掛機(線路不通)；⑤等復(fù)話方信號；⑥結(jié)束通話．試寫出打一個本地電話的算法________(只寫編號)．答案③②①⑤④⑥4．假設(shè)家中生火泡茶有下列幾個步驟，最優(yōu)的一個算法是________(只寫編號)．a(chǎn)．生火；b.將水倒入鍋中；c.找茶葉；d.洗茶壺茶杯；e.用開水沖茶．解析遵循時間最短原則設(shè)計最優(yōu)算法．答案bacde(或badce)

3．以下有六個步驟：要點闡釋1．算法概念的理解算法就是對一類問題(不是個別問題)都有效，計算可以一步一步地進行，每一步都能得到唯一的結(jié)果，通常我們把這一類問題的求解過程，叫做解決這一類問題的算法．算法一般是機械的，有時要進行大量重復(fù)的計算，它的優(yōu)點是一種通法，只要按部就班地去做，總能算出結(jié)果，通常把算法過程稱為“數(shù)學(xué)機械化”．數(shù)學(xué)機械化最大的優(yōu)點，是它可以讓計算機來完成．要點闡釋2．算法可概括為以下幾個特點(1)有限性一個算法應(yīng)包含有限的操作步驟，而不能是無限的．(2)確定性算法中的每一個步驟都應(yīng)當是確定的，而不應(yīng)當是模棱兩可的．(3)順序性與正確性算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能解決問題．2．算法可概括為以下幾個特點(4)不唯一性求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法．(5)普遍性很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限的、事先設(shè)計好的步驟加以解決．3．更相減損術(shù)求兩個數(shù)的最大公約數(shù)時，一定要弄清每一次減法中的被減數(shù)、減數(shù)，同時要掌握減法應(yīng)在何種情況下停止運算，得出結(jié)果．(4)不唯一性典例剖析題型一算法的概念【例1】

下列關(guān)于算法的描述正確的是(

)．A．算法與求解一個問題的方法相同B．算法只能解決一個問題，不能重復(fù)使用C．算法過程要一步一步執(zhí)行，每步執(zhí)行的操作必須確切D．有的算法執(zhí)行完后，可能無結(jié)果解析算法與求解一個問題的方法既有區(qū)別又有聯(lián)系，故A不對；算法能重復(fù)使用，故B不對；每個算法執(zhí)行后必須有結(jié)果，故D不對；由算法的有序性和確定性可知C正確．答案C方法點評算法實際上是解決問題的一種程序性方法，它通常指向某一個或一類問題，而解決的過程是程序性和構(gòu)造性的．算法也可以看成解決問題的特殊的、有效的方法．典例剖析1．下列關(guān)于算法的說法，正確的有(

)．①求解某一類問題的算法是唯一的；②算法必須在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必須是明確的，不能有歧義或模糊；④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果．A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析解決某一類問題的算法不唯一，第①個說法錯誤，②③④正確，故選C.答案C1．下列關(guān)于算法的說法，正確的有()．題型二更相減損術(shù)【例2】

用更相減損術(shù)求下列兩數(shù)的最大公約數(shù)：(1)261,319；(2)1734,816.解用更相減損術(shù)就是根據(jù)m－n＝r，反復(fù)執(zhí)行，直到n＝r為止．(1)更相減損術(shù)：319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，∴319與261的最大公約數(shù)是29.題型二更相減損術(shù)(2)更相減損術(shù)：因為兩數(shù)皆為偶數(shù)，首先除以2得到867,408，再求867與408的最大公約數(shù)．867－408＝459，459－408＝51，408－51＝357，357－51＝306，306－51＝255，255－51＝204，204－51＝153，153－51＝102，102－51＝51，∴1734與816的最大公約數(shù)是51×2＝102.(2)更相減損術(shù)：因為兩數(shù)皆為偶數(shù)，首先除以2得到867,4方法點評通過上例可以發(fā)現(xiàn)用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)，運算簡單，程序易編．方法點評通過上例可以發(fā)現(xiàn)用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)，運算簡單2．用更相減損術(shù)求63和98的最大公約數(shù)．解由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，如下圖所示：所以98和63的最大公約數(shù)是7.2．用更相減損術(shù)求63和98的最大公約數(shù)．題型三實際問題的算法【例3】

