直接證明與間接證明

不等式 推理與證明(必修

5

第三章

選修

1－2

第二章)第六篇第六節(jié)直接證明與間接證明高考導航考綱要求1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點．

2．了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點.考情分析數(shù)學證明題在高

占據(jù)重要地位，除在

幾何中考查空間位置關(guān)系的判定外，還常與函數(shù)，數(shù)列、圓錐曲線相結(jié)合進行考查，要求學生具備較強的邏輯思維能力、推理論證能力．本節(jié)在高考中一般不會直接命題，往往是以其他知識為載體作為

法考查相關(guān)內(nèi)容．如

2013

年江蘇卷

19

等．與備考：預計2015

年高考對本節(jié)知識的考查主要是導數(shù)及其應用，不等式及其證明，數(shù)列的遞推公式及通項公式，題型多為解答題，分值約為

12分．備考時應關(guān)注與這部分知識的交匯，關(guān)注不等式的放縮技巧.基礎(chǔ)知識回顧感悟 ·

學與思(對應學生

P144)1.直接證明問題探究1：綜合法與分析法的思維特點是什么，有系？提示：綜合法是從條件推結(jié)論，分析法是逆向思維，從結(jié)論出發(fā)逐步尋求結(jié)論成立的條件，兩種方法各有優(yōu)缺點，在證題時一般用分析法分析用綜合法寫出過程.2.間接證明(1)反證法定義：假設(shè)原命題

不成立

(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出

，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法.(2)適宜用反證法證明的數(shù)學命題有：①結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)的一類命題；②關(guān)于唯一性、存在性

題；③結(jié)論以“至多”、“至少”等形式出現(xiàn)題；④結(jié)論的

比原始結(jié)論更具體、更容易研究

題；⑤要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰.(3)用反證法證明問題時要注意的問題：①必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的，當結(jié)論的

呈現(xiàn)多樣性時，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的；②反證法必須從否定結(jié)論進行推理，即應把結(jié)論的作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的出發(fā)進行推理，就不是反證法.問題探究2：利用反證法證明問題的關(guān)鍵是什么？可能出現(xiàn)的提示：反證法證明問題的關(guān)鍵是推出與假設(shè)從而說明假設(shè)錯誤，結(jié)論成立，可能出現(xiàn)的已知，與數(shù)學公理，定理，公式，定義或已證明的結(jié)論與公認的簡單事實考點互動探究突破·導與練(對應學生

P144)綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，即由已知條件出發(fā)，推導出所要證明的等式或不等式成立.因此，綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Ч?其邏輯依據(jù)是式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結(jié)論的正確性.考點1

綜合法已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2＋b2＋c2＋

11a＋b＋c12≥63，并確定a，b，c為何值時，等號成立．【證明】

因為

a，b，c

均為正數(shù)，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①1

1

1

1

1

1同理a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，②2

2

2

11故a

＋b

＋c

＋a＋b＋c12≥ab＋bc＋ac＋3

1

＋3

1

＋3

1

≥6

3.③ab

bc

ac所以原不等式成立當且僅當

a＝b＝c

時，①式和②式等號成立，當且僅當

a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3

時，③式等號成立．即當且僅當

a＝b＝c＝

1時，原式等號成立．34綜合法往往以分析法為基礎(chǔ)，是分析法的逆過程，但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導證明．設(shè)數(shù)列{an}滿足

a1＝0

且—1

11－an＋1

1－an＝1.(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝1－

a＋n

1nnk＝1nk，記

S

＝

b

，證明：nS

<1.解：(1)由題設(shè)—1

11－an＋1

1－an＝1，得

1

1－an是公差為

1

的等差數(shù)列．又11－a1＝1，故11－ann＝n.所以

a

＝1－n1.(2)證明：由(1)得bn＝an＋1n1－

n＋1－

nn＋1·

n＝

＝n—

1

1

n＋1，nk＝1nS

＝

bk＝nk＝1

k—

1

1

k＋1＝1－

1

n＋1<1.分析法也是中學數(shù)學證明問題的常用方法，其主要過程是從結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的充分條件．分析法是“執(zhí)果

”，它是從要證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，逐漸地靠近已知事實．用分析法證“若P

則Q”這個命題的模式是：為了證明命題Q

為真，這只需證明命題P1

為真，從而有…考點2

分析法這只需證明命題

P2

為真，從而有……這只需證明命題

P

為真．而已知

P

為真，故

Q

必為真．3．用分析法證題時，一定要嚴格按格式書寫，否則容易出錯．|a|＋|b|已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：

|a＋b|

≤

2.【思路啟迪】

a⊥b?a·b＝0.同時注意，|a|2＝a2，將要證式子變形平方即可獲證.【證明】∵a⊥b，∴a·b＝0，要證|a＋b|

≤|a|＋|b|2，只需證|a|＋|b|≤

2|a＋b|，只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式顯然成立，故原不等式得證.當所證命題不知決，特別是對于條件簡單而結(jié)論復雜對含有根式的證明問題也常常使用分析法．1已知

a>0，b－a1>1，求證：

1＋a>11－b.1

1證明：由已知b－a>1及a>0，可知0<b<1，要證

1＋a>11－b，只需證

1＋a·

1－b>1，只需證1＋a－b－ab>1，a－b只需證a－b－ab>0即

ab

>1，1

1即b－a>1，這是已知條件，所以原不等式得證.用反證法證明問題的一般步驟為：(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的命題)成立；(否定結(jié)論)(否定歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導出

——與已知條件、已知的公理、定義、定理及明顯的事實 或自相 ；(推導

)結(jié)論：因為推理正確，所以產(chǎn)生 的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然結(jié)論的 不成立，從而肯定了結(jié)論成立．(結(jié)論成立)考點3反證法若x，y

