人教版高中數(shù)學選修4-4全部課件

第一講坐標系一平面直角坐標系2022/11/22第一講坐標系2022/11/211【自主預習】1.直角坐標系(1)數(shù)軸.①定義:規(guī)定了原點、正方向和_________的直線.②對應關系:數(shù)軸上的點與_____之間一一對應.單位長度實數(shù)2022/11/22【自主預習】單位長度實數(shù)2022/11/212(2)直角坐標系.①定義:在同一個平面上相互垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構成平面直角坐標系,簡稱直角坐標系.②相關概念:數(shù)軸的正方向:水平放置的數(shù)軸_____的方向、豎直放置的數(shù)軸_____的方向分別是數(shù)軸的正方向.向右向上2022/11/22(2)直角坐標系.向右向上2022/11/213x軸或橫軸:坐標軸_____的數(shù)軸.y軸或縱軸:坐標軸_____的數(shù)軸.坐標原點:坐標軸的__________.③對應關系:平面直角坐標系內(nèi)的點與_________________之間一一對應.水平豎直公共原點O有序?qū)崝?shù)對(x,y)2022/11/22x軸或橫軸:坐標軸_____的數(shù)軸.水平豎直公共原點O有序?qū)?④公式:設平面直角坐標系中,點P1(x1,y1),P2(x2,y2),線段P1P2的中點為P,填表:兩點間的距離公式中點P的坐標公式|P1P2|=________________________________2022/11/22④公式:兩點間的距離公式中點P的坐標公式|P1P2|=___52.平面直角坐標系中的伸縮變換設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換φ:____________的作用下,點P(x,y)對應到點P′(x′,y′),稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換.2022/11/222.平面直角坐標系中的伸縮變換2022/11/216【即時小測】1.函數(shù)y=ln|x|的圖象為(

)2022/11/22【即時小測】2022/11/217【解析】選D.函數(shù)y=ln|x|是偶函數(shù),圖象關于y軸對稱,又y=lnx在(0,+∞)上為增函數(shù),故選D.2022/11/22【解析】選D.函數(shù)y=ln|x|是偶函數(shù),圖象關于y軸對稱,82.曲線C經(jīng)過伸縮變換后,對應曲線的方程為:x2+y2=1,則曲線C的方程為(

)2022/11/222.曲線C經(jīng)過伸縮變換后,對應曲線的方程209【解析】選A.曲線C經(jīng)過伸縮變換①后,對應曲線的方程為x′2+y′2=1②,把①代入②得到:+9y2=1.2022/11/22【解析】選A.曲線C經(jīng)過伸縮變換①后,對應210【知識探究】探究點平面直角坐標系中點的位置1.平面直角坐標系中點的坐標的符號有什么特點?提示:平面直角坐標系內(nèi)的點,第一象限符號全正,第二象限橫坐標為負,縱坐標為正,第三象限全負,第四象限橫坐標為正,縱坐標為負,即一三同號,二四異號.2022/11/22【知識探究】2022/11/21112.伸縮變換一定會改變點的坐標和位置嗎?提示:不一定.伸縮變換對原點的位置沒有影響.但是會改變除原點外的點的坐標和位置,但是象限內(nèi)的點伸縮變換后仍在原來的象限.2022/11/222.伸縮變換一定會改變點的坐標和位置嗎?2022/11/2112【歸納總結(jié)】1.平面直角坐標系的作用與建立平面直角坐標系是確定點的位置、刻畫方程的曲線形狀和位置的平臺.建立平面直角坐標系,常常利用垂直直線為坐標軸,充分利用圖形的對稱性等特征.2022/11/22【歸納總結(jié)】2022/11/21132.伸縮變換的類型與特點伸縮變換包括點的伸縮變換,以及曲線的伸縮變換,曲線經(jīng)過伸縮變換對應的曲線方程就會變化,通過伸縮變換可以領會曲線與方程之間的數(shù)形轉(zhuǎn)化與聯(lián)系.特別提醒:實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的,所以一個實數(shù)就能確定數(shù)軸上一個點的位置.2022/11/222.伸縮變換的類型與特點2022/11/2114類型一坐標法求軌跡方程【典例】已知△ABC的邊AB長為2a,若BC的中線為定長m,求頂點C的軌跡方程.2022/11/22類型一坐標法求軌跡方程2022/11/2115【解題探究】求軌跡方程的一般步驟是什么?提示:建系-設點-列條件-得方程、整理.2022/11/22【解題探究】求軌跡方程的一般步驟是什么?2022/11/2116【解析】由題意,以線段AB的中點為原點,AB邊所在的直線為x軸建立直角坐標系,如圖所示,則A(-a,0),B(a,0).設C(x,y),則線段BC的中點為因為|AE|=m,所以2022/11/22【解析】由題意,以線段AB的中點為原點,AB邊所在的202217化簡得(x+3a)2+y2=4m2.由于點C在直線AB上時,不能構成三角形,故去掉曲線與x軸的兩個交點,從而所求的軌跡方程是(x+3a)2+y2=4m2(y≠0).(建系不同,軌跡方程不同)2022/11/22化簡得(x+3a)2+y2=4m2.2022/11/2118【方法技巧】1.建立平面直角坐標系的技巧(1)如果平面幾何圖形有對稱中心,可以選對稱中心為坐標原點.(2)如果平面幾何圖形有對稱軸,可以選擇對稱軸為坐標軸.2022/11/22【方法技巧】2022/11/2119特別提醒:建系時盡量使平面幾何圖形上的特殊點在坐標軸上.2022/11/22特別提醒:建系時盡量使平面幾何圖形上的特殊點在坐標軸上.20202.運用解析法解決實際問題的步驟(1)建系——建立平面直角坐標系.建系原則是利于運用已知條件,使表達式簡明,運算簡便.因此,要充分利用已知點和已知直線作為原點和坐標軸.(2)建?！x取一組基本量,用字母表示出題目涉及的點的坐標和曲線的方程.2022/11/222.運用解析法解決實際問題的步驟2022/11/2121(3)運算——通過運算,得到所需要的結(jié)果.(4)回歸——回歸到實際問題作答.2022/11/22(3)運算——通過運算,得到所需要的結(jié)果.2022/11/222【變式訓練】1.已知點(5-m,3-2m)不在第四象限,求實數(shù)m的取值范圍.2022/11/22【變式訓練】1.已知點(5-m,3-2m)不在第四象限,求實23【解析】若點(5-m,3-2m)在第四象限,則5-m>0,且3-2m<0,解得<m<5,故點(5-m,3-2m)不在第四象限時,實數(shù)m的取值范圍是m≤或m≥5.2022/11/22【解析】若點(5-m,3-2m)在第四象限,2022/11/242.四邊形ABCD為矩形,P為矩形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點,求證:PA2+PC2=PB2+PD2.2022/11/222.四邊形ABCD為矩形,P為矩形ABCD所在平面內(nèi)的任意一25【證明】如圖所示,以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,設A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y),則PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2,PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.2022/11/22【證明】如圖所示,2022/11/2126所以PA2+PC2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2,PB2+PD2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2.故PA2+PC2=PB2+PD2.2022/11/22所以PA2+PC2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b27類型二伸縮變換公式與應用【典例】求曲線x2+y2=1經(jīng)過φ:變換后得到的新曲線的方程.2022/11/22類型二伸縮變換公式與應用2022/11/2128【解題探究】如何求變換后的新曲線的方程?提示:將x,y表示出來,代入到原方程即可得到新曲線的方程.2022/11/22【解題探究】如何求變換后的新曲線的方程?2022/11/2129【解析】曲線x2+y2=1經(jīng)過φ:變換后,即代入到圓的方程,可得即所求新曲線的方程為2022/11/22【解析】曲線x2+y2=1經(jīng)過φ:變換后,2030【延伸探究】1.若曲線C經(jīng)過變換后得到圓x2+y2=1,求曲線C的方程.2022/11/22【延伸探究】2022/11/2131【解析】將代入到方程x′2+y′2=1,得即曲線C的方程.2022/11/22【解析】將代入到方程x′2+y′2=1,20322.若圓x2+y2=1經(jīng)過變換φ′后得到曲線求變換φ′的坐標變換公式.2022/11/222.若圓x2+y2=1經(jīng)過變換φ′后得到曲線2022/1133【解析】設φ′:代入到C′中得與圓的方程比較得λ=5,μ=4.故φ′的變換公式為2022/11/22【解析】設φ′:2022/11/2134【方法技巧】與伸縮變換相關問題的處理方法(1)已知變換前的曲線方程及伸縮變換,求變換后的曲線方程的方法:利用伸縮變換用(x′,y′)表示出(x,y),代入變換前的曲線方程.2022/11/22【方法技巧】與伸縮變換相關問題的處理方法2022/11/2135(2)已知變換后的曲線方程及伸縮變換,求變換前的曲線方程:利用伸縮變換用(x,y)表示(x′,y′),代入變換后的曲線方程.(3)已知變換前后的曲線方程求伸縮變換,將變換前后的方程變形,確定出(x′,y′)與(x,y)的關系即為所求的伸縮變換,也可用待定系數(shù)法.2022/11/22(2)已知變換后的曲線方程及伸縮變換,求變換前的曲線方程:利36【補償訓練】1.(2016·蚌埠高二檢測)在同一平面直角坐標系中,經(jīng)過伸縮變換后,曲線C變?yōu)榍€x′2+y′2=1,則曲線C的方程為(