一個人帶三只狼和三只羚羊過河．只有一條船，同船可以容一個人和兩只動物．沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會吃掉羚羊．請你設(shè)計安全渡河的算法．解要想安全過河，每一步都要遵循一個共同原則：在人運送動物過河的過程中，人離開岸邊時必須保證每個岸邊的羚羊數(shù)目要大于狼的數(shù)目．題型三實際問題的算法算法如下：S1：人帶兩只狼過河；S2：人自己返回；S3：人帶一只狼過河；S4：人自己返回；S5：人帶兩只羚羊過河；S6：人帶兩只狼返回；S7：人帶一只羚羊過河；S8：人自己返回；S9：人帶兩只狼過河．方法點評實際問題的算法與數(shù)學(xué)問題的算法是有區(qū)別的，一般數(shù)學(xué)問題的算法可以設(shè)計程序用計算機求解，而實際問題的算法一般不能用計算機解決．算法如下：3．兩個大人和兩個小孩一起渡河，渡口只有一條小船，每次只能渡一個大人或兩個小孩，他們四人都會劃船，但都不會游泳．同學(xué)們現(xiàn)在想一想，他們怎樣渡過河去？請寫一寫你的渡河方案．3．兩個大人和兩個小孩一起渡河，渡口只有一條小船，每次只能渡解因為一次只能渡過一個大人，而船還要回來渡其他人，所以只能讓兩個小孩先過河，渡河的方法與步驟為：S1：兩個小孩同船渡過河去；S2：一個小孩劃船回來；S3：一個大人獨自劃船渡過河去；S4：對岸的小孩劃船回來；S5：兩個小孩再同船渡過河去；S6：一個小孩劃船回來；S7：余下的一個大人獨自劃船渡過河去；S8：對岸的小孩劃船回來；S9：兩個小孩再同船渡過河去．解因為一次只能渡過一個大人，而船還要回來渡其他人，所以只能誤區(qū)警示因?qū)λ惴ú襟E理解不明確而致誤【例4】

寫出求2＋4＋6＋8＋…＋100的算法．[錯解]

算法：S1：計算2＋4＋6＋8＋…＋100；S2：輸出第一步中的結(jié)果．錯因分析對于連加連乘的問題，不能直接得到答案，應(yīng)當逐步進行．[正解]

算法：S1：計算2＋4得到6；S2：將第一步的結(jié)果與6相加得到12；S3：將第二步的結(jié)果與8相加得到20；S4：如此繼續(xù)下去，一直加到100；S5：輸出運算結(jié)果．誤區(qū)警示因?qū)λ惴ú襟E理解不明確而致誤糾錯心得

算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，而且每一步都是正確無誤的，從而組成了一個有著很強邏輯性的步驟序列．糾錯心得算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，前一步是后課堂總結(jié)1．給出一個問題，設(shè)計其算法時應(yīng)注意：(1)認真分析問題，聯(lián)系解決此問題的一般數(shù)學(xué)方法；(2)綜合考慮此類問題中可能涉及的各種情況；(3)借助有關(guān)的變量或參數(shù)對算法加以表述；(4)將解決問題的過程劃分為若干個步驟；(5)用簡煉的語言將各個步驟表示出來．2．對于數(shù)值計算問題，如解方程、求方程組的解、解不等式、解不等式組、套用公式判斷性的問題、累加累乘等這一類算法的描述，一般可以通過數(shù)學(xué)模型借助數(shù)學(xué)計算方法，分解成清晰的步驟，使之條理化就可以了．課堂總結(jié)3．對于非數(shù)值性計算問題(例如：排序、查找、變量的替換、文字處理等)需要建立過程模型解決問題．4．對于某一問題往往可以設(shè)計出多種算法，通常選用步驟較少、結(jié)構(gòu)較好的算法．5．更相減損術(shù)求兩數(shù)最大公約數(shù)時，是當較大的數(shù)減較小的數(shù)恰好等于較小的數(shù)時停止減法，這時的較小的數(shù)就是要求的兩數(shù)的最大公約數(shù).

