中考數(shù)學(xué)綜合專題訓(xùn)練【幾何綜合題】(幾何)精品解析

中數(shù)綜專訓(xùn)【幾何綜合幾何）精解在中考中，幾何綜合題主要考察了利用圖形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱）證明線段、角的數(shù)量關(guān)系及動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題。學(xué)生通常需要在熟悉基本幾何圖形及其輔助線添加的基礎(chǔ)上，將幾何綜合題目分解為基本問(wèn)題化為基本圖形或者可與基本圖形方法類比從使問(wèn)題得到解決。在解決幾何綜合題時(shí)，重點(diǎn)在思路，在老師講解及學(xué)生解題時(shí)，對(duì)于較復(fù)雜的圖形，根據(jù)題目敘述重復(fù)繪圖過(guò)程可以幫助學(xué)生分解出基本條件和圖形題與已有經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系從而找到思路，之后繪制思路流程圖往往能夠幫助學(xué)生把握題目的脈絡(luò)；在做完題之后，注重解題反思總題目中的基圖形及輔助線添加方法題目歸類整理對(duì)于典型的題目，可以解析題目條件，通過(guò)拓展題目條件或改變條件，給出題目的變式，從而對(duì)于題目及相應(yīng)方法有更深入的理解。同時(shí)，在授課過(guò)程中，將同一類型的幾何綜合題成組出現(xiàn)，分析講解，對(duì)學(xué)生積累對(duì)圖形的“感覺”有一定幫助。一考說(shuō)明要求圖形與證明中要求：會(huì)用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。圖形的認(rèn)識(shí)中要求運(yùn)幾何圖形的相關(guān)知識(shí)和方兩點(diǎn)之間的距離腰角形、等邊三角形、直角三角形的知識(shí)，全等三角形的知識(shí)和方法，平行四邊形的知識(shí)，矩形、菱形和正方形的知識(shí)，直角三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)）解決有關(guān)問(wèn)題；能運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形相關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題綜合運(yùn)用幾何知識(shí)解決與圓周角有關(guān)的問(wèn)題解與切線有關(guān)的問(wèn)題。圖形與變換中要求：能運(yùn)用軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。二基圖形及輔助線解決幾何綜合題，是需要厚積而薄發(fā)，所謂的“幾何感覺”，是建立在足夠的知識(shí)積累的基礎(chǔ)上的基圖形及常用的輔助線到特定條件時(shí)能夠及時(shí)聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的模型，找到“新”問(wèn)題與“舊”模型間的關(guān)聯(lián)，明確努力方向，才能進(jìn)一步綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。在中檔幾何題目教學(xué)中注重對(duì)基本圖形及輔助線的積累是非常必要的。舉：1、相似及圓有關(guān)的基本圖形

A

C'

B'A

B'

O

C

BC

A

AD

D

E

F

C

BC

C

EC

D

B

O

D1G

FA

E．．．．。．．．．。ACB

F

D2、方形中的基本圖形3、本輔助線（）平分線—過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線（角平分線的性質(zhì)）、翻折；（）中點(diǎn)相——倍長(zhǎng)中線（八字全等），中位線，直角三角形斜邊中線；共端點(diǎn)的等線段——旋轉(zhuǎn)基本圖形60，90°），構(gòu)造圓；垂直平分線，平分線——翻折；轉(zhuǎn)移線段——平移本圖形（線段）線段間有特殊關(guān)系時(shí)，翻折；特殊圖形的輔助線及其遷——梯形的輔助線（什么時(shí)候需要這樣添加？）等作雙高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面積；銳角三角函數(shù)平移腰——上下底之差；兩底角有特殊關(guān)系（延長(zhǎng)兩腰）；梯形——三角形平移對(duì)角線——上下底之和；對(duì)角線有特殊位置、數(shù)量關(guān)系。注：在繪制輔助線時(shí)要注意同樣輔助線的不同說(shuō)法，可能會(huì)導(dǎo)致解題難度有較大差異。三題舉例一)本形輔線添例1、已知：分MAN（）圖1中若

，

ADC90

，

ABAD___

（填寫“”“”或“（）圖2中若

ABC

，則1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（）圖3中①若

MANABCADC

，判斷

與AC的量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若

MAN

ABCADC

_____（用含三角函數(shù)表示，直接寫出結(jié)果，不必證明）233解：(1)ABAD=AC．--------------------------------------------------------------------------1分(2)仍然成立．證明：如圖2過(guò)C作CE⊥AM于ECF⊥于F，則∠CEA=∠CFA=90°．∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°