)2022/11/22【補償訓練】1.(2016·蚌埠高二檢測)在同一平面直20237【解析】選B.設曲線C上任意一點的坐標為P(x,y),按φ:變換后的對應的坐標為P′(x′,y′),代入x′2+y′2=1,得16x2+9y2=1.2022/11/22【解析】選B.設曲線C上任意一點的坐標為P(x,y),按20382.將曲線y=sin(2016x)按φ:變換后的曲線與直線x=0,x=π,y=0圍成圖形的面積為________.2022/11/222.將曲線y=sin(2016x)按φ:39【解析】設曲線y=sin(2016x)上任意一點的坐標為P(x,y),按φ變換后的對應點的坐標為P′(x′,y′),由φ:代入y=sin(2016x),得2y′=sinx′,所以y′=sinx′,即y=sinx,所以y=sinx與直線x=0,x=π,y=0圍成圖2022/11/22【解析】設曲線y=sin(2016x)上任意一點的坐標為2040形的面積為S=答案:12022/11/22形的面積為S=2022/11/2141自我糾錯伸縮變換公式的應用【典例】將曲線按照φ:變換為曲線求曲線y=cos4x在φ變換后的曲線的最小正周期與最大值.2022/11/22自我糾錯伸縮變換公式的應用2022/11/2142【失誤案例】2022/11/22【失誤案例】2022/11/2143分析解題過程,找出錯誤之處,并寫出正確答案.提示:出錯的根本原因是弄錯了變換順序,錯誤代入方程.正確解答過程如下:2022/11/22分析解題過程,找出錯誤之處,并寫出正確答案.2022/11/44【解析】由φ:得φ:將曲線按照φ:變換為曲線的方程為2022/11/22【解析】由φ:2022/11/2145由題意,得3μ=1,故λ=2,則曲線y=cos4x在φ變換后的曲線的方程為

所以變換后的曲線的最小正周期為π,最大值為2022/11/22由題意,得3μ=1,2022/11/21462022/11/222022/11/2147第2課時

極坐標和直角坐標的互化2022/11/22第2課時2022/11/2148【自主預習】極坐標與直角坐標的互化公式如圖所示,把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,且長度單位相同,設任意一點M的直角坐標與極坐標分別為(x,y),(ρ,θ).2022/11/22【自主預習】2022/11/2149ρcosθρsinθx2+y22022/11/22ρcosθρsinθx2+y22022/11/2150【即時小測】1.極坐標系中,點(1,π)的直角坐標為(

)A.(1,0)

