高三數(shù)學(理)一輪復習講解與練習71空間立體幾何體的機構(gòu)及其三視圖和直觀圖(含答案解析)

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特點及其三視圖和直觀圖[備考方向要了然]考什么怎么考1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特點，并能運用這些特點描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡單組合)的三視圖，能鑒別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖．3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，認識空間圖形的不一樣表示形式．4.會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特點的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等沒有嚴格要求)．

1.對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特點的觀察，很少單獨命題，多與命題真假判斷相結(jié)合，在觀察線面地址關(guān)系時，常以幾何體為載體．2.對三視圖的觀察素來是高考的觀察重點，且有以下特點：(1)多以選擇題或填空題的形式觀察．(2)單獨觀察三視圖問題，如2012年福建T4，湖南T3等．(3)與空間幾何體的體積、表面積的求法相結(jié)合，觀察三視圖的還原問題，如2012年新課標全國T7，安徽T12，廣東T6，天津T10，遼寧T13等．3.直觀圖的畫法作為一種圖技畫法交融于三視圖的還原問題中，高考幾乎不單獨命題.[歸納·知識整合]1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特點①棱柱的側(cè)棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多邊形②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共極點的三角形多面體③棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐獲取，其上下底面是互相平行且相似的多邊形①圓柱能夠由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)獲?、趫A錐能夠由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)獲取旋轉(zhuǎn)體③圓臺能夠由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉(zhuǎn)獲取，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐獲?、芮蚰軌蛴砂雸A或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)獲取[研究]1.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？提示：不用然．以下列圖，盡管幾何體滿足了兩個平面平行且其余各面都是平行四邊形，但不能夠保證每相鄰兩個側(cè)面的公共邊互相平行．2．中心投影與平行投影平行投影的投影線是平行的，而中心投影的投影線訂交于一點．在平行投影中投影線垂直于投影面的投影稱為正投影．3．三視圖與直觀圖空間幾何體的三視圖是用平行投影獲取的，它包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，三視圖其畫法規(guī)則是：長對正，高平齊，寬相等空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法規(guī)則來畫，基本步驟是：①畫幾何體的底面在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸訂交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸、y′軸，兩軸訂交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，已知圖形中平行x軸、y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸的線直觀圖軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，段．已知圖形中平行于x長度變成原來的一半．②畫幾何體的高在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長度不變[研究]2.正方體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖必然相同嗎？提示：由于正視圖的方向沒確定，因此正視圖、側(cè)視圖、俯視圖不用然相同．[自測·牛刀小試]1．用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體必然是()A．圓柱B．圓錐C．球體D．圓柱，圓錐，球體的組合體解析：選C由球的性質(zhì)可知，用平面截球所得的截面都是圓面．2．(教材習題改編)以下列圖的幾何體是棱柱的有()A．②③⑤B．③④⑤C．③⑤D．①③解析：選C依照棱柱結(jié)構(gòu)特點可知③⑤是棱柱．3．(教材習題改編)已知一個幾何體的三視圖以下列圖，解析此幾何體的組成為()A．上面為棱臺，下面為棱柱B．上面為圓臺，下面為棱柱C．上面為圓臺，下面為圓柱D．上面為棱臺，下面為圓柱解析：選C由三視圖可知，此幾何體由上面的圓臺和下面的圓柱組合而成的．4．關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法正確的選項是()A．直角三角形的直觀圖仍是直角三角形B．梯形的直觀圖是平行四邊形C．正方形的直觀圖是菱形D．平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形解析：選D由斜二測畫法規(guī)則可知，平行于y軸的線段長度減半，直角坐標系變成了斜坐標系，而平行性沒有改變，因此，只有D正確．5．一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是以下幾何體中的________(填入所有可能的幾何體前的編號)．①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱解析：只要判斷正視圖是不是三角形就行了，畫出圖形簡單知道三棱錐、四棱錐、圓錐必然能夠，關(guān)于三棱柱，只要要放倒就可以了，因此①②③⑤均吻合題目要求．答案：①②③⑤空間幾何體的結(jié)構(gòu)特點[例1]以下結(jié)論中正確的選項是()A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐D．圓錐的極點與底面圓周上的任一點的連線都是母線[自主解答]A錯誤．如圖，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起組成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．B錯誤．以以下列圖，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐。錯誤．若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六形．但由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長．[答案]D———————————————————求解空間幾何體看法辨析題的常用方法(1)定義法，即嚴格依照空間幾何體的相關(guān)定義判斷．(2)反例法，即經(jīng)過舉反例來說明一個命題是錯誤的．1．以下命題中，正確的選項是()A．有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱B．側(cè)面都是等腰三角形的棱柱是正棱錐C．側(cè)面都是矩形的四棱柱是長方體D．底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱解析：選D關(guān)于A，兩個側(cè)面是矩形其實不能夠保證側(cè)棱與底面垂直，故A錯誤；關(guān)于B，側(cè)面都是等腰三角形，不能夠保證此棱錐極點在底面在底面的射影在底面正多邊形的中心上，且也不能夠保證底面是正多邊形，故B錯誤；關(guān)于C，側(cè)面是矩形不能夠保證底面也是矩形，因而C錯誤．空間幾何體的三視圖[例2](1)(2012湖·南高考)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均以下列圖，則該幾何體的俯視圖不能能是()(2)(2012廈·門質(zhì)檢)某幾何體的三視圖以下列圖，則該幾何體是()A．三棱錐B．四棱錐C．四棱臺D．三棱臺[自主解答](1)A圖是兩個圓柱的組合體的俯視圖；B圖是一個四棱柱與一個圓柱的組合體的俯視圖；C圖是一個底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個四棱柱的組合體的俯視圖，采用消除法，應選D.(2)由三視圖可知，該幾何體是四棱錐(以下列圖)，且其中一條棱與底面垂直．[答案](1)D(2)B———————————————————由三視圖還原實物圖應明確的兩個方面(1)第一要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，較復雜的幾何體也是由這些簡單幾何體組合而成的．(2)要明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖．2．已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同(其中AB＝AC，四邊形BCDE為矩形)，則該組合體的俯視圖能夠是________(把你認為正確的圖的序號都填上)．解析：幾何體是四棱錐與四棱柱組成時，得①正確．幾何體由四棱錐與圓柱組成時，得②正確．幾何體由圓錐與圓柱組成時，得③正確．幾何體由圓錐與四棱柱組成時，得④正確．故填①②③④.答案：①②③④空間幾何體的直觀圖[例3]以下列圖，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，且△A′B′C′是邊長為a的正三角形，求△ABC的面積．[自主解答]建立以下列圖的坐標系xOy′，△A′B′C′的極點在y′軸上，A′B′邊在x軸上，把y′軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得