3．對于非數(shù)值性計算問題(例如：排序、查找、變量的替換、文字【課標要求】1．通過對解決具體問題過程與步驟的分析，體會算法是解決問題的“機械”程序，并能在有限步內(nèi)完成，體會算法的思想．2．通過對具體問題解決過程的探索和研究，掌握算法步驟，了解算法與求解一個具體問題在方法上的區(qū)別，明確算法的要求．3．初步學(xué)會為一個具體問題設(shè)計算法．11．1算法的概念【課標要求】11．1算法的概念自學(xué)導(dǎo)引1．算法的概念算法(algorithm)通常是指由

組成的求解某

的通用的方法，對于該類問題中的每個給定的具體問題，機械地執(zhí)行這些步驟就可以得到問題的解答．2．算法的要求(1)寫出的算法，必須能解決

(例如解任意一個二元一次方程組)，并且能

；(2)算法過程要能

，每一步執(zhí)行的操作，必須

，不能含混不清，而且經(jīng)過有限步后能 ．有限多個步驟一類問題一類問題重復(fù)使用一步一步執(zhí)行確切得出結(jié)果自學(xué)導(dǎo)引有限多個步驟一類問題一類問題重復(fù)使用一步一步執(zhí)行確切3．算法的特點算法具有確定性、

和 ．4．更相減損術(shù)對于給定兩個正整數(shù)， ．作差后將所得的

與

的數(shù)構(gòu)成一對新數(shù)，對這對數(shù)再用大數(shù)減小數(shù)，以同樣的操作一直做下去，直到產(chǎn)生一對相等的數(shù)，這個數(shù)就是最大公約數(shù)．有效性有限性用較大的數(shù)減去較小的數(shù)差較小3．算法的特點有效性有限性用較大的數(shù)減去較小的數(shù)差較小自主探究1．算法與一般意義上的數(shù)學(xué)問題的解法一樣嗎？答案算法與一般意義上的數(shù)學(xué)問題的解法既有聯(lián)系又有區(qū)別．(1)聯(lián)系：算法與解法是一般與特殊、抽象與具體的關(guān)系．例如：教材先從分析一個具體的二元一次方程組的求解過程(解法)出發(fā)，歸納出了二元一次方程組的求解步驟，并且指出，這樣的求解步驟也適合所有滿足限制條件的二元一次方程組，這些步驟就構(gòu)成了解二元一次方程組的算法；(2)區(qū)別：算法是解決某一類問題所需要的程序和步驟的統(tǒng)稱，也可理解為數(shù)學(xué)中的“通法”；解法是解決某一個具體問題的過程和步驟，是具體的解題過程．自主探究2．怎樣正確理解更相減損術(shù)？答案所謂更相減損術(shù)就是對于給定的兩個數(shù)，以兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成一對新數(shù)，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟直到差數(shù)與較小的數(shù)相等，此時相等的兩數(shù)便為原兩數(shù)的最大公約數(shù)．算法步驟：(以求a，b兩整數(shù)的最大公約數(shù)為例)S1：輸入兩個正整數(shù)a，b(a＞b)；S2：若a不等于b，則執(zhí)行第三步，否則執(zhí)行第五步；S3：把a－b的差賦給r；S4：如果b＞r，則把b賦給a，把r賦給b；否則把r賦給a，執(zhí)行第二步；S5：輸出最大公約數(shù)b.2．怎樣正確理解更相減損術(shù)？預(yù)習(xí)測評1．用更相減損術(shù)求98與56的最大公約數(shù)為(

)．A．2 B．7C．14 D．56答案C預(yù)習(xí)測評解析D中所示求解是無限個數(shù)相加，不具備算法的有限性特點，因此不可以用算法求解．答案D解析D中所示求解是無限個數(shù)相加，不具備算法的有限性特點，因3．以下有六個步驟：①撥號；②等撥號音；③提起話筒(或免提功能)；④開始通話或掛機(線路不通)；⑤等復(fù)話方信號；⑥結(jié)束通話．試寫出打一個本地電話的算法________(只寫編號)．答案③②①⑤④⑥4．假設(shè)家中生火泡茶有下列幾個步驟，最優(yōu)的一個算法是________(只寫編號)．a(chǎn)．生火；b.將水倒入鍋中；c.找茶葉；d.洗茶壺茶杯；e.用開水沖茶．解析遵循時間最短原則設(shè)計最優(yōu)算法．答案bacde(或badce)

3．以下有六個步驟：要點闡釋1．算法概念的理解算法就是對一類問題(不是個別問題)都有效，計算可以一步一步地進行，每一步都能得到唯一的結(jié)果，通常我們把這一類問題的求解過程，叫做解決這一類問題的算法．算法一般是機械的，有時要進行大量重復(fù)的計算，它的優(yōu)點是一種通法，只要按部就班地去做，總能算出結(jié)果，通常把算法過程稱為“數(shù)學(xué)機械化”．數(shù)學(xué)機械化最大的優(yōu)點，是它可以讓計算機來完成．要點闡釋2．算法可概括為以下幾個特點(1)有限性一個算法應(yīng)包含有限的操作步驟，而不能是無限的．(2)確定性算法中的每一個步驟都應(yīng)當是確定的，而不應(yīng)當是模棱兩可的．(3)順序性與正確性算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能解決問題．2．算法可概括為以下幾個特點(4)不唯一性求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法．(5)普遍性很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限的、事先設(shè)計好的步驟加以解決．3．更相減損術(shù)求兩個數(shù)的最大公約數(shù)時，一定要弄清每一次減法中的被減數(shù)、減數(shù)，同時要掌握減法應(yīng)在何種情況下停止運算，得出結(jié)果．(4)不唯一性典例剖析題型一算法的概念【例1】