B.(-1,0)C.(0,1) D.(0,-1)2022/11/22【即時小測】2022/11/2151【解析】選B.由公式得所以點(1,π)對應的點的直角坐標為(-1,0).2022/11/22【解析】選B.由公式得所以點522.在直角坐標系中,點(2016,-2016)的極坐標為________(ρ>0,0≤θ<2π).2022/11/222.在直角坐標系中,點(2016,-2016)的極坐標為__53【解析】在直角坐標系中,點(2016,-2016)到原點(極點)的距離為2016,極角θ=+2kπ,k∈Z,因為0≤θ<2π,所以θ=.所以點(2016,-2016)的極坐標為.答案:2022/11/22【解析】在直角坐標系中,點(2016,-2016)到原點(極54【知識探究】探究點極坐標和直角坐標的互化1.點與極坐標是一一對應的嗎?2022/11/22【知識探究】2022/11/2155提示:在直角坐標系和極坐標系中,點M與直角坐標(x,y)是一一對應的,點M與極坐標(ρ,θ)不是一一對應的,即點M的極坐標不唯一.2022/11/22提示:在直角坐標系和極坐標系中,點M與直角坐標(x,y)是一562.將點的直角坐標化為極坐標的關鍵是什么?2022/11/222.將點的直角坐標化為極坐標的關鍵是什么?2022/11/257提示:將點的直角坐標化為極坐標的關鍵是運用公式分別計算極徑和極角,求極角時先計算[0,2π)內(nèi)的角θ0,再表示為θ0+2kπ,k∈Z.2022/11/22提示:將點的直角坐標化為極坐標的關鍵是運用公式2022/1158【歸納總結(jié)】1.直角坐標與極坐標的關系三角函數(shù)是點的直角坐標與極坐標的聯(lián)系紐帶,根據(jù)三角函數(shù)定義,角θ的頂點在原點O(極點),始邊為橫軸的正半軸,M(x,y)為角θ終邊上的一點,|OM|=則sinθ=,cosθ=,所以y=ρsinθ,x=ρcosθ.2022/11/22【歸納總結(jié)】2022/11/21592.特殊角的三角函數(shù)值θ

sinθ

1cosθ

0tanθ

1

不存在2022/11/222.特殊角的三角函數(shù)值θsinθ1cosθ603.由點的直角坐標確定極角當點不在y軸上時,由tanθ=求出[0,2π)上的θ;當點在y軸正半軸上時,θ=;當點在y軸負半軸上時,θ=.2022/11/223.由點的直角坐標確定極角2022/11/2161類型一點的極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化【典例】在平面直角坐標系中,以原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,ρ≥0,θ∈R完成下列各題:(1)將極坐標M化為直角坐標.(2)將直角坐標N(-2016,2016)化為極坐標.2022/11/22類型一點的極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化2022/11/2162【解題探究】將點的極坐標化為直角坐標的公式是什么?將點的直角坐標化為極坐標的公式是什么?2022/11/22【解題探究】將點的極坐標化為直角坐標的公式是什么?將點的直角63提示:由公式將點的極坐標化為直角坐標,由公式將點的直角坐標化為極坐標.2022/11/22提示:由公式將點的極坐標化為直角坐標,由264【解析】(1)將點M的極坐標代入公式

所以點的直角坐標為(-3,-3).2022/11/22【解析】(1)將點M的極坐標代入公式2022/165(2)由點的直角坐標N(-2016,2016)與公式

且θ的終邊經(jīng)過點N(-2016,2016),所以θ=,所以點N的極坐標為,k∈Z.2022/11/22(2)由點的直角坐標N(-2016,2016)與公式202266【方法技巧】極坐標與直角坐標互化的策略(1)點的直角坐標化為極坐標的注意事項.化點的直角坐標為極坐標時,一般取ρ≥0,θ∈[0,2π),即θ取最小正角,由tanθ=(x≠0)求θ時,必須根據(jù)角θ的終邊經(jīng)過點(x,y)所在的象限來確定θ的值.2022/11/22【方法技巧】極坐標與直角坐標互化的策略2022/11/2167(2)掌握特殊角的三角函數(shù)值,還需要掌握一些常用的三角變換公式,如半角公式2022/11/22(2)掌握特殊角的三角函數(shù)值,還需要掌握一些常用的2022/68【變式訓練】1.(2016·綿陽高二檢測)將點M的極坐標化成直角坐標是(

)A.(-1,-1) B.(1,1)C.(1,) D.(,1)2022/11/22【變式訓練】1.(2016·綿陽高二檢測)將點M的極坐標2069【解析】選C.由公式所以(1,)即為所求.2022/11/22【解析】選C.由公式2022/11/21702.若已知極坐標平面內(nèi)的點P,求點P關于極點對稱的點的極坐標及直角坐標.2022/11/222.若已知極坐標平面內(nèi)的點P,求點P關于極點271【解析】點P關于極點的對稱點P′到極點的距離仍為2,即ρ=2.又P與P′的極角間相差π+2kπ,k∈Z,故θ=-+π+2kπ,k∈Z,故P′的極坐標可以為,2022/11/22【解析】點P關于極點的對稱點P′到極點的距離仍為2,202272由x=2cos=-1,y=2sin=-,故點P′的直角坐標為(-1,-).2022/11/22由x=2cos=-1,y=2sin=-73類型二極坐標與直角坐標轉(zhuǎn)化的應用【典例】已知A,B兩點的極坐標為求線段AB中點的直角坐標.2022/11/22類型二極坐標與直角坐標轉(zhuǎn)化的應用2022/11/2174【解題探究】怎樣求線段中點的直角坐標?提示:先求出端點的直角坐標,再利用中點坐標公式求中點的直角坐標.2022/11/22【解題探究】怎樣求線段中點的直角坐標?2022/11/2175【解析】因為A點的極坐標為所以所以A(3,),同理可得B(-4,).設線段AB的中點為M(m,n),由線段的中點坐標公式可得2022/11/22【解析】因為A點的極坐標為2022/11/2176所以線段AB中點的直角坐標為2022/11/22所以線段AB中點的直角坐標為2022/1177【延伸探究】1.試求線段AB中點的極坐標.2022/11/22【延伸探究】2022/11/2178【解析】方法一:因為A,B兩點的極坐標為故A,B兩點在一條直線上,且到極點的距離分別為6,8,故AB中點到極點的距離為1,且在線段OB上,故AB中點的極坐標為2022/11/22【解析】方法一:因為A,B兩點的極坐標為2022/79方法二:因為線段AB中點的直角坐標為故因為AB中點在第三象限,故故中點的極坐標為2022/11/22方法二:因為線段AB中點的直角坐標為2022/1802.試求直線AB的方程.2022/11/222.試求直線AB的方程.2022/11/2181【解析】因為A點的極坐標為所以所以A(3,),又因為直線AB的傾斜角為故斜率故直線AB的方程為即2022/11/22【解析】因為A點的極坐標為2022/11/2182【方法技巧】應用點的極坐標與直角坐標互化的策略在解決極坐標平面內(nèi)較為復雜的圖形問題時,若不方便利用極坐標直接解決,可先將極坐標化為直角坐標,利用直角坐標系中的公式、性質(zhì)解決,再轉(zhuǎn)化成極坐標系中的問題即可.2022/11/22【方法技巧】應用點的極坐標與直角坐標互化的策略2022/1183【變式訓練】1.若點M的極坐標為則點M關于y軸對稱點的極坐標為________.2022/11/22【變式訓練】1.若點M的極坐標為則點M關于y軸284【解析】點M的極坐標為所以點M的直角坐標為所以點M關于y軸對稱點的直角坐標為由

