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文檔簡介
第二節(jié)曲線的凸凹性與拐點第四章一、曲線凸凹性的概念二、曲線凸凹性的判定三、拐點的判定在區(qū)間I
上連續(xù),則稱設函數(shù)若恒有圖形是凸的;若恒有圖形是凹的.一、曲線凸凹性的概念定義4.2
曲線的凸凹性yO
x1
x1
x2
x2
x2x12x1
x2
x2yOx則稱曲線彎曲的方向不同證1記x0
2
(x1
x2
),xOx2x1
x0二、曲線凸凹性的判定定理4.5(凹凸判定法)二階充分條件設函數(shù)由拉氏中值定理可得h
x0
x1
x2
x0兩式相減，可得f
(
x)
0xOx2x1
x0定理7(一階充分條件)
若f(x)在[a,
b]上連續(xù), (a,
b)內(nèi)可導,且f
(x)在(a,b)內(nèi)嚴格單調(diào)增加(或減少),則f(x)是[a,
b]上的凸(凹)函數(shù).證明:x1,
x2
[a,b],
x1
x2
,220
1記x
1
(
x
x
),f
(x)在[x1,x0
],[x0
,x2
]上滿足L定理的條件,故1
(x1,x0
),2
(x0
,x2
)使得:22
11
0
1
1
0
1)(1),x
x
)(f
(
x
)
f
(
x
)
f
(
)(
x
x
)
f
(2f
(
x2
)
f
(
x0
)
f
(2
)(
x2
x0
)
f
(2
)(
x2
x1
)(2),22
12
11
2
0)
0,
x
x)
f
((1)
(2)
:
f
(
x
)
f
(
x
)
2
f
(
x
)
[
f
(
)](),21221x
x[
f
(
x1
)
f
(
x2
)]
f
(
x0
)
f
(故,定理得證.例1
判斷曲線的凹凸性.解y
4
x3
,故曲線在上是凸的.例2
判斷曲線
y
x3的凹凸性.解y
3
x2
,故曲線
在上是凸的,在上是凹的.點(0,0)是凸弧與凹弧的分界點.凹弧的分界點稱為拐點.定義3.3yOx連續(xù)曲線弧上凸弧與定理
(必要條件)
若f(x)在[a,
b]上連續(xù),在(a,
b)內(nèi)有二階導數(shù),且f(x)是[a,
b]上的凸(凹)函數(shù),
則
f
(x)0
(或
0)
.三.凸函數(shù)的性質(zhì)及其幾何意義性質(zhì)1
設f(x)是[a,
b]上的凸函數(shù),
在(a,
b)內(nèi)具有二階導數(shù),則對任意的x,x0[a,b],都有:0
0f(x)f(x
)+f
(x
)(xx
).200
00
02!1f
(
x)
f
(
x
)
f
(
x
)(
x
x
)
f
(
)(
x
x
)證明：Ox由
f
(
)
0,
得：f
(
x)
f
(
x0
)
f
(
x0
)(
x
x0
)性質(zhì)1表明：凸函數(shù)的圖形在任一點處切線的上方.yy=f(x)10證明:性質(zhì)2
設f(x)是[a,b]上的凸函數(shù),在(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù),則對任意的x1,x2[a,
b]及[0,
1],都有:f[x1+(1)x2]
f(x1)+(1)fx1,
x2
[a,b],
[0,1],x0
x1
(1
)x2
[a,
b],x0
x1
x1
(1
)x2
x1
(1
)(x2
x1
),x0
x2
x1
(1
)x2
x2
(
x2
x1
),由性質(zhì)1得:
f
(
x1
)
f
(
x0
)
f
(
x0
)(
x1
x0
)
f
(
x0
)
f
(
x0
)(1
)(
x2
x1
)(1),()2)(,f
(
x2
)
f
(
x0
)
f
(
x0
)(
x2
x0
)
f
x0
f
x0
x2
x11
得((1fx0fxfxfxx
1
2
].()(1)()()(12[)
（Jensen)不等式性質(zhì)2
表明：凸函數(shù)的圖形在任兩點間的弧段必在對應弦的下方.xyy=f(x)Ox1
x1+(1)x2
x2證明:22
x
sin
x.例3.
利用凸(凹)函數(shù)的性質(zhì)證明：當
0
x
時,
有設f
(x)
sin
x
2
x,則f
(x)
cos
x
2
,2f
(
x)
sin
x
0, (0
x
),故f
(x)為凹函數(shù),曲線在弦的上方,2(
,0)的連線,即為x軸,而弦為(0,0)與從而f即sin
x
2
x
0.亦即2
x
sin
x.yOxy=sinxy=2x//2例4利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式：2e
xx
ye
e
y(
x
y)2證
設
f
(t
)
et
f
(t
)
et
0
曲線
y
f
(t
)是凸的即22e
xx
y
e
ye
(
x
y)從而
x,
y
R,
x
y,
有f
(
x)
f
(
y)
f
(
x
y
)2
21221
b
a例.
