![DFT在信號(hào)頻譜分析中的應(yīng)用_第1頁(yè)](http://file4.renrendoc.com/view/a998b66c32019a9c676586b80b6e9100/a998b66c32019a9c676586b80b6e91001.gif)
![DFT在信號(hào)頻譜分析中的應(yīng)用_第2頁(yè)](http://file4.renrendoc.com/view/a998b66c32019a9c676586b80b6e9100/a998b66c32019a9c676586b80b6e91002.gif)
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DFT在信號(hào)頻譜分析中的應(yīng)用目錄TOC\o"1-1"\h\z\uⅠ.設(shè)計(jì)題目 1Ⅱ.設(shè)計(jì)目的 1Ⅲ.設(shè)計(jì)原理 1Ⅳ.實(shí)現(xiàn)方法 1Ⅴ.設(shè)計(jì)內(nèi)容及結(jié)果 5Ⅵ.改進(jìn)及建議 11Ⅶ.思考題及解答 14Ⅷ.設(shè)計(jì)體會(huì)及心得 15Ⅸ.參考文獻(xiàn) 16Ⅰ.設(shè)計(jì)題目DFT在信號(hào)頻譜分析中的應(yīng)用Ⅱ.設(shè)計(jì)目的MatlabDFTDFT應(yīng)用,用DFT對(duì)序列進(jìn)行頻譜分析,了解DFTFFT的應(yīng)用。Ⅲ.設(shè)計(jì)原理DFT是一種時(shí)工程實(shí)際中,經(jīng)常遇到的連續(xù)信號(hào)Xa(t),其頻譜函數(shù)Xa(jW)也是連續(xù)函數(shù)。數(shù)字計(jì)算機(jī)難于處理,因而我們采用DFT來(lái)對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換進(jìn)行逼近,進(jìn)而分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜。Ⅳ.實(shí)現(xiàn)方法葉級(jí)數(shù)本質(zhì)是一樣的。(1)N的序列DFTDFT(2)WN(nk)的周期性2DFT(對(duì)稱性Wnk2N1
Wnk,N2WN1;周期性Wn(rNk)2
WnrNW
Wnk,r為任意整數(shù),WnrN1)N N N N N N離散傅里葉變換的推導(dǎo):離散傅里葉級(jí)數(shù)定義為xp
(n)
1N1xN k0
(k
jN
(1-1)N將上式兩端乘以ej2πnmN
并對(duì) n 在
0~N-1 N1
(n)ej2πnm
1NN1
(k)ej(km
N1
(k)
N1ejπn(km)n0
Np1 N1
Nn0k0
pN11-N
Nj2π(km)N
pk0
1 N n0 因?yàn)? NNn0N
jn(kmN
N NNN 1-ej(km)NN
1km0 kmN1xpn0
(n)ej
N1k0
(k(km) p
N1xp Nn0N
ej
用k代m
(k)P
Nn0
x(n)ep
jN
(1-2)令WN
ej2π則(1-2)DFS
x(n)Xp
(k)N1xp n0
(n)WN
(1-3) 1
N1 (1-1)IDFS
(k)xp
(n)
Nn0
X (knkp N
(1-4)式1-3(1-4)式構(gòu)成周期序列傅里葉級(jí)數(shù)變換關(guān)系。其中xp
(n)、X
(k)p都是周期為N的周期序列,DFS[·]表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換,IDFS[·]表示離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。習(xí)慣上,對(duì)于長(zhǎng)為N的周期序列,把0nN-1區(qū)間稱為主值區(qū),把x(0)~xp
(N1)稱為xp
(n
(0)~p
(N1)p
(k)的p主值序列。由于x(n)xp
(n)RN
(nxp
(nN個(gè)獨(dú)立樣值,對(duì)于任何一個(gè)周期進(jìn)行研究就可以得到它的全部信息。在主值區(qū)研究xp
(nx(n)是等價(jià)的,因此在主值區(qū)計(jì)算DFSDFT是相等的,所以DFT計(jì)算公式形式與DFS基本相同。其關(guān)系為x(n)xp所以離散傅里葉正變換
(n)RN
(n) X(k)
(k)Rp
(k)XkDFTxnN1xnWnkN
0kN-1n02離散傅里葉變換DF)定義:x(n)(0nN-N的頻率有限長(zhǎng)序列(0kN-,其正變換為XkDFTxnN1xnWnkN
W0kN-1 (
N
j)Nn0離散傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是:把有限長(zhǎng)序列當(dāng)做周期序列的主值序列進(jìn)行DFSX(k)N,都是Nx(n)X(k),X(k)x(n)。DFS導(dǎo)出來(lái)的,因而隱含著周期性。構(gòu)造離散傅里葉變換的Matlab實(shí)現(xiàn)程序如下:function[Xk]=dft(xn,N)n=[0:1:N-1];k=n;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnkDFT不同的另外一種變換,而是為了減少DFT計(jì)算次數(shù)的一種快速有效的算法共軛對(duì)稱性:~設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)的長(zhǎng)度為N,以N為周期的周期延拓列為x(n)x((n))~N~ x(n)的共軛對(duì)稱分量(n)~
(n)分別為e o~ 1~ ~* 1 2 x(n) x(n)x(n) x((n))2 e
x*((Nn))N
(1-5)~ 1~ ~* 1 2 x(n) x(n)x(n) x((n))2 o
x*((Nn))N
