一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-教學(xué)課件

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升素養(yǎng)一數(shù)學(xué)運(yùn)算角度1導(dǎo)數(shù)的計(jì)算【典例1】(1)(2020·天津高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f′(x)= (

)A. B.C. D.【解析】選D.根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)=考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升素養(yǎng)一數(shù)學(xué)運(yùn)算2(2)(2020·沙坪壩高二檢測(cè))設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f(x)=x·ln(2x-1),則f′(1)=________.

【解析】因?yàn)閒(x)=x·ln(2x-1),所以f′(x)=ln(2x-1)+·(2x-1)′=ln(2x-1)+則f′(1)=2.答案:2(2)(2020·沙坪壩高二檢測(cè))設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)3【類題·通】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)注點(diǎn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算的關(guān)鍵是分清求導(dǎo)層次,逐層求導(dǎo),一般對(duì)于y=f(ax+b)的復(fù)合函數(shù),只有兩層復(fù)合關(guān)系,求導(dǎo)時(shí)不要忘了對(duì)內(nèi)層函數(shù)求導(dǎo)即可.【類題·通】4角度2曲線的切線【典例2】(1)(2020·和平高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=lnx+2x2-4x,則函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程為 (

)A.x-y+3=0 B.x+y-3=0C.x-y-3=0 D.x+y+3=0角度2曲線的切線5【解析】選C.由f(x)=lnx+2x2-4x,得f′(x)=+4x-4,所以f′(1)=1.又f(1)=-2.所以函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程為y+2=1×(x-1),即x-y-3=0.【解析】選C.由f(x)=lnx+2x2-4x,6(2)(2020·沙坪壩高二檢測(cè))已知曲線f(x)=alnx+x2在點(diǎn)(1,1)處的切線與直線x+y=0平行,則實(shí)數(shù)a的值為 (

)A.-3 B.1 C.2 D.3【解析】選A.f(x)=alnx+x2的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=+2x,可得曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為k=a+2,由切線與直線x+y=0平行,可得k=-1,即a+2=-1,解得a=-3.(2)(2020·沙坪壩高二檢測(cè))已知曲線f(x)=aln7【類題·通】曲線的切線的斜率是切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),再結(jié)合其他條件可處理與切線相關(guān)的問(wèn)題.【類題·通】8素養(yǎng)二邏輯推理角度1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)【典例3】(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)當(dāng)a<0時(shí),證明f(x)≤--2.素養(yǎng)二邏輯推理9【解析】(1)f′(x)==(x>0),當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)a<0時(shí),則f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【解析】(1)f′(x)=10(2)由(1)知,當(dāng)a<0時(shí),f(x)max=f,則f令y=lnt+1-t令y′=-1=0,解得t=1,所以y=lnt+1-t在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以ymax=y(1)=0,所以y≤0,即f(x)max≤--2,所以f(x)≤--2.(2)由(1)知,當(dāng)a<0時(shí),f(x)max=f,11

【類題·通】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)注點(diǎn)(1)關(guān)注函數(shù)的定義域,單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間.(2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)轉(zhuǎn)化要等價(jià).(3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集.(4)求參數(shù)的范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法.【類題·通】12【加練·固】已知函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)若函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【加練·固】13【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2+x-lnx(x>0),f′(x)=2x+1-== (x>0).令f′(x)>0,則x>;令f′(x)<0,則0<x<,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2+x-lnx(x>14(2)f′(x)=2x+a-=(x>0),由函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),得 ≤0,即2x2+ax-1≤0在[1,2]上恒成立.令h(x)=2x2+ax-1,則即 解得a≤-,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2)f′(x)=2x+a-=(x>15角度2函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)【典例4】(1)設(shè)函數(shù)f(x)=+lnx,則 (