M

∴∠MAC=∠NAC=60°．又AC=AC，△AEC≌△AFC，∴，CE=CF．

∵在RtCEA中，∠EAC=60°，∴∠ECA=30°，AC=2AE．∴AE+AF=2AE=AC．ED+DA+AF=AC．∵∠＋∠AD＝180°，∠∠ADC=180°，∴∠CDE=∠．又CE=CF，∠∠CFB，△CED△CFB．∴ED=FB，∴FB+DA+AF=AC．

FB∴AB+AD=AC．-----------------------------------------4分(3)①．

M證明：如圖3，方法同(2)可證△≌△．∴．∵∠MAN=60°，∴∠GAC=∠HAC=30°．∴AG=AH=．∴3AC．

D

G

2∴GD+DA+AH=3AC．方法同(2)證△GDC≌△HBC．∴GD=HB，∴HB+DA+AH=．

HB∴AD+AB=

3

AC-------------------------------------------------------------------------------------6分②AB＋AD2·AC．-------------------------------------------------------------------7分例2知eq\o\ac(△,：)AOB，ABeq\o\ac(△,，)COD中OC,∠DCO連接AD、，M、、P分為OA、OD、BC的點(diǎn)

.BAM

AM

O

N

D3CD

(1)如圖1，若

圖1圖2、OC三在同一直線上，且∠ABO，則△的狀是________________，此時(shí)

________；(2)如2，若

、、三點(diǎn)在同一直線上，，eq\o\ac(△,明)PMNBAO

，并計(jì)算

的值（用含的子表示(3)在2中固定△AOB，△繞旋轉(zhuǎn)，直接寫出PM的大.例3、在eq\o\ac(△,Rt)ABC中ACB=90°tanBAC=BD，為BD中點(diǎn)

.點(diǎn)D在AC上不與A，C重結(jié)（過(guò)點(diǎn)D作DE⊥于E結(jié)CFEF圖．設(shè)CF則k=；（）將圖1中的△繞點(diǎn)A旋，使得D、EB三共線，點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn)，如圖2所．求證：BE-DE=2CF；（若BC=6點(diǎn)D在AC的三分點(diǎn)處線段AD繞轉(zhuǎn)點(diǎn)F始為中點(diǎn)求線段CF長(zhǎng)度的最大值．ADE

DFFC

C

C

B1

圖2

備圖解）=1；

………….………………（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線交BD于點(diǎn)G，設(shè)BD與的交點(diǎn)為Q.1DE1，∴由題意，tan∠=.2AE2∵、EB三點(diǎn)共線，∴AE⊥.∵∠BQC=∠，∠=90°,∴∠QBC=∠∵∠∠ACG=90°，∠ACG=90°，△BCG∽ACE∴∴∠=∠BCG..

D

E

A

F∴

1AE

.∴GB=DE.

C

B圖24∵F是中點(diǎn)，∴是中點(diǎn).在△ECG中CF

,∴DECF

.

……5分（3）情況1：如圖，當(dāng)=

13

時(shí)，取AB的中點(diǎn)，連結(jié)MF和，

A∵∠ACB，tan∠=6∴AC=12，=.

，且=6,

∵為AB中點(diǎn)，∴=

3

M∵=∴=

1

.

，

F∵為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，∴FM=

AD

=2.

C

B∴當(dāng)且僅當(dāng)、F、C三點(diǎn)共線且在線段CF上時(shí)CF最大，此時(shí)CF+FM=

2

.6分情況2：如圖，當(dāng)AD

AC

時(shí)，取AB的中點(diǎn)M

D

連結(jié)和，類似于情況1，可知的最大值為435

.…7分

MF綜合情況1與情況2，知當(dāng)點(diǎn)D在靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí)，線段CF的長(zhǎng)度取得最大值為45

.………8分

C

（）角角斜中+點(diǎn)圓例4、已知：在△中∠=90點(diǎn)E在直線上ED與線AC垂直垂為，且點(diǎn)M為中點(diǎn)連BMDM.如圖1，若點(diǎn)E在線段AB上，探究線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所足的數(shù)量關(guān)系并接寫出你得到的結(jié)論；如圖2，若點(diǎn)E在BA延線上，你在1中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明若點(diǎn)在延線上，請(qǐng)你根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形，并直接寫出線段BM與DM及BMD與∠BCD所足的數(shù)量關(guān).