C′y軸，在

y軸上取點

C使OC＝2OC′，A、B點即為A′、B′點，長度不變．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′＝A′C′，sin∠OA′C′sin45°sin120°6a，因此OC′＝a＝sin45°2因此原三角形ABC的高OC＝6a，△1×a×6a＝62因此SABC＝22a.本例若改為“已知△ABC是邊長為a的正三角形，求其直觀圖△A′B′C′的面積，”應如何求？解：由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖△A′B′C′一底邊上的高為312＝62a××28a，2故其面積S△′′′＝1662ABC2a×8a＝16a.———————————————————平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個關(guān)系依照斜二測畫法獲取的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：2S直觀圖＝4S原圖形，S原圖形＝22S直觀圖．記住上述關(guān)系，解題時能起到事半功倍的作用．3．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()A．正方形

B．矩形C．菱形

D．一般的平行四邊形解析：選

C

將直觀圖還原得

?OABC，則∵O′D′＝2O′C′＝22(cm)，OD＝2O′D′＝42(cm)，C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，OC＝CD2＋OD2＝22＋422＝6(cm)，OA＝O′A′＝6(cm)＝OC，故原圖形為菱形．1種數(shù)學思想——轉(zhuǎn)變與化歸思想利用轉(zhuǎn)變與化歸思想解決棱臺、圓臺的相關(guān)問題由棱臺和圓臺的定義可知棱臺和圓臺是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后獲取的，因此在解決棱臺和圓臺的相關(guān)問題時，?！斑€臺為錐”，表現(xiàn)了轉(zhuǎn)變的數(shù)學思想．1個疑難點——三視圖的還原問題由三視圖還原幾何體是解答三視圖問題的重要手段和方法，在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決：3個注意事項——畫三視圖應注意的三個問題(1)若相鄰兩物體的表面訂交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法．(2)確定正視、側(cè)視、俯視的方向，觀察同一物體方向不一樣，所畫的三視圖也不一樣．(3)觀察簡單組合體是由哪幾個簡單幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線地址．個“變”與“不變”——斜二測畫法的要求坐標軸的夾角改變，“三變”與y軸平行的線段的長度變成原來的一半，圖形改變.平行性不改變，“三不變”與x、z軸平行的線段的長度不改變，相對地址不改變.易誤警示——三視圖識圖中的易誤辨析[典例](2012·西高考陜)將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐，獲取如圖2所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為()[解析]側(cè)視圖中能夠看到線段AD1，應為實線，而看不到B1C，應畫為虛線．由于AD1與B1C不平行，投影為訂交線，故應選B.[答案]B[易誤辨析]1．因?qū)θ晥D的原理認識不到位，區(qū)分不清選項A和B，而易誤選A.2．因?qū)θ晥D的畫法要求不明而誤選C或D.在畫三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫，被遮住的部分的輪廓線為虛線．3．解答此類問題時，還易出現(xiàn)畫三視圖時對個別視圖表達嚴禁而不能夠畫出所要求的視圖．在復習時要明確三視圖的含義，掌握“長對正、高平齊、寬相等”的要求．[變式訓練]若某幾何體的三視圖以下列圖，則這個幾何體的直觀圖能夠是()解析：選B由正視圖與俯視圖能夠?qū)⑦x項