都是正實數(shù)，且x＋y>2，求證：1＋x

1＋yy

x<2

與

<2

中至少有一個成立．【證明】

假設(shè)1＋xy<2

和1＋yx<2

都不成立，則有1＋x1＋yy

x≥2

和 ≥2

同時成立，因為

x>0

且y>0，所以

1＋x≥2y，且

1＋y≥2x，兩式相加，得

2＋x＋y≥2x＋2y，所以

x＋y≤2，這與已知條件

x＋y>2相，因此1＋x

1＋yy

x<2

與

<2

中至少有一個成立．反證法是一種反設(shè)結(jié)論導出其難點就是如何反設(shè)結(jié)論和導出論就是新的已知條件，和題目中的其他已知條件一起進行推理，通過對題目具體情況的分析找到導出設(shè){an}是公比為

q

的等比數(shù)列，Sn

是它的前

n

項和．(1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？解：(1)證明：若{Sn}是等比數(shù)列，則

S2＝S

·S

，即

a2(1＋q)2＝a

·a

(1＋

2)，2

1

3

1

1

1∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋

2，解得

q＝0，這與

q≠0相矛盾，故數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列．(2)當q＝1

時，{Sn}是等差數(shù)列．當q≠1

時，{Sn}不是等差數(shù)列．假設(shè)

q≠1

時成等差數(shù)列，即

2S2＝S1＋S3，2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋

2)．由于

a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋

2，即∵q≠1，∴q＝0，這與

q≠0

相

．2，綜上可知，當

q＝1

時，{Sn}是等差數(shù)列；當q≠1

時，{Sn}不是等差數(shù)列．題是“若A，則B”，那么綜合法的邏輯歸納提升2．如果要證明過程是欲證結(jié)論

B

成立，需尋找

B

成立的充分條件

C，C

成立的充分條件

D，…，如此逐層上溯，如果能發(fā)現(xiàn)一條從結(jié)論

B

上接已知條件

A

的邏輯通道，就得到“B?C?D?…?A”的證明思路．分析法的特點是執(zhí)果“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”．3．運用綜合法敘述推理過程，簡明扼要，條理清楚，但是，前進的道路往往不止一條，所以每逢歧路，選擇甚難，有時從條件出發(fā)，想不到從何處入手才有效；而分析法執(zhí)果易，便于思考．所以，幾何證明題在探索途徑時，分析法優(yōu)于綜合法；在表述方面，分析法不如綜合法．在實際解題時，常常需要把分析法與綜合法綜合使用．一方面執(zhí)果成立所需要的條件，另一方面由因?qū)Ч?，探索由已知條件必然產(chǎn)生的種種結(jié)果，當兩種思路接通時，問題便得到解決．4．反證法主要適用于以下兩種情形：要證的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類

，而從證明，只要研究一種或很少幾種情形.放縮有“度”，巧證不等式所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，根據(jù)證題目標進行合情合理的放大或縮小，在使用放縮法證題時要注意放和縮的

“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟．(對應學生P146)n

121已知數(shù)列{x

}滿足

x

＝

，xn＋1＝

2xnnx2＋1，求證：0<xn＋1－xn<

2＋18.【證明】由條件可知數(shù)列{xn}的各項均為正數(shù)，故由基本不等式，得

xn＋1＝

2xnnx2＋12xnn＋1

n≤2xn＝1，若

x

＝1，則

x

＝1，這與已1知條件

x

＝12n．所以

0<x

<1，n＋1n從而

x

－x

＝

2x

nnx2＋1n－x

＝x

·1－x2n

1＋x2nn

nn＝x

(1－x

)·1＋x

1＋x2nnn＝x

(1－nx

)·1n1＋x

＋

2

1＋xn－2，其中因上述兩個不等式中等n4x

<

·1

1

2

2－2＝

2＋18.本題技巧性較強，經(jīng)過了兩次放縮，關(guān)鍵是放縮后的式子要盡可能地接近原式，減小放縮度，以避免運算上的麻煩．第一次是利用基本不等式，將xn＋1－xn

轉(zhuǎn)化為常數(shù)，在此步驟中，因兩不等式中的等號不可能同時成立，所以兩式相乘后不取等號，這是易錯之處，必須加以警惕．從而判定出0<xn<1；第二次放縮法是證明不等式經(jīng)常利用的方法，多采用添項或去項、分子、分母擴大或縮小，應用基本不等式進行放縮，放縮時要注意放縮的方向保持一致．【試一試】1n

n

1

2

n已知b

＝

n

，S

＝b

＋b

＋…＋b

，證明：≤S

<2.2n

n

2證明：因b

nn＝2n，1

2

3

nSn＝2＋22＋23＋…＋2n，①2Sn＝22＋23＋24＋…＋1

1

2

3

n 2n＋1，②①－②得，2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－1

1

1

1

1

n 2n＋1＝

－

2

2

11

1n1－12—2n＋1＝1－2n－

n

1

n 2n＋1.n2n－1所以

S

＝2－

1

－

n

＝2－n＋2

2.2n

2n

<又Sn＋1－Sn＝

2nn＋2

n＋3

n＋1—

2n＋1

＝

2n＋1

>0.所以

Sn＋1

n

n

n>S

，即{S

}是遞增數(shù)列，則

S

≥S1＝21.1故2≤Sn<2.1．用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60°”時，應假設(shè)(

)三個內(nèi)角都不大于

60°三個內(nèi)角都大于

60°三個內(nèi)角至多有一個大于

60°三個內(nèi)角至多有兩個大于

60°解析：假設(shè)為“三個內(nèi)角都大于60°”．答案：B(對