M

C

C

圖1

C

M

2（）長(zhǎng)中的段例5、請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}形和形BEFG中，B，E

在同一條直線上是段5的中點(diǎn)，連結(jié)，

．若

，探究

與

PG的位置關(guān)系及的PC值．小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)

交DC

于點(diǎn)

H

，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決．DD

G圖

F

圖2

G

F請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：（）出上面題中線段與PC的置關(guān)系及

PGPC

的值；（）圖1中的菱形BEFG

繞點(diǎn)B順針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG

的對(duì)角線恰與菱形

的邊在同一條直線上，原問(wèn)題中的其他條件不變（如圖2在（）得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．（）圖1中(0

90

)

，將菱形BEFG

繞點(diǎn)

B

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問(wèn)題中的其他條件不變，請(qǐng)你直接寫出

PGPC

的值（用含的子表示解）線段PG

與

PG的位置關(guān)系是；．PC（四）共端點(diǎn)的等線段，旋轉(zhuǎn)例6、如圖1，eq\o\ac(□,)中⊥于E，恰BC的中點(diǎn)，B.（）證：=AE；（）圖2，P在BE上作EF于點(diǎn)，連結(jié)AF.求證：DFEF2

；（）你在圖3中畫圖探究：當(dāng)P為線EC上任意一點(diǎn)不點(diǎn)重）時(shí)，作⊥于連結(jié)AF線段EF與AF之有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論6E圖8E圖8DF

DADE

E

E

圖1圖2證明）在△中，∠90°，AEtanB∴BE∴AE．1分

圖3

H

D∵E為的中點(diǎn)，∴BC2∴.

．

F

2

1∵ABCD是平行四邊形，∴AD=BC.∴AE=AD.2分（2）在上截取DH=EF（如圖∵四邊形ABCD是平行四邊形，⊥，

H∴∠90°．∵EF⊥PD，∠1＝∠，∴∠=∠AEF．∵=AE，∴△≌△4分

D∴∠=∠，AH=．∴∠FAH==90．在RtFAH中=AF，F(xiàn)H．∴FHFDAF即DFEF

圖2AF．

F5分

（3）按題目要求所畫圖形見圖9，線段DF、EF、之間的數(shù)量關(guān)系為DF．（）用移換移段類梯平對(duì)線例7、我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線相等，則稱這個(gè)四邊形為等對(duì)角四邊形。請(qǐng)解答下列問(wèn)題：寫出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)角線四邊形的兩種圖形的名稱；探究當(dāng)對(duì)角線四邊形中兩條角線所夾銳角為60°這60°角所對(duì)的兩邊之和與其中一條對(duì)角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。利用平移變換轉(zhuǎn)移線作圖8西城一模，）eq\o\ac(△,Rt)中，∠°，分別為，延線的點(diǎn)，與的點(diǎn)為P.（）BD=AC，AE=CD，圖中畫出符合題意的圖形，并直接寫出的度數(shù)；（）BD，CD3，求的數(shù)7解）如圖，∠

45

°.???????2分（2）解法一：如圖10，將平移到DF，連接，EF．????????分則四邊形是平行四邊形．∴∥EF，．∵∴

BDCDAE3，3

，．

圖9∴

ACCDBDDF

．????????????????????4分∵∠C=90°，∴

BDF180

．∴∠C=∠．∴△ACD∽△．??????分∴∴

ADAC3BFBDEFAD3BFBF

，∠1=∠．．

圖10∵∠∠3=90°，∴∠∠3=90°．∴BF⊥AD．∴BF⊥EF．?????????????????????分∴在Rt中，

tanBEF

BFEF3

．∴∠=∠=30．????????????????分解法二：如圖，將平移到DF，連接，，EF．??????分則四邊形是平行四邊形．∵∠C=90°，∴四邊形ACDF是矩形，∠∠=90°∠1+∠°．∵在Rt中，在Rt中，30∴

tantan．

AEAE3DF

，，∴∠∠2=∠∠2=90°，即∠=90°．∴∠=∠．???????