)A.x=為f(x)的極大值點(diǎn)B.x=為f(x)的極小值點(diǎn)C.x=2為f(x)的極大值點(diǎn)D.x=2為f(x)的極小值點(diǎn)角度2函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)16(2)設(shè)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).①求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值.②討論g(x)與g的大小關(guān)系.(2)設(shè)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).17【解析】(1)選D.因?yàn)閒(x)=+lnx,x>0,所以f′(x)=-+,令f′(x)=0,即-+==0,解得x=2.當(dāng)0<x<2時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>2時(shí),f′(x)>0,所以x=2為f(x)的極小值點(diǎn).【解析】(1)選D.因?yàn)閒(x)=+lnx,x>0,18(2)①由題設(shè)知g(x)=lnx+,x>0,所以g′(x)=令g′(x)=0,得x=1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,因此,x=1是g(x)的唯一極值點(diǎn),且為極小值點(diǎn),從而是最小值點(diǎn),所以最小值為g(1)=1.(2)①由題設(shè)知g(x)=lnx+,x>0,19②g=-lnx+x.設(shè)h(x)=g(x)-g=2lnx-x+,則h′(x)=-當(dāng)x=1時(shí),h(1)=0,即g(x)=g.當(dāng)x∈(0,1)∪(1,+∞)時(shí),h′(x)<0,h′(1)=0.因此,h(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)0<x<1時(shí),h(x)>h(1)=0,即g(x)>g.當(dāng)x>1時(shí),h(x)<h(1)=0,即g(x)<g.②g=-lnx+x.設(shè)h(x)=g(x)-g20

【類題·通】利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)求曲線切線時(shí)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義.(2)連續(xù)函數(shù)的最值在端點(diǎn)或極值點(diǎn)處取到,所以需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性.【類題·通】21【加練·固】已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+1)x+2alnx(a>0).(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)若f(x)≤0在區(qū)間[1,e]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【加練·固】22【解析】(1)因?yàn)閍=1,所以f(x)=x2-4x+2lnx,所以f′(x)= (x>0),f(1)=-3,f′(1)=0,所以切線方程為y=-3.【解析】(1)因?yàn)閍=1,所以f(x)=x2-4x+2ln23(2)f′(x)==(x>0),令f′(x)=0得x1=a,x2=1,若0<a<1,則當(dāng)x∈(0,a)或(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈(a,1)時(shí),f′(x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,1);若a=1,則f′(x)=≥0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);(2)f′(x)=24若a>1,則當(dāng)x∈(0,1)或(a,+∞)時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈(1,a)時(shí),f′(x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,a).(3)由(2)可知,f(x)在區(qū)間[1,e]上只可能有極小值點(diǎn),所以f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)取到,所以f(1)=1-2(a+1)≤0且f(e)=e2-2(a+1)e+2a≤0,解得a≥若a>1,則當(dāng)x∈(0,1)或(a,+∞)時(shí),25素養(yǎng)三數(shù)學(xué)抽象角度分類討論的思想【典例5】已知函數(shù)f(x)=-ax2+lnx(a∈R).(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)若存在x∈(1,+∞),使f(x)>-a,求a的取值范圍.素養(yǎng)三數(shù)學(xué)抽象26【解析】(1)f′(x)=-2ax+=當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上遞增,當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,得x=,令f′(x)>0,得x∈;令f′(x)<0,得x∈所以f(x)在上遞增,在上遞減.【解析】(1)f′(x)=-2ax+=27(2)由f(x)>-a,得a(x2-1)-lnx<0,因?yàn)閤∈(1,+∞),所以-lnx<0,x2-1>0,當(dāng)a≤0時(shí),a(x2-1)-lnx<0滿足題意,當(dāng)a≥時(shí),設(shè)g(x)=a(x2-1)-lnx(x>1),g′(x)=>0,所以g(x)在(1,+∞)上遞增,所以g(x)>g(1)=0,不合題意,(2)由f(x)>-a,得a(x2-1)-lnx<0,28當(dāng)0<a<時(shí),令g′(x)>0,得x∈,令g′(x)<0,得x∈所以g(x)min=g<g(1)=0,則存在x∈(1+∞),使g(x)<0,綜上,a的取值范圍是當(dāng)0<a<時(shí),令g′(x)>0,得x∈29

【類題·通】關(guān)于分類討論思想在解題中的應(yīng)用(1)分類討論即分別歸類再進(jìn)行討論,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,也是一種邏輯方法,同時(shí)又是一種重要的解題策略.(2)解題時(shí)首先要思考為什么分類,即分類依據(jù)是什么,一般的分類依據(jù)如方程類型、根的個(gè)數(shù)及與區(qū)間的關(guān)系、不等號(hào)的方向等;其次考慮分幾類,每一類中是否還需要再分類.(3)分類討論的基本原則是不重不漏.【類題·通】30