又點(-3,-3)位于第三象限.2022/11/22【解析】點M的極坐標為2022/11/2185故則所求點的極坐標為答案:2022/11/22故則所求點的極坐標為2022/11/21862.在極坐標系中,已知求|AB|.2022/11/222.在極坐標系中,已知求|AB87【解析】由點A的極坐標為可得點A的直角坐標為同理點B的直角坐標為(2,-2),則|AB|=2022/11/22【解析】由點A的極坐標為可得點A的直角坐標為202288自我糾錯點的極坐標及其表示【典例】(2016·合肥高二檢測)在極坐標系中,點P(ρ,θ)關于極點對稱的點的坐標可以是()①(ρ,-θ);②(-ρ,-θ);③(-ρ,θ);④(ρ,π+θ).A.④ B.①②C.①③ D.③④2022/11/22自我糾錯點的極坐標及其表示2022/11/2189【失誤案例】2022/11/22【失誤案例】2022/11/2190分析解題過程,找出錯誤之處,并寫出正確答案.提示:出錯的根本原因是忽視了ρ∈R的情形,即點P(ρ,θ)關于極點對稱的點的坐標也可以是(-ρ,θ).事實上,當ρ>0時,點P(ρ,θ)在極角θ的終邊上,|OP|=ρ;當ρ<0時,點P(ρ,θ)在極角θ的終邊的反向延長線上,|OP|=-ρ.正確解答過程如下:2022/11/22分析解題過程,找出錯誤之處,并寫出正確答案.2022/11/91【解析】選D.方法一:點P(ρ,θ)關于極點對稱的點的坐標可以是(ρ,π+θ)或(-ρ,θ).方法二:以極點為原點,極軸方向為x軸正方向,建立平面直角坐標系,點P(ρ,θ)的直角坐標為(ρcosθ,ρsinθ),關于原點對稱的點的坐標為(-ρcosθ,-ρsinθ),結(jié)合選項,得③(-ρ,θ)與④(ρ,π+θ)的直角坐標都是(-ρcosθ,-ρsinθ).2022/11/22【解析】選D.方法一:點P(ρ,θ)關于極點對稱的點的202922022/11/222022/11/2193二極坐標系第1課時極坐標系的概念2022/11/22二極坐標系2022/11/2194【自主預習】1.極坐標系(1)取極點:平面內(nèi)取一個______.(2)作極軸:自極點引一條射線Ox.(3)定單位:選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向).定點O2022/11/22【自主預習】定點O2022/11/21952.點的極坐標(1)定義:有序數(shù)對(ρ,θ)叫做點M的極坐標,記為_________.(2)意義:ρ=_____,即極點O與點M的距離(ρ≥0).θ=______,即以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角.M(ρ,θ)|OM|∠xOM2022/11/222.點的極坐標M(ρ,θ)|OM|∠xOM2022/11/296【即時小測】1.極坐標系中,下列與點(1,π)相同的點為(

)A.(1,0) B.(2,π)C.(1,2016π) D.(1,2017π)2022/11/22【即時小測】2022/11/2197【解析】選D.點(1,π)的極徑為1,極角為π,由終邊相同的角的概念得,點(1,π)與點(1,2017π)相同.2022/11/22【解析】選D.點(1,π)的極徑為1,極角為π,由終邊相同的982.點M的直角坐標是(-1,),則點M的極點坐標為

(

)2022/11/222.點M的直角坐標是(-1,),則點M的極點坐標為2099【解析】選C.由ρ2=x2+y2,得ρ2=4,ρ=2,則ρcosθ=x得:cosθ=-,結(jié)合點在第二象限得:θ=,則點M的極坐標為2022/11/22【解析】選C.由ρ2=x2+y2,得ρ2=4,ρ=2,202100【知識探究】探究點極坐標系1.平面直角坐標系與極坐標系有什么不同?2022/11/22【知識探究】2022/11/21101提示:(1)兩種坐標系形式上的區(qū)別是直角坐標系有原點,x軸,y軸,極坐標系有極點、極軸.(2)點的直角坐標是有序?qū)崝?shù)對(x,y),點的極坐標是(ρ,θ).2022/11/22提示:(1)兩種坐標系形式上的區(qū)別是直角坐標系有原點,x軸,1022.極坐標系中,點的極坐標唯一嗎?2022/11/222.極坐標系中,點的極坐標唯一嗎?2022/11/21103提示:(1)由于極坐標系中,對于給定的有序數(shù)對(ρ,θ)都有唯一確定的點與之對應,但是,對于給定一點M,可以有無數(shù)個有序數(shù)對(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)與之對應,所以極坐標系中的點與極坐標不能建立一一對應關系.(2)如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π,那么除極點外的任意一點都有唯一的極坐標(ρ,θ)與之對應,反之亦然.2022/11/22提示:(1)由于極坐標系中,對于給定的有序數(shù)對(ρ,θ)都有104【歸納總結(jié)】1.極坐標系的四要素①極點;②極軸;③長度單位;④角度單位和它的正方向.四者缺一不可.2.在極坐標系中找點的位置,應先確定極角,再確定極徑,最終確定點的位置.2022/11/22【歸納總結(jié)】2022/11/21105特別提醒:若已知點的極坐標(ρ,θ),則點是確定的,反之,若已知點,則其極坐標不確定.2022/11/22特別提醒:若已知點的極坐標(ρ,θ),則點是確定的,反之,若106類型一極坐標系與點的極坐標【典例】在極坐標系中,點P到極點的距離為________,點P到極軸的距離為________.2022/11/22類型一極坐標系與點的極坐標2022/11/21107【解題探究】怎樣求點到極點和極軸的距離?提示:點到極點的距離等于極徑,點到極軸的距離轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)計算.2022/11/22【解題探究】怎樣求點到極點和極軸的距離?2022/11/21108【解析】因為在極坐標系中,點P,ρ=2,θ=,所以點P到極點的距離為2,點P到極軸的距離為2sin=1.答案:2