圖又∵

DFAFBFEF2

，82222∴△ADF∽△EBF．?????????????????5分∴∠4=∠5．??????????????????????分∵∠∠4=∠+∠5，∴∠=∠=30°．??????????????????7分（）折等+等（角分類）例9、我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四D邊形．（）寫出一你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖

A

E形的名稱；（）圖在中點(diǎn)，E分在AB，上設(shè)

B

，

相交于點(diǎn)

DCB

你寫出圖中一個(gè)與

A相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形；（）△

中，如果

A

是不等于銳，點(diǎn)，E

分別在AB，AC

上，且1DCBEBCA．探究：滿足上述條件的圖形中是存在等對(duì)邊四邊形，并證明2你的結(jié)論．．解）回答正確的給分（如：平行四邊形、等腰梯形等（2）答：與A相等的角是BOD或∠邊形DBCE等對(duì)邊四邊形；（3）答：此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形DBCE。證法一：如圖，作⊥BE于點(diǎn)，作BF⊥CD交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn)。

A1因?yàn)椤螪CB=EBC=∠A，BC為公共邊，所以△BCF≌△，

F

DD

E所以BF=CG，因?yàn)椤螧DF=∠∠EBC+∠DCB，BEC=∠∠A，所以∠BDF=∠，可證△BDF≌△CEG，所以BD=CE所以四邊形DBCE是等邊四邊形。

B

CA證法二：如圖，以C為頂點(diǎn)作∠∠DBC，CF交于點(diǎn)。1因?yàn)椤螪CB=∠∠A，BC為公共邊，所以△BDC≌△CFB，

DD

F

E所以BD=CF，BDC=∠CFB，所以∠ADC=∠，因?yàn)椤螦DC=∠DCB+∠EBC+ABE，∠∠A+∠所以∠ADC=∠，所以∠FEC=∠所以CF=CE，所以，

B

C9所以四邊形DBCE是等邊四邊形。說(shuō)明：當(dāng)ABAC時(shí)，BD=仍成立。只有此法，只給分。二從目獲方的發(fā)類解問(wèn)（一）由角平分線啟發(fā)翻折，垂線例1、圖①，OP是MON的分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以所直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：如圖②，在△ABC中，∠ACB是角，∠=60°，、分是∠、∠BCA的平分線，、CE相于點(diǎn)。請(qǐng)你判斷并寫出FE之間的數(shù)量關(guān)系；如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不直角，(中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：圖略（1）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為＝。（2）答）中的結(jié)論＝FD仍然成立。證法一：下圖，在上截取AG＝，連結(jié)FG因?yàn)椋?，AF為公共邊AFG，F(xiàn)E＝FG

可證AEF≌AGF所以∠＝∠由∠B＝60°，AD、分別是∠、∠BCA的平分線可得∠2＋∠3＝60°所以∠AFE＝∠＝∠＝60°所以∠CFG＝°由∠3＝∠4及為公共邊，可得△≌△CFD所以FGFD所以FE＝FD證法二：下圖，過(guò)點(diǎn)分別作⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H因?yàn)椤螧＝60°，且AD、CE分別是∠、∠BCA的平分線，所以可得∠2＋∠3＝60°，是△ABC的內(nèi)心所以∠GEF＝60°＋1，F(xiàn)G＝FH又因?yàn)椤螲DF＝∠B＋∠

所以∠GEF＝∠HDF因此可證△EGF≌△所以

FE＝FD（）發(fā)用心中，點(diǎn)關(guān)容例2、我們知道三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心．經(jīng)過(guò)證明我們可得三角形重心具備下面的性質(zhì)：重到頂點(diǎn)的距離與重心到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2﹕1．請(qǐng)你用此10性質(zhì)解決下面的問(wèn)題已知：如圖，點(diǎn)O為腰直角三角形的心，，線m過(guò),過(guò)、、C

三點(diǎn)分別作直線

m

的垂線，垂足分別為點(diǎn)

D、、F

.當(dāng)直線與BC平行時(shí)（如圖1你想線段BE、CF和AD三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明；當(dāng)直線m繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)與BC不行時(shí)，分別探究在圖2、圖3這種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，不需證明．A

ADBECF

三者之間

mE

O(D)

F

E

D

F

m

O

D

F

B

C

E

圖1解（1）猜想：BE+CF=AD證明：如圖，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)，

圖????????????1分

圖A∵O為等腰直角三角形

ABC

的重心∴AO=2OM且AM⊥

E

F又∵EF∥BC

∴AM⊥EF

(D)∵BE⊥⊥EF∴EB∥OM∥

BM

C∴EB=OM=CF

圖1∴EB+CF=2OM=AD

?????????

