高等數(shù)學二重積分的計算課件

1

二重積分的計算一、利用直角坐標計算二重積分

二、利用極坐標計算二重積分

三、無界區(qū)域上的反常二重積分

1二重積分的計算一、利用直角坐標計算二重積分二、利用極坐2

在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則一、利用直角坐標計算二重積分2在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分3（1）如果積分區(qū)域為：［X－型］

X型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.3（1）如果積分區(qū)域為：［X－型］X型區(qū)域的特點：穿過4（2）如果積分區(qū)域為：［Y－型］

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.4（2）如果積分區(qū)域為：［Y－型］Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)51.當D既不是X-型區(qū)域也不是Y-型區(qū)域時,將D分成幾部分，使每部分是X-型區(qū)域或是Y-型區(qū)域.注意：2.當D既是X-型區(qū)域也是Y-型區(qū)域時,可以用兩個公式進行計算.ⅠⅡⅢyx0yx0cdabD51.當D既不是X-型區(qū)域也不是Y-型區(qū)域時,將D分成幾部分6例

計算其中D是由直線y=1,x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域.解法1：先y后x

··xyx012y=xy=1x=26例計算其中D是由直線y=1,x=2及y=x所圍成的閉7解法2：先x后yyx012y=xx=2··y7解法2：先x后yyx012y=xx=2··y8選取積分次序,不僅要看區(qū)域的特點,而且要看被積函數(shù)的特點，凡遇如下形式積分:一定要放在后面積分.等等8選取積分次序,不僅要看區(qū)域的特點,而且要看被積函數(shù)的特點，9解例計算(1,1)9解例計算(1,1)10解積分區(qū)域如圖例改變積分的次序.10解積分區(qū)域如圖例改變積分的次序.11例交換積分次序：解原式=11例交換積分次序：解原式=12例交換積分次序：解積分區(qū)域:原式=12例交換積分次序：解積分區(qū)域:原式=13例

求兩個底圓半徑為R,且這兩個圓柱面的方程分別為及

解

求所圍成的立體的體積.13例求兩個底圓半徑為R,且這兩個圓柱面的方程分別為14解曲面圍成的立體如圖.例

求由下列曲面所圍成的立體體積，14解曲面圍成的立體如圖.例求由下列曲面所圍成的立151516例解16例解17二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）小結(jié)［Y－型］［X－型］（1）化二重積分為二次積分；（2）交換積分次序；題型17二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次18練習題（3）交換積分次序18練習題（3）交換積分次序19直角坐標系與極坐標系的變換關系兩坐標系下積分區(qū)域形狀不變，因此有二、利用極坐標計算二重積分19直角坐標系與極坐標系的變換關系兩坐標系下積分區(qū)域形狀20化為極坐標二次積分的幾種情形（1）區(qū)域特征如圖20化為極坐標二次積分的幾種情形（1）區(qū)域特征如圖21（2）區(qū)域特征如圖21（2）區(qū)域特征如圖22（3）區(qū)域特征如圖22（3）區(qū)域特征如圖23極坐標系下區(qū)域的面積（4）區(qū)域特征如圖23極坐標系下區(qū)域的面積（4）區(qū)域特征如圖24解24解25解25解26解26解2727282829解29解30解30解31基本解法：先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時取極限求解.解

先考慮圓域三、無界區(qū)域上的反常二重積分31基本解法：先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)323233練習題33練習題343435

二重積分的計算一、利用直角坐標計算二重積分

二、利用極坐標計算二重積分

三、無界區(qū)域上的反常二重積分

1二重積分的計算一、利用直角坐標計算二重積分二、利用極坐36

在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則一、利用直角坐標計算二重積分2在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分37（1）如果積分區(qū)域為：［X－型］

X型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.3（1）如果積分區(qū)域為：［X－型］X型區(qū)域的特點：穿過38（2）如果積分區(qū)域為：［Y－型］

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.4（2）如果積分區(qū)域為：［Y－型］Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)391.當D既不是X-型區(qū)域也不是Y-型區(qū)域時,將D分成幾部分，使每部分是X-型區(qū)域或是Y-型區(qū)域.注意：2.當D既是X-型區(qū)域也是Y-型區(qū)域時,可以用兩個公式進行計算.ⅠⅡⅢyx0yx0cdabD51.當D既不是X-型區(qū)域也不是Y-型區(qū)域時,將D分成幾部分40例

計算其中D是由直線y=1,x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域.解法1：先y后x

··xyx012y=xy=1x=26例計算其中D是由直線y=1,x=2及y=x所圍成的閉41解法2：先x后yyx012y=xx=2··y7解法2：先x后yyx012y=xx=2··y42選取積分次序,不僅要看區(qū)域的特點,而且要看被積函數(shù)的特點，凡遇如下形式積分:一定要放在后面積分.等等8選取積分次序,不僅要看區(qū)域的特點,而且要看被積函數(shù)的特點，43解例計算(1,1)9解例計算(1,1)44解積分區(qū)域如圖例改變積分的次序.10解積分區(qū)域如圖例改變積分的次序.45例交換積分次序：解原式=11例交換積分次序：解原式=46例交換積分次序：解積分區(qū)域:原式=12例交換積分次序：解積分區(qū)域:原式=47例

求兩個底圓半徑為R,且這兩個圓柱面的方程分別為及

解

求所圍成的立體的體積.13例求兩個底圓半徑為R,且這兩個圓柱面的方程分別為48解曲面圍成的立體如圖.例

求由下列曲面所圍成的立體體積，14解曲面圍成的立體如圖.例求由下列曲面所圍成的立491550例解16例解51二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）小結(jié)［Y－型］［X－型］（1）化二重積分為二次積分；（2）交換積分次序；題型17二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次52練習題（3）交換積分次序18練習題（3）交換積分次序53直角坐標系與極坐標系的變換關系兩坐標系下積分區(qū)域形狀不變，因此有二、利用極坐標計算二重積分19直角坐標系與極坐標系的變換關系兩坐標系下積分區(qū)域形狀54化為極坐標二次積分的幾種情形（1）區(qū)域特征如圖20化為極坐標二次積分的幾種情形（1）區(qū)域特征如圖55（2）區(qū)域特征如圖21（2）區(qū)域特征如圖56（3）區(qū)域特征如圖22（3）區(qū)域特征如圖57極坐標系下區(qū)域的面積（4）區(qū)域特征如圖23極坐標系下區(qū)域的面積（4）區(qū)域特征如圖58解