12022/11/22【解析】因為在極坐標系中,點P,ρ=2,θ=,109【方法技巧】確定點的極坐標的方法點P的極坐標的一般形式為(ρ,θ+2kπ),k∈Z,則(1)ρ為點P到極點的距離,是個定值.(2)極角為滿足θ+2kπ,k∈Z的任意角,不唯一,其中θ是始邊在極軸上,終邊過OP的任意一個角,一般取絕對值較小的角.2022/11/22【方法技巧】確定點的極坐標的方法2022/11/21110【變式訓練】1.在極坐標系中,極軸的反向延長線上一點M與極點的距離為2,則點M的極坐標的下列表示:①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z).其中,正確表示的序號為____________.2022/11/22【變式訓練】1.在極坐標系中,極軸的反向延長線上一點M與極點111【解析】由于極軸的反向延長線上一點M與極點的距離為2,極角的始邊為Ox,終邊與平角的終邊相同,故點M的極坐標為(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正確.答案:②③2022/11/22【解析】由于極軸的反向延長線上一點M與極點的距離為2,極角的1122.如圖,在極坐標系中,(1)作出以下各點:(2)求點E,F的極坐標(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R).2022/11/222.如圖,在極坐標系中,2022/11/21113【解析】(1)如圖,在極坐標系中,點A,B,C,D的位置是確定的.(2)由于點E的極徑為4,在θ∈[0,2π)內(nèi),極角又因為點的極坐標為(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R),2022/11/22【解析】(1)如圖,在極坐標系中,點A,B,C,D的位置是2114所以點E的極坐標為同理,點F的極坐標為2022/11/22所以點E的極坐標為2022/11/21115類型二極坐標系中兩點間的距離【典例】在極坐標系中,點O為極點,已知點求|AB|的值.2022/11/22類型二極坐標系中兩點間的距離2022/11/21116【解題探究】根據(jù)點A,B在極坐標系中的位置關系,可得∠AOB為多少度?提示:∠AOB=90°.2022/11/22【解題探究】根據(jù)點A,B在極坐標系中的位置關系,可得∠AOB117【解析】因為故∠AOB=90°,故2022/11/22【解析】因為2022/11/21118【延伸探究】1.本例已知條件不變,試求△AOB的面積.2022/11/22【延伸探究】2022/11/21119【解析】因為故∠AOB=90°,所以S△AOB=2022/11/22【解析】因為故∠AOB=90°,2022/1202.本例已知條件不變,試求線段AB中點的極坐標.2022/11/222.本例已知條件不變,試求線段AB中點的極坐標.2022/1121【解析】設線段AB中點M的極坐標為(ρ,θ),則故線段AB中點M的極坐標為2022/11/22【解析】設線段AB中點M的極坐標為(ρ,θ),2022/11122【方法技巧】點與極坐標的對應關系以及兩點間的距離公式(1)在極坐標系中,點的極坐標不唯一,這是由于與角θ1的終邊相同的角的集合為{θ|θ=θ1+2kπ,k∈Z}.如果限定ρ≥0,θ∈[0,2π),那么,除極點外,點與有序數(shù)對(ρ,θ)可以建立一一對應關系.2022/11/22【方法技巧】點與極坐標的對應關系以及兩點間的距離公式2022123(2)在極坐標系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么兩點間的距離公式的兩種特殊情形為:①當θ1=θ2+2kπ,k∈Z時,|P1P2|=|ρ1-ρ2|;②當θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z時,|P1P2|=|ρ1+ρ2|.2022/11/22(2)在極坐標系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2124【變式訓練】1.(2016·南昌高二檢測)在極坐標系中,兩點間的距離是(

)A.

B.

C.6

D.42022/11/22【變式訓練】1.(2016·南昌高二檢測)在極坐標系中,20125【解析】選B.|AB|=2022/11/22【解析】選B.|AB|=2022/11/211262.在極坐標系中,若△ABC的三個頂點為判斷三角形的形狀.2022/11/222.在極坐標系中,若△ABC的三個頂點為127【解析】

所以△ABC是等邊三角形.2022/11/22【解析】2022/11/21128自我糾錯已知距離求點的極坐標【典例】已知在極坐標系中,O為極點,B(ρ,θ),OA⊥OB,|AB|=5,ρ≥0,θ∈[0,2π),求點B的極坐標.2022/11/22自我糾錯已知距離求點的極坐標2022/11/21129【失誤案例】2022/11/22【失誤案例】2022/11/21130分析解題過程,找出錯誤之處,并寫出正確答案.提示:出錯的根本原因是對題目中的垂直條件理解不全面,導致確定極角時漏掉一種情況.正確解答過程如下:2022/11/22分析解題過程,找出錯誤之處,并寫出正確答案.2022/11/131【解析】由OA⊥OB,得k∈Z,即k∈Z,由θ∈[0,2π),得由得故ρ=4.所以點B的極坐標為2022/11/22【解析】由OA⊥OB,得k∈Z,21322022/11/222022/11/21133三

簡單曲線的極坐標方程2022/11/22三2022/11/21134【自主預習】1.極坐標方程與平面曲線在極坐標系中,方程f(ρ,θ)=0叫做平面曲線C的極坐標方程,滿足條件:(1)平面曲線C上任意一點的極坐標中___________滿足方程f(ρ,θ)=0.至少有一個2022/11/22【自主預習】至少有一個2022/11/21135(2)坐標適合方程___________的點都在曲線C上.f(ρ,θ)=02022/11/22(2)坐標適合方程___________的點都在曲線C上.f1362.圓的極坐標方程圓心位置極坐標方程圖形圓心在極點(0，0)ρ=__(0≤θ<2π)圓心在點(r，0)ρ=_________

圓心在點(r，)ρ=________(0≤θ<π)r2rcosθ2rsinθ2022/11/222.圓的極坐標方程圓心位置極坐標方程圖形圓心在極點(0，0137圓心位置極坐標方程圖形圓心在點(r，π)ρ=__________

圓心在點ρ=_________(-π<θ≤0)-2rcosθ-2rsinθ2022/11/22圓心位置極坐標方程圖形圓心在點(r，π)ρ=______1383.直線的極坐標方程(ρ∈R)直線位置極坐標方程圖形過極點,傾斜角為α(1)θ=___(ρ∈R)或θ=______(ρ∈R)(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)απ+α2022/11/223.直線的極坐標方程(ρ∈R)直線位置極坐標方程圖形過極點139直線位置極坐標方程圖形過點(a,0),且與極軸垂直________=a

過點且與極軸平行________=a(0<θ<π)ρcosθρsinθ2022/11/22直線位置極坐標方程圖形過點(a,0),且與極軸垂直____140【即時小測】1.極坐標系中,圓心在極點,半徑為2的圓的極坐標方程為(

