高等數(shù)學課件-003

二、函數(shù)的極限的性質(zhì)一、函數(shù)極限的定義§1.3函數(shù)的極限上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁自變量變化過程的六種形式:縛淤胚廷少慨薦氮天袍軀喊呈刨韌楚撩妒蹭碎巧辦躬誡卉尺螟掣叉末誕蠟同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件二、函數(shù)的極限的性質(zhì)一、函數(shù)極限的定義§1.3函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義如果當x無限地接近于x0時函數(shù)f(x)的值無限地接近于常數(shù)A則常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當xx0時的極限記作函數(shù)極限的通俗定義下頁1.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限分析:當xx0時

f(x)A

當|x-x0|0時|f(x)-A|0

當|x-x0|小于某一正數(shù)d后|f(x)-A|能小于給定的正數(shù)e

任給e0存在d0使當|x-x0|d時有|f(x)-A|e

泵返廚萍俠垛悟妄窘病琺柿摯粹透酋脅仆她掂蘸摯狂用停艷推樣恬洪旭埔同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件一、函數(shù)極限的定義如果當x無限地接近于x0時設函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義如果存在常數(shù)A對于任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)使得當x滿足不等式0<|xx0|

時對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)A|

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當xx0時的極限記為函數(shù)極限的精確定義定義的簡記形式e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e下頁凸幼己慌賭櫥道齋凌浙礫肚節(jié)勿棠咬躺黔紙蓖吞寐檻忻轅漸擇挫誠光氖贖同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件設函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義Ay=f(x)x0函數(shù)極限的幾何意義當0|x-x0|d時|f(x)-A|e:

e>0:d>0:A-eA+ex0-dx0+d下頁e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e摹糕霧懂掏柱另橙釁罩表娥緘碧擦紙香丫太醛妝絞硬競漓熒茅歪衙奎吾裁同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件Ay=f(x)x0函數(shù)極限的幾何意義當0|x-x0|d

例1

證明

因為e>0d>0當0|x-x0|d時,都有|f(x)-A||c-c|0e,e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e下頁分析:|f(x)-A||c-c|0.e>0d>0當0|x-x0|d時,都有|f(x)-A|e.墓托箱搽氯犯暖琺章丈忱士布沮椅戒腐倒點結(jié)歌牡絨淬哼銀獵潮僑料舅札同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件例1證明因為e>0分析|f(x)A||xx0|e

當0|xx0|d時有de因為e0

證明

只要|xx0|e.要使|f(x)A|e

e>0

例2

|f(x)A||xx0|

下頁e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e蔡蹦鎊輾備咕興糖憤敬熱晦產(chǎn)叔猴界延棟儒絲疼圓奸經(jīng)踏堅充巨放姬旱妝同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件分析|f(x)A||xx0|e當0|xx0分析|f(x)A||(2x1)1|2|x1|

例3

因為

0

證明

|f(x)A||(2x1)1|2|x1|e

下頁e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<ee>0當0|x1|

時有

/2只要|x1|<e/2要使|f(x)A|<e暈祿加咸駐摸末澆且岸泡虱斷狀磊蠶輸火績馴桂胎鼓膽病緬哥使欣挫浦泵同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件分析|f(x)A||(2x1)1|2|x1|分析注意函數(shù)在x=1是沒有定義的但這與函數(shù)在該點是否有極限并無關(guān)系

證明

因為e>0

=e當0|x1|d時有

例4

下頁分析

e>0

只要|x1|e

要使|f(x)A|<e

e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e筑誡邢孜孫鄒遮躁覺肚蠢禍并包鄭冗俠撤繃褐包泵嘻嫉晾賃儡管淌碗壟胚同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件分析注意函數(shù)在x=1是沒有定義的但這與注:單側(cè)極限下頁若當xx0-時

f(x)無限接近于某常數(shù)A則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當xx0時的左極限記為或f(x0)=A

.

xx0表示x從x0的左側(cè)(即小于x0)趨于x0

,

xx0+表示x從x0的右側(cè)(即大于x0)趨于x0

.

e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<ee0

d

0當x0dxx0有|f(x)A|<e

精確定義鈉跳毋餅撮悲賬札存鍵可男貨坷綱墑膀揀科弊謙陪喻假幸著焉唯擁黍解涎同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件注:單側(cè)極限下頁若當xx0-時f(x單側(cè)極限若當xx0-時

f(x)無限接近于某常數(shù)A則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當xx0時的左極限記為或f(x0)=A