下列關(guān)于算法的描述正確的是(

)．A．算法與求解一個問題的方法相同B．算法只能解決一個問題，不能重復(fù)使用C．算法過程要一步一步執(zhí)行，每步執(zhí)行的操作必須確切D．有的算法執(zhí)行完后，可能無結(jié)果解析算法與求解一個問題的方法既有區(qū)別又有聯(lián)系，故A不對；算法能重復(fù)使用，故B不對；每個算法執(zhí)行后必須有結(jié)果，故D不對；由算法的有序性和確定性可知C正確．答案C方法點評算法實際上是解決問題的一種程序性方法，它通常指向某一個或一類問題，而解決的過程是程序性和構(gòu)造性的．算法也可以看成解決問題的特殊的、有效的方法．典例剖析1．下列關(guān)于算法的說法，正確的有(

)．①求解某一類問題的算法是唯一的；②算法必須在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必須是明確的，不能有歧義或模糊；④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果．A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析解決某一類問題的算法不唯一，第①個說法錯誤，②③④正確，故選C.答案C1．下列關(guān)于算法的說法，正確的有()．題型二更相減損術(shù)【例2】

用更相減損術(shù)求下列兩數(shù)的最大公約數(shù)：(1)261,319；(2)1734,816.解用更相減損術(shù)就是根據(jù)m－n＝r，反復(fù)執(zhí)行，直到n＝r為止．(1)更相減損術(shù)：319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，∴319與261的最大公約數(shù)是29.題型二更相減損術(shù)(2)更相減損術(shù)：因為兩數(shù)皆為偶數(shù)，首先除以2得到867,408，再求867與408的最大公約數(shù)．867－408＝459，459－408＝51，408－51＝357，357－51＝306，306－51＝255，255－51＝204，204－51＝153，153－51＝102，102－51＝51，∴1734與816的最大公約數(shù)是51×2＝102.(2)更相減損術(shù)：因為兩數(shù)皆為偶數(shù)，首先除以2得到867,4方法點評通過上例可以發(fā)現(xiàn)用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)，運算簡單，程序易編．方法點評通過上例可以發(fā)現(xiàn)用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)，運算簡單2．用更相減損術(shù)求63和98的最大公約數(shù)．解由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，如下圖所示：所以98和63的最大公約數(shù)是7.2．用更相減損術(shù)求63和98的最大公約數(shù)．題型三實際問題的算法【例3】

一個人帶三只狼和三只羚羊過河．只有一條船，同船可以容一個人和兩只動物．沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會吃掉羚羊．請你設(shè)計安全渡河的算法．解要想安全過河，每一步都要遵循一個共同原則：在人運送動物過河的過程中，人離開岸邊時必須保證每個岸邊的羚羊數(shù)目要大于狼的數(shù)目．題型三實際問題的算法算法如下：S1：人帶兩只狼過河；S2：人自己返回；S3：人帶一只狼過河；S4：人自己返回；S5：人帶兩只羚羊過河；S6：人帶兩只狼返回；S7：人帶一只羚羊過河；S8：人自己返回；S9：人帶兩只狼過河．方法點評實際問題的算法與數(shù)學(xué)問題的算法是有區(qū)別的，一般數(shù)學(xué)問題的算法可以設(shè)計程序用計算機求解，而實際問題的算法一般不能用計算機解決．算法如下：3．兩個大人和兩個小孩一起渡河，渡口只有一條小船，每次只能渡一個大人或兩個小孩，他們四人都會劃船，但都不會游泳．同學(xué)們現(xiàn)在想一想，他們怎樣渡過河去？請寫一寫你的渡河方案．3．兩個大人和兩個小孩一起渡河，渡口只有一條小船，每次只能渡解因為一次只能渡過一個大人，而船還要回來渡其他人，所以只能讓兩個小孩先過河，渡河的方法與步驟為：S1：兩個小孩同船渡過河去；S2