)A.ρ=2

B.ρ=4C.ρcosθ=1 D.ρsinθ=12022/11/22【即時小測】2022/11/21141【解析】選A.由圓心在極點,半徑為r的圓的極坐標方程為ρ=r,得圓心在極點,半徑為r的圓的極坐標方程為ρ=2.2022/11/22【解析】選A.由圓心在極點,半徑為r的圓的極坐標方程為ρ=r1422.極軸所在直線的極坐標方程為________.【解析】如圖,設M(ρ,θ)是極軸所在直線上的任意一點,則θ=0(ρ∈R).答案:θ=0(ρ∈R)2022/11/222.極軸所在直線的極坐標方程為________.2022/1143【知識探究】探究點曲線的極坐標方程1.在極坐標系中,點M(ρ,θ)的軌跡方程中一定同時含有ρ,θ嗎?提示:不一定,如圓心在極點,半徑為1的極坐標方程為ρ=1,方程中只含有ρ.2022/11/22【知識探究】2022/11/211442.如何求圓心為C(ρ0,θ0),半徑為r的圓的極坐標方程?2022/11/222.如何求圓心為C(ρ0,θ0),半徑為r的圓的極坐標方程?145提示:設圓C上任意一點的極坐標為M(ρ,θ),如圖,在△OCM中,由余弦定理,得|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM=|CM|2,即ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)=r2.當O,C,M三點共線時,點M的極坐標也適合上式,所以圓心為C(ρ0,θ0),半徑為r的圓的極坐標方程為ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)-r2=0.2022/11/22提示:設圓C上任意一點的極坐標為M(ρ,θ),2022/11146【歸納總結(jié)】1.曲線的極坐標方程與直角坐標方程在極坐標系中,由于點的極坐標的表示形式不唯一,即(ρ,θ),(ρ,θ+2π),(-ρ,θ+π),(-ρ,θ-π)都表示同一點,這與點的直角坐標具有唯一性明顯不同.所以對于曲線上同一點的極坐標的多種表示形式,只要求2022/11/22【歸納總結(jié)】2022/11/21147點的極坐標中至少有一個能滿足曲線的極坐標方程即可.2022/11/22點的極坐標中至少有一個能滿足曲線的極坐標方程即可.2022/1482.曲線的極坐標方程與直角坐標方程的相互轉(zhuǎn)化及應用(1)與點的極坐標與直角坐標的互相轉(zhuǎn)化一樣,以平面直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且在兩坐標系中取相同的長度單位.平面內(nèi)的曲線(含直線)的極坐標方程與直角坐標方程也可以進行互相轉(zhuǎn)化.2022/11/222.曲線的極坐標方程與直角坐標方程的相互轉(zhuǎn)化及應用2022/149(2)較簡單曲線的極坐標方程可直接求,較復雜曲線的極坐標方程可以先求直角坐標方程,然后再轉(zhuǎn)化.特別提醒:極坐標方程對應曲線的形狀往往不易看出,通常是先轉(zhuǎn)化為直角坐標方程,然后再分析形狀.2022/11/22(2)較簡單曲線的極坐標方程可直接求,較復雜曲線的極坐標方程150類型一圓的極坐標方程【典例】在極坐標系中,已知圓C的圓心為C,半徑為1,求圓C的極坐標方程.2022/11/22類型一圓的極坐標方程2022/11/21151【解題探究】求圓的極坐標方程時需要注意什么問題?提示:求圓的極坐標方程時需要檢驗特殊點是否適合方程.2022/11/22【解題探究】求圓的極坐標方程時需要注意什么問題?2022/1152【解析】在圓C上任取一點P(ρ,θ),在△POC中,由余弦定理可得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos∠POC,即化簡可得2022/11/22【解析】在圓C上任取一點P(ρ,θ),2022/11/21153當O,P,C共線時,此方程也成立,故圓C的極坐標方程為2022/11/22當O,P,C共線時,此方程也成立,2022/11/21154【延伸探究】1.試求圓的直角坐標方程.2022/11/22【延伸探究】2022/11/21155【解析】圓心的極坐標為故直角坐標為又已知圓的半徑為1,故圓的直角坐標方程為2022/11/22【解析】圓心的極坐標為2022/11/211562.在極坐標系中,試求該圓上的點與點距離的最大值.2022/11/222.在極坐標系中,試求該圓上的點與點距離的20157【解析】圓心與點的距離

故圓上的點與點P的距離的最大值為2022/11/22【解析】圓心與點的距離2022/1158【方法技巧】求圓的極坐標方程的步驟(1)設圓上任意一點的極坐標為M(ρ,θ).(2)在極點、圓心與M構成的三角形中運用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ,θ)=0并化簡.(3)驗證極點、圓心與M三點共線時,點M(ρ,θ)的極坐標也適合上述極坐標方程.2022/11/22【方法技巧】求圓的極坐標方程的步驟2022/11/21159【補償訓練】1.在極坐標系中,圓C過極點,且圓心的極坐標是(a>0),則圓C的極坐標方程是(