(1-6)~ ~* ~ ~xe
(n)xe
(n) (1-7)xo
(n)x
*(n) (1-8)o則有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周共軛對(duì)稱分量xep
(nxop
(n)分別定義為:3x (n)~ep
(n)RN
(n)1[x((n))2
x*((Nn)) ]RN N
(n) (1-9)~ 1x (n)xop
(n)RN
(n) [x((n))2
x*((Nn)) ]RN N
(n) (1-10)由于滿足~(n)~(n)~ (n) 故e o~ ~ ~x(n)x(n)RN
(n)[xe
(n)x(n)]RN
(n)xep
(n)xop
(n) Nx(n)xep
(n)和圓周共軛反對(duì)稱分量xop
(n)之和,xep
(n)xop
N。利用有限長(zhǎng)序列與周期序列的共軛對(duì)稱分量和反對(duì)稱分量的關(guān)系式1-9)和式1-1,以及式(1-11)可以推導(dǎo)出DFT的一系列的對(duì)稱性質(zhì)DFT[x*(n)]X*(k)X*(nK) x*(nx(n的共軛復(fù)序列。證明:DFT [x*(n)]
N
x*
N
x(n)WnkX*(k) 又因?yàn)閚0
Nn0
NN1 *W
ej
)nNej2πn
1 DFT[x*(n)]
x(n)W(Nk)n X*(Nk)N Nn0NDFT等于DFT的圓周共軛對(duì)稱部分,即N1DFT{Re[x(n)]}Xep證明:
(k) [X(k)X*(Nk2DFT {Re[x(n)]} DFT {1[x(n)x*(n)]} = 1 {DFT [x(n)] +DFT [x*(n)] }=1[X(k)X*(Nk)]X2
2 2(k)利用DFT的對(duì)稱性可求得cosn的DFT:0x(n)cos0
njsin0
ne則DFT[x(n)] X(k)
N1 jenen
nk
1ejoNWNkN
1
joN因?yàn)閏osnRe[x(n)]0所以
n0
N 1ejoWN
1ejoWkNDFT[cos
n]DFT{Re[x(n)]}X0
(k)X(k)X*(Nk)=24[1ejoN 1ejoWk
1cos N11ejoWk1ejoN]N2
kcos
W
cos( N1)N N12WkN
0cos0
N 0W2kNⅤ.設(shè)計(jì)內(nèi)容及結(jié)果MATLABx(n)NDFTmdft.mMATLAB中的內(nèi)部函數(shù)文件fft.m作比較。解:x(n)NDFT的mfunction[Xk]=dft(xn,N)n=[0:1:N-1];k=n;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnkMatlab中的內(nèi)部函數(shù)文件fft.mfunction[varargout]fft(varargin)ifnargout==0builtin('fft',else[varargout{1:nargout}]=builtin('fft',end運(yùn)算量估計(jì):N=2MFFTMN/2個(gè)蝶。每一級(jí)需N/2次復(fù)乘、N次復(fù)加,因此總共需要進(jìn)行:2
MN2
log2
N 復(fù)加:NMNlog N2直接計(jì)算N點(diǎn)的DFT,需要N2次復(fù)乘、N(N-1)次復(fù)加。N值越大,時(shí)間抽選奇FFT算法越優(yōu)越。例如當(dāng)N=2048點(diǎn)時(shí),時(shí)間抽選奇偶分解FFTDFT300多倍可以用一下Matlab程序比較DFT和FFT的運(yùn)算時(shí)間N=2048;5M=11;x=[1:M,zeros(1,N-M)];t=cputime;y1=fft(x,N);Time_fft=cputime-tt1=cputime;y2=dft(x,N);Time_dft=cputime-t1t2=cputime;運(yùn)行結(jié)果:Time_fft=0.0469Time_dft=15.2031由此可見(jiàn)FFT算法比直接計(jì)算DFT速度快得多對(duì)離散確定信號(hào)x(n)作如下譜分析:x(n)x(n)N(0nN-1N自己選)寫(xiě)程序計(jì)算出x(n)的N點(diǎn)DFTX(k) ,畫(huà)出時(shí)域序列圖xn~n和相應(yīng)的幅頻圖X(k)~k。解:x(n)10X(ejw)、X(k)MATLAB程序如下:N=10;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'.k');title('時(shí)域序列圖xn');6xlabel('n');axis([0,10,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw));title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,10]);subplot(3,1,3)k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1;stem(w1/pi,abs(Xk),'.k');title('Xk');xlabel('頻率(axis([0,1,0,10]);x(n)的前10點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-1所示。圖1-1 x(n)的前10點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)7由圖可見(jiàn),由于截?cái)嗪瘮?shù)的頻譜混疊作用,X(k)不能正確分辨w1=0.48π、w2=0.52π這兩個(gè)頻率分量。