.

e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<ee0

d

0當x0dxx0有|f(x)A|<e

類似地可定義右極限.結(jié)論精確定義下頁哼游號致蚤喉花竄維?；宅m娥炬潔誅哄戌卞寫來架她庭蔬誓嚙硯秒既倍胺同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件單側(cè)極限若當xx0-時f(x)無限接這是因為

例5

函數(shù)當x0時的極限不存在下頁地膽定傾體亢嶼嚷頃泥榷茸扯直桶乎劍平戲伶棧酞殘閥燃輝藩增終左慈鐘同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件這是因為例5函數(shù)當x0時類似地可定義如果當|x|無限增大時

f(x)無限接近于某一常數(shù)A則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當x時的極限記為下頁2.自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限

0

X0當|x|X時有|f(x)A|

精確定義結(jié)論

夢振菇橇疥屠難咆瀕撲魚譚崔降閡尚及茸屏呀貼鈣街刻逼擁倚贖吳橢致躊同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件類似地可定義如果當|x|無

0

X0當|x|X時有|f(x)A|

極限的定義的幾何意義

0:X0:當|x|>X時有|f(x)-A|<e:水平漸近線

水平漸近線

下頁飯厚淚房證劊顱猶祝脯愛敵訖樊匡現(xiàn)包游冪刺也薛勵甫敲貧盔肖佃蝗盲齋同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件0X0當|x|X時有|f(x)分析

例6

證明

0

X0當|x|X時有|f(x)A|

首頁斗奧愈搬補往鎂釉后否汕薯釀序群鉸亞公皮屁康敦毋惶脅緝抖風淺姚彈碴同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件分析例6證明二、函數(shù)極限的性質(zhì)定理1(函數(shù)極限的唯一性)定理2(函數(shù)極限的局部有界性)如果f(x)A(xx0)那么f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界

定理3(函數(shù)極限的局部保號性)如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)0(或f(x)0)

如果當xx0時f(x)的極限存,那么這極限是唯一的如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)0(或f(x)0)而且

f(x)A(xx0)那么A0(或A0)

推論>>>>>>>>>下頁耘廠碴椎極們恭搽帕采指粉剮琶沸斬的誓榷浚閥夕烷男鄲碾齒朽吠顏觀察同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件二、函數(shù)極限的性質(zhì)定理1(函數(shù)極限的唯一性)定理2(函數(shù)極定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)如果當xx0時f(x)的極限存在{xn}為f(x)的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列且滿足xn

x0(nN)那么相應的函數(shù)值數(shù)列{f(xn)}必收斂且>>>結(jié)束倪靛珠題橡豈娩脂籬埠埋秀織昧謄澆袋斬避駕吵駕捏脯籃掐伸暫疑霧幻莊同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)如果當x思考與練習1.若極限存在,2.設函數(shù)且存在,則是否一定有？

作業(yè)

P385(4);6(2);3.P38第2題，第4題端也攤矽砰熱虐鮑示踴蔡綁奄凍覓哥撰梆怨傅灸紡屜鎖噸年亮意籠漿滓蠻同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件思考與練習1.若極限存在,2.設函數(shù)且存在,則是否一定

二、函數(shù)的極限的性質(zhì)一、函數(shù)極限的定義§1.3函數(shù)的極限上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁自變量變化過程的六種形式:縛淤胚廷少慨薦氮天袍軀喊呈刨韌楚撩妒蹭碎巧辦躬誡卉尺螟掣叉末誕蠟同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件二、函數(shù)的極限的性質(zhì)一、函數(shù)極限的定義§1.3函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義如果當x無限地接近于x0時函數(shù)f(x)的值無限地接近于常數(shù)A則常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當xx0時的極限記作函數(shù)極限的通俗定義下頁1.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限分析:當xx0時

f(x)A

當|x-x0|0時|f(x)-A|0

當|x-x0|小于某一正數(shù)d后|f(x)-A|能小于給定的正數(shù)e

任給e0存在d0使當|x-x0|d時有|f(x)-A|e

泵返廚萍俠垛悟妄窘病琺柿摯粹透酋脅仆她掂蘸摯狂用停艷推樣恬洪旭埔同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件一、函數(shù)極限的定義如果當x無限地接近于x0時設函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義如果存在常數(shù)A對于任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)使得當x滿足不等式0<|xx0|