)A.ρ=-2asinθ B.ρ=2asinθC.ρ=-2acosθ D.ρ=2acosθ2022/11/22【補償訓練】1.在極坐標系中,圓C過極點,且圓心的極2022160【解析】選B.由于圓心的極坐標是,化為直角坐標為(0,a),半徑為a,故圓的直角坐標方程為x2+(y-a)2=a2,再化為極坐標方程為ρ=2asinθ.2022/11/22【解析】選B.由于圓心的極坐標是,化為直角坐標2021612.(2016·西安高二檢測)將極坐標方程ρ=2cosθ化成直角坐標方程為________.【解析】由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=02022/11/222.(2016·西安高二檢測)將極坐標方程ρ=2cosθ化成162類型二直線的極坐標方程【典例】在極坐標系中,求過點(2,π)且與極軸的傾斜角為的直線的極坐標方程.2022/11/22類型二直線的極坐標方程2022/11/21163【解題探究】求直線極坐標方程的一般方法是什么?提示:設出直線上任意一點的極坐標(ρ,θ),列出ρ,θ的關系式即可.2022/11/22【解題探究】求直線極坐標方程的一般方法是什么?2022/11164【解析】令A(2,π),設直線上任意一點P(ρ,θ),在△OAP中,∠APO=θ-,由正弦定理得又因為點A(2,π)適合上式,故所求直線的極坐標方程為2022/11/22【解析】令A(2,π),設直線上任意一點P(ρ,θ),202165【方法技巧】關于直線的極坐標方程(1)求直線的極坐標方程的一般方法.設出直線上的任意一點(ρ,θ),利用三角形中的定理,如正弦定理、余弦定理等列出ρ,θ的關系式,即為直線的極坐標方程.2022/11/22【方法技巧】關于直線的極坐標方程2022/11/21166(2)求直線的極坐標方程的注意事項.①當ρ≥0時,直線上的點的極角不是常量,所以直線的極坐標方程需要轉(zhuǎn)化為兩條射線的極坐標方程,所以直線的極坐標方程不如直線的直角坐標方程唯一且簡便.②當規(guī)定了“負極徑”的意義,即ρ∈R時,直線的極坐標方程就是唯一的了.2022/11/22(2)求直線的極坐標方程的注意事項.2022/11/21167【變式訓練】1.(2016·銅陵高二檢測)已知點P的極坐標為(1,π),求過點P且垂直于極軸的直線的極坐標方程.2022/11/22【變式訓練】2022/11/21168【解析】點P(1,π)的直角坐標為(-1,0),所求直線的直角坐標方程為x=-1,化為極坐標方程為ρcosθ=-1.2022/11/22【解析】點P(1,π)的直角坐標為(-1,0),所求直線的直1692.在極坐標系中,求過點且與極軸平行的直線方程.【解析】點在直角坐標系下的坐標為即(0,2),所以過點(0,2)且與x軸平行的直線方程為y=2.即為ρsinθ=2.2022/11/222.在極坐標系中,求過點且與極軸平行的直線方程.20170類型三直線與圓的極坐標方程綜合題【典例】(2016·衡陽高二檢測)在極坐標系中,曲線C:ρ=2acosθ(a>0),l:,C與l有且僅有一個公共點.(1)求a的值.2022/11/22類型三直線與圓的極坐標方程綜合題2022/11/21171(2)O為極點,A,B為曲線C上的兩點,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.2022/11/22(2)O為極點,A,B為曲線C上的兩點,且∠AOB=,求172【解題探究】(1)如何判斷曲線的形狀?提示:將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程判斷曲線的形狀.2022/11/22【解題探究】(1)如何判斷曲線的形狀?2022/11/21173(2)如何求|OA|+|OB|的最大值?提示:利用點的極坐標以及三角函數(shù)性質(zhì)求最大值.2022/11/22(2)如何求|OA|+|OB|的最大值?2022/11/21174【解析】(1)由曲線C:ρ=2acosθ(a>0)得ρ2=2aρcosθ,化為直角坐標方程為(x-a)2+y2=a2,直線l:得由于直線與圓有且只有一個公共點,所以d==a,解得a=1,a=-3(舍去).2022/11/22【解析】(1)由曲線C:ρ=2acosθ(a>0)得2022175(2)不妨設A的極角為θ,B的極角為θ+,當θ=-時,|OA|+|OB|取得最大值2.2022/11/22(2)不妨設A的極角為θ,B的極角為θ+,2022/11176【方法技巧】將極坐標方程化為直角坐標方程的關鍵因為直線和曲線是滿足某種條件的點的集合,所以將極坐標方程化為直角坐標方程的公式仍然用點的極坐標化為直角坐標的公式y(tǒng)=ρsinθ,x=ρcosθ.2022/11/22【方法技巧】將極坐標方程化為直角坐標方程的關鍵2022/11177【變式訓練】1.(2016·衡水高二檢測)在極坐標系中,點到圓ρ=-2cosθ的圓心的距離為(

)2022/11/22【變式訓練】1.(2016·衡水高二檢測)在極坐標系中,20178【解析】選D.點的直角坐標為(1,-),圓ρ=-2cosθ即ρ2=-2ρcosθ的直角坐標方程為(x+1)2+y2=1,所以點(1,-)到圓心(-1,0)的距離為.2022/11/22【解析】選D.點的直角坐標為(1,-),圓1792.(2016·北京高考)在極坐標系中,直線ρcosθ-ρsinθ-1=0與圓ρ=2cosθ交于A,B兩點,則|AB|=________.2022/11/222.(2016·北京高考)在極坐標系中,直線ρcosθ-20180【解析】直線ρcosθ-ρsinθ-1=0可化為x-y-1=0.圓ρ=2cosθ可化為ρ2(cos2θ+sin2θ)=2ρcosθ,x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,所以圓心(1,0),半徑長為1.圓心在直線AB上,所以|AB|=2.答案:22022/11/22【解析】直線ρcosθ-ρsinθ-1=0可化為x-181自我糾錯極坐標方程化為直角坐標方程【典例】(2016·漳州高二檢測)化極坐標方程ρ2cosθ-ρ=0為直角坐標方程為(

)A.x2+y2=0或y=1 B.x=1C.x2+y2=0或x=1 D.y=12022/11/22自我糾錯極坐標方程化為直角坐標方程2022/11/21182【失誤案例】2022/11/22【失誤案例】2022/11/21183分析解題過程,找出錯誤之處,并寫出正確答案.提示:出錯的根本原因是忽視了ρ≥0,遺漏了ρ=0的情形.正確解答過程如下:2022/11/22分析解題過程,找出錯誤之處,并寫出正確答案.2022/11/184【解析】選C.由ρ2cosθ-ρ=0,得ρ(ρcosθ-1)=0,所以ρ=0或ρcosθ-1=0,即x2+y2=0或x=1.2022/11/22【解析】選C.由ρ2cosθ-ρ=0,得ρ(ρcosθ-1)1852022/11/222022/11/21186四

柱坐標系與球坐標系簡介2022/11/22四2022/11/21187【自主預習】1.柱坐標系如圖,在柱坐標系中,ρ:_____θ:______z:___范圍:ρ≥0,__≤θ<____,____<z<____.|OQ|∠xOQQP02π-∞+∞2022/11/22【自主預習】|OQ|∠xOQQP02π-∞+∞2022/111882.球坐標系如圖,在球坐標系中,r:_____φ:______θ:______范圍:r≥0,__________,__________.|OP|∠zOP∠xOQ0≤φ≤π0≤θ<2π2022/11/222.球坐標系|OP|∠zOP∠xOQ0≤φ≤π0≤θ<2π21893.點的空間坐標的互相轉(zhuǎn)化公式設空間一點P的直角坐標為(x,y,z),柱坐標為(ρ,θ,z),球坐標為(r,φ,θ),則2022/11/223.點的空間坐標的互相轉(zhuǎn)化公式設空間一點P的直角坐標為(x,190空間直角坐標(x,y,z)轉(zhuǎn)換公式柱坐標(ρ,θ,z)