【加練·固】已知函數(shù)f(x)=+lnx.(1)若f(x)的一條切線是y=-x+3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-1在上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【加練·固】31【解析】(1)顯然x>0,f′(x)=-+.設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則f′(x0)=-1,即

+=-1?a=+x0.所以y0=f(x0)=+lnx0=x0+1+lnx0,又y0=-x0+3.所以lnx0=-2x0+2,解得x0=1,故a=2.由f′(x)= 得x=2.因此當(dāng)0<x<2時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;【解析】(1)顯然x>0,f′(x)=-+.設(shè)切32當(dāng)x>2時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間是(2,+∞).當(dāng)x>2時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.33(2)由題意得g′(x)=f′(x)=-+=(x>0),當(dāng)a≤0時(shí),g′(x)>0,g(x)在上單調(diào)遞增,因此不可能有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a>0時(shí),易得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,a),單調(diào)遞增區(qū)間是(a,+∞).g(x)=f(x)-1=0在上有兩解?

解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是2e-1≤a<1.(2)由題意得g′(x)=f′(x)=-+=34一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用35考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升素養(yǎng)一數(shù)學(xué)運(yùn)算角度1導(dǎo)數(shù)的計(jì)算【典例1】(1)(2020·天津高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f′(x)= (

)A. B.C. D.【解析】選D.根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)=考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升素養(yǎng)一數(shù)學(xué)運(yùn)算36(2)(2020·沙坪壩高二檢測(cè))設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f(x)=x·ln(2x-1),則f′(1)=________.

【解析】因?yàn)閒(x)=x·ln(2x-1),所以f′(x)=ln(2x-1)+·(2x-1)′=ln(2x-1)+則f′(1)=2.答案:2(2)(2020·沙坪壩高二檢測(cè))設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)37【類題·通】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)注點(diǎn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算的關(guān)鍵是分清求導(dǎo)層次,逐層求導(dǎo),一般對(duì)于y=f(ax+b)的復(fù)合函數(shù),只有兩層復(fù)合關(guān)系,求導(dǎo)時(shí)不要忘了對(duì)內(nèi)層函數(shù)求導(dǎo)即可.【類題·通】38角度2曲線的切線【典例2】(1)(2020·和平高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=lnx+2x2-4x,則函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程為 (

)A.x-y+3=0 B.x+y-3=0C.x-y-3=0 D.x+y+3=0角度2曲線的切線39【解析】選C.由f(x)=lnx+2x2-4x,得f′(x)=+4x-4,所以f′(1)=1.又f(1)=-2.所以函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程為y+2=1×(x-1),即x-y-3=0.【解析】選C.由f(x)=lnx+2x2-4x,40(2)(2020·沙坪壩高二檢測(cè))已知曲線f(x)=alnx+x2在點(diǎn)(1,1)處的切線與直線x+y=0平行,則實(shí)數(shù)a的值為 (

)A.-3 B.1 C.2 D.3【解析】選A.f(x)=alnx+x2的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=+2x,可得曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為k=a+2,由切線與直線x+y=0平行,可得k=-1,即a+2=-1,解得a=-3.(2)(2020·沙坪壩高二檢測(cè))已知曲線f(x)=aln41【類題·通】曲線的切線的斜率是切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),再結(jié)合其他條件可處理與切線相關(guān)的問(wèn)題.【類題·通】42素養(yǎng)二邏輯推理角度1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)【典例3】(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)當(dāng)a<0時(shí),證明f(x)≤--2.素養(yǎng)二邏輯推理43【解析】(1)f′(x)==(x>0),當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)a<0時(shí),則f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【解析】(1)f′(x)=44(2)由(1)知,當(dāng)a<0時(shí),f(x)max=f,則f令y=lnt+1-t令y′=-1=0,解得t=1,所以y=lnt+1-t在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以ymax=y(1)=0,所以y≤0,即f(x)max≤--2,所以f(x)≤--2.(2)由(1)知,當(dāng)a<0時(shí),f(x)max=f,45