A、C消除；依照側(cè)視圖，能夠?qū)?/p>

D消除，注意正視圖與俯視圖中的實線．一、選擇題(本大題共6小題，每題5分，共30分)1．(2012·建高考福)一個幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個幾何體不能夠是

(

)A．球

B．三棱錐C．正方體D．圓柱解析：選D圓柱的三視圖，分別是矩形，圓，不能能三個視圖都相同，而球的三視圖能夠都是圓，三棱錐的三視圖能夠都是三角形，正方體的三視圖能夠都是正方形．2．(2013·城模擬西)有一個幾何體的三視圖以下列圖，這個幾何體應是一個(

)A．棱臺

B．棱錐C．棱柱

D．都不對解析：選

A

從俯視圖來看，上、下底面都是正方形，但大小不一樣樣，能夠判斷是棱臺．3．一梯形的直觀圖是一個如右圖所示的等腰梯形，且該梯形的面積為2，則原梯形的面積為()A．2B.2C．22D．4解析：選D直觀圖為等腰梯形，若上底設(shè)為x，高設(shè)為y，1則S直觀圖＝2y(x＋2y＋x)＝2，1而原梯形為直角梯形，其面積S＝2·22y(x＋2y＋x)＝22×2＝4.4．一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別以下列圖，則該幾何體的俯視圖為()解析：選C由正視圖和側(cè)視圖可知，該長方體挖掉一個小長方體后，相應地址在俯視圖中應為左下角地址，且可看見輪廓線，應選C.5．一個錐體的正視圖和側(cè)視圖以下列圖，下面選項中，不能能是該錐體的俯視圖的是()解析：選C若俯視圖是等邊三角形且為圖中的地址，則正視圖是等腰三角形，且高線是實線，應選C.6．一個幾何體的三視圖以下列圖，其正視圖的面積等于8，俯視圖是一個面積為43的正三角形，則其側(cè)視圖的面積為()A．43B．83C．82D．4解析：選A由三視圖知該幾何體是正三棱柱，設(shè)其底面邊長為a，高為h，則其正視圖為矩形，矩形的面積S1＝ah＝8，俯視圖為邊長為a的正三角形，三角形的面積S2＝3a24＝43，則

a＝4，h＝2，而側(cè)視圖為矩形，底邊為

32a，高為

h，故側(cè)視圖的面積為

S＝

32

ah＝43.二、填空題

(本大題共

3小題，每題

5分，共

15分)7．以下四個命題：①正棱錐的所有側(cè)棱相等；②直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形；③圓柱的母線垂直于底面；④用經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐，所得的截面必然是全等的等腰三角形．其中，真命題的序號為________．解析：①③④均正確，對②，直棱柱的側(cè)面都是矩形而不用然全等，②錯誤．答案：①③④8．一個幾何體是由若干個相同的小正方體組成的，其正視圖和側(cè)視圖以下列圖，則這個幾何體最多可由________個這樣的小正方體組成．解析：依題意可知這個幾何體最多可由9＋2＋2＝13個這樣的小正方體組成．答案：139．正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長均為3，其正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則正視圖的周長為________．解析：由題意知，正視圖就是以下列圖的截面PEF，其中E、F

分別是AD、BC的中點，連接AO，易得AO＝2，而PA＝3，于是解得

PO＝1，因此PE＝2，故其正視圖的周長為2＋22.答案：2＋22三、解答題(本大題共3小題，每題12分，共36分)10．用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺的母線長．解：抓住軸截面，利用相似比，由底面積之比為1∶16，設(shè)半徑分別為r、4r.

1∶設(shè)圓臺的母線長為

l，截得圓臺的上、下底面半徑分別為

r、4r.依照相似三角形的性質(zhì)得

33＋l

r＝4r，解得

l＝9.因此，圓臺的母線長為

9cm.11．已知：圖①是截去一個角的長方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖②是某幾何體的三視圖，試說明該幾何體的組成．解：圖①幾何體的三視圖為：圖②所示的幾何體是上面為正六棱柱、下面為倒立的正六棱錐的組合體．12．以下列圖的三幅圖中，圖(1)所示的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖如圖(2)(3)所示(單位：cm)．(1)在正視圖下面，依照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)依照給出的數(shù)據(jù)，求該多面體的體積．解：(1)如圖．(2)所求多面體的體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－1×1×2×2×2＝2843323(