球坐標(r,φ,θ)

ρcosθρsinθzrsinφcosθrsinφsinθrcosφ2022/11/22空間直角坐標(x,y,z)轉(zhuǎn)換公式柱坐標球坐標ρcosθ191【即時小測】1.柱坐標系中,點的柱坐標化為直角坐標為

(

)A.(2,2,3)

B.(2,3,0)

C.(0,2,3)

D.(2,0,3)2022/11/22【即時小測】2022/11/21192【解析】選C.設點P的直角坐標為(x,y,z),柱坐標為(ρ,θ,z),因為(ρ,θ,z)=

2022/11/22【解析】選C.設點P的直角坐標為(x,y,z),柱坐標為(ρ193所以點P的直角坐標為(0,2,3).2022/11/22所以點P的直角坐標為(0,2,3).2022/11942.將球坐標化為直角坐標為(

)A.(1,,1) B.(1,,0)C.(1,0,) D.(0,,1)2022/11/222.將球坐標化為直角坐標為()2022195【解析】選D.點的球坐標(r,φ,θ)化為直角坐標為(x,y,z)=(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ),所以化為直角坐標為2022/11/22【解析】選D.點的球坐標(r,φ,θ)化為直角坐標為(x,y196【知識探究】探究點柱坐標系與球坐標系1.空間直角坐標系、柱坐標系、球坐標系中點的坐標有什么特點?2022/11/22【知識探究】2022/11/21197提示:(1)柱坐標系與球坐標系都是以空間直角坐標系為背景,柱坐標系在平面xOy內(nèi)構造平面極坐標系,球坐標系是構造點P到原點的距離|OP|=r與射線Oz構成極坐標系,且OP在平面xOy內(nèi)的射影與射線Ox也構成平面極坐標系.2022/11/22提示:(1)柱坐標系與球坐標系都是以空間直角坐標系為背景,柱198(2)點P的直角坐標是有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),柱坐標是含有一個極角的有序數(shù)組(ρ,θ,z),球坐標是含有兩個極角的有序數(shù)組(r,φ,θ).2022/11/22(2)點P的直角坐標是有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),柱坐標是含有1992.要刻畫空間一點的位置,就距離和角的個數(shù)來說有什么限制?提示:空間點的坐標都是三個數(shù)值,至少有一個是距離.2022/11/222.要刻畫空間一點的位置,就距離和角的個數(shù)來說有什么限制?2200【歸納總結(jié)】1.柱坐標系、球坐標系與空間直角坐標系的關系柱坐標系和球坐標系都要定位在空間直角坐標系中,柱坐標系中一點在平面xOy內(nèi)的坐標是極坐標,豎坐標和空間直角坐標系的豎坐標相同;球坐標系中,則以一點到原點的距離和兩個角(高低角、極角)刻畫點的位置.2022/11/22【歸納總結(jié)】2022/11/212012.對球坐標系的三點說明(1)在球心為O,r為半徑的球中,建立球坐標系,如圖,其中,|OP|=r與射線Oz構成極坐標系,且OP在平面xOy內(nèi)的射影OQ與射線Ox也構成極坐標系,所以球坐標系也稱為空間極坐標系.2022/11/222.對球坐標系的三點說明2022/11/21202(2)球坐標系在地理學、天文學中有著廣泛的應用,在測量實踐中,球坐標P(r,φ,θ)中的角θ稱為被測點P的方位角,90°-φ稱為高低角.(3)在球坐標系中,方程r=r0(r0為正常數(shù))表示球心在原點,半徑為r0的球面;2022/11/22(2)球坐標系在地理學、天文學中有著廣泛的應用,在測量實踐中203方程θ=θ0(0≤θ0<2π)表示過z軸的半平面,且與平面xOz所成的二面角為θ0;方程φ=φ0(0≤φ0≤π)表示頂點在原點,半頂角為φ0的“圓錐面”,其中心軸為z軸,當φ0=時,“圓錐面”為平面xOy;當φ0<時,“圓錐面”在平面xOy上方;當φ0>時,“圓錐面”在平面xOy下方.2022/11/22方程θ=θ0(0≤θ0<2π)表示過z軸的半平面,且與平20204類型一柱坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化【典例】把點P的直角坐標(2,2,4)化為柱坐標.2022/11/22類型一柱坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化2022/11/21205【解題探究】直角坐標與柱坐標互化的依據(jù)是什么?提示:直角坐標與柱坐標互化的依據(jù)是公式2022/11/22【解題探究】直角坐標與柱坐標互化的依據(jù)是什么?2022/11206【解析】點P的直角坐標(2,2,4)化為柱坐標解得所以點P的柱坐標為2022/11/22【解析】點P的直角坐標(2,2,4)化為柱坐標207【方法技巧】點的柱坐標與直角坐標的互相轉(zhuǎn)化公式設點P的直角坐標為(x,y,z),柱坐標為(ρ,θ,z),(1)柱坐標化為直角坐標的公式為即柱坐標(ρ,θ,z)的直角坐標為(x,y,z)=(ρcosθ,ρsinθ,z).2022/11/22【方法技巧】點的柱坐標與直角坐標的互相轉(zhuǎn)化公式2022/11208(2)直角坐標化為柱坐標的公式為即直角坐標(x,y,z)的柱坐標為其中,且θ的終邊經(jīng)過(x,y).2022/11/22(2)直角坐標化為柱坐標的公式為2022/11/21209【變式訓練】1.將點的柱坐標化為直角坐標為(

)A.(,1,-1)

B.(,-1,-1)C.(-,1,-1) D.(-,-1,-1)2022/11/22【變式訓練】1.將點的柱坐標化為直角坐標20210【解析】選C.因為M點的柱坐標為設點M的直角坐標為(x,y,z),所以即所以2022/11/22【解析】選C.因為M點的柱坐標為20222112.將點的直角坐標(-,-3,4)化為柱坐標為________.2022/11/222.將點的直角坐標(-,-3,4)化為柱坐標為____212【解析】設點P的直角坐標為(x,y,z),柱坐標為(ρ,θ,z),因為(x,y,z)=(-,-3,4),由公式且θ的終邊經(jīng)過點(-,-3),故θ=,2022/11/22【解析】設點P的直角坐標為(x,y,z),柱坐標為2022/213所以點的直角坐標(-,-3,4)化為柱