【類題·通】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)注點(diǎn)(1)關(guān)注函數(shù)的定義域,單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間.(2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)轉(zhuǎn)化要等價(jià).(3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集.(4)求參數(shù)的范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法.【類題·通】46【加練·固】已知函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)若函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【加練·固】47【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2+x-lnx(x>0),f′(x)=2x+1-== (x>0).令f′(x)>0,則x>;令f′(x)<0,則0<x<,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2+x-lnx(x>48(2)f′(x)=2x+a-=(x>0),由函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),得 ≤0,即2x2+ax-1≤0在[1,2]上恒成立.令h(x)=2x2+ax-1,則即 解得a≤-,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2)f′(x)=2x+a-=(x>49角度2函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)【典例4】(1)設(shè)函數(shù)f(x)=+lnx,則 (

)A.x=為f(x)的極大值點(diǎn)B.x=為f(x)的極小值點(diǎn)C.x=2為f(x)的極大值點(diǎn)D.x=2為f(x)的極小值點(diǎn)角度2函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)50(2)設(shè)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).①求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值.②討論g(x)與g的大小關(guān)系.(2)設(shè)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).51【解析】(1)選D.因?yàn)閒(x)=+lnx,x>0,所以f′(x)=-+,令f′(x)=0,即-+==0,解得x=2.當(dāng)0<x<2時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>2時(shí),f′(x)>0,所以x=2為f(x)的極小值點(diǎn).【解析】(1)選D.因?yàn)閒(x)=+lnx,x>0,52(2)①由題設(shè)知g(x)=lnx+,x>0,所以g′(x)=令g′(x)=0,得x=1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,因此,x=1是g(x)的唯一極值點(diǎn),且為極小值點(diǎn),從而是最小值點(diǎn),所以最小值為g(1)=1.(2)①由題設(shè)知g(x)=lnx+,x>0,53②g=-lnx+x.設(shè)h(x)=g(x)-g=2lnx-x+,則h′(x)=-當(dāng)x=1時(shí),h(1)=0,即g(x)=g.當(dāng)x∈(0,1)∪(1,+∞)時(shí),h′(x)<0,h′(1)=0.因此,h(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)0<x<1時(shí),h(x)>h(1)=0,即g(x)>g.當(dāng)x>1時(shí),h(x)<h(1)=0,即g(x)<g.②g=-lnx+x.設(shè)h(x)=g(x)-g54

【類題·通】利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)求曲線切線時(shí)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義.(2)連續(xù)函數(shù)的最值在端點(diǎn)或極值點(diǎn)處取到,所以需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性.【類題·通】55【加練·固】已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+1)x+2alnx(a>0).(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)若f(x)≤0在區(qū)間[1,e]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【加練·固】56【解析】(1)因?yàn)閍=1,所以f(x)=x2-4x+2lnx,所以f′(x)= (x>0),f(1)=-3,f′(1)=0,所以切線方程為y=-3.【解析】(1)因?yàn)閍=1,所以f(x)=x2-4x+2ln57(2)f′(x)==(x>0),令f′(x)=0得x1=a,x2=1,若0<a<1,則當(dāng)x∈(0,a)或(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈(a,1)時(shí),f′(x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,1);若a=1,則f′(x)=≥0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);(2)f′(x)=58若a>1,則當(dāng)x∈(0,1)或(a,+∞)時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈(1,a)時(shí),f′(x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,a).(3)由(2)可知,f(x)在區(qū)間[1,e]上只可能有極小值點(diǎn),所以f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)取到,所以f(1)=1-2(a+1)≤0且f(e)=e2-2(a+1)e+2a≤0,解得a≥若a>1,則當(dāng)x∈(0,1)或(a,+∞)時(shí),59素養(yǎng)三數(shù)學(xué)抽象角度分類討論的思想【典例5】已知函數(shù)f(x)=-ax2+lnx(a∈R).(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)若存在x∈(1,+∞),使f(x)>-a,求a的取值范圍.素養(yǎng)三數(shù)學(xué)抽象60【解析】(1)f′(x)=-2ax+=當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上遞增,當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,得x=,令f′(x)>0,得x∈;令f′(x)<0,得x∈所以f(x)在上遞增,在上遞減.【解析】(1)f′(x)=-2ax+=61(2)由f(x)>-a,得a(x2-1)-lnx<0,因?yàn)閤∈(1,+∞),所以-lnx<0,x2-1>0,當(dāng)a≤0時(shí),a(x2-1)-lnx<0滿足題意,當(dāng)a≥時(shí),設(shè)g(x)=a(x2-1)-lnx(x>1),g′(x)=>0,所以g(x)在(1,+∞)上遞增