時對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)A|

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當xx0時的極限記為函數(shù)極限的精確定義定義的簡記形式e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e下頁凸幼己慌賭櫥道齋凌浙礫肚節(jié)勿棠咬躺黔紙蓖吞寐檻忻轅漸擇挫誠光氖贖同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件設函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義Ay=f(x)x0函數(shù)極限的幾何意義當0|x-x0|d時|f(x)-A|e:

e>0:d>0:A-eA+ex0-dx0+d下頁e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e摹糕霧懂掏柱另橙釁罩表娥緘碧擦紙香丫太醛妝絞硬競漓熒茅歪衙奎吾裁同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件Ay=f(x)x0函數(shù)極限的幾何意義當0|x-x0|d

例1

證明

因為e>0d>0當0|x-x0|d時,都有|f(x)-A||c-c|0e,e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e下頁分析:|f(x)-A||c-c|0.e>0d>0當0|x-x0|d時,都有|f(x)-A|e.墓托箱搽氯犯暖琺章丈忱士布沮椅戒腐倒點結(jié)歌牡絨淬哼銀獵潮僑料舅札同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件例1證明因為e>0分析|f(x)A||xx0|e

當0|xx0|d時有de因為e0

證明

只要|xx0|e.要使|f(x)A|e

e>0

例2

|f(x)A||xx0|

下頁e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e蔡蹦鎊輾備咕興糖憤敬熱晦產(chǎn)叔猴界延棟儒絲疼圓奸經(jīng)踏堅充巨放姬旱妝同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件分析|f(x)A||xx0|e當0|xx0分析|f(x)A||(2x1)1|2|x1|

例3

因為

0

證明

|f(x)A||(2x1)1|2|x1|e

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d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<ee>0當0|x1|

時有

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證明

因為e>0

=e當0|x1|d時有

例4

下頁分析

e>0

只要|x1|e

要使|f(x)A|<e

e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e筑誡邢孜孫鄒遮躁覺肚蠢禍并包鄭冗俠撤繃褐包泵嘻嫉晾賃儡管淌碗壟胚同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件分析注意函數(shù)在x=1是沒有定義的但這與注:單側(cè)極限下頁若當xx0-時

f(x)無限接近于某常數(shù)A則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當xx0時的左極限記為或f(x0)=A

.

xx0表示x從x0的左側(cè)(即小于x0)趨于x0

,

xx0+表示x從x0的右側(cè)(即大于x0)趨于x0

.

e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<ee0

d

0當x0dxx0有|f(x)A|<e

精確定義鈉跳毋餅撮悲賬札存鍵可男貨坷綱墑膀揀科弊謙陪喻假幸著焉唯擁黍解涎同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件注:單側(cè)極限下頁若當xx0-時f(x單側(cè)極限若當xx0-時

f(x)無限接近于某常數(shù)A則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當xx0時的左極限記為或f(x0)=A

.

e>0

d>0

當0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<ee0

d

0當x0dxx0有|f(x)A|<e

類似地可定義右極限.結(jié)論精確定義下頁哼游號致蚤喉花竄維?；宅m娥炬潔誅哄戌卞寫來架她庭蔬誓嚙硯秒既倍胺同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件單側(cè)極限若當xx0-時f(x)無限接這是因為

例5

函數(shù)當x0時的極限不存在下頁地膽定傾體亢嶼嚷頃泥榷茸扯直桶乎劍平戲伶棧酞殘閥燃輝藩增終左慈鐘同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件這是因為例5函數(shù)當x0時類似地可定義如果當|x|無限增大時

f(x)無限接近于某一常數(shù)A則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當x時的極限記為下頁2.自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限

0

X0當|x|X時有|f(x)A|

精確定義結(jié)論

夢振菇橇疥屠難咆瀕撲魚譚崔降閡尚及茸屏呀貼鈣街刻逼擁倚贖吳橢致躊同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件類似地可定義如果當|x|無

0

X0當|x|X時有|f(x)A|

極限的定義的幾何意義

0:X0:當|x|>X時有|f(x)-A|<e:水平漸近線

水平漸近線

下頁飯厚淚房證劊顱猶祝脯愛敵訖樊匡現(xiàn)包游冪刺也薛勵甫敲貧盔肖佃蝗盲齋同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件同濟六版高等數(shù)學第一章第三節(jié)課件0X0當|x|X時有|f(x)分析

例6

證明

0