（2）圖2結(jié)論：BE+CF=AD證明：聯(lián)結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,

H

O

F

過(guò)G做GH⊥EF于H由重心性質(zhì)可得AO=2OG

G圖

∵∠ADO=∠OHG=9,∠AOD=∠∴△AOD∽△GOH∴AD=2HG

????????????分∵O為重心

A∴G為BC中點(diǎn)

F

m∵GH⊥⊥⊥∴EB∥∥CF

B

O

D∴H為中點(diǎn)

C∴HG=

(EB+CF)

E

圖11∴EB+CF=AD(3)CF－BE=AD

????????????????分???????????????（）特形題發(fā)造些等角例3、如圖①為內(nèi)點(diǎn)，連接PB、，在、PBC和△中如果存在一個(gè)三角形與相，那么就稱為△ABC的自相似點(diǎn)．圖②，已知eq\o\ac(△,Rt)中∠=90，∠＞∠，是上中線，過(guò)點(diǎn)作BE⊥，足為，說(shuō)明是的自相似點(diǎn)．在△ABC中，A＜∠＜∠．①如圖③，利用尺規(guī)作eq\o\ac(△,出)ABC的相似點(diǎn)P（寫出作法并保留作圖痕跡②若△ABC的內(nèi)心P是三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．AAADPBCBCBC①②③(三一多解與題目的變式及類題、M為正方形ABCD的（或延長(zhǎng)線上）任一點(diǎn)（不重

DC

，射線與

的外角平分線交于N，證：

N【變式】、方法類比，改變圖形（）邊三角ABC中，在BC邊上任取一點(diǎn)（與，重合作

AMBEA

，DE交C的外角平分線，判斷的狀，并明。

若射線B上一點(diǎn)，上述結(jié)論是否成（(2008西一模，25)如,正六邊形點(diǎn)M在AB邊，

B

D

CFMH

與六邊形

外角的平分線BQ交點(diǎn)

當(dāng)點(diǎn)M不與點(diǎn)A、重時(shí)，求證：∠當(dāng)點(diǎn)M在六邊形ABCDEF一AB上動(dòng)點(diǎn)M不與點(diǎn)重合時(shí)猜想FM與的量關(guān)系，并對(duì)猜想的結(jié)果加以證.

、變背景

AC（密云一模）如圖，邊長(zhǎng)為的方形的頂點(diǎn)O在標(biāo)原點(diǎn)處、C別在x軸y軸的正半軸上E是OA邊上的不與點(diǎn)A重EF⊥CE與方形外角平分線交于點(diǎn)P.坐標(biāo)為(3時(shí)試證明CE；（）點(diǎn)

BE

P

F（）果上條件“點(diǎn)

坐標(biāo)為3，為點(diǎn)

坐標(biāo)為（t

，t12CE

是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（）

軸上是否存在點(diǎn)

，使得四邊形

BMEP

是平行四邊形？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理.AD、圖，在正方形中，、F分是BCCD上點(diǎn)，且EAF＝°，求證：EF＝BE＋．【變式】方法類比，特殊到一般削弱題目條圖四邊形ABCD中∠°F別是CD的點(diǎn)EAF的半么論＝BEFD是仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并

E

F證.改變圖形）四邊形BCD中＝，＝°延長(zhǎng)C到點(diǎn)長(zhǎng)到使EAF仍是的一半論E＝＋

是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證.

、轉(zhuǎn)特殊角度轉(zhuǎn)移線段，比較線段大?。ㄇ?5）知：等邊三角形如圖1，為邊△外點(diǎn)，且∠BPC=120°．猜想線段、之間的數(shù)量關(guān)系并明你的猜想；如圖2，為邊△內(nèi)點(diǎn)，且APD=120°．證：A

AB

B

P圖1

C

C圖2

D【類題1、知在△ABC中，BC=a，，AB為作等邊三角形ABD.探下列問(wèn)題:（1D與C位直AB的兩側(cè)時(shí)ACB=60°CD=；（2D與C位直AB的同側(cè)時(shí)ACB=90°CD=；（）圖3，當(dāng)ACB變化,且與點(diǎn)位直線AB的側(cè)時(shí)，求CD的大值及相應(yīng)的∠ACB的度數(shù).