x(n)100N=100X(ejw)、X(k)MATLAB主要程序如下:N=10;n=0:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);N1=100;n1=0:N1-1;x1=[xn(1:10)zeros(1,90)];subplot(3,1,1)stem(n1,x1,'.k');title('時(shí)域序列圖x1');xlabel('n');axis([0,100,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:2047)/2048;X1=x1*exp(-j*n1'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(X1));title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,10]);subplot(3,1,3)Xk=dft(x1,N1);k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50)),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率(單位:pi)');axis([0,1,0,10]);x(n)補(bǔ)零至100點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-2所示。8圖1-2 x(n)補(bǔ)零至100點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)x(n)100x(n)X(ejw)X(k)1-2100X(k)的密度,截?cái)嗪瘮?shù)的頻譜混疊作用沒(méi)有改變,這X(k)w1=0.48πw2=0.52π這兩個(gè)頻率分量。x(n)100N=100X(ejw)、X(k)MATLAB主要程序如下:N=100;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'.k');9title('時(shí)域序列圖xn');xlabel('n');axis([0,100,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw));title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,50]);subplot(3,1,3);k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50)),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率(單位:pi)');axis([0,1,0,50]);100x(n)x(n)、X(ejw)、X(k)1-3所示圖1-3100點(diǎn)x(n)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)10由圖可見(jiàn),截?cái)嗪瘮?shù)的加寬且為周期序列的整數(shù)倍,改變了頻譜混疊作用,X(k)w1=0.48πw2=0.52π這兩個(gè)頻率分量。Tp來(lái)提高物理分辨率可以得到分辨率譜。Ⅵ.改進(jìn)及建議1-11-21-30<=n<=9時(shí),從相應(yīng)的圖中幾乎x(n)90N=100DFT,從X(k)圖中可以看出,這時(shí)的譜線相當(dāng)密,故稱為高密度譜線圖,但是x(n)N=100的序X(k)Nx(n)128N=128X(ejw)、X(k)。MATLAB主要程序如下:N=128;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'.k');title('xn');xlabel('n');axis([0,100,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw));title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,70]);subplot(3,1,3);k1=0:1:63;w1=2*pi/128*k1;11stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:64)),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率(單位:pi)');axis([0,1,0,70]);128x(n)x(n)、X(ejw)、X(k)1-4所示圖1-4128點(diǎn)x(n)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)128x(n)x(n)、X(ejw)、X(k)1-4所示。由圖可見(jiàn),截?cái)嗪瘮?shù)雖然進(jìn)一步加寬,但不是周期序列的整數(shù)倍,所以盡管X(k)能正確分辨w1=0.48π、w2=0.52π這兩個(gè)頻率分量,但還呈現(xiàn)頻譜泄露。分辨率提高了,但仍出現(xiàn)了頻譜泄露現(xiàn)象,故要求N取值為周期序列的整數(shù)倍。取x(n)的前150點(diǎn)數(shù)據(jù),求N=150點(diǎn)的X(ejw)、X(k)。N=150;n=0:1:N-1;12xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'.k');title('時(shí)域序列圖xn');xlabel('n');axis([0,100,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw));title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,80]);subplot(3,1,3);k1=0:1:74;w1=2*pi/150*k1;stem(w1/pi,abs(X
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