1,
a,b為正數(shù)時，證明：(a
b)
補充：例.
設a,b,p,q都是正數(shù)，試證明p
q
(
p
q)2a
b pa
qb四、拐點的判定定理4.6
(拐點判定法)若曲線或不存在,若
f
(
x)
在
x0
兩側(cè)異號,
則點(
x0
,
f
(
x0
))
是曲線的一個拐點.若f
(x)在x0
兩側(cè)同號,則點(x0
,f
(x0
))不是曲的拐點.的拐點.52解
y
(
x
2)3
,3910y
(
x
2)yy2x
(,
2)(2,
)不存在0因此點(2,0)為曲線的拐點.凹凸例5
求曲線,910
1313
x
2的拐點.y
5
x
2
,
y
2
5
x
1.33
x
9
x3
x例6
求曲線解xyy(,
1)5(
1
,0)0
不存在凹凸(0,
)凸5
5
10拐點因此的拐點.設y
f
(
x)在x
x0的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)例7導數(shù),
如果
f
(
x0
)
0,
而
f
(
x0
)
0,
試問(
x0
,
f
(
x0
))是否為曲線y
f
(
x)的拐點,
為什么解不失一般性,
設f
(
x0
)
0.由三階導數(shù)在x
x0的某鄰域連續(xù)可知x
x0lim
f
(
x)
f
(
x0
)
0.由極限的局部保號性知
存在U
(
x0
,
),使得當x
U
(
x0
,
)時,
f
(
x)
0.于是
f
(
x)在該鄰域內(nèi)單調(diào)遞增但
f
(
x0
)
0,故當x
(x0
,x0
)時,當x
(x0
,x0
)時,從而(x0
,f
(x0
))是拐點.f
(
x)
0,f
(
x)
0,當x
U
(x0
,
)時,f
(
x)
0.如果條件改為：極值點還是拐點？說明理由。0
0
00)
xf)滿(
足 公式200
002!(
x
-x
)
f
(
)f
(
x
)(
x
-x
)
f
(
x)
f
(
x
)
其中介于x與x0之間0xx)-2
f
)(!2
xf)(解：則在x0
的某一去心鄰域內(nèi)f
'(x)
0
（不變號）因此不是極值點。方法二：解:f
(
x)
f
(
x0
)
f
(
x0
)(
x
x0
)
1
f
(
x0
)(
x
x0
)2
1
f
(
)(
x
x0
)3
,2!
3!
f
(
x0
)
f
(
x0
)
0,
f
(
x)
f
(
x0
)
1
f
(
)(
x
x0
)3
,
f
(
x0
)
0,3!不妨設f
(x0
)
0,N
(
x0
,
),使得x
N
(
x0
,
)
f
(
x)
0,當x
N
(
x0
,
)時,
f
(
x)
f
(
x0
),當x
N
(
x0
,
)時,
f
(
x)
f
(
x0
),故x0不是f
(
x)的極值點, f
(
x0
)
0
的情形同樣證明.而(x0
,f
(x0
))必是拐點,又f
(
x0
)
0,
故f
(
x)在點x0的兩側(cè)異號,(x0
,f
(x0
))是拐點.000
f
(x
)x
xf
(x)
f
(x
)
limx
x0這是因為:
當f
(
x0
)
0,
或f
(
x0
)
0,利用三階導數(shù)定義：23x0
0,)試0(證,)(明f
(,x(,00))是拐點。f
(,x(,00))不是拐點。x0
而fn1()
n)(f
x)(在若x0的某鄰域內(nèi)具有n階連續(xù)導數(shù)，且f
x0
')(
f0
000
0
0n!x
)(f
()nx
)(
0
n
1)(!x
x
)(n1
0
x
x
)(n
o((
x
x
))nf
(1n)f
x
f
x
f
()x()()(
x
x
)
)1n(為奇數(shù)時,x0不是極值點但x)2n(為偶數(shù)時,x0是極值點但x把f
x)(在x0
，得x
x0limx
x00
0,x
N
x
,
0(
x
x
)nf
(
x)
f
(
x0
)
000
0由局部保號性（1）
為奇數(shù)
xN時f(x,x(，)f)x()
0
xnN時(f.,x，(x))f(x)
(2)n為偶數(shù).
f
(
x)
f
(
x0
),
x0為極值點.x0不是極值點(
x
x
)nlim
f
(
x)
f
(
x
)0
0
0
0
0
0
0
n!))
f
x
)(n!x
)(
o((x
xx
x
)(nn
()nf
()n0(
x
x
)n2f
(
x)
f
(
x
)0x
x00由局部保號性
0,x
N
x
,
00(
x
x
)n2f
(
x)
0x
N
x
時，f
x
0)（1）n為奇數(shù)
則n
為奇數(shù).x
N
x0
時，f
x
0)(2)n為偶數(shù).f
(x)
0,(x0
,f
(x0
))不是拐點.(x0
,f
(x0
))是拐點000000
00o((
x
x
n2
)x
)(n2xn
2()!x
)(f
()nx
x
)(n3
n
3()!x
)(f
(1n)f
x
f
x
f
((x)()(
x
x
)
把f
()x
在x000lim
0
lim
0
0
0
(n
2)!f
(n)
(x
)x
x
(n
2)!