AD

A

B

D圖1

圖2

圖313解

；????????????????’（2

；????????????????2’（3以點(diǎn)D為心，將△逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B落在點(diǎn)A點(diǎn)C落在點(diǎn)E.聯(lián)結(jié)AE,CE，∴CD=ED，CDE=60°AE=CB=a，∴△CDE為等邊三角形，∴CE=CD.????????????????4’C

CB

AED當(dāng)點(diǎn)E、A、不一條直線上時(shí)，有CD=CE<AE+AC=+；當(dāng)點(diǎn)E、A、在條直線上時(shí)，有最大值，CD=CE=+b；此時(shí)∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠°???????7’因此當(dāng)∠ACB=120°時(shí)，有最大值是a+.（三）啟構(gòu)三角轉(zhuǎn)線例2、已知：PA，PB以AB為一作正方形ABCD，P、D兩落在直線AB的側(cè)如圖，當(dāng)∠APB=45°，求AB及PD的長(zhǎng)當(dāng)∠變，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值，及相應(yīng)∠APB的小例3、如圖1，在梯形ABCD中AD∥BC∠C=90°，點(diǎn)為CD的點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，且∠FAE=∠DAE．請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想，得出AEF的度）的方法多樣（垂線段，倍長(zhǎng)，中位線）但是其中有的不好遷移到后面，需要在多種方法中選取若梯形ABCD中∥，C不直角，點(diǎn)在底邊BC或延長(zhǎng)線上，如圖2、圖3，其他條件不變，你在（）得出的結(jié)論是否仍然成立，若都成立，請(qǐng)?jiān)趫D2、圖3中選擇其中一圖進(jìn)行證明；不都成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1

圖2

圖【類題點(diǎn)A分是兩條平行線上意兩點(diǎn)是線一點(diǎn)ABC=°點(diǎn)在的長(zhǎng)線上,＝(k≠).（）k＝時(shí)在圖）中，作＝∠ABC，交線于F.，寫出線段EF與EB14．．．．．．．．．．的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（）≠，如2)，BEF＝ABC，它條件不變，探究線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（）2）(四方的綜合應(yīng)用．1、圖，已知△ABC邊上分別取兩點(diǎn)，E（1）請(qǐng)?jiān)贐C

（BC

的中點(diǎn)除外），結(jié)

AD，

，寫出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；（）你根據(jù)1成立的相應(yīng)條件，證明AD

．

2、題：已eq\o\ac(△,知)ABC中，eq\o\ac(△,是)內(nèi)一點(diǎn)，且ADCD=BA。探究與度數(shù)的比值。請(qǐng)你完成下列探究過(guò)程：先將圖形特殊化出猜想再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明。(1)當(dāng)=90問(wèn)中的條件補(bǔ)全右圖。觀察圖形，與的量系為；當(dāng)推出=15進(jìn)步推的度數(shù)為；

B可得到與度數(shù)的比值為；(2)當(dāng)畫圖形研與度的比值是否與中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明。3、△中，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)．

C

A（）圖1，證AP

（+（）長(zhǎng)AB到D使得，延長(zhǎng)AC到，使得，結(jié)．①如圖，連結(jié)BE，若∠°請(qǐng)你探究線段BE與段AP之的數(shù)量關(guān)系．寫出你的結(jié)論，并加以證明；15②請(qǐng)?jiān)趫D3中明BC

DE．4、eq\o\ac(□,在)eq\o\ac(□,)中，∠的分交直線于，直線于F。（）圖1中明

CECF

；（）

，是的點(diǎn)（如圖2接寫出BDG的度數(shù)；（）

，∥，F(xiàn)G，分別連結(jié)DB（如圖3∠BDG的數(shù)。

A

D

A

DA

B

C

B

E

C

BE

CF

G

F

F(五)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)與類論不定引分討等三形角點(diǎn)相三形應(yīng)；已兩（點(diǎn)+限制條定行邊（殊形；注：類重漏動(dòng)問(wèn)定點(diǎn)由置不定發(fā)分討1、eq\o\ac(△,Rt)中，∠°，BC，=50．點(diǎn)P是邊任意一點(diǎn)，直線PE，與邊或BC相交于．在段上點(diǎn)N在段BP