(x
x
)n2o((x
x
)n2
)f
(n)
(x
)xf
(0)是f(x)的極大值;f
(0)是f(x)的極小值;(C).(0,
f
(0))是曲線y
f
(x)的拐點;(D).f
(0)非f(x)的極值,(0,
f
(0))亦非曲線y
f
(x)的拐點.lim
f
(x)
1,則(
).設f
(x)有二階連續(xù)導數(shù),且f
(0)
0,x0
1
0,xf
(
x)x0分析:因lim0,
x故由局部保號性,
x
N
(0,
),有f
(x)
0,于是f
(x)
0,f
(x)x
0時，f
(
x)
f
(0)
0,x
0時，f
(
x)
f
(0)
0從而f
(0)是f
(x)的極小值.例設f
(x)具有三階導數(shù)，且f
(x0
)
0,f
'(x0
)
0證明:點(
x0
,0)為曲線y
(
x
x0
)
f
(
x)的拐點2證明y'''
6
f
'(
x)
6(
x
x0
)
f
''(
x)
(
x
x0
)
f
'''(
x)2y'''(
x0
)
6
f
'(
x0
)
0分析y'
2(
x
x0
)
f
(
x)
(
x
x0
)
f
'(
x)2y''
2
f
(
x)
4(
x
x0
)
f
'(
x)
(
x
x0
)
f
''(
x)2y''(
x0
)
0只要證明y''(x)在x0的左右領域異號!但是符號難以確定，如何解決0000y''(
x)
limx
xy''(
x)
y''(
x
)y'''(
x
)
limx0
x
xx0不妨設y'''(x0
)
0有局部保號性定理知
0,00x
xy''當0
|
x
x
|
,
有
0所以，當x0
x
x0
,
y''
0當x0
x
x0
,y''
0從而，(x0
,0)為拐點證
y
y
(
x2
1)2(
x2
1)3
2(
x
1)(
x
2
3)(
x
2
3)(
x2
1)3x2
1(
x2
1)
(
x
1)2
x
1
2
x
x2(
x2
1)2(
x2
1)4
2(
x3
3
x2
3
x
1)(2
2
x)
(x2
1)2
(1
2x
x2
)
2(x2
1)
2
x例4-2
求證曲線
y
x
1
有位于一直線的三個拐點.x3
2
3,x2
2
3
,8
4
33
,
1
令
y
0
得x1
1
,從而三個拐點為(1,
1),
(2
因為3).8
4
33 ,
1
3)
,
(2
2
3
1
2
所以三個拐點共線.
1
84
3
1
33
1
84
3
1
3
1例4-3
設f
(x)
K
(x2
3)2
,問當K為何值時,曲線在拐點處的法線通過原點.解
f
(
x)
4Kx(
x2
3),f
(
x)
4K
(
x2
3)
8Kx2
12K
(
x2
1).令f
(
x)
0,
解得x
1.而當x
1時，f
(x)與K符號相同,當
1
x
1時，f
(x)與K符號相反,當x
1時，f
(x)也與K符號相同.因此x
1為曲線的拐點此時y
4K
,拐點為(1,4K
)和(1,4K
).當x
1時，切線的斜率f
(
x)
8K
,
此時法線的8K解得K
1
時，原曲線在拐點4
2處的法線通過原點.1
,1
0
8K斜率為
1
,
又發(fā)現(xiàn)經(jīng)過原點，
即
4K
0
內(nèi)容小結(jié)拐點——連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點f
(
x)
0,
x
I曲線凹凸與拐點的判別f
(x)
0,x
I
曲線f
(x)在I
上是凸的曲線f
(x)在I
上是凹的x
ln
x
y
ln
y
(
x
y)ln
x
y
,(
x
0,
y
0,
x
y).思考題利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式證2令f
(t
)
t
ln
t,
D
(0,).tf
(t
)
lnt
1,
f
(t
)
1
0
t
(0,),故曲線f
(t
)的圖形在(0，
)是凸的.于是對于x
0,y
0,x
y,有即2x
ln
x
y
ln
y
(
x
y)ln(
x
y
).備用題例1-1曲線xy2
)的1ln凹(凸性與拐點.,x2
12
x解
y
(
x2
1)
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